高中数学常用公式及知识点总结

高中数学常用公式及知识点总结
一、集合
1、N表示 N+(或N*)表示 Z表示
R表示 Q表示 C表示
2、含有n个元素的集合，其子集有 个，真子集有 个，非空子集
有 个，非空真子集有 个。

二、基本初等函数
1、指数幂的运算法则
a
a
m
a
n
=
a
m
?a
n
=
(a
m
)
n
=
()
m
=
b
n
a
m
=
a
?m
=
(ab)
m
=
，M>0,N>0
） 2、对数运算法则及换底公式（
a?0且a?1
log
a
M?
log
a
N
=
log
a
M?
log
a
N
=
log
a
M
n
=
alog
a
N
=
log
a
b
=
log
a
a
=
log
a
alog
a
b
=
log
a
1
=
3、对数与指数互化：
log
a
M?N?


4、基本初等函数图像
（1）指数函数
y?a
x
(a?0,a?1)
（2）对数函数
y?log
a
x
(a?0,a?1)

（当
a?e
时，y= ；当
a?10
时，y= ）
a>1时的图像

0
a>1时的图像

0
图像恒过点 ，且不与 轴相交。


图像恒过点 ，且不与 轴相交。

（3）幂函数的图像和性质
解析式

图像
y?x


y?x
2


y?x
3


y?x
?1


y?x
?2


y?x


1
2
定义域
值域
奇偶性
单调性
三、函数的性质
1、奇偶性
























（1）对于定义域内任意的x，都有
（2）对于定义域内任意的x，都有
2、单调性
设
x
1
,
x
2
?[a,b],
x
1
?
x
2
，那么
f(?x)?f(x)
，则
f(x)
为 函数，图像关于 对称；
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
为 函数，图像关于 对称；
f(
x
1
)?f(
x
2
)?0?f(x) 在
[a,b]
上是 函数；（即
f(
x
1
)? f(
x
2
)?0?f(x)在
[a,b]
上是 函数。（即
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
） x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
）
x
1
?x
2
3、周期性
对于定义域内任意的x，都有
对于定义域内任意的x，都有
四、函数的导数及其应用
1、函数
y?
函数
f(x?T)?f(x)
，则
f(x)< br>的周期为 ；
f(x?T)??f(x)(或
1
)
，则
f(x)
f(x)
的周期为 ；
f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
y?f(x)在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在点
p
（
x
0
，
f(x
0
)
）处的切线的斜率
f '(x
0
)
，相应的切线方程式是 ；
2、用导数判别单调性、单调区间、极值和最值；

（1）设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，若
f'(x)
>0，则
f(x)
为 函数，若
f'(x)
<0,则
f(x)
为 函数;
（2）求函数的极值的方法：解方程
①如果在
x
0
附近的左侧< br>②如果在
x
0
附近的左侧
3、集中常见函数的导数
f'(x)?0
,当
f'(x
0
)?0
时，
f'(x)
>0，右侧
f'(x)
<0，那么是极 值；
f'(x)
<0，右侧
f'(x)
>0，那么是极 值；
C'
= (C位常数)
(x
a
)'
=
(sinx)'
=
(cosx)'
=
(a
x
)'
=
(e
x
)'
=
(log
a
x
)'
=
(ln
x
)'
=
4、导数的运算法则
(u?v)'
=
(uv)'
=
(
u
)'
=
v
五、三角函数、三角恒等变换和解三角形
1、三角函数
（1）、三角函数值在各象限的符号
sina

cosa

tana


（记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦）
（2）、同三角函数的基本关系
平方关系：
sin
2
a?cos
2
a
= 商数关系：
tana
=
（3）、特殊角的三角函数值表
a的角度
a的弧度
sina
0
o



30
o



45
o



60
o



90
o



120
o

135
o

150
o

180
o









270
o

360
o

cosa
tana






















(4)、三角函数的诱导公式（
k?z
）
2
?
)
=
cos(a?kg2
?
)
= 公式一：
sin(a?kg
2
?
)
=
tan(a?kg
公式二：
sin(
?
?a)
=
cos(
?
?a)
=
tan(
?
?a)
=
公式三：
sin(?a)
=
cos(?a)
=
tan(?a)
=
公式四：
sin(
?
公式五：
sin(
?a)
=
cos(
?
?a)
=
tan(
?
?a)
=
?
2
?a)
=
cos(?a)
=
2
?
公式六：
sin(
?
a)
=
cos(
?
a)
=
22
?< br>（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇偶指的奇偶数倍，变与不变指三角函数名称的变化，
2
若变则是正弦变余弦，正切变余切；符号是根据角的范围以及三角函数在四个象限的正负来判断
新三角函数的符号（无论a是多大的角，都将a看成锐角））
（5）、三角函数的图像与性质
函数

图像
?
?
y?sinx


y?cosx


y?tanx


定义域
值域
递增区间
递减区间
奇偶性
最小正周期
对称性

最值



（6）、函数
y?
①五点作图法
Asin(
?
x?
?
)

x?
?
x?
?

0


?

2


?



3
?

2


2
?



x

y?Asin(
?
x?
?
)

②
y?As in(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的性质
值域

周期性



奇偶性 单调性

对称性

定义域

③由
y?sinx
的图像得到
y?
方法途径一：
Asin(
?
x?
?
)
的图像的过程
y?sinx
图像上各点向左或向右平移
?
个单位，得到 ，图像各点横坐标伸长或
缩短到原来的
1
，纵坐标不变，得到 ，图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A
?
倍，横坐标不变，得到 ；
方法途径二：
y?sinx
图像各点横坐标伸长或缩短到原来的
1
，纵坐标不变，得到 ，图像
?
上各点向左或向右平移
?
个单位，得到 ，图像各点纵坐标伸长或缩短到原来
?
的A倍，横坐标不变，得到 ；
2、三角恒等变换
（7）、两角和与差的正弦、余弦和正切
（异名同号）S
(
?
?
?
)
:sin(
?
?
?
)
=
S
(
?
?
?
)
:sin(
?
?
?
)
=
（同名异号）
C
(
?
?
?
)
:cos(< br>?
?
?
)
=
C(
?
?
?
)
:cos(
?
?
?
)
=
T
(
?
?
?< br>)
:tan(
?
?
?
)
=
T
(
?
?
?
)
:tan(
?
?< br>?
)
=
（8）、二倍角公式

S
2
?
:sin2
?
=
C
2
?
:cos2
?
= = =
T
2
?
:tan2
?
=
（9）、辅助角公式
asinx?bcosx?

a
2
?b
2
(
ab
sinx?cosx)

2222
a?ba?b
?a
2
?b
2
(sinxc os
?
?cosxsin
?
)

b
?a
2
?b
2
sin(x?
?
)(tan
?
?)
a
3、解三角形
（10）、正弦定理： = = =2R (R为三角形的外接圆半径)
用角表示边：a= ，b= ，c= 。
（11）、余弦定理：
a
2
= ，
b
2
= ，
c
2
=
求角：
cosA
= ,
cosB
= ,
cosC
=
(12)、三角形面积公式：
S
V
= = =
六、平面向量
1、平面向量的坐标运算
（1）、设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y2
)
,则
AB
= ；
uuu ur
r
r
r
r
r
（2）、设
a?(x
1< br>,
y
1
),b?(x
2
,
y
2
)< br>，则
a
= ，
b
= ，
?
a
= ；
r
r
r
r
r
r
a?
b
= ，
a?
b
= ，
ag
b
= ；
2、两向量的夹角公式
r
r
设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,
y
2
)
，则< br>cos
?
= = ；
3、向量的平行于垂直
r
r
r
r
（1）、若
a
与
b
平行
?
b=
?
a
?

r
r
r
r
（2）、若
a
与
b
垂直
?
ag
b
?0
?

七、数列
1、数列的通项
a
n
与前n项和
S
n
的关系：

?
S
1
(n?1)
；（数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
?a
1
?a
2
?? ???a
n
）
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
2、等差数列
（1）、定义：若数列
{a
n
}满足a
n?1
?a
n
?d(常数),则{an
}
称等差数列；
（2）、等差数列通项公式：
a
n
?
，其中首项是 ，公差是 ；
（3）、等差数列前n项和公式：
S
n
?a
1
?a
2
?????a
n
= = ；
（4）、等差中项： A是
a
、
b
的等差中项，则有等式 ；
（5）、首尾项性质：若
{a
n
}
是等差数列，则 ；
（6）、若
{a
n
}
是等差数列，
p
、
q
、
r
、
s
为正整数，且
p?q?r?s,
，则 ；
3、等比数列
（1）、定义若数列
{a
n
}满足
a< br>n?1
?q
（常数），则
{a
n
}
称等比数列；
a
n
（2）、等比数列通项公式：
a
n
?
(n
?
N+)，其中首项是 ，公比是 ；
?
（3 ）、等比数列前n项和公式：
S
n
?a
1
?a
2
? ????a
n
=
?
；
?
（4）、等比中项： G称
a
、
b
的等比中项，则有等式 ；
（5）、首尾项性质：若
{a
n
}
是等比数列，则 ；
（6）、若
{a
n
}
是等比数列，
p
、
q
、
r
、
s
为正整数，且
p?q?r?s,
，则 ；
八、不等式
1、已知a，b都是正数，则有
a?b
?ab
，当a=b时，等号成立；
2
（1）、若积ab是定值m，则当a=b时，和a+b有最小值 ；
（2）、若和a+b是定值n，则当a=b时，积ab有最大值 ；
九、复数
1、
i
2
=
i
4k
=
i
4k?1
= （
k?z
）
2、复数
z?a?bi(a,b?R)
，a为 ，b为 ；
（1）、当 时，z是实数；
（2）、当 时，z是虚数；
（3）、当 时，z是纯虚数；

（4）、当 时，z是非纯虚数；
3、复数相等的条件及应用
（1）、
a?bi?c?di?
；
（2）、
a?bi?0?
；
4复数的模：
z?a?bi(a,b?R)
，则
z
= ；
5、复数代数形式的四则运算
（1）、复数的加法：（a+bi）（c+di）+= ；
（2）、复数的减法：（a+bi）（c+di）-= ；
?
（3）、复数的乘法：（a+bi）（c+di）= ；
?
（4）、复数的除法：（a+bi）（c+di）= ；
6、共轭复数：复数
z?a?bi(a,b?R)
的共轭复数为
z
= ；
十、统计概率
1、平均数：
x
= ；
2、样本方差：
S
2
= ；
3、样本标准差：
S
= ；
十一、解析几何
1、直线与方程
（1）、直线的斜率：
k?
y
2
?y
1
?tan
?
（
?
为直线的倾斜 角）；
x
2
?x
1
（2）、直线的五种方程：
①斜截式： （b为直线L在y轴上的截距）；
②点斜式： （直线L过点
(x
0
,y
0
)
，且斜率为k）；
③两点式： （
p
1
(x
1
,y
1
),p
2
(x
2
,y
2
),x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）；
④截距式： （a，b分别为直线L的横、纵截距，
a,b?0
）；
⑤一般式： （其中A,B不同时为0）。
（3）、两条直线的平行与垂直
直线
l
1< br>:y=k
1
x?b
1
,l
2
:y=k
2x?b
2
；
①若
l
1
与l
2
平行
?
；

②若
l
1
与l
2
垂直
?
。
（4）、距离计算
①点到点的距离公式： （两点为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
）
②点到直线的距离公式： （点
p(x
0
,y
0
)
，直线
l:Ax?By?C ?0
）
③平行直线间距离公式： （直线< br>l
1
:Ax?By?C
1
?0
和直线
l
2< br>:Ax?By?C
2
?0
）
2、圆与方程
（1）、圆的一般方程： 圆心为 ，半径为 ；
（2）、圆的标准方程： 圆心为 ，半径为 ；
3、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种：
（1）、d>0
?
相离
?
V
0
（2）、d=0
?
相切
?
V
0
（3）、d<0
?
相交
?
V
0
4、椭圆
定义

图形



标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a,b,c的关系

5、双曲线
定义

图形



方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
实轴虚轴
离心率
a,b,c的关系
渐近线
6、抛物线
标准方程

图形

























焦点
准线方程
顶点
对称轴

位置特征






















离心率
焦准距
通经长

焦参数







M(x
0
,y
0
)
的焦半径
十二、立体几何
1、常见几何体的三视图
几何体

直观图形

正视图

侧视图

俯视图
正方体





长方体





圆柱





圆锥





圆台

球


2、空间几何体的表面积与体积
名称 图形 侧面积



表面积 体积
圆柱


圆锥


球


3、直线、平面位置关系（立体几何常用定理和方法）
一 、平行问题
1．共面问题证法：先确定一个平面，证明其余各条直线都在这个平面内．
2．线线平行的证明方法；
（1）用平面几何的定理：① 垂直于同一直线的两条直线平行；②平行四边形；③中位线定理；
④ 比例线段；（完成配图） a∥
?
?
∥
?
??
a∥c
?
a??
?
??
（2）（3）；；（5）
?a∥b
?
?r?a
?
?a∥b
；
?
?a∥b
（4）
?
??
??
?a∥b
．
b∥c
?
b?
?
?
?
?
?
?b
?
?
?r?b
?
??
3．线面平行的证明方法；
（1）用定义，证明直线和平面没有公共点（常体现在反证法中）；

a∥b< br>?
?
∥
?
?
（2）
b?
?
?
； （3）
?a∥
?
?
?a∥
?
．
?
a?< br>?
?
a?
?
?
?
4．面面平行的证明方法；
（1）用定义，证明两个平面没有公共点（常体现在反证法中）；
a?
?
, a∥
?
?
a?
?
?
?
（2）
b?
?
,b∥
?
?
?
?
∥
?
； （3）
?
?
?
∥
?
．
a?
?
?
a?b?P
?
?
二 垂直问题
1．线线垂直
（1）平面几何的方法
① 两线相交夹角为
90?
； ② 勾股定理；③ 等腰三角形三线合一；⑥ 矩形的四个角都是直角；
④ 两条平行线同垂直于一条直线；⑤ 菱形的对角线互相垂直；⑦ 直径对的圆周
90?
角；
⑧ 垂径定理；⑨ 圆的切线垂直于过切点的半径 a?b
?
a?
?
?
?a?b
，（平行不变）；（3）< br>??
?a?b
； （4）三垂线定理（逆定理）
b∥c
?
b?
?
?
（2）
2．线面垂直
（1）用定义，证明直线与平面内的所有直线都垂直（常体现在反证法中）；
a?b,a?c
?
a?
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?b
?
?
?a?
?
（2）
b?
?
,c?
?
?
?a?
?
； （3）； （4）
??
?a?
?
．
?
∥
?
?
a?
?
,a?b
?
b?c?P
?
?
3．面面垂直
（1）用定义，证明平面角是
90?
；
（2）
a?
?< br>?
?
∥
?
?
?
?
?
?
； （3）
??
?
?
?
?
．
a?
?
?
?
?
?
?
十三、极坐标与参数方程
1、极坐标
?
x
2
?y
2
?
?
2
?
??
x?
?
cos
?

?
?
y

?
?
y?
?
sin?
?
tan
?
?
x
?

2、参数 方程
?
?
x?
（1）、直线的参数方程：
?
（
(x
0
,y
0
)
为定点，
?
为倾斜角）
y?
?
?
?
?
x?
（2）、圆的参数方程：
?
（（a,b）为圆心，r为半径）
?
?< br>y?
?
?
x?
（3）、椭圆的参数方程：
?
（a为长半轴，b为短半轴）
y?
?
?