高中数学概念和公式

集合及运算的概念
集合:一般的，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合。
子集:对于两个集 合A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的
元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集，记作A?B
读作A包含于B
空集:不含任何元素的集合叫做空集。记为Φ
集合的三要素:确定性、互异性、无序性
集合的表示方法:列举法、描述法、视图法、区间法
集合的分类:(按集合中元素个数多少分为:)有限集、无限集、空集
常见数集
全体非负整数(或自然数)组成的集合
或所有正整数组成的集合
全体整数组成的集合
全体有理数组成的集合
全体实数组成的集合
关系:元素属于集合:a∈A
集合与集合:A?B，A=B
运算:交集:由属于集 合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A
与集合B的交集。记作A∩B

< br>并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B
的并集
记作A∪B
补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，记为CuA
运算的基本性质
集合的运算性质
(1)A∩B=B∩A;A∩B?A;A∩B?B;A∩U=A;A∩A=A;A∩φ=φ;
(2)A∪B=BUA; A?A∪B; B?A∪B;A∪U=U;A∪A=A;A∪φ=A
(3)Cu(CuA)=A;Cuφ=U;CuU=φ;A∩CuA=φ;A∪CuA=U (摩根定律或反演
律);
(4)A?B，B?A，则A=B，A?B，B?C，则A?C
常用结论
(1) A?B<=>A∩B=A;A?B<=>A∪B=B; A∪B=A∩B<=>A=B
(2) CuA∩CuB=Cu(A∪B)，CuA∪CuB=Cu(A∩B)--德摩根律
折叠编辑本段有关公式
折叠抛物线
折叠三角函数
两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB- sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)(cotB-cotA)
倍角公式
tan2α=2tanα(1-tan^2(α)) sin2α=2sinαcosα
co s2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
sinα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α +2π*(n-1)n]=
0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n) +cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)
n]=0 及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
·万能公式:
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2)

cos(A2)=√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
cot(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
cosA+cosB=2cos((A+B)2)cos((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n^2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2 +4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理
b^2=a^2+c^2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
乘法与因式分解
a^2-b^2=(a+b)(a-b) ,
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ,a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√(b2-4ac)2a
根与系数的关系 x1+x2=-ba x1*x2=ca 注:韦达定理
判别式 b2-4ac=0 注:方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根
公式分类 公式表达式
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积 S=12(c+c')h'

圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r
锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式 V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周长=(长+宽)×2
正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积
已知三角形底a，高h，则S=ah2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公
式)(p=(a+b+c)2)
和:(a+b+c)*(a+b-c)*14
已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC2
设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r2
设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r
则三角形面积=abc4r
已知三角形三边a、b、c,则S= √{14[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)2)^2]} (三斜
求积南宋秦九韶)
| a b 1 |
S△=12 * | c d 1 |
| e f 1 |
| a b 1 |
| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d),
C(e,f),这里ABC
| e f 1 |
选区取最好按逆时针顺序从右上角 开始取，因为这样取得出的结果一般都为
正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要 取绝对值就可以
了，不会影响三角形面积的大小!
秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb- Mc)]3
其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
(长×宽+长×高+宽×高)×2
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体(正方体、圆柱体)
的体积=底面积×高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a-边长 C=4a

S=a2
长方形 a和b-边长 C=2(a+b)
S=ab
三角形 a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=(a+b+c)2 S=ah2
=ab2?sinC
=[s(s-a)(s-b)(s-c)]12
=a2sinBsinC(2sinA)
折叠编辑本段有关定理
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行或垂直，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角
所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边
的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂
直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，
那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个
图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即
a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，
那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对
角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条
对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被
对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，
那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那
么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
l=(a+b)÷2 s=l×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果ab=cd,那么(a±b)b=(c±d)d
85 (3)等比性质 如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)(b+d+…+n)=ab

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对
应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构
成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比
都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的
余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等
的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，
所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦
心距中有一组量相 等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直
径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对
角
121①直线l和⊙o相交 d②直线l和⊙o相切 d=r
③直线l和⊙o相离 d>r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两
条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d>r+r ②两圆外切 d=r+r
③两圆相交 r-rr)
④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含dr)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外
切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角
形
141正n边形的面积sn=pnrn2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a²4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式:l=nπr180
145扇形面积公式:s扇形=nπr2360=lr2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(r+r)
147等腰三角形的两个底角相等
148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 三线
合一

149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 等边对
等角
150三条边都相等的三角形叫做等边三角形
折叠编辑本段函数知识点
折叠函数
1.函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那
么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x)，x∈A.其中，x叫
做自变量，x的取值范 围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数
值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的
定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则 运算结合而成的。那么，它的定义
域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.。
折叠函数性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数

设函 数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两
个自变量x1，x2，当x 1增函数.区间D称为y=f (x)的单调增区间.。
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调 减
区间。
注意:函数的单调性是函数的局部性质。
图象的特点
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区
间上具有(严格的)单调 性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函
数的图象从左到右是下降的。
函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性

复合函 数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，
其规律:同 增异减。
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间
和在一起写成其并集。