高中数学集合习题及详解

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高中数学集合习题及详解

一、选择题 < br>1．(09·全国Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则?
U
(M∪
N)＝( )
A．{5,7}
[答案] C
[解析] M∪N＝{1,3,5,6,7}，
∴?
U
(M∪N)＝{2,4,8}，故选C.
2．(2010·烟台二中 )已知集合M＝{y|y＝x
2
}，N＝{y|y
2
＝x，x≥0}，则M∩ N＝( )
A．{(0,0)，(1,1)}
C．[0，＋∞)
[答案] C
[解析] M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.
[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y
2
＝x与y＝ x
2
的交
点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N的代表元素是什么以确 定集合M∩N
中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A.
k1k1
3．设集合P＝{x|x＝＋，k∈Z}，Q＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
3663
A．P＝Q
C．P
?
Q
[答案] B
k12k＋1k1k＋21
[解析] P：x＝＋＝，k∈Z；Q：x ＝＋＝，k∈Z，从而P表示的奇数
3666366
1
倍数组成的集合，而Q表示的所 有整数倍数组成的集合，故P
?
Q.选B.
6
[点评] 函数值域构成的集 合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，
可将两集合中的元素找出它们共同的表达形 式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．
4．(文)满足M
{a
1
，a< br>2
，a
3
，a
4
}，且M∩{a
1
，a2
，a
3
}＝{a
1
，a
2
}的集合M的个数 是( )
A．1
[答案] B
[解析] 集合M必须含有元素a1
，a
2
，并且不能含有元素a
3
，故M＝{a
1，a
2
}或{a
1
，a
2
，
a
4}．
B．2 C．3 D．4
?








B．P
?
Q
D．P∩Q＝?







B．{0,1}
D．[0,1]








B．{2,4}
D．{1,3,5,6,7} C．{2,4,8}
1 7

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x 2
4
y2
16
(理)(2010·湖北理，2)设集合A＝{(x，y)|< br>＝1}，B＝{(x，y)|y＝3
x
}，则A∩B的子集的个数是( )
A．4
[答案] A
B．3 C．2
＋
D．1
x2y2
[解析] 结合椭圆＋＝1的图形及指数函数y＝3x
的图象可知，共有两个交点，故
416
A∩B的子集的个数为4.
5 ．(2010·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(< br>U
B)∩A＝{9}，则A＝(
?
)








B．{3,7,9}
D．{3,9}
A．{1,3}
[答案] D

C．{3,5,9}
[解析] 由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则?
U
B中无7(或5) ，即B中有7(或
5)，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.
6．(文)(2010·合肥市 )集合M＝{x|x
2
－1＝0}，集合N＝{x|x
2
－3x＋2＝0}， 全集为U，则
图中阴影部分表示的集合是( )

B．{－1}





A．{－1,1}
C．{1}
[答案] B
[解析] ∵M＝{1，－1}，N＝{1,2}，∴M∩N＝{1}，
故阴影部分表示的集合为{－1}．(理)(2010·山东省实验中学)如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示
的集合是( )
D．?

B．(?
I
B∪A)∩C
D．(A∩?
I
B)∩C






A．(?
I
A∩B)∩C
C．(A∩B)∩?
I
C
[答案] D
[解析] 阴影部分在A中，在 C中，不在B中，故在?
I
B中，因此是A、C、?
I
B的交集，
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故选D.
[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合
中，注意不在集合M中时 ，必在集合M的补集中．
7．已知钝角△
ABC的最长边长为2，其余两边长为a，b，则集合 P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示的平面图
形的面积是( )
B．4
D．4π－2










A．2
C．π－2
[答案] C
[解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a
2
＋b
2
<22
；②a＋b>2；③0π×221
集合P中的点组 成由条件①②③构成的图形，如图所示，则其面积为S＝－×2×2＝
42
π－2，故选C.

8．(文)(2010·山东滨州)集合A＝{－1,0,1}，B＝{ y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝( )
B．{1}
D．{－1,0,1}








A．{0}
C．{0,1}
[答案] B
[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，
∴A∩B＝{1}．
(理)P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3) ，n∈
R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )
B．{(－13，－23)}
D．{(－23，－13)}






A．{(1，－2)}
C．{(1，－2)}
[答案] B
[解析] α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，
?
?
m－1＝2n＋1< br> 令a＝β，得
?
?
2m＋1＝3n－2
?

?
?
m＝－12
∴
?
?
n＝－7
?

∈
∴P∩Q＝{(－13， －23)}．
9．若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤ 0，x、y
M}，则N中元素的个数为( )
D．2 C．4 B．6 A．9
[答案] C
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[解析] N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}，按x、y∈M，逐个验证得 出N.
10．(文)已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相 同，且A
∩B为空集．若n∈A时，总有2n＋2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( )
D．74 C．68 B．66 A．62
[答案] B
[解析] 若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时A∪B已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于A∩B＝?，∴4,6,8?A，此时 A∪B中将增加14个元素，∴A∪B中元素个数最多有52＋14＝66个．
(理)设⊕是R上 的一个运算，A是R的非空子集．若对任意a、b∈A，有a⊕b∈
A，则称A对运算⊕
封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
B．整数集
D．无理数集








A．自然数集
C．有理数集
[答案] C
[解析] A：自然数集对减法，除法运算不封闭，
1
如1－2＝－1?N,1÷2＝?N.
2
1
B：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝?Z.
2
C：有理数集对四则运算是封闭的．
D：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭．
如(2＋1)＋(1－2)＝2，2－2＝0，2×2＝2，2÷2＝1，
其运算结果都不属于无理数集．
二、填空题
11．(文)已知集合A＝{x|log
1
2
x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A?
B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.
[答案] 0
1
[解析] A＝{x|08
∴a≤0，∴c＝ 0.
(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A＝{0,2，a
2
} ，B＝{1，a}，若A∪
B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a
2
＝4，若a ＝4，则a
2
＝16，但16?A∪B，∴a
2
＝4，∴a＝±2，又－2?A∪B，∴a＝2.
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1
，1,2,3}的所有非空子集中任取一 个集合，
2
12．(2010·浙江萧山中学)在集合M＝{0，
1
该集合恰满足条件“对?x∈A，则∈A”的概率是________．
x
[答案]
3
31
1
[解析] 集合M的非空子集有2
5
－1＝31个 ，而满足条件“对?x∈A，则∈A”的集合
x
1111
A中的元素为1,2或，且， 2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{，2}，{1，，2}．因
2222
3
此，所求的概率为.
31
13．(文)(2010·江苏，1)设集合A＝{－1,1,3 }，B＝{a＋2，a
2
＋4}，A∩B＝{3}，则实数
a＝________.
[答案] 1
[解析] ∵A∩B＝{3}，∴3∈B，
∵a
2
＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.
(理)A＝{(x，y)|x
2
＝y
2
} B＝{(x，y)|x＝y
2
}，则A∩B＝________.
[答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析] A∩B＝错误!＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
11
14．若A＝{x|2
2
x
－1
≤}，B＝{x|log
1
x≥}，实数集R为全 集，则(?
R
A)∩B＝________.
42
16
1
[答案] {x|04
1111
－
[解析] 由2
2x
1
≤得，x≤－，由log
1
x≥得，04224< br>16
111
∴(?
R
A)∩B＝{x|x>－}∩{x|0244
三、解答题
15．设集合A＝{x|x
2< br>－3x＋2＝0}，B＝{x|x
2
＋2(a＋1)x＋(a
2
－5) ＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解析] (1)A＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
∴4＋4(a＋1)＋(a
2
－5)＝0，∴a＝－1或－3.
(2)∵A∪B＝A，∴B?A，
由Δ＝4(a＋1)
2
－4(a
2
－5)＝8(a＋3)＝0得，a＝－3.
当a＝－3时，B＝{2}，符合题意；
5 7

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当a<－3时，Δ<0，B＝?，满足题意；
当a>－3时，∵B?A，∴B＝A，
故错误!，无解．
综上知，a≤－3.
16．(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U ＝R，集合A＝{x|x
2
－x－6<0}，B＝{x|x
2
＋2
x－8>0}，C＝{x|x
2
－4ax＋3a
2
<0}，若?
U< br>(A∪B)?C，求实数a的取值范围．
[解析] A＝{x|－22}，A∪B＝{x|x<－4，或x>－2}，
?
U
(A∪B)＝ {x|－4≤x≤－2}，而C＝{x|(x－a)(x－3a)<0}
(1)当a>0时，C＝{x|a (2)当a＝0时，C＝?，不成立．
?
?
3a<－4
(3)当a<0时， C＝{x|3aU
(A∪B)?C，只需
?
?
a >－2
?

4
，即－23
4
??
综上知实数a的取值范围 是
?
－2，－
?
.
3
??
17．(文)设集合A＝ {(x，y)|y＝2x－1，x∈N
*
}，B＝{(x，y)|y＝ax
2
－ax＋a，x∈
N
*
}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠?？若存在，请求出 a的值；若不存在，说明理由．
[解析] 假设A∩B≠?，则方程组
有正整数解，消去y得，

?
?
a＋ax－ax2＝y
?
1 －2x＝y
?
?
ax
2
－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)
由Δ≥0，有(a＋2)
2
－4a(a＋1)≥0，
2323
解得－≤a≤.
33
因a为非零整数，∴a＝±1，
当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，
而x∈N
*
.故a≠－1.
当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．
故存在a＝1，使得A∩B≠?，
此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．
(理)(20 10·厦门三中)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且(a－1)Sn
＝a(a
n
－1)(a>0，n∈
N
*
)．
(1)求证数列{a
n
}是等比数列，并求a
n
；
(2)已知集合A＝{x|x
2
＋a≤(a＋1)x}，问是否存在实数a ，使得对于任意的n∈
N
*
，都有S
n
∈A？若存在，求出a的取 值范围；若不存在，说明理由．
[解析] (1)①当n＝1时，∵(a－1)S
1
＝a(a
1
－1)，∴a
1
＝a(a>0)
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②当n≥2时，由(a－1)S
n
＝a(a
n
－1)(a>0)得，
(a－1)S
n
－
1
＝a(a
n
－
1
－1 )
an
∴(a－1)a
n
＝a(a
n
－a
n－
1
)，变形得：＝a(n≥2)，
an－1
故{a
n
}是以a
1
＝a为首项，公比为a的等比数列，
∴a
n
＝a
n
.
(2)①当a≥1时，A＝{x|1≤x≤a}， S
2
＝a＋a
2
>a，∴S
2
?A，
即当a≥1时，不存在满足条件的实数a.
②0a
∵S
n
＝a＋a
2< br>＋…＋a
n
＝(1－a
n
)，
1－a
a
∴S
n
∈[a，)，
1－a
0?
?
因此 对任意的n∈N
*
，要使S
n
∈A，只需
?
a
≤1
?
?
1－a

1
，解得02
1
综上得实数
a
的取值范围是(0，]．
2
7 7