高中数学复数及其运算(第6讲)

第 6 讲 复数及其运算
【开心自测】
1.（2012安徽）复数
z
满足
(z?i)i?2?i
，则
z
=
（A）
?1?i
（B）
1?i

（C）
?1?3i
（D）
1?2i

－3+i
2.（2012新课标）复数z＝的共轭复数是
2+i
（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
3.（2012山东）若复数z满足
z(2?i)?11?7i(i
为虚数单位)，则
z
为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
【教学重难点及考点占比】
理解复数及相关概念， 掌握复数的加减运算及几何意义，会复数的加减
乘除混合运算。在高考中一般以选择题
出现。分 值5分左右。

【知识梳理】
1、复数：
（1）概念：形如
a? bi(a,b?R)
的数叫复数，其中
a,b
分别叫做它的______和_____ _.
（2）分类：设
z?a?bi(a,b?R)
，
若___ __________，z为实数；特别地，当__________________时，z为实数0； 若_____________，z为虚数；特别地，当__________________时，z为纯 虚数.
（3）相等复数：
a?bi?c?di?
________________
(a,b,c,d?R)

（4）共轭复数：
z?a?bi(a,b?R)< br>的共轭复数
z
是______________.
2、复数的几何意义： < br>（1）复数集C和复平面内的____组成的集合一一对应，复数集C和复平面内所有以______为起 点的
______组成的集合也是一一对应。
????
（2）复数的模：向量
OZ
的长度叫做复数
z?a?bi(a,b?R)
的模，记作
|z|
，则
|z|?
__________
3、向量的四则运算
设
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
，则
（1）加法：
z
1
?z
2
?_______ __________
；
（2）减法：
z
1
?z
2
?_________________
；
（3）乘法：
z
1
? z
2
?_________________
；
（4）除法：
z< br>1
?______________________
.（其中
c?di?0< br>）
z
2

1

【金题精讲】
【例1】．给出下列命题
(1)实数的共轭复数一定是实数;
(2)满足
z?i?z?i?2
的复数
z
的轨迹是椭圆;
(3)若
m?Z,i
2
??1
,则
i
m
?i
m?1
?i
m?2
?i
m?3
?0;

其中正确命题的序号是( )
A.
(1)
B.
(2)(3)
C.
(1)(3)
D.
(1)(4)

【例2】设复数
z
1
?1?i,z2
?x?2i(x?R),
若
z
1
z
2
为实数 ，则
x?
_____________


2
【例3】（2 012上海）若
1?2
i
是关于
x
的实系数方程
x?bx? c?0
的一个复数根，则（ ）
A、
b?2,c?3
B、
b?2,c??1

C、
b??2,c??1
D、
b??2,c?3


【例4】．1．设复数
z
满足< br>z?1
,且
(3?4i)?z
是纯虚数,求
z
.



?
b?R
，
a?bi?
【例5】（2012江 苏）设
a，
11?7i
（i为虚数单位），则
a?b
的值为 ．
1?2i
(1?i)
2
(3?4i)
2
【例6】已知复 数
z
满足:
z?1?3i?z,
求的值.
2z
【达标训练】
1.（2012安徽）复数
z
满足
(z?i)i?2?i
，则
z
=
（A）
?1?i
（B）
1?i

（C）
?1?3i
（D）
1?2i

－3+i
2.（2012新课标）复数z＝的共轭复数是
2+i
（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
3.（2012山东）若复数z满足
z(2?i)?11?7i(i
为虚数单位)，则
z
为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i

2

4.（2012浙江）已知i是虚数单位，则
3?i
=
1?i
b
为纯虚数”的（ ）
i
A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i
5.（2012陕西）设
a,b?R
，
i
是虚数单位，则“
ab?0
”是“复数a?
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.（2012辽宁）复数
1
?

1?i
1111
(A)
?i
(B)
?i
(C)
1?i
(D)
1?i

2222
?
2
7.（2012江西）若复数
z?1?i
（
i
为虚数单位)
z
是z的共轭复数 ， 则
z
+
z
?的虚部为
A 0 B -1 C 1 D -2
8.（2012湖南）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
?
9.（2012 湖北）.若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.
1 0.（2012广东）设
i
为虚数单位，则复数
3?4i
?

i
A.
?4?3i
B.
?4?3i
C.
4?3i
D.
4?3i

12.【2102高考福建文1】复数（2+i）
2
等于
A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i
11.（2102北京）在复平面内，复数
10i
对应的点的坐标为
3?i
5?3i
4?i
A． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1)
12（2012天津）i是虚数单位，复数=
（A）1-i （B）-1+I
（C）1+I （D）-1-i
13.（2012上海）计算：
3?i
?
（
i
为虚数单位）
1?i
14．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )
A．
z?z
B．
z?z

C．
z
为实数
20
2
?
D．
z?z
为实数
20
?
15．
(1?i)?(1?i)
的值是( )
A．
?1024
B．
1024
C．
0
D．
1024


3

16．已知
f(n)?i
n
?i
?n
(i
2
??1,n?N)
集合
?
f(n)
?
的元素个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D. 无数个
17. 如果
z?a?bi(a,b?R,且a?0)
是虚数，则
z,z,z,z,z,z?z,z
2
,z,z
2
中是
虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组.
18. 若复数
z?sin2a?i(1?cos2a)
是纯虚数,则
a
= .
19. 设
z?log
2
(m
2
?3m?3)?i? log
2
(m?3)(m?R),
若
z
对应的点在直线
x? 2y?1?0
上,则
m
的值
是 .
20. 若
z?
????
2
2
10050
,那么
z?z?1
的值是 .
1?i
232000
21. 计算
i?2i?3i???2000i?
.
22．已知
3?3 i?z?(?23i)
,那么复数
z
在平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B． 第二象限
C．第三象限 D．第四象限
23．已知< br>z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?1,则
z
1
?z
2
等于( )
A．
1
B．
2
C．
3
D．
23

24．计算
1?i
?
1?i
?
2
?
1?i
?
1?i
?
2
?
______ ________。
25．若复数
a?3i
（
a?R
，
i
为虚数单位位）是纯虚数，则实数
a
的值为___________。
1?2i


4