高中数学考试卷及解析

高中数学考试卷及解析
第Ⅰ卷
（选择题，共12分）

一、选择题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1．已知角
?
为第三象限角，且
tan
??
3
，则
sin
?
?cos
?
?

4
11
7
A．
?
B．
?
C．
55
5

D．
7

5
x
2y
2
2．已知
F
1
,F
2
分别为双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右焦点，
P
为双曲线 右支上一点，
ab
π
满足
?PF
2
F
1
?
，连接
PF
1
交
y
轴于点
Q
，若
QF
2
?2c
，则双曲线的离心率是
2
A．
2
B．
3
C．
1?2
D．
1?3


3．已知点
O
在二面角
?
?AB?
?
的棱上,点< br>P
在半平面
?
内,且
?POB?45
．若对于半平
面
?
内异于
O
的任意一点
Q
,都有
?POQ?45< br>,则二面角
?
?AB?
?
的取值范围是
A．
[0,]

π
4
B．
[,]

ππ
42
C．
[,π]

2
π
2
D．
[,π]

π
4
4 ．已知
x?R
且
x?0
，
?
?R
，则
(1 ?x?sin
?
)?(1?x?
A．
22

2
?cos
?
)
2
的最小值是
x
B．
8
C．
1?22
D．
9?42


第Ⅱ卷
（非选择题部分，共38分）

二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分.
a
6
)
展开式中
x
3
项的系数为
?12
，则
a?
▲ ；常数项是 ▲ .
2
x
π
6．在
?ABC中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
?A?，
a?7,b?5
，点
D
满
3
5．若
(x?< br>足
BD?2DC
，则边
c?
▲ ；
AD?
▲ .
7．已知直线
l
1
：
2x?y?1?0
，直线< br>l
2
：
4x?2y?a?0
，圆
C
：
x?y ?2x?0
.
若
C
上任意一点
P
到两直线
l< br>1
，
l
2
的距离之和为定值
25
，则实数
a ?
▲ .
8．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人
担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有
▲ 种不同的选法.


22
第 1 页 共 16 页

三、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
9．(本小题满分10分) 已知函数
f(x)?sin3xcosx?cos3xsinx?cos2x
．
(Ⅰ) 求
f()
的值； (Ⅱ) 求
f(x)
的单调递增区间．











π
4
x
2
?y
2
?1
的左右焦点，
A,B
是椭圆
C
上10．(本小题满分10分) 已知
F
1
,
F
2
是椭圆
C
：
2
的两点，且都在
x
轴上方，
AF
1
∥BF
2
，设
AF
2
,BF
1
的交点为
M
．
（Ⅰ）求证：
11
?
为定值；
AF
1
BF
2
（Ⅱ）求动点
M
的轨迹方程．



















第 2 页 共 16 页
(第10题图)

厚德教育高中数学答题卷
一、 选择题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分

1、___________ 2、_____________ 3、______________ 4、_____________

二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分．

5. ________，______；

7. ________________； 8. __________________；

三、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9. (本小题满分10分)































第 3 页 共 16 页
6. _________，__________；

10、(本小题满分10分)












































第 4 页 共 16 页

厚德教育高中数学参考答案

二、 选择题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分
1-4ACCD

二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分．

5.
2
，
60
； 6.
8
，
261
；
3
7.
?18
； 8.
60
；
三、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9. (本小题满分10分)
π3ππ3πππ
解
(Ⅰ) 因为
f()?sincos?cossin?cos

444442

?
2222
????0

2222

?1

π
所以
f()?1

…………………………………………………………5分
4

(Ⅱ) 因为
f(x)?sin(3x?x)?cos2x


?
π
2sin(2x?)
…………………………………………………9分
4
（化简出现在第（Ⅰ）小题中同样给4分）

πππ
?2kπ?2x+??2kπ
，
k?Z

242?
3ππ
?k
π
?x??k
π
，
k?Z

88
3ππ
?kπ, ?kπ]
，
k?Z
………………………14分
88
由正弦函数的性质得

?
解得
所以
f(x)
的单调递增区间是
[?








第 5 页 共 16 页

10．(本小题满分10分)解：
（I）证1：设直线
AF
1
所在直线的方程为
x?my?1
，
与椭圆方程联立
?
x
2
?2y
2
?2,

?
?
x?my?1,
化简可得
m
2
+2y
2
-2my?1?0

因为
A
点在
x
轴上方，
所以
y
A
M
F
1
=
m?2
?
m
2
?1
?
m
2
?2

第10题图1
? ?
B
F
2
x
O
y
A
?
所以 2m?22
?
m
2
?1
?
2
?
m?2
?
2
AF
1
?1+my
A
?0?
2
1+m
2
?m?2
?
m
2
?1
?
m?2
2
?
?

同理可得：
BF
2
?1+m2
y
B
?0?
1+m
2
??m?2
?
m
2
?1
?
m?2
2
?
?
…………4分
1m
2
?21m
2
?2
所以，
??
22 22
AF
1
BF
2
1+m?m?2
?
m?1
?
1+m??m?2
?
m?1
?
?
?
?
?
11m
2
?2m
2
?2
所以
+?+
2 222
AF
1
BF
2
1+m?m?2
?
m?1?
1+m??m?2
?
m?1
?
?
?
?
?
??
m
2
?2
?
11
?
=
+
1+m
2
?
?
m?2
?
m
2
? 1
?
?m?2
?
m
2
?1
?
?
?
??
2
??
m
2
?2
?
22
?< br>m?1
?
?
==
22
………………………………7分
22
?
2
?
1+m?
2
?
m?1
?-m
?
??
证2：如图2所示，延长
AF
1
交椭圆于
B
1
,由椭圆的对称性可知：
B
1
F
1
? BF
2
,
所以 只需证明
11
+
为定值，
AF
1
B
1
F
1
设直线
AF
1
所在直线的方程为
x?my?1
，与椭圆方程联立
?
x
2
?2y
2
?2,
22
化简可得：
?
m+2
?
y-2my?1?0

?
?
x?my?1,

第 6 页 共 16 页

所以
?
11111
?
111

+=+??
??
??
22
AF
1
B
1F
1
m?1
?
y
1
y
2
?
m ?1
y
1
y
2
y
A
M
F
1
B
1
第10题图2
B
F
2
x
?
y1
?y
2
?

?
2
2
yy
m ?1
12
m?1
1
O
?

8
?
m
2
?1
?
m?1
2
?22
………………………7分
（II）解法1：设直线
AF
2
，
BF
1
所在直线 的方程为
x?k
1
y?1
，
x?k
2
y?1

k
1
?k
2
?
x?
?
k
2
?k
1
?
x?k
1
y?1,
?
所以点的坐标为……………………………………10分
M?
?
?
x?k
2
y?1,
?
y?
2< br>?
k
2
?k
1
?
又因为
k
1
?
所以
x
A
?1my
A
?2x?1my
B?2
22
??m???m?
，
k
2
?
B

y
A
y
A
y
A
y
B
y
B
y
B
k
1
+k
2
=m?
?
1221
?
+m?=2m?2
?< br>?
?
y
A
y
B
?
y
B
y< br>A
?
??

22
m?2m?2
?
?2
?
m??
?
??
2
?
m
2
? 1
?
?m2
?
m
2
?1
?
?m
?
??
所以
k
1
+k
2
?2
?
m?2m
?
?6m
，
??
22
m?2m?2
?
=42m
2
?1

k
2
-k
1
?2
?
+
?
?
2
?
m
2
?1
?
?m
?
2
?< br>m
2
?1
?
?m
?
??
k
1
?k
2
6m3m
?
x???
?
k
2
?k
1
42m
2
?122m
2
?1
?
所以
?

21
?
y?
2
??
?
k2
?k
1
42m
2
?122m
2
?1
?
x
2
y
2
??1
?
y?0
?
……………………………………………………15分 所以
91
88


第 7 页 共 16 页

解法2：
如图3所示，设
AF
1
?d
1
,BF< br>2
?d
2
，则
MF
1
d
1
?
，
MBd
2
A
M
F
1
第10题图3
BF
2
MF
1
d
1
d
1
所以
??MF
1
??BF
1

BF
1
d1
?d
2
d
1
?d
2
又因为
BF1
?BF
2
?2a?22
,
所以
BF
1
?22?BF
2
?22?d
2

d
1
22?d
2
d
1
?BF
1
?
所以
MF
1
?
……………………………………10分
d
1
?d
2
d
1
?d
2
同理可得
MF
2
?
??
d
2
22?d
1
d
1
?d
2
??
，所以
2
MF
1
?MF< br>2
?
由(I)可知
d
1
22?d
2
d
1
?d
2
??
?
d
?
22?d
1
d
1
?d
2
?
?22?
2d
1
d
2
……………12分
d
1
?d
2
d
1d
2
11
?=
……………………………………………14分
11
d
1
?d
2
22
+
d
2
d
1
3

2
所以
MF
1
?MF
2< br>?
x
2
y
2
??1
?
y?0
?
………………………………15分 所以动点
M
的轨迹方程为
91
88

















第 8 页 共 16 页

本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.
A.

B. C. D.
2.已知集合A=｛（x，y）｜x ?+y ?≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为
A.9 B.8 C.5 D.4
3.函数f（x）=e ?-e-xx ?的图像大致为
A.


B.


C.


第 9 页 共 16 页

D.




4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=
A.4 B.3 C.2 D.0
5.双曲线
x ?a ?-y ?b ?=1（a﹥0，b﹥0）
的离心率为
A.y=±
6.在
A.4
x B.y=±
中，cos
B.
+-
=
x C.y=± D.y=±
，则其渐进线方程为

，BC=1，AC=5，则AB=
D.2
-
C.
+…+7.为计算s=1-
入
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取
先的成果 。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数
D.i=i+4
得了世界领
可以表示为

第 10 页 共 16 页

两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个 不同的数，其和等于
30的概率是
A. B. C. D.
则异面直线AD
1
与DB
1
所9.在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=1，AA
1
=
成角的余弦值为
A. B.
10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是
A. B. C. D. π
11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞） 的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）
=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=
A.-50 B.0 C.2 D.50
12.已知F
1
，F
2
是椭圆
C:
点P在过A且斜率为
为
A.. B. C. D.
=1（a>b>0）
的左、右焦点，A是C的左顶点，
的直线上，△PF
1
F
2
为等腰三角形，∠F
1
F
2
P=120°，则 C的离心率
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。
14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。
15.已知si nα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________。
16.已 知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
45°，若△SAB的面积为,则该圆锥的侧面积 为________。
，SA与圆锥底面所成角为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考 题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）记S
n为等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
1
=-7，S
1
=-15。
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求S
n
，并求S
n
的最小值。

18.（ 12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）
的折线图

第 11 页 共 16 页

为了预测该地 区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回
归模型。根据2000年至2 016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型
①：根据2010年至2016年 的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，
=-30.4+13.5t
；
=99+1 7.5t。
7）建立模型②：
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
19.（12分）设抛物线C： y?=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线
l
与C交于A，
B两点，| AB|=8。
（1）求
l
的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。



20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2
的中点。
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA- C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。
，PA=PB=PC=AC=4，O为AC

21、（12分）已经函数f（x）=e
x
-ax
2
。


第 12 页 共 16 页

（1）若a=1，证明：当x≥ 0时，f（x）≥ 1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a。



（ 二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。
22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为
数方程为，（t为参数）。
（ θ 为参数），直线
l
的参
（1）求C和
l
的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线
l
所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率。



23：[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数f（x）=5-| x+a|-| x-2|。
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥ 0的解集；
（2）若f（x）≤ 1时，求a的取值范围。
参考答案
:
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A
7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D
二、填空题
13.
y?2x
14.9 15.
?
1

2
16.
402π

三、解答题
17. (12分)
解：（1）设
{a
n
}
的公差为d，由题意得
3a
1
?3d??15
.
由
a
1
??7
得d=2.
所以
{a
n< br>}
的通项公式为
a
n
?2n?9
.
22
（ 2）由（1）得
S
n
?n?8n?(n?4)?16
.
所以当n=4时,
S
n
取得最小值,最小值为?16.
18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?
??30.4?13.5?19?226.1
(亿元).
y
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?
?99?17.5?9?256.5
(亿元).
y
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

第 13 页 共 16 页

y??30.4?13.5t
上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很
好地描述环境基础设施投资 额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额
有明显增加，2010年至2016年 的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增 长趋势,利用2010年至2016年的数据
?
?99?17.5t
可以较好地描述2 010年以后的环境基础设施投资额的建立的线性模型
y
变化趋势,因此利用模型②得到的预测 值更可靠.学.科网
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模 型①得到的
预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利
用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
解：（1）由题意得
F(1,0)
，l的方程为
y?k(x?1)(k?0)
.
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)
，
由
?
?
y?k(x?1),2
?
y?4x
2
得
kx?(2k?4)x?k?0
.
2222
2k
2
?4
.
??16k?16?0
， 故
x
1
?x
2
?
2
k
4k
2?4
所以
|AB|?|AF|?|BF|?(x
1
?1)?(x
2
?1)?
.
k
2
4k
2
?4
?8，解得
k??1
（舍去）由题设知，
k?1
.
k
2
因此l的方程为
y?x?1
.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为
(3,2)
，所以AB的垂直平分线方程为
y?2??(x?3)
，
即
y??x?5
.
设所求圆的圆心坐标为
(x
0
,y
0
)
，则 ?
y
0
??x
0
?5,
?
x
0
?3,
?
x
0
?11,
?
2
解得
?或
?

?
(y
0
?x
0
?1)
2
y??6.
y?2
?16.
?
0
?
0
?
(x
0
?1)?
?2
2222
因此所求圆的方程为
(x?3)?(y?2)?16
或
(x?11)?(y?6)?144
.
20.(12分)
解：（1）因为
AP?CP?AC?4
，
O为
AC
的中点，所以
OP?AC
，且
OP?23
. < br>连结
OB
.因为
AB?BC?
且
OB?AC
，
OB?
2
AC
，所以
△ABC
为等腰直角三角形，
2
1
AC?2
.
2
222
由
OP?OB?PB
知
PO?OB
.
由
OP?OB,OP?AC
知
PO?
平面
ABC
.
（2）如图，以
O
为坐标原点，
OB
的方向为
x
轴 正方向，建立空间直角坐标系
O?xyz
.

第 14 页 共 16 页

由已知得
O(0,0,0),B(2,0,0),A(0 ,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),
取
平面< br>PAC
的法向量
OB?(2,0,0)
.
设
M(a,2?a ,0)(0?a?2)
，则
AM?(a,4?a,0)
.
设平面
PAM
的法向量为
n?(x,y,z)
.
?
?
2y?23z?0
由
AP?n?0,AM?n?0
得
?
，可取
n?(3(a?4),3a,?a)
，
?
?
ax?(4?a )y?0
所以
cosOB,n?
23(a?4)
23(a?4)
2< br>?3a
2
?a
2
.由已知得
|cosOB,n|?
3
.
2
所以
23|a?4|
23(a?4)
2
?3 a
2
?a
2
=
3
4
.解得
a??4
（舍去），
a?
.
2
3
834343
,,?)
.又
PC?(0,2,?23)
，所以
cosPC,n?
.
333 4
3
所以
PC
与平面
PAM
所成角的正弦值为.
4
所以
n?(?
21
．（
12
分）
2?x
【解析】（
1
）当
a?1
时，
f(x)?1等价于
(x?1)e?1?0
．

?1
，则
g'(x) ??(x
2
?2x?1)e
?x
??(x?1)
2
e
?x
．

当
x?1
时，
g'(x)?0
，所以< br>g(x)
在
(0,??)
单调递减．

而
g(0)? 0
，故当
x?0
时，
g(x)?0
，即
f(x)?1
．

设函数
g(x)?(x?1)e
2?x
（
2
）设函数
h(x)?1?axe
．

2?x
f(x)
在(0,??)
只有一个零点当且仅当
h(x)
在
(0,??)
只 有一个零点．

（
i
）当
a?0
时，
h(x)?0
，
h(x)
没有零点；

?x
（
ii
）当
a?0
时，
h'(x)?ax(x?2)e
．

当
x?(0,2)
时，
h'(x)?0
；当
x?(2,??)
时，h'(x)?0
．

所以
h(x)
在
(0,2)
单调递减，在
(2,??)
单调递增．

4a
是
h(x)
在
[0,??)
的最小值．学
&
科网

2
e
e
2
①若
h(2)?0
，即
a?
，
h( x)
在
(0,??)
没有零点；

4
e
2
②若
h(2)?0
，即
a?
，
h(x)
在
(0,? ?)
只有一个零点；

4
故
h(2)?1?

第 15 页 共 16 页

e
2
③若
h(2)?0
，即
a?
，由于
h(0)?1
，所以
h(x)
在< br>(0,2)
有一个零点，

4
1
由（）知，当
x?0
时，
e
x
?x
2
，所
16a
3
1 6a
3
16a
3
1
h(4a)?1?
4a
?1?< br>2a2
?1??1??0
．

e(e)(2a)
4
a
故
h(x)
在
(2,4a)
有一个零点，因此
h(x)在
(0,??)
有两个零点．

e
2
综上，
f (x)
在
(0,??)
只有一个零点时，
a?
．

4
22
．
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]（
10
分）

以
x
2
y
2
【 解析】（
1
）曲线
C
的直角坐标方程为
??1
．

416
当
cos
?
?0
时，
l
的直角坐标 方程为
y?tan
?
?x?2?tan
?
，

当< br>cos
?
?0
时，
l
的直角坐标方程为
x?1
．

（
2
）将
l
的参数方程代入
C
的直 角坐标方程，整理得关于
t
的方程

(1?3cos
2
?< br>)t
2
?4(2cos
?
?sin
?
)t?8?0< br>．①

因为曲线
C
截直线
l
所得线段的中点
(1,2)
在
C
内，所以①有两个解，设为
t
1
，
t
2
，则
t
1
?t
2
?0
．
< br>又由①得
t
1
?t
2
??
k?tan
???2
．

4(2cos
?
?sin
?
)，故
2cos
?
?sin
?
?0
，于是直线
l
的斜率
1?3cos
2
?
23
．
[
选修< br>4-5
：不等式选讲
]
（
10
分）

?2x?4,x??1,
?
【解析】（
1
）当
a?1
时，
f(x)?
?
2,?1?x?2,

?
?2x?6,x?2 .
?
可得
f(x)?0
的解集为
{x|?2?x?3}
．< br>
（
2
）
f(x)?1
等价于
|x?a|?|x?2 |?4
．

而
|x?a|?|x?2|?|a?2|
，且当
x?2
时等号成立．故
f(x)?1
等价于
|a?2|?4
．

由
|a?2|?4
可得
a??6
或
a?2
，所 以
a
的取值范围是
(??,?6][2,??)
．




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