高中数学抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质

1．
抛物线定义
：平面内到 一定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
2．
抛物线四种标准方程的几何性质：



图形

参数p几何意义
开口方向
标 准方 程
焦 点位 置
焦 点坐 标
准 线方 程
范 围
对 称轴
顶 点坐 标
离心率
通 径
焦半径
A(x
1
,y
1
)

焦点弦长
AB

右

左 上


参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
下
x
2
??2py(p?0)

y
2
?2px(p?0)

y
2
??2px(p?0)

x
2
?2py(p?0)

X正 X负 Y正 Y负
p
(,0)

2
p
x??

2
x?0,y?R

X轴
(?
p
,0)

2
p
x?

2
p
(0,)

2
p
y??

2
y?0,x?R

Y轴
（0,0）
p
(0,?)

2
p
y?

2
y?0,x?R

Y轴
x?0,y?R

X轴
e?1

2p
AF?x
1
?
p

2
AF??x
1
?
p

2
AF?y
1
?
p

2
AF??y
1
?
p

2
(x
1
?x
2
)?p

?(x
1
?x
2
)?p

(y
1
?y
2
)?p

?(y
1
?y
2
)?p

焦点弦长
AB< br>的补充
以
AB
为直径的圆必与准线
l
相切
若
AB
的倾斜角为
?
，
AB?
2p
2
sin
?
若
AB
的倾斜角为
?
，则
AB?
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

2p

co s
2
?
p
2
2
x
1
x
2
?

y
1
y
2
??p

4
11AF?BFAB2
????

AFBFAF?BFAF?BF p
3．抛物线
y
2
?2px(p?0)
的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在
y
轴的右侧， 当
x
的值增大时，|
y
|也增大，
说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
.

(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．
(3)顶点（0，0），离心率：
e?1
，焦点
F(
2
pp
,0)
，准线
x??
，焦准距p．
22
(4) 焦点弦： 抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦
AB
，
A(x
1,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
|AB|?x
1
?x
2
?p
．
弦长| AB|=x
1
+x
2
+p,当x
1
=x
2
时，通径最短为2p。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦
AB
，
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
，焦点
F(
2
p
,0)

2
p
2
(1) 若AB是抛物线
y?2px(p?0)
的焦 点弦（过焦点的弦），且
A(x
1
,y
1
)
，
B( x
2
,y
2
)
，则：
x
1
x
2< br>?
，
4
y
1
y
2
??p
2
。
(2) 若AB是抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦，且直线AB的倾斜角为 α，则
AB?
(3) 已知直线AB是过抛物线
y?2px(p?0)
焦点F ,
2
2
2P
（α≠0）。
2
sin
?
11AF?BFAB2
????

AFBFAF?BFAF?BFp
(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相 切：1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.
○
2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，< br>○
以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式：
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)< br>是抛物线上两点，则
AB?(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2
?1?k
2
|x
1
?x
2
|?1?

6.直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
1
|y
1
?y
2
|

k
2
，消y得：
（1）当k=0时，直线
l
与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线
l
与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线
l
与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线
l
与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
l
：
y?kx?b
抛物线
① 联立方程法： < br>?
y?kx?b
?
k
2
x
2
?2(kb?p )x?b
2
?0

?
2
?
y?2px
，
(p?0)

.

设交点坐标为
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
，则有
??0< br>,以及
x
1
?x
2
,x
1
x
2，还可进一步求出
y
1
?y
2
?kx
1
?b? kx
2
?b?k(x
1
?x
2
)?2b
，
y
1
y
2
?(kx
1
?b)(kx
2
?b )?k
2
x
1
x
2
?kb(x
1
?x2
)?b
2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1 ?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1?k
2
?

a
或
AB?1?
11
?
2
2
y?y?1?(y?y)?4yy

?1?k
121212
22
kk
a
b. 中点
M(x
0
,y
0
)
,
x
0
?
② 点差法：
x
1
?x
2
y?y
2
，
y
0
?
1

22
设交点坐标为
A(x1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，代入抛物线方程，得
y
1
?2px
1
y
2
?2px
2

22
将两式相减，可得
(y< br>1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?2p(x1
?x
2
)

y
1
?y
2
2 p
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2p

y
1
?y
2
a. 在涉及斜率问题时，
k
AB
?
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
，
p，
y
0
y
1
?y
2
2p2pp
?? ?
，
x
1
?x
2
y
1
?y
2< br>2y
0
y
0
即
k
AB
?
同理 ，对于抛物线
x
2
?2py(p?0)
，若直线
l
与抛物线 相交于
A、B
两点，点
M(x
0
,y
0
)
是弦
AB
的中点，则有
k
AB
?
x
1
?x
2
2x
0
x
0
??

2p2pp
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，
且不等于零）

.

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到 一个定点和一条定直线的距离相等的所有
点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴 ，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的
1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线
y?2px
上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）
2
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
位置由P确定
【解析】 如图，抛物线的焦点为
F
?
?
p
?
,0
?
，准线是
?
2
?
Y
H
Q
N
P
M
2
p
.作PH⊥
l
于H，交y轴于Q，那么
PF?PH，
2
p
且
QH?OF?
.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
2
111
中位线，
MN?
?
OF?PQ
?
?PH?PF
.故以
222
l:x??
O
F(
p
,0)
l:x=-
p
2
X
PF为直径的圆与y轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则
分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌 握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是
大有帮助的.
【例2】 过抛物线
y?2p x
?
p?0
?
的焦点F作直线交抛物线于
A
?
x< br>1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
两点，求证：
2
y
2
=2px
（1）AB?x
1
?x
2
?p
（2）
112
??

AFBFp
【证明】（1）如图设抛物线的准线为
l
，作
AA1
?l
A
1
,BB
1
?l于B
1
，则 AF?AA
1
?x
1
?
p
，
2
Y
A
1
p
BF?BB
1
?x
2
?
.两式相 加即得：
2
A(x,y)
1
1
X
AB?x
1?x
2
?p

（2）当AB⊥x轴时，有
F
B
1
B(x,y)
2
2
l
?
AF?BF?p，
11 2
??
成立；
AFBFp
当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：
y?k
?
x?
?
?
p
?
?
.代入 抛物线方程：
2
?
.

p
22
p
??
222
k?0
k
?
x?
?< br>?2px
.化简得：
kx?p
?
k?2
?
x?
4
2
??
2
2
?
1
?

k2
∵方程（1）之二根为x
1
，x
2
，∴
x
1
?x
2
?
.
4
x
1
?x
2?p
111111
??????
pp
2

AFBFAA
1
BB
1
x?
p
x?
p
x
1x
2
?
?
x
1
?x
2
?
?< br>12
22
24
x
1
?x
2
?px
1
?x
2
?p
2
??
.
22
p
p pp
?
x
1
?x
2
?p
?
p
?< br>?
x
1
?x
2
?
?
2
424
112
??
成立.
AFBFp
?
故不论弦AB与x轴是否垂直， 恒有
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌 握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的
基本功.
【例3】证明：过抛物线
y?2 px
上一点M（x
0
，y
0
）的切线方程是：y
0
y=p（x+x
0
）
2
?y
?
?
【证明】对方程
y?2px
两边取导数：
2y?y
?
?2p，
2
p
.切线的斜率

y
k?y
?
x?x
0
?< br>pp
.由点斜式方程：
y?y
0
?
?
x?x
0
?
?y
0
y?px?px
0
?y
0
2< br>y
0
y
0
?
1
?

2
Qy
0
?2px
0
，代入（）即得：1
y
0
y=p（x+x
0
）
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏 忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不
到的收获.
2
例如：1.一动圆 的圆心在抛物线
y?8x
上，且动圆恒与直线
x?2?0
相切，则此动圆必过 定点
（ ）
A.
?
4,0
?
B.
?
2,0
?
C.
?
0,2
?
D.
?
0,?2
?

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.
2.抛物线
y?2px
的通径长为2p；
2
2
3.设抛物 线
y?2px
过焦点的弦两端分别为
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，那么：
y
1
y
2
??p

2
以下再举一例
【例4】设抛物线
y?2px
的焦点弦AB在其准 线上的射影是A
1
B
1
，证明：以A
1
B
1
为直径的圆必过
.
2

一定点
【分析】 假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A
1
B
1
=AB=2p，而A
1
B
1
与AB的距离为p，可知该圆
必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一 切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证
明.
【证明】如图设焦点两 端分别为
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，
2
那么：
y
1
y
2
??p
2
?CA
1
?CB
1
?y
1
y
2
?p.

设抛物线的准线交x轴于C，那么
CF?p.

A
1
Y1
A
??A
1
FB
1
中CF?CA
1
?CB
1
.故?A
1
FB
1
?90?
.
2
M
F
X
C
这就说明：以A
1
B
1
为直径的圆必过该抛物线的焦点.
B

1
B
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能 解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题
等）.
【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线
y=-x
2
+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
Y
A、B，则|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.3
2
D.4
2

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段
AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0 对称，∴设直线AB的方程为：
B
M
A
O
X
l?x+y=0
?
y?x?m
?x
2
?x?m?3?0
y?x?m
. 由
?
2
?
y??x?3
设方程（1）之两根为x1
，x
2
，则
x
1
?x
2
??1.
设AB的中点为M（x
0
，y
0
），则
x
0
?
?
1
?

x
1
?x
2
1
1
?
11
?
??
.代入x+y=0：y
0=.故有
M
?
?,
?
.
22
2
?< br>22
?
2
从而
m?y?x?1
.直线AB的方程为：
y?x?1
.方程（1）成为：
x?x?2?0
.解得：
，B（1，2）.
?AB?32
，选C.
x??2,1
，从而
y??1,2
，故得：A（-2，-1）

（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是 难以避免的繁杂计算，这
又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计 算量
大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
K
【例6】（11.全国 1卷.11题）抛物线
y?4x
的焦点为
F
，准线为
l
，经 过
F
且斜
2
Y
A
率
60°
M
O< br>F(1,0)
.
X
L:x=-1
=2px
Y
2

为
3
的直线与抛物线在
x
轴上方的部分相交于点
A
，AK⊥l
，垂足为
K
，则
△AKF
的面积（ ）
A．
4
B．
33
C．
43
D．
8

【解析】如图直线AF的斜率为
3
时∠AFX=60°.
△AFK为正三角形.设准线
l
交x轴于M，则
FM?p?2,
< br>且∠KFM=60°，∴
KF?4,S
?AKF
?
3
2
?4?43
.选C.
4
【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的
面积用公式
S
?
?
3
2
a
计算.
4
（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长 和面积.虽不是很
难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.
【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
x
2
y
2
C1
:
2
?
2
?1(a?0，b?0)
的左准线为
l
，左焦点和右焦点分别为
F
1
和
F
2
；抛物线
C
2
的线为
ab
l
，焦点为
F
2
；C
1
与
C
2
的一个交点为
M
，则
A．< br>?1
B．
1

F
1
F< br>2
MF
1
?
MF
1
MF
2
1

2
等于（ ）
C．
?
D．
1

2
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几 何知识又一时用不上，那么就从
最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半
焦距c，离心率为e，作
MH?l于H
，令

y
MF
1
?r
1< br>,MF
2
?r
2
.∵点M在抛物线上，
H
r
2
O
a
2
c
M(x,y)
MF
1
MF< br>1
r
1
?MH?MF
2
?r
2
,故???e
，
MHMF
2
r
2
|MF
1
|
这就是说：的实质是离心率e.
|MF
2
|
其次，
r
1< br>F
1(-c,0)
l:x=-
r
2
F
2
(c ,0)
x
|F
1
F
2
|
与离心率e有什么关系？注 意到：
|MF
1
|


.

F
1
F
2
2ce?2a
e
?
r
1
?r
2
?
?
1
?
????e
?
1 ?
?
?e?1
.
MF
1
r
1
r
1
r
1
?
e
?
这样，最后的答案就自然浮出水面了： 由于
|F
1
F
2
||MF
1
|
??
?
e?1
?
?e??1
.∴选 A..
|MF
1
||MF
2
|
（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名
同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
A
【 例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过
物线
y
2
? 8x
的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交
x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线
l;x??2
.
（Ⅱ）直线AB：
y?tan
?
?
x?2
?
抛
M
?
1
?
.

?
2
?

y
2
x?
代入（1），整理得：
y
2
tan
?
?8y?16ta n
?
?0
8
8
?
?
y
1
?y2
?
设方程（2）之二根为y
1
，y
2
，则
?
tan
?
.
?
?
y
1
?y
2< br>??16
y
1
?y
2
4
?
y???4cot
?
?
设AB中点为
M
?
x
0
,y
0
?
,则
?
0

2tan
?
2
?
x?cot
?
?y?2?4cot
?
?2
00
?< br>AB的垂直平分线方程是：
y?4cot
?
??cot
?
x? 4cot
2
?
?2
.
令y=0，则
x?4cot
2
?
?6，有P4cot
2
?
?6，0

故
FP?OP?OF?4cot
于是|FP|-|FP|cos2a=
4csc
22
??
??
?
?6?2?4
?
cot
2
?
?1
?
?4cos
2
?

?
?
1?cos2
?
?
?4csc
2
?
?2sin
2
?
?8
，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而
不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线< br>l
：（1）
l
与抛物线
y?8x
有两个不同的交点A和
.
2

B；（2）线段AB被直线
l
1< br>：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线
l
的方程. < br>【解析】假定在抛物线
y?8x
上存在这样的两点
A
?
x1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y
2
?
.则有：

2
?
y
1
2
?8 x
1
?
y
1
?y
2
?
?
8

?y?yy?y?8x?x
?k?
??????
?
2
1 21212
AB
y?8x
?
x
1
?x
2
? ?
y
1
?y
2
?
?
22
∵线段AB被直线
l
1
：x+5y-5=0垂直平分，且
k
l
1
?? ，?k
AB
?5，即
1
5
8
?5

y?y
?
12
?
8
?y
1
?y
2
?.
5
设线段AB的中点为
M
?
x
0
，y0
?
，则y
0
?
y
1
?y
2
4
?
.代入x+5y-5=0得x=1.于是：
25
AB中点为
M
?
1，
?
.故存在符合题设条件的直线，其方程为：
y?
?
4
?
?
5
?
4
?5
?
x?1
?
，即：25x?5y?21?0

5

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深， 叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规
律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发 现“无限风光在险峰”.
【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x
2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等
分点从左至右依次记为P
1
,P
2
,…,P
n-1
,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q
1
，Q
2
，…，
Q
n-1
，从而得到n-1个直角 三角形△Q
1
OP
1
, △Q
2
P
1
P
2
,…, △Q
n-1
P< br>n-1
P
n-1
,当n→∞时，这些三角形的面积
之和的极限为 .
1
【解析】∵
OA?1，?图中每个直角三角形的底边长均为

n
k
2
?
k
?
2
0
?
. 代入y??x?1：y?1?
2
.
设OA上第k个分点为
P
k?
，
n
?
n
?
第k个三角形的面积为：
ak
?
11
?
k
?
?
?
1?
2
?
.

2n
?
n
?
2
22
??
?
n?1
??
4n?1
?
1?2?
L
?n?1
??
1

?S
n?1
?
. ?
?
n?1
?
?
?
?
22
2n
?
n12n
?
??
故这些三角形的面积之和的极限
S?lim
n??
?
n?1
??
4n?1
?
?
12n
2
11
?
1
?
1
??
lim
?
1?
??
4?
?
?

12
n??
?
n
??
n
?
3
.