高中数学运算能力及其培养方法

高中数学运算能力及其培养方法


高中数学运算能力及其培养方法


数学核心素养是指具有数学基本特征的，适应个 人终身发展和社会发
展的人的关键能力和思维品质。高中数学核心素养主要指：数学抽象、
逻辑 推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六个方面。
其中，涉及高中数学运算素养在堂培养中 需要梳理和明确的有三步，
即梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的
培养共识。
一、梳理数学运算常见错误
1 审题出错（看错）
虽然看不懂，没看全，看错字等都是造成审题出错的因素，但缺
少审题的步骤和方法也是不容忽视的主要 因素。学生通过审题解决三
个疑惑：有什么？做什么？怎么做？也就是说要数学运算正确，首先
要了解该题的基本情况和答题的基本方向，即首先是要有目标。这体
现了数学运算蕴含目标意识。
2 计算出错（算错）
不少学生对计算能力的内涵缺乏科学认识，常常将计算过程 中的
错误原因归结到非智力因素上，认为是“马虎”“粗心”“不注意”才造成

计算错误。但是失之毫厘，差之千里。他们总是只看重解题过程中的
方法和思路，对计算的具体实施，对 计算过程中的合理性、简洁性等
都没有给出足够的重视。久而久之，慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地。造成错误的主要原因虽有基础性的问题，但缺少规则（规范）
意识也是一个主要原因。这体现 了数学运算蕴含规则意识。
3 答案写错（写错）
虽计算等环节正确，但抄错 、写错答案也是使运算出错的致命环
节，造成这类错误的主要原因是身体疲劳，数字书写不规范这两个方
面。对于减少第一个错误的方法就需要强身健体（平时注意身体素质
的提升），对于减少第二个 错误的方法就需要规范字的书写，这就体
现了数学运算需要蕴含强体质意识、写规范字的意识。
4 方向出错（弄错）
如果说前三种出错是细微是偶然，那么解题方案理解出错是 方向
性错误，犹如一艘迷航的船，永远达不到目的地，这是颠覆性和毁灭
性的。造成方向性出错 的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的，如
三角函数的正弦函数=Asin（xω+φ）的振幅，有的 理解是A，有的理
解2A，这就体现了数学运算蕴含方向意识。
二、强化运算能力培养途径
1 理解概念夯实运算根基
概念教育的重要性不言 而喻，并且现行高中教学改革和教学考试
考查中对于概念的理解和把握越越引起广泛的重视。根深之树不 易
折，泉深之水不会涸。准确理解概念是取得数学运算成功的重要根基，

而学生 许多错误的原因主要是概念理解出错，或者概念理解不全。因
此，在堂上就需要把概念讲清讲透，通过举 一反三，强化学生对概念
的理解。如在201年浙江理高考试题第7题：存在函数f（x）满足，
对任意x∈R都有（ ）
A f（sin2x）=sin（x） B f（sin2x）=x2+x
f（x2+1）=|x+1| D f（x2+2x）=|x+1|
这个试题的考查就是需要在堂上落实函数概念教学，这样的考查
应该说使考试更具有公平性，给教师和学生一个公平的机会，如果堂
上能准确落实概念教学的教 师，那么学生就多了一份可能和胜算。
2 错错得正巩固运算经验
数学运算中 有“负负得正”的运算律，对于学生运算发生错误，教
师也要有这样的一种心态，要给学生产生错误的机 会，让学生知道出
错了，也能知道发生错误的原因，实践出真知，通过一次次的出错，
让学生慢 慢得出正确的运算方法和ɹ算结论。正如陆游的一首
教子诗：“纸上得终觉浅，绝知此事要躬 行。”
3 优化策略指明运算方向
运算策略是取得运算成功的重要条，好比作 战中的参谋部，可以
为运算提供最直接、最有效的运算方向和运算步骤，其重要性不言而
喻。如 分类讨论虽然是一种很好的数学思想方法，但若能合理避免分
类讨论那就是一种更高的境界；从哲学辩证 的角度如果能注意克服动
辄加以分类讨论的思维定势，并能充分挖掘数学问题中潜在的特殊性
和 单一性，尽力打破常规，对应该讨论的正确讨论，对不必讨论的问

题能避免分类讨论，就 可以很大程度上优化学生的思维品质。这就是
分类讨论的一个基本要求：“用之有度、避之有法”。下面 举“消除参
数，避免讨论”一例进行说明：对于含参问题若能有效回避参数，运
用正难则反、等 价转化等手段可以使问题的解决与参数的讨论无关，
避开对参数的繁琐讨论。
例：已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤的x的最大值为3，求p的
值。
分析：本题的第一感觉是去绝对值讨论不等式组的解的最大值，
显然去绝对值和后面的分类讨论过程都相 当繁琐，计算复杂。不妨回
避讨论：由不等式的最大值为3，知道整数“3”是不等式解的一个端点值这一重要信息，利用不等式的性质可把参数问题具体化。
解析：由已知不等式的性质知“3”是不等式解的一个端点值。
“3”是方程|x2-4x+p|+|x-3|≤的一个解，带入得p=8或p=-2，
当p=8时，不等式为|x2-4x+p|+|x-3|≤的，
∵x2-4x+8>0，∴x≥3x2-4x-8+x-3≤或x<3x2-4x-8+x-3≤
2≤x≤3，满足题意
当p=-2时，不等式为|x2-4x-2|+|x-3|≤，
易知是不等式的解，故x的解肯定大于3，不满足题意，∴p=8。
4 强化计算提升运算速度
计算是数学运算不可逾越的基本功，提高计算能力首先要避免计
算上的错误，而堂又是培养 学生计算能力的重要场地，在堂上若能借
助适当的计算，特别是全员参与的限时计算或竞技计算，对于提 高学

生的计算能力和纠正计算常见错误十分有效。因为堂计算是实战计
算，是限 时计算，是比较计算，（上接第37页）与后计算有明显的区
别，若能有效运用堂计算对于提高学生的运 算水平十分有益。
一题多解提供运算通途
一题多解是提高学生运算水平和运算 能力的有效途径，在堂上若
能借助学生的思维对一些问题进行多解研讨和研究，就可以有效拓展
学生对于数学运算和数学知识的认识与理解。如关于不等式性质（同
乘性）的讲解中，若能给学生机会， 让学生讲讲不同的想法，那就会
有下面至少五种不同的方案：
例1 已知0 证明：1（巧用）因为01，>1因此有>1，
又a>0，即有a 证明2：（换 元法）不妨设b=a+，d=+n（>0，
n>0），则有bd=（a+）（b+n）=a b+n+b+na，因此有bd-a=n+b+na>0，
即有a 证明3：（传递性）因为0 证明4：（作差法）对于
a-bd=a-ad+ad-bd=a（-d）+d（a-b），
因-d<0，a-b<0，而a>0，d>0，a-bd<0，∴a 证
明：（对数法）因lga 因此有a 这样一题多解既可以加深学生
对不等式基本性质的 理解，加深对基本不等式性质的应用，也有利于
让学生体现数学知识对于解决数学运算问题中的普通性和 通用性。
三、形成数学运算培养共识
就数学而言，核心素养的内涵是核心知识 、核心能力、核心品质，
“十围之木持千钧之屋，五寸之键制阖之门”，数学运算作为数学核心
素养就是那“十围之木，五寸之键”，它是十分关键、十分重要、不可

缺少的数学素养。 数学运算的堂培养需要学校、师生形成一个通识，
从价值引领、思维启迪、品格塑造三大核心任务入手， 形成师生协力
强化堂训练，教师着力推进教法改进，学生用力促成习惯养成的培养
意识。
1 师生协力强化堂练习
堂练习是数学堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中 不可缺
少的重要环节，是学生掌握数学知识，形成技能，发展智力的重要手
段，是教师了解学生 知识掌握情况的主要途径。要培养学生的运算能
力，就要特别重视堂练习，数学运算能力提高的主阵地主 要是堂。落
ɹɹ运算能力培养的有效载体就是堂练习，堂练习正确的可
以 激发学生的兴趣，而错误的也可以适当引导，使其愈挫愈勇。当然，
堂训练不能让教师演示替代，更不能 事不关己、高高挂起，堂练习不
但要有目标，而且需要有梯度，这样数学运算能力才能真正得以提升。
2 教师着力推进教法改进
教学改进就需要超越表层的符号教学，由符号教学向深 层次的逻
辑教学和意义教学进军。而运算问题一直以都是提高数学成绩的瓶
颈，教师的堂教学方 法也不容忽视，这就需要教师不断的探索和改变
教学方法，发挥教师应有的示范性和引领性。如教师在板 书时既要讲
知识也要指导学生如何计算，教给学生基本的方法，有针对性地给一
些训练计算能力 的练习题，要求他们要心算，也要笔算，即使是草稿
也要整洁，因为草稿不是“潦草”。
3 学生用力促成习惯养成

思想上重视，行动上落实，习惯上强化，一般性的目 标一定可以
实现。数学运算能力的培养也是一样，数学运算良好意识的养成，需
要一个过程，而 形成的关键是时间，因为根据美国科学家研究表明，
一个好习惯、好意识的养成需要21天，90天的重 复会形成稳定的习
惯或意识，所以一个观念，如果被别人或自己验证两1次以上，它一
定会形成 你的信念或意识。例如采用《错题本》（堂和外结合）收集
错误问题，巩固避错经验，做到“有目标、能 坚持”，那么提升数学运
算能力和水平亦是指日可待。正所谓静待花开，芬芳自。

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