2017年高中数学联赛一二试及详解高清word版

2017年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1.设
f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意实数
x
有
f(x? 3)?f(x?4)??1
.又当
0?x?7
时，
f(x)?log
2
(9?x)
，
则
f(?100)
的值为__________.
2.若实数
x,y
满足
x
2
?2cosy?1
，则
x?cosy
的取值范围是__________.
x
2
y
2
??1
，
F
为
C
的上焦点，
A
为C
的右顶点，
P
是
C
上位3.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的方程为
:
910
于第一象限内的动点，则四边 形
OAPF
的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是
5.正三棱锥
P?ABC
中，
AB?1
，
AP?2
，过AB
的平面
?
将其体积平分，则棱
PC
与平面
?
所成角的余弦值
为__________.
6.在平面直角坐标系
xOy
中，点集
K?(x,y)x,y??1,0,1
?
.在
K
中随机取出 三个点，则这三点中存在两点之间距
离为
5
的概率为__________.
7.在
?ABC
中，
M
是边
BC
的中点，
N是线段
BM
的中点.若
?A?
小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列
?
a
n
??
,b
n
?
满足：
a
10
?b
10
?2017
，对任意正 整数
n
，有
a
n?2
?a
n?1
?a
n< br>，
?
?
3
，
?ABC
的面积为
3
， 则
AM?AN
的最
b
n?1
?2b
n
，则
a
1
?b
1
的所有可能值为__________.
二、解答题
2
9.设
k,m
为实数，不等式
x?kx?m?1
对所有< br>x?
?
a,b
?
成立.证明：
b?a?22
.














1

10.设
x
x
2
1
,x
2
,x
3
是非负实数，满足
x
1
?x
2
?x
3
?1
，求
(x
1
?3x
2
?5x
3
)(x
1
?
3
?
x
3
5
)
的最小值和最大值.















11.设复数
z0
，
Re(z
22
1
,z
2
满足
Re(z
1
)?
2
)?0，且
Re(z
1
)?Re(z
2
)?2
（其中
Re(z)
表示复数
z
的实部）.
（1）求
Re(z
1
z
2
)
的最小值；
（ 2）求
z
1
?2?z
2
?2?z
1
?z
2
的最小值.













2

2017年全国高中数学联赛A卷
二试
一.如图，在
?A BC
中，
AB?AC
，
I
为
?ABC
的内心，以< br>A
为圆心，
AB
为半径作圆
?
1
，以
I为圆心，
IB
为半
径作圆
?
2
，过点
B,I< br>的圆
?
3
与
?
1
,
?
2
分 别交于点
P,Q
（不同于点
B
）.设
IP
与
BQ< br>交于点
R
.证明：
BR?CR




















二.设数列
?
a< br>?
a
n
?n,a
n
?n,
n
?
定义 为
a
1
?1
，
a
n?1
?
?
?< br>a
n
?n,a
n
?n,




















n?1,2,?
.求满足< br>a
2017
r
?r?3
的正整数
r
的个数.
3

三.将
33?33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一， 使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不
同，则称它们的公共边为“分隔边”.试 求分隔边条数的最小值.














四.设
m,n< br>均是大于1的整数，
m?n
，
a
1
,a
2
,
?
,a
n
是
n
个不超过
m
的互不相同的正 整数，且
a
1
,a
2
,
?
,a
n
互素.
证明：对任意实数
x
，均存在一个
i(1?i?n)
，使得< br>a
i
x?
的距离.



























4
2
x
，这里
y
表示实数
y
到与它最近的整数
m(m?1)

2017年全国高中数学联赛A卷
一试答案

1.

2.
3.
4.







5

5.
6.
7.


6

8.
9.

10.


7

11.














8

2017年全国高中数学联赛A卷
二试答案
一.









9

二、












10

三.





11

四





12