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全国高中数学竞赛考试及解答
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2
1979年全国高中数学竞赛题
第一试
π
2π
1.求证:sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
2.已知:双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x-y=0,两顶点间的距离为2,
试求此双曲线
方程.
3.在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住.
4.圆的两条非直径的圆相交,求证:它们不能互相平分.
x-y+z=1,
⑴
?
?
y-z+u=2,
⑵
5.解方程组
?
z-u+v=3, ⑶
u-v+x=4,
⑷
?
?
v-x+y=5.
⑸
6.解方程:5x
2
+x-x5x
2
-1-2=0.
7.写出并证明立体几何中的“三垂线定理”.
8.设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C. 9.已知一点P(3,1)及两直线l
1
:x+2y+3=0,l
2
:x
+2y=7=0,试求通过P点且与l
1
、l
2
相切的圆
的方程.
10.已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方
形哪个最大?证明你的结论.
第二试
1.已知f(x)=x<
br>2
-6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)-f(y)≥0的点(x,y)在平面
上的什么范围内?
并画图.
2.命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形
”对吗?如果对,请证明,如
果不对,请作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形.并证明你的
作法.
ππ
3.设0<α<,0<β<,证明
22
11
≥9 .
2
+
2
cos
α
sin<
br>αsin
2
βcos
2
β
4.在单位正方形周界上任意两点间
连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,
试证这条曲线的长度不小于1.
n
5.在正整数上定义一个函数f(n)如下:当n为偶数时,f(n)=
,当n为奇数时,f(n)=n+3,
2
1° 证明:对任何一个正整数m,数列a
0
=m,a
1
=f(a
0
),…,a
n
=f(a<
br>n
-
1
),…中总有一项为1或
3.
2°
在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”?哪些
m使上述数列必然出现“1”?
6
.如图,假设两圆O
1
和O
2
交于A、B,⊙O
1
的弦BC
交⊙O
2
于E,⊙
O
2
的弦BD交⊙O
1
于F,证
明
·3·
O
2
B
D
A
F
E
O
1
C
⑴ 若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
7.某区学生若干名参加数学竞赛,每个学
生得分都是整数,总分为8250分,前三名的分数是
88、85、80,最低分是30分,得同一分数
的学生不超过3人,问至少有多少学生得分不低于60分(包
括前三名)?
4· ·
1979年全国高中数学竞赛试题解答
第一试
π
2π
1.求证:sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
π
2π
π
证明:4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=
2sinθ[-cos(π+2θ)+cos]=2sinθcos2θ+sinθ
333
=2sinθ(1-2sin
2
θ)+sinθ=3sinθ-4sin
3
θ
=sin3θ.
2.已知:双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x-y=0,两顶点间的距离为
2,试求此双曲线
方程.
解:设双曲线方程为x
2
-y
2
=λ,以(1,0)及(0,1)分别代入,得双曲线方程为x
2
-y
2
=?
1.
3.在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住.
解:以BC为直径作⊙O,则⊙O即为所求的最小圆.
首先,BC是△ABC的最长边,对于
任意直径小于BC的圆,不可能盖住BC.(若能盖住,则得
到圆的弦长大于同圆的直径,这是不可能的
)
其次,由于∠A>90?,故点A在圆内.即此圆盖住了△ABC.故证.
4.圆的两条非直径的弦相交,求证:它们不能互相平分.
证明:设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M,连OM,则由M是弦AB中点.
∴
OM⊥AB,同理OM⊥CD.于是过点M可能作OM的两条垂线,这是不可能的.故证.
x-y+z=1, ⑴
?
?
y-z+u=2,
⑵
5.解方程组
?
z-u+v=3, ⑶
u-v+x=4,
⑷
?
?
v-x+y=5. ⑸
解:五式相加:x+y+z+u+v=15.
⑴+⑵:x+u=3,⑵+⑶:y+v=5,?z=7;⑶+⑷:z+x=7,⑷+⑸:u+y=9,?
v=-1;
x=0,y=6,u=3.
即x=0,y=6,z=7,u=3,v=-1.
6.解方程:5x
2
+x-x5x
2
-1-2=0.
解:5x
2
-1≥0,?x≥
55
或x≤-.
55
101
及x≥1时,5x
2
-1=1-2x+x
2
,?2x
2
+x-1=0,?x=-1,x=.
52
(5x
2
-1)2
-1-x5x
2
-1+x=0,?(5x
2
-1-1)(5x
2
-1+1-x)=0,
?5x
2
-1=1.?x=?
∴ x=?
10
.
5
7.写出并证明立体几何中的“三垂线定理”.
证明:略(见课本)
8.设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C. 解:B=60?,
112
+=,?sin60?(sinA+sinC)=2sinAsi
nC,
sinAsinCsinB
A-CA-C
1
?2cos(A-C)-
3cos+1=0,令x=cos,得4x
2
-3x-1=0,x=1,x=- (舍)
224
·5·
∴ A=B=C=60?.
9.
已知一点P(3,1)及两直线l
1
:x+2y+3=0,l
2
:x+2y=
7=0,试求通过P点且与l
1
、l
2
相切的圆
的方程.
10
解:两直线距离==25,圆心在直线x+2y-2=0上.
1+2
2
设圆方程为(x-2+2b)
2
+(y-b)
2
=5,?(3-2+
2b)
2
+(1-b)
2
=5,?1+4b+4b
2
+1-
2b+b
2
=5,
3
?5b
2
+2b-3=0,b=-1,b=.
5
43
∴ 所求圆方程为(x-4)
2
+(y+1)
2=5;(x-)
2
+(y-)
2
=5.
55
10.已
知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方
形哪个最
大?证明你的结论.
解:此正方形有4个顶点,故必有一边在三角形的边上.
设a、b、c
边上的高分别为h
a
、h
b
、h
c
,且立于a边上正方形边
长为x,
则
h
a
-x
xah
a
2S
=,
ah
a
=(a+h
a
)x,x==.
haa+h
a
a+h
a
2S2S2S
现ah
a
=bh
b
=2S
,a>b,于是a+h
a
-(b+h
b
)=(a-b)+(-)=(a-b)
(1-)=(a-b)(1-sinC)>0.
abab
∴
a+h
a
>b+h
b
>c+h
c
.
∴
立于c边上的正方形最大.
第二试
1.已知f(x)=x
2
-6x+5,
问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)-f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内?
并画
图.
y
解:f(x)+f(y)≤0,?x
2
-6x+5+y
2<
br>-6y+5≤0,?(x-3)
2
+(y-3)
2
≤8,
表示
以(3,3)为圆心,22为半径的圆及圆内部分.
f(x)-f(y)≥0,?x
2
-6x-y
2
+6y≥0,?(x-3)
2
-(y-3)
2
≥0,?(x+y
-6)(x-y)≥0.
所求图形为阴影部分.
2.命题“一
对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边
形”对吗?如果对,请证明,如果不对,请作一四边形
,满足已知条件,
但它不是平行四边形.并证明你的作法.
证明:不对,如图,作△ABD,
及过B、A、D三点的弧,以BD为轴作此
弧的对称图形,以D为圆心,AB为半径作弧与所作对称弧有
两个不同的交点
C、C?,则四边形ABCD、ABC?D都是有一组对边相等,一组对角相等的四边<
br>形,其中有一个不是平行四边形.
ππ
3.设0<α<,0<β<,证明
22
11
≥9 .
2
+
2
cos
α
sin
αsin
2
βcos
2
β
(3,3)
O
x
C'
D
C
B
A
1114
11
证明:
2
+
2
≥
2
+
2
22
=
2
+
22
cos
α
sin
αsinβcosβ
cos
α
sin
αsin
2βcos
α
sin
α
=tan
2
α+1+4cot
2
α+4
≥5+24tan
2
αcot
2
α=9.
·6·
4.在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个
面积相等的两部分,
试证这条曲线的长度不小于1.
证明
设M
、
N是单位正方形周界上两点,曲线MN把正方形的面积两等分.
1?
若M
、
N分别在正方形的对边上(图1),于是曲线
MN≥线段MN≥1.
N'
N'
C
D
C
D
C
D
2?
若M
、
N分别在正方形的一组邻边上(图2 ).连对
N
N
E
F
角线AC,则曲线MN必与AC相交(若不相交,则曲线MN
P
P
M全部在AC的一边,它不可能平分正方形的面积),设其中
A
MA
M
BN
B
B
一个交点为P,作曲线 的PN段关于AC的对称曲线PN’,
A
图2
图3
图1
则点M
、
N’在正方形的一组对边上,而曲线MN’
的长度等
于曲线MN的长度.于是化归为情形1?.
3?若M
、
N分别在正
方形的一条边AB上(图3).连对边AD、BC的中点EF,则曲线MN必与
EF相交(理由同上),
设其中一个交点为P,作曲线 的PN段关于EF的对称曲线PN’,则点M
、
N’
在
正方形的一组对边上,而曲线MN’的长度等于曲线MN的长度.于是化归为情形1?.
综上可知,命题成立.
n
5.在正整数上定义一个函数f(n)如下:当n为偶数时,f(n)=
,当n为奇数时,f(n)=n+3,
2
1° 证明:对任何一个正整数m,数列a
0
=m,a
1
=f(a
0
),…,a
n
=f(a<
br>n
-
1
),…中总有一项为1或
3.
2°
在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”?哪些m使上述数列必然出现“1”?
a
n
a
n
+3
证明:1°,当a
n
>3时,若a
n<
br>为偶数,则a
n+1
=n
,若a
n
为奇数,则a
n+2
=n
,
22
即于是在{a
n
}中可以找出一个单调递减的子序列,由于该序列的每项都是正整数,故进行到某一
项时序列的项≤10
,此时
|
a
n
时,出现如下当a
n
=3,6,9时,出现
如下的项:9→12→6→3→6→3→…;当a
n
≤10且3
\
的项:
7→10→5→8→4→2→1;
总之,该数列中必出现1或3.
m
2°
当m为3的倍数时,若m为偶数,仍为3的倍数;若m为奇时,m+3是3的倍数,总之
2
m<
br>a
n
对于一切n∈N*,都是3的倍数,于是,上述数列中必出现3,当m不是3的倍数
时,(若m为
2
偶数)与m+3(若m为奇数)都不能是3的倍数,于是a
n
不是3的倍数,故a
n
≠3,此时数列中必出现1.
6.如图,假设两圆O
1
和O
2
交于A、B,⊙O
1
的弦BC交⊙O
2
于
E,⊙O
2
的弦BD交⊙O
1
于F,
证明
⑴
若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
D
A
C
证明:连AC、AD、AE、AF,由ADBE是圆内接四边形,得∠AEC=
∠D,同理∠C=∠AFD.从而∠DAF=∠CAF.
F
E
⑴ 若∠DB
A=∠CBA,则AD=AE,AF=AC,(同圆内,圆周角等,所
O
1
O
2
对弦等)于是,△ADF≌△AEC,?DF=CE.
·7·
B
⑵
若DF=CE,则△ADF≌△AEC,?AD=AE,?∠DBA=∠CAF.
7.某区学生若干名
参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为8250分,前三名的分数是
88、85、80,最低分
是30分,得同一分数的学生不超过3人,问至少有多少学生得分不低于60分(包
括前三名)? 解:8250-(88+85+80)=7997.(30+31+32+…+79)×3=50×109÷
2×3=8175.即从30到79分每
个分数都有3人得到时,共有8175分,
此时及格学生数为20×3+3=63人.
8175-7997=178.若减少3名及格的学生至少减去180分.故至多减去2名及格的学生.
∴ 至少63-2=61人及格.
·8·