【高中数学】二项分布及其应用

【高中数学】二项分布及其应用
一、条件概率
1. 定义：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。
记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率。
2. 事件的交(积)：由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交(或积)。
记作D=A∩B或D=AB

3. 条件概率计算公式：

P(AB)
P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间，求Ａ∩Ｂ发生的概率：

P(B|A)?
P(A)
,P(A)?0
;0?P(B|A)?1.

若P(A)?0，则P(AB)?P(B|A)?P(A)（乘法公式）

4. 公式推导过程：

P(B|A)?
在A发生的条件下B包含的样本点数在A发生的条件下样本点数



?
?
AB包含的样本点数
A包含的样本点数

AB包含的样本点数总数
A包含的样本点数总数

?

5. 解题步骤：
率.
P(AB)
P(A)

例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次 品的概
解：设 A = {第一个取到次品}，B = {第二个取到次品}
3
C
3
2
1
P(A)?

?P(AB)?
2
?
10
C15

10
所以，P(B|A) = P(AB) P(A)= 29
答：第二个又取到次品的概率为29.


二、相互独立事件
1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
说明：
(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否 对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况
下概率不变，则为相互独立.
(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.
相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.
(3)如果A、B是相互独立事件 ，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.

2. 相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概 率的积。则有：
P(A?B)?P(A)?P(B)

说明：
(1)使用时，注意使用的前提条件；

第 1 页

(2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A·B)=P(A) · P(B)是A、B相互独立的充要条件.
(3)如果事件A
1
，A
2
，…A
n
相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：
P(A
1
·A
2
·…·A
n
)=P(A
1
)·P(A
2
)·…·P(A
n
)

3. 两事件是否互为独立事件的判断与证明
P(A?B)?P(A)?P(B)
?
则称事件A、B相互独立

4. 解题步骤：
例2. 一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验， 从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个
取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球” 为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？
答：不是，因为件A发生时（即第一个取到白 球），事件B的概率P（B）=13，而当事件A不发生时（即第一个取
到的是黑球），事件B发生的概 率P（B）=23，也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不
是相互独立事件 。
证明：由题可知，P(B|A) =13，
P(B|A的补集)=23
因为 P(B|A)≠P(B|A的补集)
所以 A与B不是相互独立事件

三、独立重复试验
1. 定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2. 说明：
①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一 次试验中发生的概率都
是一样的.
②每次试验是在同样条件下进行.
③每次试验间又是相互独立的，互不影响.
3. 一般地，如果在1 次实验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率
是：
n?k

(k)?C
k
p
k
(P1?p)
nn

P
n
(k)是[(1-P)+P]
n
的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公 式.


3. 二项分布定义：
设在n次独立重复试验 中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的
概率是p，事 件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中

kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq
（其 中 k=0,1, ... ,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

由于
Cpq
k
n
kn?k
(a?b)
?
C a
?
Cab
???
Cab
???
Cb
恰好是二项展 开式
0n1n?11rn?rrn
nnnn
n
n
中的第 k+1 项，
所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p)，其中n,p为参数，并记：

第 2 页

kkn?k
C
n
pq
?B(k;n,p)

4. 解题步骤
例3. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%。现从一批产品中任意地 连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率
分布。
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)

因此，次品数ξ的概率分布是：
ξ
p

四、几何分布
1. 定义：

0
0.9025
1
0.095
2
0.0025
在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。“ξ =k”表示在第k
次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第k次实验时事件A发生记为A
k
，p( A
k
)=p，事件A不发生记为
A
k
，
P(
A
k
)=q (q=1-p)，那么：
P(
?
?k) ?P(A
1
?A
2
?A
3
???A
K?1
?A
k
)
?P(A
1
)?P(A
2
)?P(A3
)???P(A
K?1
)?P(A
k
)
k?1k?1
?(1?p)?p?q?p
（k=0,1,2…,q=1-p.）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p·q
k-1















第 3 页

题组一 条件概率
巩固练习：
1. 已知盒中装有3只螺口与7只卡 口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工
师傅每次从中任取一 只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
77
C. D.
89
31
2. 设A、B为 两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A
1 02

发生的概率为_____.
3. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼 苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的
概率为________ .
题组二 相互独立事件
111
4. (2010·抚顺模拟)国庆节放假，甲 去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间
345
没有 影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
593
A. B.
605
1
C.
2
1
D.
60
3
A.
10
2
B.
9
1
5. 如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )
2
1
A.
8
1
C.
2
1
B.
4
1
D.
16
6. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备 选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每
次考试都从备选题中随机抽出3 题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率.
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

题组三 独立重复试验
7. 位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右， 并且向上、向右移
1
动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
2
1
A．()
3

2

1
2
B．
C
5
()
5

2

1
3
C．
C
5
()
3

2

23
1
D．
C
5
C
5
()
5

2
8. 2009年12月底，一 考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是
3相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是.
4
(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；
(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．


题组四 二项分布问题
65
9. 在4次独立重复试验中事 件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概
81
率 为________.
23
10. (2010·青岛模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目 标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；
34
每人各次射击是否击中 目标，相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率.

第 4 页

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
( 3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

参考答案：
题组一 条件概率
337217
1. 解析：设 事件A为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝＝ .
101099030
7
P(AB)
30
7
在已知第1次抽 到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)＝＝＝.
P(A)39
10
答案：D
31
2．解析：由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝，
102
3
P(AB)
10
3
∴P(A)＝＝＝.
P(B|A)15
2
3
答案：
5
3．解析：设种子发芽为 事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：
P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)· P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案：0.72
题组二 相互独立事件
111234
4.解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分 别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1
345345
2343
人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.
3455
答案：B
－
5 ．解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为 事件ACB，且
－
11
A，C，B之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ，所以P(AB C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝.
28
答案：A
6．解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
13213
C
4
2
4
C
2
?C
8
C
6
C4
?C
6
P(A)＝＝.
33
3
C
10C
10
213
C
8
C
2
?C
8
14
P(B)＝＝.
3
15
C
10
(2)因为事件A、 B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
2141
P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－)(1－)＝，
31545
－－－－
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
144
P＝1－P(A·B)＝1－＝.
4545
－－
题组三 独立重复试验
7. 解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向 上，所以质点的移动方法有
C
5
种，而每一

第 5 页
2

11
2
次移动的概率都是，所以所求的概率等于
C
5
()
5
.
22
答案：B
3
8．解：(1)记“该考生正 确做出第i道题”为事件A
i
(i＝1,2,3,4)，则P(A
i
)＝，由 于每一道题能否被正确做出是相互独立的，
4
所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两 道题的概率为
P(A
1
A
2
A
3
)＝P(A1
)·P(A
2
)·P(A
3
)
3319
＝××＝.
44464
(2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，
313189
34
故P(B)＝
C
4
×()
3
×＋
C
4
× ()
4
＝.
444256
题组四 二项分布问题
656516 2
9.解析：A至少发生一次的概率为，则A的对立事件A：事件A都不发生的概率为1－＝＝()4
，所以，A在一次
8181813
21
试验中出现的概率为1－＝.
33
1
答案：
3
10．解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次 未击中目标”为事件A
1
.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．
265
故P(A
1
)＝1－P(A
1
)＝1－()
4
＝，
381
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为
65
.
81
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A
2
，“乙射击4次，恰有3 次击中目标”为事件B
2
，则
22
4－2
8
2
P (A
2
)＝
C
4
×()
2
×(1－)＝，
3327
33
4－3
27
3
P(B
2
)＝
C
4
×()
3
×(1－)＝.
4464
由于甲、乙射击相互独立，故
8271
P(A
2
B
2
)＝P(A
2
)·P(B
2
)＝×＝.
27 648
1
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
8
(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A
3
，“乙第i次射击未击中” 为事件D
i
(i＝1,2,3,4,5)，则
A
3
＝D
5
D
4
·D
3
·(D
2
D
1
)，
1
且P(D
i
)＝.
4
由于各事件相互独立，故
P(A
3
)＝P(D
5
)·P(D
4
)·P(D
3
)·P(D
2
D
1
)
1131145
＝×××(1－×)＝.
444441 024
45
所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.
1 024






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