(vip专享)【人教A版】高中数学必修一 【整套】 课时练习+单元测试卷 打包下载

2020年9月20日发(作者：寇章)

（人教A版）高中数学必修一（全册）课时练习+单
元测试卷汇总

第1课时 集合的含义

课时目标
1.通过实例了解集合的含义, 并掌握集合中元素的三个特性．
2．体会元素与集合间的“从属关系”．
3．记住常用数集的表示符号并会应用．


识记强化



1．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．
2．元素与集合关系
如果a是集合A中的元素, 就说a属于集合A, 记作“a∈A”；如果a不是A中的元素,
就说a不属于集合A, 记作“a?A”．
3．常用数集及表示符号
非负整数集( 自然数集)N；正整数集N
*
或N
＋
；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

课时作业

(时间：45分钟, 满分：90分)

一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．所有的直角三角形
B．不超过10的非负数
C．著名的艺术家
D．方程x
2
－2x－3＝0的所有实数根
答案：C
解析：A, B, D中的元素是确定的, 都能构成集合．但C中的“著名艺术家”的标准不
明确, 不满足确定性, 所以不能构成集合．故选C.
2．若集合A中只含有元素a, 则下列关系正确的是( )
A．0∈A B．a∈A
C．a?A D．a＝A
答案：B
解析：集合A中只含有元素a, 则a是集合A中的元素, 即a∈A.故选B.
3．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②2?Q；③0∈N
*
；④|－5|?N
*
.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：①π是实数, 所以π∈R正确；②2是无理数, 所以2?Q正确；③0不是正整数,
所以0∈N
*
错误；④|－5|＝5爲正整数, 所以|－5|?N
*
错误．故选B.
4．已知方程x－2015＋(y＋2016)
2
＝0的解集爲A, 则－2016与A的关系爲( )
A．∈ B．?
C．＝ D．≠
答案：A
解析：集合A＝{2015, －2016}, 故－2016∈A.
5．若a∈R, b∈R, 下面结论不一定正确的是( )
A．a＋b∈R B．a－b∈R
C．ab∈R ∈R
答案：D
解析：当a＝－1, b＝3时, ab＝－3, ab无意义, 故D不正确．
6．由a
2,
2－a,4组成一个集合A, A中含有3个元素, 则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．6 D．2
答案：C
解析：代入检验, a＝1时, a
2
＝2－a＝1, 重复, a＝±2时a
2
＝4, 重复, 故选C.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．用符号“∈”或“?”填空：
(1)若集合P由小于11的实数构成, 则23________P；
(2)若集合Q由可表示爲n
2
＋1(n∈N
*
)的实数构成, 则5________Q.
答案：(1)?；(2)∈
解析：(1)因爲23＝12>11, 所以23不在由小于11的实数构成的集合P中, 所以
23?P.
(2)因爲5＝2
2
＋1,2∈N
*
, 所以5∈Q.
6
8．已知x∈N, 且∈Z, 若x的所有取值构成集合M, 则集合M中的元素爲
x＋1
________．
答案：0,1,2,5
6
解析：因爲x∈N, 且∈Z, 所以x＋1＝1,2,3,6, 即x＝0,1,2,5, 所以集合M中的元素
x＋1

是0,1,2,5.
9．以方 程x
2
－5x＋6＝0和方程x
2
－x－2＝0的解爲元素构成集合M, 则M中元素个数
爲________．
答案：3
解析：x
2
－5x＋6＝0, ∴x＝2或x＝3.x
2
－x－2＝0, ∴x＝2或x＝－1, x＝2重复, 所以构
成集合M的元素爲－1,2,3共3个．
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)由实数x2,1,0, x可以构成含三个元素的集合, 求实数x的值．
解：若x2＝0, 则x＝0.
此时集合中只有两个元素：0,1, 不符合题意．
若x2＝1, 则x＝±1.
当x＝1时, 集合中只有两个元素：0,1, 不符合题意；
当x＝－1时, 集合中有三个元素：1,0, －1, 符合题意．
若x2＝x, 则x＝0或x＝1, 都不符合题意．
综上, x＝－1.
11．(13分)判断下列说法是否正确, 并说明理由。
31
(1)1,0.5, , 组成的集合含有四个元素；
22
2
(2)方程x＋2x＋1＝0的解集中有两个元素；
(3)组成单词china的字母组成一个集合．
1
解：(1)不正确．对于一个集合, 它的元素必须是互异的, 由于0.5＝, 在這个集合中只
2
能作爲一个元素, 故這个集合含有三个元素．
(2)不正确．因爲方程虽有两个相等的实根, 但其解集中只有一个元素－1.
(3)正确．因爲组成单词china的字母是确定的．
能力提升
1
12．(5分)集合A是由形如m＋3n(其中m, n∈Z)的数组成, 判断是不是集合A
2－ 3
中的元素．
2＋ 3
1
解：因爲＝＝2＋ 3, 2＋ 3＝2＋ 3×1, 由2,1∈Z, 所以2
2－ 3?2－ 3??2＋ 3?
1
＋ 3∈A, 即∈A.
2－ 3
1
所以是集合A中的元素．
2－ 3
13．(15分)已知集合A中的元素有a－2,2a
2
＋5a,10, 且－3在A中, 求a的值．
解：因爲－3在A中, 所以a－2＝－3, 或2a
2
＋5a＝－3.
3
所以a＝－1或a＝－.
2
3
当a＝－1时, a－2＝－3且2a
2
＋5a＝－3, 与集合中元素的互异性相矛盾, 所以a＝－.
2


第2课时 集合的表示

课时目标
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．


识记强化



1．列举法表示集合
把集合的元素一一列举出来, 并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举
法．
2．描述法表示集合
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称爲描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示這个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, 再
画一条竖线, 在竖线后写出這个集合中元素所具有的共同特征．

课时作业

(时间：45分钟, 满分：90分)

一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．用列举法表示集合{x|x
2
－3x＋2＝0}爲( )
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x
2
－3x＋2＝0}
答案：C
2．已知x∈N, 则方程x
2
＋x－2＝0的解集爲( )
A．{x|x＝2}
B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1}
D．{1, －2}
答案：C
解析：方程x
2
＋x－2＝0的解爲x＝1或x＝－2.由于x∈N, 所以x＝－2舍去．故选C.
3．设集合A＝{1,2,3}, B＝{4,5}, M＝{x|x＝a＋b, a∈A, b∈B}, 则集合M中的元素个数
爲( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：B
4．若A＝{1,2}, 则可用列举法将集合{(x, y)|x∈A, y∈A}表示爲( )
A．{(1,2)}
B．{1,2}
C．{(1,2), (2,1)}
D．{(1,2), (2,2), (1,1), (2,1)}
答案：D
解析：因爲集合{(x, y)|x∈A, y∈A}是点集或数对构成的集合, 其中x, y均属于集合A,
所以用列举法可表示爲{(1,2), (2,2), (1,1), (2,1)}．
a|b|c|abc|
5．设a、b、c爲非零实数, 则x＝＋＋＋的所有值组成的集合爲( )
|a|b|c|abc
A．{4} B．{－4}
C．{0} D．{0, －4,4}
答案：D
解析：当a＞0, b＞0, c＞0时, x＝4；当a＜0, b＜0, c＜0时, x＝－4, 其它情况时x＝0.
故选D.
6．给出下列说法：
①实数集可以表示爲{R}；
?
11
?
②方程2x－1＋|2y＋ 1|＝0的解集是
?
－
2
，
2
?
；
??
??
?
x＋y＝3
?
x＝1
③方程组
?
的 解集是{(x, y)|
?
}；
?
x－y＝－1
?
y＝2
??
④集合M＝{y|y＝x2＋1, x∈R}与集合N＝{(x, y)|y＝x
2
＋1, x∈R}表示同一个集合．
其中说法正确的个数爲( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
11
解析：实数集就是R, 所以①错误；方程2x－1＋|2y＋1|＝0的解爲x＝, y＝－, 用
22
1
x＝
??
2
?
x＋y＝3?
x＝1
?
集合表示爲{(x, y)|}, 所以②错误；方程组的解爲
?
, 用集合表
1
?
x－y＝－1
?
y＝2
??
y＝－
2

?
?
?

?
?
x＝1
示爲{(x, y)|
?
}, 所以③正确；y＝x2＋1≥1, 集合M表示大于等于1的实数集合, N中的
?
y＝2
?

元素(x, y)表示抛物线y＝x2＋1上的点, 它们不是同一个集合, 所以④错误．故选B.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．集合{(x, y)|2x＋3y＝12, x∈N, y∈N
*
}, 用列举法表示爲________．
答案：{(0,4), (3,2)}
解析：当x＝0时, y＝4；当x＝3时, y＝2.
8．集合{1, 2, 3, 2, 5, …}用描述法表示爲________．
答案：{x|x＝n, n∈N
*
}
解析：注意到集合中的元素的特征爲n, 且n∈N
*
, 所以用描述法可表示爲{x|x＝n, n
∈N
*
}．
9．对于集合A＝{2,4,6}, 若a∈A, 则6－a∈A, 那么实数a的值是________．
答案：2或4
解析：需对a的值分类讨论．当a＝2时, 6－a＝4∈A, 则a＝2符合题意；当a＝4时, 6
－a＝2∈A, 则a＝4符合题意；当a＝6时, 6－a＝0?A, 则a＝6不合题意, 所以a＝2或a＝
4.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)用适当的方法表示下列集合：
(1)小于10的所有正偶数构成的集合；
(2)一次函数y＝4－3x, 当自变量取正整数时, 因变量构成的集合；
(3)第一、三象限的所有点构成的集合．
解：(1)设集合爲A, 因爲10以内的正偶数只有2,4,6,8, 所以用列举法表示爲A＝
{2,4,6,8}．
(2)设集合爲B, 元素爲y, 用描述法表示爲B＝{y|y＝4－3x, x∈N
*
}．
(3)设集合爲C, 元素爲(x, y), 用描述法表示爲C＝{(x, y)|xy>0, x∈R, y∈R}．
11．(13分)已知集合A＝{x∈R|mx
2
－2x＋3＝0, m∈R}, 若A中元素至多只有一个, 求m
的取值范围．
3
解：①当m＝0时, 原方程爲－2x＋3＝0, x＝, 符合题意．
2
1
②当m≠0时, 方程mx
2
－2x＋3＝0爲一元二次方程, 由Δ＝4－12m≤0, 得m≥, 即当
3
1
m≥时, 方程mx
2
－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根, 符合题意．由①、②知m＝0
3
1
或m≥.
3
能力提升
12．(5分)已知集合A＝{x|x＝2k, k∈Z}, B＝{x|x＝2k＋1, k∈Z}, C＝{x|x＝4k＋1, k∈Z},
又a∈A, b∈B则一定有( )
A．(a＋b)∈A
B．(a＋b)∈B
C．(a＋b)∈C
D．a＋b不属于A, B, C中任何一个
答案：B
解析：设a＝2k
1
, b＝2k
2
＋1, k
1
, k
2
∈Z, 则a＋b＝2(k
1
＋k
2
)＋1, 且k
1
＋k
2
∈Z.故(a＋b)∈
B.
13．(15分)集合M中的元素爲自然数, 且满足若x∈M, 则8－x∈M.试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数爲2的所有的集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
解析：(1)M中只有一个元素, 根据已知必须满足x＝8－x, 所以x＝4.
所以含一个元素的集合M＝{4}．

(2)当M中只含两个元素时, 其元素只能是x和8－x,
所以元素个数爲2的所有的集合M爲{0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}．
(3)满足条件的集合M是由集合{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}中的元素组成, 它包括以下
情况：
①{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}, 共5个；
②{4,0,8}, {4,1,7}, {4,2,6}, {4,3,5}, {0,8,1,7}, {0,8,2,6}, {0,8,3,5}, {1,7,2,6}, {1,7,3,5},
{2,6,3,5}, 共10个；
③{4,0,8,1,7}, {4,0,8,2,6}, {4,0,8,3,5}, {4,1,7,2,6}, {4,1,7,3,5}, {4,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6},
{0,8,1,7,3,5}, {1,7,2,6,3,5}, {0,8,2,6,3,5}, 共10个；
④{4,0,8,1,7,2,6}, {4,0,8,1,7,3,5}, {4,0,8,2,6,3,5}, {4,1,7,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6,3,5}, 共5
个；
⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}, 共1个．
于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31(个)．



第3课时 集合间关系



课时目标
1.理解集合之间包含与相等的含义．
2．能识别给定集合的子集、真子集, 并能判断给定集合间的关系．
3．在具体情境中, 了解空集的含义．

识记强化


1．子集的概念．

对于两个集合A, B, 如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素, 就说這两个集合有
包含关系, 称集合A爲集合B的子集, 记作A?B(或B?A)．
2．真子集的概念．
如果集合A?B, 但存在元素x∈B, 且x?A, 称集合A是集合B的真子集, 记作AB(或
BA)．规定：空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集．
3．集合相等的概念．
如果集合A?B, 且B?A, 称集合A与集合B相等, 记作A＝B.
4．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集, 即A?A.
(2)对于集合A, B, C, 如果A?B, B?C, 那么A?C.

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．如果A＝{x|x＞－1}, 那么( )
A．0
?
A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
答案：D
解析：注意元素与集合以及集合与集合之间的关系．
2．已知四个命题：①?＝{0}；②空 集没有子集；③任何一个集合都有两个或两个以上
的子集；④空集是任何集合的子集．其中正确的命题个 数爲( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：空集是不含任何元素的集合, 所以①错误；空集是任何集合的子集, 因此空集也
是空集的子集, 且空集的子集只有一个, 所以②③错误, ④正确．
3．已知集合A{3,4,9}, 且A中至多只有一个奇数, 则這样的集合A的个数爲( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：D
解析：集合{3,4,9}的真子集有?, {3}, {4}, {9}, {3,4}, {3,9}, {4,9}, 共7个, 去掉含两个
奇数的集合{3,9}, 可知满足条件的集合A有6个．
4．已知集合A＝{x|x＝3k, k∈Z}, B＝{x|x＝6k, k∈Z}, 则A与B之间的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．AB D．AB
答案：D
解析：对于x＝3k(k∈Z), 当k＝2m(m∈Z)时, x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时, x＝
6m－3(m∈Z)．由此可知AB.
5．设集合M＝{x|－1≤x<2}, N＝{x|x－k≤0}, 若M?N, 则k满足( )
A．k≤2 B．k≥－1

C．k>－1 D．k≥2
答案：D
解析：因爲N＝{x|x≤k}, 又M＝{x|－1≤x<2}, 所以当M?N时, k≥2.
6．已知集合P＝{x|x
2
＝1}, 集合Q＝{x|ax＝1}, 若Q?P, 则a的值爲( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
答案：D
1
解析：P＝{－1,1}, 当a＝0时, Q＝?, 当a≠0时, Q＝{x|x＝}, ∵Q?P, ∴a＝0或a＝
a
±1.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．用适当的符号填空．
(1)0________{x|x
2
＝0}；
(2)?________{x∈R|x
2
＋1＝0}；
(3){0,1}________N；
(4){0}________{x|x
2
＝x}；
(5){2,1}________{x|x
2
－3x＋2＝0}．
答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4) (5)＝
8．已知集合P＝{x|0________．
答案：{a|－3≤a≤2}
?
?
a≥－3
解析：依题意, 知P＝{x|a?
, 解
?
a＋2≤4
?
得－3≤a≤2.
9．已知集合M＝{－1,3,2m－1}, 集合N＝{3, m
2
}, 若N?M, 则实数m＝________.
答案：1
解析：依题意, 知当N?M时, 只能有m
2
＝2m－1, 解得m＝1, 经检验知满足题意．
三、解答题(本大题共6小题, 共45分)
10．(5分)以下各组中两个对象是什么关系, 用适当的符号表示出来：
(1)0与{0}；
(2)0与?；
(3)?与{0}；
(4){0,1}与{(0,1)}；
(5){(a, b)}与{(b, a)}．
解：(1)0∈{0}；
(2)0??
(3)?与{0}都是集合, 两者的关系是“包含与不包含”的关系, 所以?{0}；
(4){0,1}是含两个无素0,1的集合；而{(0,1)}是以有序数对爲元素的集合, 它只含 一个元
素．所以{0,1}
?
{(0,1)}；且{0,1}?{(0,1)}；

(5)当a＝b时, {(a, b)}＝{(b, a)}；当a≠b时, {(a, b)}
?
{(b, a)}, 且{(a, b)}?{(b, a)}．
11．(13分)设集合A＝{x, x
2
, xy}, 集合B＝{1, x, y}, 且集合A与集合B相等, 求实数x、
y的值．
22
??
?
x＝1，
?
x＝y，
解：由题意得
?
①或
?
②
?
xy＝y，
?
xy＝1.
??

?????
x＝1，
?
x＝－1，
?
x＝1，
?
x＝－ 1，
解①, 得
?
或
?
经检验
?
不合题意, 舍去, 则
?

?
y∈R，
??
y∈R，
?
y＝0.
??
y＝0.
??
??
?
x＝1，
?< br>x＝1，
?
解②, 得经检验
?
不合题意, 舍去．
?
y＝1.
?
??
y＝1，

?
?
x＝－1，
综上所得,
?

?
y＝0.
?

12．(7分)已知集合M＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若N?M, N＝{x|m＋1≤x≤2m－1}, 求实数m的取值范围；
(2)若M?N, N＝{x|m－6≤x≤2m－1}, 求实数m的取值范围．
解：(1)①若N＝?, 则m＋1>2m－1, 即m<2, 此时N?M；②若N≠?, 则
m＋1≤2m－1
??
?
－2≤m＋1
?
?
2m－1≤5

, 解得2≤m≤3.
综合①②, 得实数m的取值范围是{m|m≤3}．
2m－1≥m－6
?
?
(2)若M?N, 则
?
m－6≤－2
?
?
2m－1≥5

, 解得3≤m≤4.
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
能力提升
13．(5分)A*B＝{z|z＝xy, x∈A, y∈B}, 设A＝{1,2}, B＝{0,2}, 则集合A*B的子集个数
爲( )
A．3 B．4
C．6 D．8
答案：D
解析：由题意知：A*B＝{0,2,4}, 所以共有子集2
3
＝8个．
b
??
14．(5分)已知集合A＝< br>?
a，
a
，1
?
, 集合B＝{a
2
, a＋b, 0}, 若A＝B, 求a
2013
＋b
2013
的
??
值．
解：因爲A＝B, 且a≠0, 所以b＝0.
由已知得a
2
＝1, 所以a＝1或a＝－1.
若a＝1, 那么集合A中的元素a＝1, 与元素的互异性矛盾, 所以只有a＝－1.
所以a
2013
＋b
2013
＝(－1)2013
＝－1.
15．(10分)集合A＝{x|－4≤x≤3}, B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B?A, 求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时, 求A的非空真子集的个数；
(3)若不存在实数x使x∈A, x∈B同时成立, 求实数m的取值范围．
解：(1)当m－1>2m＋1, 即m<－2时, B＝?, 满足题意；
当m－1≤2m＋1, 即m≥－2时, 要使B?A成立, 则有
m≥－2
?
?
?
m－1≥－4，
?
?
2m＋1≤3

解得－2≤m≤1.
综上可知, 若B?A, 则实数m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)当x∈Z时, A＝{－4, －3, －2, －1,0,1,2,3}, 共8个元素, 所以A的非空真子集个数
8
爲2－2＝254。
(3)不存在实数x使x∈A, x∈B同时成立, 即A, B没有公共元素．
当m－1>2m＋1, 即m<－2时, B＝?, 满足题意；
当m－1≤2m＋1, 即m≥－2时, 要使A, B没有公共元素, 则有
??
?
m≥－2
?< br>m≥－2
?
或
?
, 解得m>4.
??
m－1>32m＋1<－4
??
综上所述, m的取值范围是{m|m>4或m<－2}．

第三章单元检测
时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：本大题共12题, 每题5分, 共60分．在下列各题的四个选项中, 只有一
个选项是符合题目要求的．
1．某细胞分裂时, 由1个分裂成2个, 2个分裂成4个, …, 這样细胞分裂x次后, 得到
细胞总数y与x的函数关系是( )
＋
A．y＝2
x
1
－1(x∈N
*
)
B．y＝2
x
(x∈N
*
)
－
C．y＝2
x
1
(x∈N
*
)
＋
D．y＝2
x
1
(x∈N
*
)
答案：B
解析：由于1个细胞分裂成2个, 2个分裂成4个, 经过x次后应分裂爲2
x
个, 故函数关
系爲y＝2
x
, x∈N
*
, 故选B.
2．函数y＝2
x
－3的零点是( )
1
A．log
2
3 B.
2
3
C. D．log
3
2
2
答案：A
3．固定电话市话收费规定：前三分钟0.22元(不满三分钟按三分钟计算), 以后每分钟
0.11元(不满一分钟按一分钟计算), 那么某人打市话550秒, 应该收费( )
A．1.10元 B．0.99元
C．1.21元 D．0.88元
答案：B
解析：由题意可得0.22＋7×0.11＝0.99
4．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c中, ac＜0, 则函数的零点个数是( )
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定
答案：B
解析：∵ac＜0, ∴Δ＝b
2
－4ac＞0, 故二次函数y＝ax
2
＋bx＋c有两个零点．
5．下列函数图象与x轴均有公共点, 其中能用二分法求零点的是( )
答案：C

解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a, b]上连续不断, 并且有f(a)·f(b)＜
0.A、B选项中不存在f(x)＜0, D选项中函数不连续．故选C.
1
6．函数f(x)＝e
x
－的零点所在的区间是( )
x
11
0，
?
B.
?
，1
?
A.
?
?
2
??
2
?
33
1，
?
D.
?
，2
?
C.
?
?
2
??
2
?
答案：B
1
??
1
?
f(1)＜0, 故选B. 解析：计算得f
?
＝ e－2＜0, f(1)＝e－1＞0, 则有f
?
2
??
2
?
7．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元, 计划在今后的3年内, 使成本降低
到每件256元, 则平均每年成本应降低( )
A．10% B．15%
C．20% D．25%
答案：C
解析：设平均每年降低百分比爲x, 则500(1－x)
3
＝256, 解得x＝20%.
8．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
下面的函数关系式中, 能表达這种关系的是( )
A．y＝2x－1
B．y＝x
2
－1
C．y＝2
x
－1
D．y＝1.5x
2
－2.5x＋2
答案：D
解析：代入数据验证即可知道选项D正确．
9．已知函数f(x)＝x＋2
x
, g(x)＝x＋lnx, h(x)＝x－x－1的零点分别爲x
1
, x
2
, x
3
, 则x
1
, x
2
,
x
3
的大小关系是( )
A．x
1
＜x
2
＜x
3

B．x
2
＜x
1
＜x
3

C．x
1
＜x
3
＜x
2

D．x
3
＜x
2
＜x
1

答案：A
解析：令f(x)＝x＋2
x
＝0, 因爲2
x
恒大于零, 所以要使得x＋2
x
＝0, x必须小于零, 即x
1
小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0, 要使得lnx有意义, 则x必须大于零, 又x＋lnx＝0, 所以lnx＜
0, 解得0＜x＜1, 即0＜x
2
＜1；令h(x)＝x－x－1＝0, 得x＝x＋1＞1, 即x
3
＞1, 从而可知
x
1
＜x
2
＜x
3
.
10．已知f(x)＝2ax－1＋3a, f(0)＜f(1)且在(1,2)内存在零点, 则实数a的取值范围是
( )
1111
A．(, ) B．(, )
5364
1111
C．(, ) D．(, )
7586
答案：C
?
?
f?1?＜0
11
解析：由
?
得＜a＜.
75
?
f?2?＞0
?

11．如果已知0|
x
|
＝|log
a
x|的实根个数爲( )
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
答案：A

解析：设y
1
＝a
|
x
|
, y
2
＝|log
a
x|, 分别作出它们的图象如图所示：
由图可知有两个交点, 故选A.

12．某企业2012年12月份的产值是這年1月份产值的P倍, 则该企业2012年度产值
的月平均增长率爲( )
P
11
A. B.P－1
P－1
P－1
11
C. P D.
11
答案：B
解析：设月平均增长率爲r,1月份产值爲1, 则2012年12月的产值爲：P＝1×(1＋r)
11
,
所以(1＋r)
11
＝P, 即r＝P－1, 故选B.
二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在题中横线上．
13．若f(x)爲R上的奇函数, 且1是该函数的一个零点, 则f(0)＋f(－1)＝________.
答案：0
解析：由题意可得f(1)＝0, f(0)＝0.
又f(－1)＝－f(1)＝0, ∴f(0)＋f(－1)＝0
14．若某个自变量的值x
0
等于其相应的函数值, 则x
0
称爲函数不动点, 设 f(x)＝x
3
－2x
＋2, 则 f(x)的不动点是________．
答案：1或－2
3
－2x＋2＝x, 则(x－1)
2
·解析：x
0
(x
0
＋2)＝0, ∴x
0
＝1或x
0
＝－2.
000
15．函数f(x)＝ax＋2a＋1(a≠0), 若在－1≤x≤1上, f(x)存在一个零点, 则实数a的取值
范围是________．
1
答案：－1≤a≤－
3
解析：由题意可知f(－1)与f(1)异号, 即f(－1)·f(1)≤0∴(a＋1)(3a＋1)≤0解之得－
1
1≤a≤－
3
－
16．设f(x)＝2
x
－2
x
, 又a＝log
4
3, b＝ln3, c＝e
2
则 f(a)、f(b)、 f(c)按从小到大的顺序爲
________．
答案：f(a)解析：f(x)在(0, ＋∞)上单调递增, 又a三、解答题：本大题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
x
2
17．(10分)已知函数f(x)＝(a, b爲常数), 且方程f(x)－x＋12＝0有两个零点分别爲
ax＋b
11

3和4.求函数f(x)的解析式．
x
2
解：将3和4分别代入方程－x＋12＝0得
ax＋b
??
16
?
4a＋b
＝－8，
9
＝－9
3a＋b


?
?
a＝－1，
解得
?

?
b＝2，
?
x
2
所以f(x)＝(x≠2)．
2－x
18．(12分)某商场出售两款型号不同的手机, 由于市场需求发生变化, 第一款手机连续
两次提价10%, 第二款手机连续两次降价10%, 结果都以1210元出售．
(1)求第一款手机的原价；
(2)若该商场同时出售两款手机各一部, 求总售价与总原价之间的差额．(结果精确到整
数)
解：(1)设第一款手机原价爲a, 则a(1＋10%)
2
＝1210,
1210
解得a＝
2
＝1000, 所以第一款手机原价爲1000元．
1.1
(2)设第二款手机原价爲b, 则b(1－10%)
2
＝1210,
1210
解得
2
≈1494元, 由(1)知, 第一款手机原价爲1000元,
0.9
所以总售价与总原价之间的差额爲1210×2－1494－1000＝－74.
19．(12分)某农场共有土地50亩, 這些地可种西瓜、棉花、玉米．這些农作物每亩地
所需劳力和预计产值如下表．若该农场有20名劳动力, 应怎样计划才能使每亩地都能种上
作物(玉米必种), 所有劳动力都被安排工作(每名劳动力只能种植一种作物)且作物预计总产
值达最高？
作物 劳力亩 产值亩
西瓜 12 0.6万元
棉花 13 0.5万元
玉米 14 0.3万元
解：设种x亩玉米(4≤x≤50), y亩棉花(0≤y≤50)时, 总产值爲h且每个劳动力都有工
作．
xy
50－?x＋y?
所以h＝0.3x＋0.5y＋0.6[50－(x＋y)], 且x, y满足＋＋＝20,
432
3
整理得h＝－x＋27(4≤x≤50), 且x＝4k, k∈N,
20
所以欲使h爲最大, 则x应爲最小,
故当x＝4(亩)时, h
max
＝26.4万元, 此时y＝24(亩)．
故安排1人种4亩玉米, 8人种24亩棉花, 11人种22亩西瓜时, 农作物总产值最高且每
个劳力都有工作．
20．(12分)某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是
t
＋22 ?0≤t≤40，t∈N
*
?，
4
f(t)＝
t
－＋52 ?40＜t≤100，t∈N
*
?.
2
t10 9
销售量g(t)与时间t的函数关系式是g(t)＝－＋(0≤t≤100), 求這种商品的日销售额
33
的最大值．
解：设日销售额爲S, ①当0≤t≤40(t∈N
*
)时,

?
?
?

tt109
＋22
?
－＋
?
S ＝
?
?
4
?
33
?
1
＝－(t＋88)( t－109)
12
1
＝－(t
2
－21t－88×109) 12
21
123981441
t－
?
2
＋＝－
?
＋×,
2
?
12
?
3124
当t＝10, 或t＝11时, S
max
＝808.5.
②当40＜t≤100(t∈N
*
)时,
tt109
－＋52
??
－＋
?
S＝
?
?
2
??
33
?
1
＝(t－104)(t－109)
6
1
＝(t
2
－213t＋104×109)
6
爲二次函数, 它在区间(40,100]上是减函数, 因此在靠近左端t＝41处取最大值, 即当t
＝41时, S
max
＝714, 由①②知日销售额的最大值爲808.5.
x－2
21．(12分)已知函数f(x)＝a
x
＋(a＞1),
x＋1
(1)判断函数f(x)在(－1, ＋∞)上的单调性, 并证明你的判断；
(2)若a＝3, 求方程f(x)＝0的正根(精确到0.1)．
解：(1)任取x
1
, x
2
∈(－1, ＋∞)且x
1
＜x
2
,
x
1
－2x
2
－2
xx
f(x
1
)－f(x
2
)＝a
1
－a
2
＋－
x
1
＋1x
2
＋1
3?x
1
－x
2
?
xx
＝(a
1
－a2
)＋,
?x
1
＋1??x
2
＋1?
∵x
1
, x
2
∈(－1, ＋∞)且x
1
＜x
2
, ∴x
1
＋1＞0, x
2
＋1＞0, x
1
－x
2
＜0, a
1
－a
2
＜0.
∴f(x
1
)＜f(x
2
)．∴函数f(x)在(－1, ＋∞)上爲增函数．
(2)由(1)知f(x)在(0, ＋∞)上爲增函数, 因此f(x)＝0的正根仅有一个, 可用二分法求此正
根的近似值．
5
由于f(0)＝－1＜0, f(1)＝＞0, 取[0,1]爲计算的初始区间, 列表如下：
2
左端点 右端点
第1次 0 1
第2次 0 0.5
第3次 0.25 0.5
第4次 0.25 0.375
第5次
0.25 0.3125
由于区间[0.25,0.3125]的长度是0.3125－0.25＝0.0625＜0.1, 所以区间中点0.28125的近
似值0.3爲满足条件的近似值．
22．(12分)设二次函数f(x)＝x
2
＋ax＋a, 方程f(x)－x＝0的 两根x
1
和x
2
满足01
2
<1 .
(1)求实数a的取值范围；
1
(2)试比较f(0)f(1)－f(0)与的大小．
16
解：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x
2
＋(a－1)x＋a,
xx

?
1
?
0则依题意得
?
2
g?1?>0，
?
?
g?0? >0，
Δ>0，

?
a>0，
?
?
?
－1 ?
?
a<3－2 2或a>3＋2 2，

?0∴所求实数a的取值范围是(0,3－2 2)．
(2)方法一：f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a
2
, 令h(a)＝2a
2
.
∵当a>0时, h(a)单调递增,
∴当00f(0)<
2)＝2(3－2 2)
2
＝2(17－12
11
2)＝2·<, 即f(0)f(1)－
17＋12 2
16
1
.
16
方法二：∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a
2
,
由(1)知0∴4 2a－1<12 2－17<0,
又4 2a＋1>0,
111
于是2a
2
－＝(32a
2
－1)＝(4 2a－1)(4 2a＋1)<0,
161616
11
即2a
2
－<0, 故f(0)f(1)－f(0)<.
1616


第4课时 交集、并集


课时目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义, 会求两个简单集合的并集与交集．
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算, 体会直观图示对理解抽象概念的作用．

识记强化



定义

符号表示

交集
由属于集合A且属于集合B的元素组
成的集合称爲集合A与B的交集

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由属于集合A或属于集合B的元素组
成的集合称爲A与B的并集

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
Venn图
性质
A∪B＝B∪A
A∪A＝A
A∪?＝A
A∪B?A
A∪B?B

A∩B＝B∩A
A∩A＝A
A∩?＝?
A∩B?A
A∩B?B


课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．已知集合M＝{－1,1}, 则满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4

答案：D
解析：依题意, 得满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N有{2}, {－1,2}, {1,2}, {－1,1,2}, 共4
个．
2．已知集合M＝{x|－35}, 则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
答案：A
解析：在数轴上画出集合M, N表示的区间, 可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
3．集合M＝{x|－2≤x＜1}, N＝{x|x≤a}, 若? (M∩N), 则实数a的取值范围爲( )
A．a＜3 B．a≥－2
C．a≥－3 D．－2≤a＜3
答案：B
解析：∵? (M∩N), ∴M∩N非空, 故a≥－2.故选B.
?
1
?
4．若方程2x
2
＋x＋p＝0的解集爲P, 方程2x
2
＋qx＋2＝0的解集爲Q, 且P∩Q＝
?
2
?
,
??
则( )
A．p＝－1, q＝－5 B．p＝－1, q＝5
C．p＝1, q＝－5 D．p＝1, q＝5
答案：A
11
＋＋p＝0
?
22
?
p＝－1
?
1
?
11
??
解析：因爲P∩Q＝< br>2
, 则∈P且∈Q, 所以, 解得
?
.故选
22
??11
?
?
q＝－5
＋q＋2＝0
22
A.
5．下列表示图形中阴影部分的是( )
?
?
?


A．(A∪C)∩(B∪C)
B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C)
D．(A∪B)∩C
答案：A
解析：解析：根据两集合的并、交的图形表示可知, 图中阴影部分可用集合：(A∩B)
∪( A∩C)∪(B∩C)∪C表示．或用集合(A∪C)∩(B∪C)表示；或用集合C∪(A∩B)表示, 结

合选项知, A正确．
6．已知集合A＝{(x, y)|y＝2x＋1}, B＝{x|y＝x－1}, 则A∩B＝( )
A．{－2} B．{(－2, －3)}
C．? D．{－3}
答案：C
解析：A爲点集, B爲数集, 所以A∩B＝?.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知集合A＝{x|x＜－1或2≤x＜3},
B＝{x|－2≤x＜4}, 则A∪B＝________.
答案：{x|x＜4}
解析：A＝{x|x＜－1或2≤x＜3}, B＝{x|－2≤x＜4}, 则A∪B＝{x|x＜4}．
8．设集合M＝{x|－1≤x<2}, N＝{x|x－k≤0}, 若M∩N≠?, 则k的取值范围是
________．
答案：{k|k≥－1}
解析：因爲M＝{x|－1≤x<2}, N＝{x|x－k≤0}＝{x|x≤k}, 如图, 当k≥－1时, M, N有公
共部分, 满足M∩N≠?.
9．给出下列命题：
①设A＝{x|x是锐角三角形}, B＝{x|x是钝角三角形}, 则A∪B＝{三角形}；
②设A＝{矩形}, B＝{菱形}, 则A∩B＝{正方形}；
③设A＝{奇数}, B＝{偶数}, 则A∪B＝{自然数}；
④设A＝{质数}, B＝{偶数}, 则A∩B＝{2}；
⑤若集合A＝{y|y＝x
2
＋1, x∈R}, B＝{y|y＝x＋1, x∈R}, 则A∩B＝{(0,1), (1,2)}．
其中正确命题的序号是________．
答案：②④
解析：由于三角形分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形, 故①错；由于奇数分正
奇数和负奇数, 而负奇数不在自然数中, 故③错；在⑤中, A∩B是数集, 不是点集, 故⑤
错．
三、解答题(本大题共5小题, 共45分)
10．(9分)设集合M＝{x|－2的取值范围．
解：由M∪N＝M, 可得N?M.
1
当N＝?时, 2t＋1≤2－t, 解得t≤, 满足题意
3

2－t<2t＋1
?
?
当N≠?时, 由
?
2t＋1≤5
?
?
2－t≥－2

1
, 解得3
综上可知, 实数t的取值范围是{t|t≤2}．
11．(9分)已知集合A＝{x|2(1)若A∩B＝?, 求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3解：(1)因爲A∩B＝?, 所以可分两种情况讨论：B＝?或B≠?.
当B＝?时, a≥3a, 解得a≤0；
?
a>0
?
2
当B≠?时,
?
, 解得a≥4或03
?
a≥4或3a≤2
?
2
??
综上, 得a的取值范围是
?
a|a≤
3
或a≥4
?
.
??
(2)因爲A∩B＝{x|312．(9分)已知M＝{(x, y)|y＝x
2
＋2x＋5}, N＝{(x, y)|y＝ax＋1}．
(1)若M∩N有两个元素, 求实数a的取值范围；
(2)若M∩N至多有一个元素, 求实数a的取值范围．
2
?
?
y＝x＋2x＋5
解：(1)因爲M∩N有两个元素, 所以方程组
?
有两组解,
?
y＝ax＋1
?
即一元二次 方程x
2
＋(2－a)x＋4＝0有两个不等的实数根,
所以Δ＝(2－a)
2
－16＝a
2
－4a－12>0,
结合二次函数y＝a
2
－4a－12的图象, 可得a>6或a<－2.
所以实数a的取值范围爲{a|a>6或a<－2}．
2
?
?
y＝x＋2x＋5
(2)因爲M∩N至多有一个元素, 所以方程组
?
无解或只有一组解,
?
y＝ax＋1
?
即 一元二次方程x
2
＋(2－a)x＋4＝0无实数根或有两个相等的实数根,
所以Δ＝(2－a)
2
－16＝a
2
－4a－12≤0,
结合二次函数y＝a
2
－4a－12的图象, 可得－2≤a≤6.
所以实数a的取值范围爲{a|－2≤a≤6}．
能力提升
13．(5分)对于集合A, B, 我们把集合{x|x∈A, 且x?B}叫做集合A与B的差集, 记作A
－B.若A＝{1,2,3,4}, B＝{3,4,5,6}, 则A－B＝________.
答案：{1,2}
解：A－B＝{x|x∈A且x?B}
＝{1,2,3,4}－{3,4,5,6}
＝ {1,2 }．
14 ．(13分)已知集合A＝{x|x
2
－ax＋a
2
－19＝0}, 集合B＝{x|x
2
－5x＋6＝0}, 是否存在
实数a, 使得集合A, B同时满足下列三个条件？
①A≠B；②A∪B＝B；③? (A∩B)．
若存在, 求出這样的实数a的值；若不存在, 说明理由．
解：由已知条件可得B＝{2,3}, 因爲A∪B＝B, 且A≠B, 所以A?B, 又A≠?, 所以A
＝{2}或A＝{3}．当A＝{2}时, 将2代入A中方程, 得a
2
－2a－15＝0, 所以a＝－3或a＝
5, 但此时集合A分别爲{2, －5}和{2,3}, 与A＝{2}矛盾．所以a≠－3, 且a≠5.当A＝{3}
时, 同上也能导出矛盾．综上所述, 满足题设要求的实数a不存在．



第5课时 补集

课时目标
1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念, 能正确运用补集的符号和表示形式,
会用图形表示一个集合及其子集的补集．
2．会求一个给定集合在全集中的补集, 并能解答简单的应用题．


识记强化



1．全集的定义．
如果一个集合含有所要研究的问题中涉及的所有元素, 這个集合就可以看作一个全集,
通常用U表示．
2．补集的定义．
对于一个集合A, 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称爲集合A相对于
全集U的补集, 记作
?
U
A, 即
?
U
A＝{x|x∈U, 且x?A}．

课时作业

(时间：45分钟, 满分：90分)

一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}, 集合A＝{1,5,8}, B＝{2}, 则集合(
?
U
A)∪B＝( )
A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}
C．{1,2,5,8} D．?
答案：A
解析：依题意, 知
?
U
A＝{0,3,6}, 又B＝{2}, 所以(
?
U
A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3,5}, B＝{2,3,5}, 则
?
U
(A∩B)等于( )
A．{1,2,4} B．{4}
C．{3,5} D．{?}
答案：A
解析：易知：A∩B＝{3,5}, 则
?
U
(A∩B)＝{1,2,4}, 故选A.
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}, 集合A＝{1,3,5,7}, B＝{3,5}, 则下列各式正确的是( )
A．U＝A∪B B．U＝(
?
U
A)∪B
C．U＝A∪(
?
U
B) D．U＝(
?
U
A)∪(
?
U
B)
答案：C
解析：∵
?
U
B＝{1,2,4,6,7},
∴A∪(
?
U
B)＝{1,2,3,4,5,6,7}＝U.故选C.
4．已知M, N爲集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩(
?
I
M)＝?, 则M∪N＝
( )
A．M B．N
C．I D．?
答案：A
解析：由N∩(
?
I
M)＝?, 可知N与
?
I
M没有公共元素, 则N?M, 又M≠N, 所以NM,
所以M∪N＝M.故选A.
5．已知集合A＝{x|x?
R
B)＝R, 则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
答案：C
解析：由于A∪(
?
R
B)＝R, 则B?A, 可知a≥2.故选C.
6．如图所示, I是全集, M, P, S是I的3个子集, 则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S

C．(M∩P)∩
?
I
S D．(M∩P)∪
?
I
S
答案：C
解析：阴影部分是M与P的公共部分, 且在S的外部, 故选C.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．设集合M＝{3,4,7,9}, N＝{4,5,7,8,9}, 全集U＝M∪N, 则集合
?
U
(M∩N)中的元素共
有________个．
答案：3
解析：因爲U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}, M∩N＝{4,7,9}, 则
?
U
(M∩N)＝{3,5,8}, 可知其中
的元素有3个．
8．已知集合A＝{x|－2≤x<3}, B＝{x|x<－1}, 则A∩(
?
R
B)＝________.
答案：{x|－1≤x<3}
解析：因爲B＝{x|x<－1}, 则
?
R
B＝{x|x≥－1}, 所以A∩(
?
R
B)＝{ x|－2≤x<3}∩{x|x≥
－1}＝{x|－1≤x<3}．
9．高一(1)班共有学生50人, 其中参加诗歌鉴赏兴趣小组的有30人, 参加书法练习兴
趣小组的有26人, 同时参加两个兴趣小组的有15人, 则两个兴趣小组都没有参加的学生有
________人．
答案：9
解析：设参加诗歌鉴赏兴趣小组的学生组成集合A, 参加书法练习兴趣小组的学生组成
集合B, 如图所示, 依题意card(A)＝30, card(B)＝26, card(A∩B)＝15, 则card(A∪B)＝30＋26
－15＝ 41.所以两个兴趣小组都没有参加的学生有50－41＝9(人)．
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)已知全集U＝{3, a
2
－3a－2,2}, A＝{3, |a－1|},
?
U
A＝{－2}, 求实数a的值．
解：因爲A∪(
?
U
A)＝U,
所以{3, －2, |a－1|}＝{3, a
2
－3a－2,2},
2
?
?
a－3a－2＝－2
从而
?
, 解得a＝3.
?
|a－1|＝2
?
11．(13分)已知全集U＝{x|x≤4}, 集合A＝{x|－2(1)求(
?
U
A)∪B；
(2)求A∩(
?
U
B)．
解：易知
?
U
A＝{x|x≤－2或3≤x≤4},
?
U
B＝{x|x<－3或2则(1)(
?
U
A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}．
(2)A∩(
?
U
B)＝{x|2能力提升

12．(5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,5}, B
?
U
A, 则集合B的个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：C
解析：先确定集合
?
U
A, 然后从空集开始按集合B中元素的个数由少到多分情况讨论．
∵U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,5}, ∴
?
U
A＝{2,3,4}．
若B
?
U
A, 则B＝?；{2}；{3}；{4}；{2,3}；{2,4}；{3,4}, 共7个．
13．(15分)若三个方程x
2
＋4ax－4a＋3＝0, x
2
＋(a－1)x＋a
2
＝0, x
2
＋2ax－2a＝0至少有
一个方程有实数解, 试求实数a的取值范围． Δ
1
＝?4a?
2
－4?－4a＋3?<0，
?
?解：若三个方程都没有实数解, 根据判别式, 得
?
Δ
2
＝?a－1?
2
－4a
2
<0，
?
?
Δ
3
＝? 2a?
2
＋8a<0.

解此不
等式组, 得－
3
2
3
2
, 或a≥－1.



第6课时 集合的并集、交集、补集的综合运算


课时目标

1.深刻理解交集、并集、补集的含义及运算．
2．能进行集合的并交补运算．

识记强化

1．集合的运算性质
(1)A∪B＝B∪A, A∪A＝A, A∪?＝A, A∩B＝B∩A, A∩A＝A, A∩?＝?.
(2)A?(A∪B), B?(A∪B), (A∩B)?A, (A∩B)?B.
(3)A?B?A∪B＝B?A∩B＝A.
(4)A∪(
?
U
A)＝U, A∩(
?
U
A)＝?.
(5)
?
U
(
?
U
A)＝A,
?
U
U＝?,
?
U
?＝U.
2．全集具有相对性, 即对于研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全
集；补集是相对于全集而言的, 由于全集具有相对性, 那么补集也具有相对性, 在不同的全
集下, 一个集合的补集可能不相同．

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．设全集U＝{1,3,5,7}, 若集合M满足
?
U
M＝{5,7}, 则集合M爲( )
A．{1,3} B．{1}或{3}
C．{1,3,5,7} D．{1}或{3}或{1,3}
答案：A
解析：由U＝{1,3,5,7}及
?
U
M＝{5,7}, 得M＝{1,3}, 故选A.
2．下列各式中, 表达错误的是( )
A．??{x|x<4} B．23∈{x|x<4}
C．?∈{?, {0}, {1}} D．{23}∈{x|x<4}
答案：D
解析：对于B, C, 元素与集合之间用“∈”或“?”符号, 且23是集合{x|x<4}中的元
素, 所以B表达正确, ?是集合{?, {0}, {1}}中的一个元素, 所以C表达正确；对于A, D, 集
合与集合之间用“?”或“
?
”符号, 且?是任何集合的子集, 所以A表达正确, D表达错
误．
3．设全集U＝Z, 集合A＝{－1,1,2}, B＝{－1,1}, 则A∩(
?
U
B)爲( )
A．{1,2} B．{1}
C．{2} D．{－1,1}
答案：C
解析：因爲U＝Z, B＝{－1,1}, 所以
?
U
B爲除－1,1外的所有整数的集合, 而A＝{－
1,1,2}, 所以A∩(
?
U
B)＝{2}．
4．已知集合A＝{x∈Z|x
2
－3x－18<0}, B＝{x|2－x>0}, 则A∩B等于( )
A．{3,4,5}
B．{－2, －1,0,1}
C．{－5, －4, －3, －2, －1,0,1}
D．{－5, －4, －3}
答案：B

解析：A＝{x∈Z|－31,0,1}, 选B.
5．集合M＝{(x, y)|(x＋3)
2
＋(y－1)
2
＝0}, N＝{－3,1}, 则M与N的关系是( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M, N无公共元素
答案：D
解析：因爲M＝{(x, y)|(x＋3)
2
＋(y－1)
2
＝0}＝{(－3,1)}是点集, 而N＝{－3,1}是数集,
所以两个集合没有公共元素, 故选D.
6．已知全集U＝R, 集合A＝{x|12}, 则A∩(
?
U
B)等于( )
A．{x|1C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}
答案：A
解析：U＝R, ∴
?
U
B＝{x|x≤2}, A∩
?
U
B＝{x|1二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知集合U＝R, A＝{x|－2U
(A∪B)＝________.
答案：{x|x≤－2或x≥6}
解析：(A∪B)＝{x|－2又U＝R, 所以可得?
U
(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．
8．如图所示, 阴影部分表示的集合爲________．

答案：
?
U
(A∪B)∪(A∩B) 解析：阴影部分有两类：(1)
?
U
(A∪B)；(2)A∩B.
9．设集合M＝{x|x>1, x∈R}, N＝{y|y＝2x
2
, x∈R}, P＝{(x, y)|y＝x－1, x∈R, y∈R}, 则
(
?
R
M)∩N＝________, M∩P＝________.
答案：{x|0≤x≤1} ?
解析：因爲M＝{x|x>1, x∈R}, 所以
?
R
M＝{x|x≤1, x∈R}, 又N＝{y|y＝2x
2
, x∈R}＝
{y|y≥0}, 所以(
?
R
M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因爲M＝{x|x>1, x∈R}表达数集, 而P＝{(x, y)|y＝x
－1, x∈R, y∈R}表示点集, 所以M∩P＝?.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)某班有50名学生, 有36名同学参加学校组织的数学竞赛, 有23名同学参加
物理竞赛, 有3名学生两科竞赛均未参加, 问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞
赛？
解：全集爲U, 其中含有50名学生, 设集合A表示参加数学竞赛的学生, B表示参加物
理竞赛的学生, 则U中元素个数爲50, A中元素个数爲36, B中元素个数爲23, 全集中A、B
之外的学生有3名, 设数学、物理均参加的学生爲x名, 则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50,
解得x＝12.所以, 本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．

11．(13分)已知集合A＝{x|2(1)求A∪B, (
?
R
A)∩B；
(2)若C?B, 求实数a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2∵
?
R
A＝{x|x≤2或x≥7},
∴(
?
R
A)∩B＝{x|7≤x<10}．
5
(2)①当C＝?时, 满足C?B, 此时5－a≥a, 得a≤；
2
5－a?
?
②当C≠?时, 要C?B, 则
?
5－a≥2
?
?
a≤10
由①②, 得a≤3.
∴a的取值范围是{a|a≤3}．
能力提升
12．(5分)设M、P是两个非空集合, 定义M与P的差集爲M－P＝{x|x∈M, 且x?P}, 则
M－(M－P)等于( )
A．P B．M∩P
C．M∪P D．M
答案：B
解析：解析：由于给出的新定义, 以及所需解决的问题中的集合都是抽象的集合, 這时
若类比于实数运算, 则会得出错误结论．而用图示法, 则有助于对新定义的理解, 如图所
示．

5
, 解得2
13．(15分)已知集合
A, B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③?
若不存在, 请说明理由．
解：假设存在实数a使A, B满足题设条件, 易知B＝{0,1}．
因爲A∪B＝B, 所以A?B, 即A＝B或AB.
由条件①A≠B, 知AB.
又因爲? (A∩B), 所以A≠?, 即A＝{0}或{1}．
当A＝{0}时, 将0代入方程x
2
－(a＋3)x＋a
2
＝0, 得a
2
＝0, 解得a＝0.
经检验, a＝0时, A＝{0,3}, 与A＝{0}矛盾, 舍去．
当A＝{1}时, 将1代入方程x
2
－(a＋3)x＋a
2
＝0, 得a
2
－a－2＝0,
解得a＝－1或a＝2.
A＝{x|x
2
－(a＋3)x＋a
2
＝0}, B＝{x|x
2
－x＝0},

是否存在实数a, 使
(A∩B)？若存在, 求出a的值；

经检验, a＝－1时, A＝{1}, 符合题意；a＝2时, A＝{1,4}, 与A＝{1}矛盾, 舍去．
综上所述, 存在实数a＝－1, 使得A, B满足条件．

第7课时 函数的有关概念


课时目标
1.理解函数的概念, 明确定义域、值域、对应关系是函数的三要素, 能判断两个函数是
否爲同一函数．
2．掌握区间和无穷大這两个基本概念, 能正确使用区间符号表示一些简单实数集的子
集．
3．会求一些简单函数的定义域和值域．


识记强化



1．函数的定义．
设A、B是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数
x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f：A→B爲从集合A到集合B的一
个函数, 记作y＝f(x), x∈A.其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值
相对应的y值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2．函数的构成要素和函数相等．
定义域、值域及对应关系, 称爲函数的三要素, 如果两函数的定义域和对应关系相同,
就称它们相等．

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．下列各组函数表示相等函数的是( )
?
?
x，x>0
A．f(x)＝
?
与g(x)＝|x| < br>?
－x，x<0
?
2x
2
－x
B．f(x)＝2x－ 1与g(x)＝
x
C．f(x)＝|x－1|与g(t)＝?t－1?
2

x－1
D．f(x)＝与g(t)＝1
x－1
答案：C
解析：对于A, 因爲f(x)的定义域爲(－∞, 0)∪(0, ＋∞), g(x)的定义域爲R, 定义域不同,
所以A中函数不相等；对于B, 因爲f(x)的定义域爲R, g(x)的定义域爲{x|x≠0, x∈R}, 定义
域不同, 所以B中函数不相等；对于C, 因爲f(x)＝|x－1|, g(t)＝?t－1?
2
＝|t－1|, 定义域和对
应法则都相同, 所以C中函数相等；对于D, 因爲f(x)的定义域爲{x|x≠1, x∈R}, g(t)的定义
域爲R, 定义域不同, 所以D中函数不相等．故选C.
2．函数y＝x
2
－2－2－x
2
的定义域是( )
A．[2, ＋∞) B．(－∞, －2]
C．[－2, 2] D．{－2, 2}
答案：D
?
x
2
－2≥0
?
解析：依题意, 知
?
, 解得x＝±2, 所以函数的定义域爲{－2, 2}．
2
≥0< br>?
2－x
?
?
1
??
等于( ) 3．设f(x)＝|x－1|－|x|, 则f
?
f
??
2
??
1
A．－ B．0
2
1
C．1 D.
2
答案：C
?
1??
＝f
?
|
1
－1|－|
1
|
?< br>＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1, 故选C. 解析：f
?
f
2
???
2
???
2
4．如图, 可表示函数y＝f(x)图象的是( )

答案：D
解析：在选项A和选项C中, 当x＝0时, 有两个y值与之对应, 选项B中, 当x＞0时,
每个x都有两个y与之对应, 均不符合函数定义, 故选D.
5．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4], 则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是( )
A．[－4,4]
B．[－2,2]
C．[－4, －2]
D．[2,4]
答案：B
?
?
－2≤x≤4
解析：由
?
, 得－2≤x≤2.
?
－2≤－x≤4
?
25
－，－4
?
, 则m的取值范围是6．若函数y＝x
2
－3x－4的定义域爲[0, m], 值域爲
?
?
4
?
( )
2
?
A．[0,4] B.
?
?
3
，4
?

3
?
3
，3
D.
?
，＋∞
?
C.
?
?
2
??
2
?
答案：C
3
253
x－
?
2
－, 结合二次函数图象可知≤m≤3.故选C. 解析：y＝x
2
－3x－4＝
?
?
2
?
42
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
4
7．设函数f(x)＝, 若f(a)＝2, 则实数a＝________.
1－x
答案：－1
4
解析：由题意, 知f(a)＝＝2, 得a＝－1.
1－a
8．已知f(x)＝2x－3, x∈{0,1,2,3}, 则f(x)的值域爲________．
答案：{－3, －1,1,3}
解析：由于定义域爲有限集, 且f(0)＝－3, f(1)＝－1, f(2)＝1, f(3)＝3, 故函数的值域爲
{－3, －1,1,3}．
9．已知f(x)＝x
2
＋x＋1, f(2)＝________, f [f (2)]＝________.
答案：3＋ 2 15＋7 2
解析：f(2)＝(2)
2
＋2＋1＝3＋2.
f〔f(2)〕＝f(3＋2)

＝(3＋2)
2
＋3＋2＋1
＝15＋72
三、解答题(本大题共5小题, 共45分)
10．(12分)求下列函数的定义域：
?x＋1?
2
(1)y＝－1－x；
x＋1
x＋1
(2)y＝.
|x|－x
??
?
x ＋1≠0
?
x≠－1
解：(1)要使函数有意义, 自变量x的取值必须满足
?
, 即
?
,
??
1－x≥0x≤1
??

所以函数的定义域爲{x|x≤1, 且x≠－1}．
(2)要使函数有意义, 需满足|x|－x≠0, 即|x|≠x, 所以x<0, 所以函数的定义域爲
{x|x<0}．
11．(6分)求下列函数的值域：
2x＋1
(1)y＝；
x－3
(2)y＝－2x
2
＋x＋3.
2x＋12?x－3?＋7
77
解：(1)因爲y＝＝＝2＋, 且≠0,
x－3x－3x－3x－3
所以y≠2,
2x＋1
所以函数y＝的值域爲{y|y∈R且y≠2}．
x－3
1
25
x－
?
2
＋, (2)因爲y＝－ 2x
2
＋x＋3＝－2
?
?
4
?
8
52< br>所以0≤y≤,
4
52
?
所以函数y＝－2x
2
＋x＋3的值域爲
?
0，
.
4
??
12．(7分)下面两个函数是否相等？请说明理由．
x
2
－4
(1)f(x)＝, g(x)＝x＋2；
x－2
(2)f(x)＝?x＋2?
2
, g(x)＝|x＋2|；
(3)f(x)＝x＋1·x－1, g(x)＝?x＋1??x－1?.
x
2
－4
解：(1)不相等．因爲f(x)＝＝x＋2(x≠2), 而g(x)＝x＋2的定义域爲R, 所以它们
x－2
的定义域不同, 故不相等．
(2)相等．因爲f(x)＝?x＋2?
2
＝|x＋2|, 它与g(x)＝|x＋2|的对应关系、定义域相同, 所以
它们是相等的．
(3)不相等．因爲f(x)＝ x＋1· x－1的定义域爲{x|x≥1}, g(x)＝?x＋1??x－1?的定义
域爲{x|x≤－1或x≥1}, 两函数的定义域不同, 故不相等．
能力提升
13．(5分)函数f(x)的定义域爲[0,2], 则函数f(x＋1)的定义域是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,2] D．[1,3]
答案：B
解析：f(x)与f(x＋1)的定义域都是指的x的取值范围, 由函数f(x)的定义域爲[0,2]知0≤x
＋1≤2, 即可求出x的范围．解不等式0≤x＋1≤2, 得－1≤x≤1, 故选B.
f?2?f?3?
14．(15分)对任何实数x, y, 函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)·f(y), 且f(1)＝2, 试求 ＋
f?1?f?2?

f?4?f?2012?f?2013?
＋＋…＋＋.
f?3?f?2011?f?2012?
解：由f(x＋y)＝f(x)·f(y), 得f(x＋1)＝f(x)·f(1), 又∵f(1)＝2,
f?x＋1?
∴＝f(1)＝2.
f?x?
f?2?f?3?f?4?f? 2012?f?2013?
＋＋＋…＋＋＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝2012·f(1)＝ 4024.
f?1?f?2?f?3?f?2011?f?2012?



第8课时 函数的表示方法


课时目标
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法．
2．在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．


识记强化



函数的表示法．
表示函数常用的三种方法爲解析法、图象法、列表法．
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫图象法．
(3)列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫列表法．

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．一旅社有100间相同的客房, 经过一段时间的经营实践, 发现每间客房每天的定价
与住房率有如下关系：
每间房定价 100元 90元 80元 60元
住房率 65% 75% 85% 95%
要使每天的收入最高, 每间房的定价应爲( )
A．100元 B．90元
C．80元 D．60元
答案：C
解析：住房率是每天房价的函数关系, 這种关系在题中是用表格的形式表示出来的, 而
每天的收入y＝房价×住房率×间数(100), 我们也可以列出相应的表格：
每间房定价 100元 90元 80元 60元
住房率 65% 75% 85% 95%
收入 6500 6750 6800 5700
从表格很清楚地看到, 每天的房价定在80元时, 每天的收入最高, 故选C.
2．某人开车去某地旅行, 先沿直线匀速前进了a km, 到达目的地后游玩了一段时间,
又原路返回匀速行驶了b km(b＜a), 再折回匀速前进ckm, 则此人距起点的距离s与时间t
的关系示意图正确的是( )
答案：C
解析：注意理解两坐标轴s, t的含义, 這里s是指距起点的距离, 不是路程的累加, 结合
题意可知C符合. 故选C.
3．已知函数y＝f(x)的图象过点(1,2), 则y＝f(x＋1)的图象过点( )

A．(1,2) B．(2,2)
C．(0,2) D．(－1,2)
答案：C
解析：因爲y＝ f(x＋1)的图象可看作y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到．又y＝f(x)
图象过点(1, 2), 向左平移1个单位, 则y＝f(x＋1)的图象过点(0,2)．
4．一个面积爲100 cm
2
的等腰梯形, 上底长爲x cm, 下底长爲上底长的3倍, 则把它的
高y表示成x的函数爲( )
A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0)
50100
C．y＝(x＞0) D．y＝(x＞0)
xx
答案：C
x＋3x
50
解析：由·y＝100, 得2xy＝100.即y＝(x＞0)．
2x
1
?
x
5．如果f< br>?
＝
?
x
?
1－x
, 则当x≠0且x≠1时, f(x)等于( )
11
A. B.
x
x－1
11
C. D.－1
x
1－x
答案：B
1
t
1111
解析：令＝t, 则x＝, f(t)＝＝, ∴f(x)＝, 故选B.
xt1
t－1x－1
1－
t
1
6．设f(x)＝2x＋a, g(x)＝(x
2
＋3), 且g(f(x))＝x
2
－x＋1, 则a的值爲( )
4
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
答案：B
111
解析：因爲g(x)＝(x
2
＋3), 所以g(f(x))＝[(2 x＋a)
2
＋3]＝(4x
2
＋4ax＋a
2
＋3)＝x< br>2
－x＋
444
1, 求得a＝－1.故选B.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知函数f(x)由下表给出, 则f(f(3))＝________.
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
答案：1
解析：由题设给出的表知f(3)＝4, 则f(f(3))＝f(4)＝1.故填1.
8．如图, 有一块边长爲a的正方形铁皮, 将其四个角各截去一个边长爲x的小正方形,
然后折成一个无盖的盒子, 写出体积V以x爲自变量的函数式是________, 這个函数的定义
域爲________．
a
答案：V＝x(a－2x)
2
{x|0＜x＜}
2
a
解析：据长方体的体积公式, 易得V＝x(a－2x)
2
, 其中0＜x＜.
2

1
9．若2f()＋f(x)＝x(x≠0), 则f(x)＝________.
x
2x
答案：－(x≠0)
3x3
111
解析：用代换x, 得2f(x)＋f()＝ .解方程组
xxx

?
?
11
2f?x?＋f??＝
?
xx
1
2f??＋f?x?＝x
x

2x2
, 得f(x)＝－.故填
3x33x
x
－(x≠0)．
3
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)把长爲l的铁丝弯成下部爲矩形ABCD, 上部爲半圆形的框架(如图所示), 若
AB＝2x, 求此框架围成的平面图形的面积y与x的函数关系式y＝f(x), 并求其定义域．
解：

设AB＝2x, 则
CD
＝πx.
l－2x－πx
于是AD＝.
2
l－2x－πx
πx
2
∴y＝2x·＋
22
π＋4
2
＝－x＋lx.
2
2x>0，
?
?
l
由题意, 得
?
l－2x－πx
解得02＋π
>0，
?2
?
l
??
0，
∴函数的定义域爲
?
2＋π< br>?
.
11．(13分)(1)已知f(x)是一次函数, 且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21, 求f(x)的解析
式；
(2)已知f(x)爲二次函数, 且满足f(0)＝1, f(x－1)－f(x)＝4x, 求f(x)的解析式．
解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0),
则2f(x＋3)－f(x－2)
＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]
＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b
＝ax＋8a＋b
＝2x＋21,
所以a＝2, b＝5,
所以f(x)＝2x＋5.
(2)因爲f(x)爲二次函数, 设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1, 得c＝1.
又因爲f(x－1)－f(x)＝4x, 所以a(x－1)
2
＋b(x－1)＋c－(ax
2
＋bx＋c)＝4x,
整理, 得－2ax＋a－b＝4x, 求得a＝－2, b＝－2,
所以f(x)＝－2x
2
－2x＋1.
能力提升
12．(5分) 函数y＝ax
2
＋bx＋c与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是( )

答案：D
解析：由a的符号排除B、C, 又A中y轴爲抛物线的对称轴, 即b＝0, 也应排除．
13．(15分)
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝x＋1, 求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是R上的函数, 且f(0)＝1, 并且对任意实数x、y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋
1), 求f(x)的解析式．
解：(1)∵f(x)＋2f(－x)＝x＋1,
∴f(－x)＋2f(x)＝－x＋1.
?
?
f?x?＋2f?－x?＝x＋1，
于是得关于f(x)的方程组
?

?
?
2f?x?＋f?－x?＝－x＋1.
41
解得 f(x)＝－x＋.
33
(2)解法一：由f(0)＝1, f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1),
设x＝y, 得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．
因爲f(0)＝1, 所以f(x)－x(2x－x＋1)＝1,
即f(x)＝x
2
＋x＋1.
解法二：令x＝0, 得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1),
即f(－y)＝1－y(－y＋1)．
又令－y＝x, 代入上式得：
f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1),
∴f(x)＝x
2
＋x＋1.



第9课时 映射与分段函数

课时目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义．
2．学会判断函数的奇偶性．
3．了解函数奇偶性的有关性质．
4．掌握常见函数的奇偶性．


识记强化



1．分段函数．
(1)在函数定义域内, 对于自变量x的不同取值范围, 有着不同的对应关系, 這样的函数
通常叫分段函数, 它虽由几部分构成, 但它是一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集．
2．映射．
设A、B是两个非空集合, 如果按某一个确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个
元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应, 那么就称对应f：A→B爲从集合A到
集合B的一个映射．

课时作业

(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．如图, 给出的集合M到N的对应关系：
其中是M到N的映射的是( )
A．①③ B．③④
C．①④ D．②④
答案：B
解析：①中集合M中的元素4在N中没有元素与之对应, ②中集合M中元素1对应N
中的两个元素, ③④符合映射的概念．
2．已知集合M＝{x|0≤x≤4}, N＝{0|0≤y≤2}, 按对应关系f不能构成从M到N的映射
的是( )
11
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
23
2
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
3
答案：C
28
解析：因爲当x＝4时, y＝×4＝?N, 所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映
33
射．
?
x＋5，x≥4
?
3．已知函数f(x)＝
?
, 则f(3)的值是( )
?
x－2，x<4
?
A．1 B．2
C．8 D．9
答案：A
解析：依题意, 得f(3)＝3－2＝1.
4．函数y＝|x
2
－2x|的图象是图中的( )

答案：B
解析：因爲|x
2
－2x| ＝
?
2
?
?
x－2x?x≤0或x≥2?，

?
－x
2
＋2x?0?

所以所求的图象爲B选项．
5．设集合A＝{a, b}, B＝{0,1}, 从A到B的映射共有______个( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：如图：

?
6．设函数f(x) ＝
?
?
x，x＜0
?
?
x
2
，x≥0
?
?
x，x≤2
, φ(x)＝
?
2
, 则当x＜0时, f(φ(x))＝( )
?
－x，x＞2
?


A．－x B．－x
2

C．x D．x
2

答案：C
解析：依题意, 当x＜0时, φ(x)＝x＜0, 所以f(φ(x))＝x.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知A＝{1,2,3,4,5}, 对应法则f：x→(x－3)
2
＋1, 设B爲A中元素在f作用下的象集,
则B＝________.
答案：{1,2,5} < br>解析：1→(1－3)
2
＋1＝5,2→(2－3)
2
＋1＝2,3→ (3－3)
2
＋1＝1,4→(4－3)
2
＋1＝2,5→(5－
3 )
2
＋1＝5.∴B＝{1,2,5}．
?
?
3x＋2，x＜1< br>8．已知函数f(x)＝
?
2
,
?
x＋ax，x≥1
?
若f(f(0))＝4a, 则实数a＝________.
答案：2
解析：依题意, 得f(0)＝3×0＋2＝2, 则f(f(0))＝f(2)＝4＋2a, 所以4＋2a＝4a, 解得a＝
2.
b
??
9．设a, b爲实数, 集合M＝
?
－1，
a
，1
?
, N＝{a, b, b－a}, 映射f：x→x表示把集合M
??
中的元素x映射到集合N中仍爲x, 则a＋b＝________.
答案：±1
解析：由f：x→x, 知集合M中的元素映射到集合N中没有变化, 且N中只有3个元素,
所以M＝N.又因爲M中－1,1爲相反数, 所以a, b, b－a這3个元素中有2个互爲相反数, 分
情况讨论, 知b＝0, a＝±1, 所以a＋b＝±1.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)画出下列函数的图象：
(1)y＝|x＋3|＋|x－5|；
(2)y＝x
2
－2|x|－1.

－2x＋2 ?x<－3?，
?
?
解：(1)y＝|x－5|＋|x＋3|＝
?
8 ?－3≤x<5?，
?
?
2x－2 ?x≥5?.
图象如图所示．

(2)y＝x
2
－2|x|－1＝
?
图象如图所示．
?
x
2
－2x－1
?
?x≥0?，
?
x
2
＋2x－1 ?x<0?.
?



?
?
－2x＋1，x<1< br>11．(13分)已知函数f(x)＝
?
2
.
?
x－2x，x≥1
?


(1)试比较f(f(－3))与f(f(3))的大小；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)若f(x)＝1, 求x的值．
解：(1)因爲－3<1, 所以f(－3)＝－2×(－3)＋1＝7,
又因爲7>1, 所以f(f(－3))＝f(7)＝7
2
－2×7＝35.
因爲3>1, 所以f(3)＝3
2
－2×3＝3, 所以f(f(3))＝3.
所以f(f(－3))>f(f(3))．
(2)函数图象如图实线部分所示．

(3)由f(x)＝1和函数图象综合判断, 可知在(－∞, 1)上, 由f(x)＝－2x＋1＝1, 解得x＝
0；
在[1, ＋∞)上, 由f(x)＝x
2
－2x＝1, 解得x＝1＋2或x＝1－2(舍去)．
于是x的值爲0或1＋2.
能力提升
?
?
x＋3?x>10?，
12．(5分)设f(x)＝
?
则f (5)的值是( )
?
f [f ?x＋5?]?x≤10?，
?
A．24 B．21
C．18 D．16
答案：A
解析：f(5)＝f[f(10)], f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21, f(5)＝f(21)＝24.
13．(15分)如图所示, 等腰梯形ABCD的两底分别爲AD＝4, BC＝2, ∠BAD＝45°, 作直
线MN⊥AD交AD于M, 交折线ABCD于N, 设AM＝x, 试将梯形ABCD位于直线MN左侧
的面积y表示成x的函数, 并写出函数的定义域．

解：作BH⊥AD, H爲垂足, CG⊥AD , G爲垂足, 依题意,
23
则有AH＝＝1, AG＝×2＝3,
22
(1)当M位于点H的左侧时, 点N在AB上, ∵AM＝x, ∠A＝45°, ∴MN＝x.

1
∴y＝S
△
AMN
＝x
2
(0≤x≤1)．
2
(2)当M位于HG之间时, ∵AM＝x, MN＝1, BN＝x－1,
1
∴y＝S
直角梯形
AMNB
＝·1·[x＋(x－1)]
2
1
＝x－(1＜x≤3)．
2
(3)当M位于点G的右侧时, 由于AM＝x, MN＝MD＝4－x,
∴y＝S
梯形
ABCD
－S
△
MDN

11
＝·1·(4＋2)－(4－x)
2

22
1
＝－x
2
＋4x－5(32
?
?
1
综上, y＝
?
x－
2
，x∈?1，3]，
1
?
－
?
2
x＋4x－5，x∈?3， 4].
2
1
2
x， x∈[0，1]，
2

)


第10课时 函数单调性概念

课时目标
1.理解单调性、单调区间的概念．
2．结合具体函数, 理解函数单调性的含义．

识记强化



函数的单调性．
(1)增(减)函数的定义．
设D是f(x)的定义域I内的某个区间, 对于任意x
1
, x
2
∈D.
①若x
1
＜x
2
时, 有f(x
1
)＜f(x
2
), 则称f(x)在区间D上爲增函数．
②若x
1
＜x
2
时, 有f(x
2
)＜f(x
1
), 则称f(x)在区间D上爲减函数．
(2)函数的单调区间．
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数, 那么就说函数y＝f(x)在這一区间具有
(严格的)单调性, 区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．如图是函数y＝f(x)的图象, 则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2

C．3 D．4
答案：B
解析：由图象, 可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．下列说法中正确的个数是( )
①已知区间I, 若对任意的x
1
, x
2
∈I, 当x
1
2
时, f(x
1
)2
), 则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x
2
在R上是增函数；
1
③函数y＝－在定义域上是增函数；
x
1
④函数y＝的单调区间是(－∞, 0)∪(0, ＋∞)．
x
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：由增函数的定义, 知①说法正确；y＝x
2
在[0, ＋∞)上是增函数, 在(－∞, 0)上是
1
减函数, 从而y＝x
2
在R上不具有单调性, 所以②说法错误；y＝－在整个定义域内不是增
x
1
函数, 如－3<5, 而f(－3)>f(5), 所以③说法错误；函数y＝的单调区间是(－∞, 0)和(0, ＋
x
∞), 所以④说法错误．故选B.
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是严格单调减函数, 则有( )
11
A．a≥ B．a≤
22
11
C．a> D．a<
22
答案：D
1
解析：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是严格单调减函数, 则2a－1<0, 即a<.故选D.
2
6
4．函数y＝的单调递减区间是( )
x
A．[0, ＋∞)
B．(－∞, 0]
C．(－∞, 0), (0, ＋∞)
D．(－∞, 0)∪(0, ＋∞)
答案：C
66
6 ?x
2
－x
1
?
666
解析：当0＜x
1
＜x
2
时, －＝＞0成立, 即＞.∴y＝在(0, ＋∞)上是减函
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
6
数．同理可证y＝在(－∞, 0)上也是减函数．故选C.
x
f?a?－f?b?
5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a, b, 总有 >0成立, 则必
a－b
有( )
A．函数f(x)先增加后减少
B．函数f(x)先减少后增加
C．f(x)在R上是增函数
D．f(x)在R上是减函数
答案：C
f?a?－f?b?
解析：因爲>0
a－b
所以, 当a>b时, f(a)>f(b)
当a由增函数定义知, f(x)在R上是增函数．

2
?
?
x＋1?x≥ 0?，
6．函数f(x)＝
?
2
的单调性爲( )
?
－x＋1?x<0?.
?

A．在(0, ＋∞)上是减函数
B．在(－∞, 0)上爲增函数, 在(0, ＋∞)上爲减函数
C．不能判断其单调性
D．在(－∞, ＋∞)上是增函数
答案：D

2
?
?
x＋1?x≥0?，
解析：f(x)＝
?
2
的定义域爲R, 由图象可知, f(x)在R上是增函数．
?
－x＋1?x<0?
?

二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知函数f(x)＝2x
2
－mx＋5在[－2, ＋∞)上是增函数, 在(－∞, －2)上是减函数, 则
f(－1)＝________.
答案：－1
m
解析：由题意, 知二次函数的对称轴爲x＝－2, 所以＝－2, 即m＝－8.于是f(x)＝2x
2
4
2
＋8x＋5, 所以f(－1)＝2×(－1)＋8×(－1)＋5＝－1.
8．函数y＝2x－3的单调递增区间是________．
3
，＋∞
?
答案：
?
?
2
?
3 3
，＋∞
?
.又t＝2x－3在
?
，＋∞
?
上单调 递增, y＝t 在解析：y＝2x－3的定义域爲
?
?
2
??
2< br>?
3
，＋∞
?
. [0, ＋∞)上单调递增, 故y＝2x－3的单 调递增区间爲
?
?
2
?
b
9．若函数y＝ax与y＝－在( 0, ＋∞)上都是减函数, 则函数y＝ax
2
＋bx在(0, ＋∞)上
x
是单调________函数．
答案：减
b
b
x＋
?
2
解析：∵y＝ax和y＝－在(0, ＋∞)上都是减函数, ∴a<0, b<0, y＝ax
2
＋bx＝a
?
?
2a
?
x
2
bb
－, 对称轴爲x＝－<0, ∴y＝ax
2
＋bx在(0, ＋∞)上是单调减函数．
4a2a
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)画出下列函数的图象, 并写出单调区间：
(1)f(x)＝|x|·|x－2|；

2
?
?
x＋1，x≤0
(2)f(x)＝
?
. < br>?
－2x＋2，x＞0
?
2
?
?
x－2x，x≥2或 x＜0
解：(1)由题意, 得f(x)＝
?
2
, 作出图象如图1, 由图象知, 函数的单
?
?
－x＋2x，0≤x＜2


调递减区间是(－∞, 0)和(1,2), 单调递增区间是[0,1]和[2, ＋∞)．

(2)作出图象如图2, 由图象知, 函数的单调递减区间是(－∞, 0]和(0, ＋∞)．
1
11．(13分)(1)证明：函数f(x)＝在(－∞, 0)上是减函数；
x
(2)证明：函数f(x)＝x
3
＋x在R上是增函数．
11
证明：(1)设x
1
, x
2
是(－∞, 0)上的任意两个实数, 且x
1
＜x
2
, 则f(x
1
) －f(x
2
)＝－＝
x
1
x
2
x
2
－x
1
.
x
1
x
2
x
2
－x
1
因爲x
1
, x
2
∈(－∞, 0), 所以x
1
x
2
＞0, 又因爲x
1
＜x
2
, 所以x
2
－x
1
＞0, 则＞0.
x
1
x
2
于是f(x
1
)－f(x
2
)＞0, 即f(x
1
)＞f(x
2
)．
1
因此函数f(x)＝在(－∞, 0)上是减函数．
x
(2)设x
1
, x
2
是R上的任意两个实数, 且x
1
＜x
2
, 则x
2
－x
1
＞0,
3
而f(x
2
)－f(x
1
)＝(x
3
2
＋x
2
)－(x
1
＋x
1
)
2
＝(x
2
－x
1
)(x
2
2
＋x
2
x
1
＋x
1
)＋(x
2
－x
1
) 2
＝(x
2
－x
1
)(x
2
2
＋x< br>2
x
1
＋x
1
＋1)
x
1
32
＝(x
2
－x
1
)[(x
2
＋)
2
＋x
1
＋1]．
24
x
1
3
因爲(x< br>2
＋)
2
＋x
2
＋1＞0, x
2
－x
1
＞0, 所以f(x
2
)－f(x
1
)＞0, 即f(x
2
)＞f(x
1
)．
24
1
因此函数f(x)＝x
3
＋x在R上是增函数．
能力提升
12．(5分)设函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的减函数, 则( )
A．f(a)＞f(2a) B．f(a
2
)＜f(a)
C．f(a
2
＋a)＜f(a) D．f(a
2
＋1)＜f(a)
答案：D
解析：判断出自变量值的大小即可由单调性得到函数值的大小关系．
1
13．(15分)已知函数y＝f(x)在(0, ＋∞)上爲增函数, 且f(x)<0(x>0), 试判断F(x)＝在
f?x?

(0, ＋∞)上的单调性, 并给出证明过程．
解：F(x)在(0, ＋∞)上爲减函数．证明如下：
任取x
1
, x
2
∈(0, ＋∞), 且x
1
2
,
f?x
1
?－f?x
2
?
11
则F(x
2
)－F(x
1
)＝－＝∵y＝ f(x)在(0, ＋∞)上爲增函数,
f?x
2
?f?x
1
? f?x
2
?f?x
1
?
∴f(x
2
)>f(x1
), 即f(x
1
)－f(x
2
)<0.
而f(x
1
)<0, f(x
2
)<0, ∴f(x
1
)f(x
2
)>0.
∴F(x
2
)－F(x
1
)<0, 即F(x
2
)1
)．
∴F(x)在(0, ＋∞)上爲减函数．

第11课时 函数单调性的简单应用


课时目标
1.进一步理解单调性的意义, 会判断复合函数的单调性．
2．能运用函数的单调性解决一些较复杂的函数性质问题．


识记强化


复合函数的单调性：
若函数y＝f(x)和y＝g(x)都是R上的增函数
y＝h(x)和y＝φ(x)都是R上的减函数
则函数y＝f [g(x)]在R上爲增函数
y＝f [h(x)]在R上爲减函数
y＝h[g(x)]在R上爲减函数
y＝h[φ(x)]在R上爲增函数
记忆方法爲：同增异减．

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．下列函数中, 在(－∞, 1)上是减函数的是( )
A．f(x)＝2＋2x
2
B．f(x)＝x
2
＋6x
11
C．f(x)＝ D．f(x)＝1－
x
x－1
答案：C
解析：通过图象判断．
2．已知函数f(x)＝4x
2
－mx＋5在区间[－2, ＋∞)上是增函数, 则f(1)的取值范围是
( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)＞25
答案：A
mm
，＋∞
?
上单调递增, 故[－2, ＋∞)?
?
，＋∞
?
, 即－解析：f(x)＝4x
2
－m x＋5在
?
?
8
??
8
?
m
2≥, ∴m≤－16.f(1)＝9－m≥25.
8
3．给出下列四个函数：
1
①f(x)＝x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝2x
2
；④f(x)＝－x.
x
其中在(0, ＋∞)上是增函数的函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：分别作出函数的图象(图略), 可知在(0, ＋∞)上是增函数的爲①③.故选C.
f?x
2
?－f?x
1
?
4．定义在R上的函数f(x), 对任意x
1
, x
2
∈R(x
1
≠x
2
), 有<0, 则( )
x
2
－x
1
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)答案：A
f?x
2
?－f? x
1
?
解析：对任意x
1
, x
2
∈R(x
1
≠x
2
), 有<0, 则x
2< br>－x
1
与f(x
2
)－f(x
1
)异号, 则f(x)在
x
2
－x
1
R上是减函数．又3>2>1, 则f(3)5．函数y＝f(x－1)的图象如图所示, 它在R上单调递减, 现有如下结论：

1
?
＜1； ①f(0)＞1; ②f
?
?
2
?
1
?
③f(2)＜1; ④f
?
?
2
?
＞f(2)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：y＝f(x)的图象是在y＝f(x－1)的基础上向左平移一个单位长度得到的, 由图象知
f(0)＝1.故①不正确, 而③正确．②显然正确．对于④f(x－1)单调递减,
1
?
∴f(x)单调递减, 故f
?
?
2
?
＞f(2), ∴④正确, 综上②③④均正确．故选C.
2
?
?
x＋4x，x≥0，
6．已知 函数f(x)＝
?
若f(2－a
2
)>f(a), 则实数a的取值范围是( )
2
?
4x－x，x<0，
?
A．(－∞, －1)∪(2, ＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞, －2)∪(1, ＋∞)
答案：C
解析：由题意知f(x)在R上是增函数, 所以2－a
2
>a, 解得－2二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．函数y＝ －x
2
－x＋6的单调递增区间是________, 单调递减区间是________．
11
－3，－
?

?
－，2
?
答案：< br>?
2
??
2
??
解析：由－x
2
－x＋6≥ 0, 即x
2
＋x－6≤0, 解得－3≤x≤2.
∴y＝ －x
2
－x＋6的定义域是[－3,2]．
1
又∵u＝－x
2
－x＋6的对称轴是x＝－,
2
11
－3，－
?
上单调递增, 在x∈
?
－，2
?
上单调递减． ∴u在x∈
?
2
???
2
?
又∵y＝ u是[0, ＋∞)上的增函数,
11
－3，－
?
, 递减区间是
?
－，2
?
. ∴y＝ －x
2
－x＋6的递增 区间是
?
2
???
2
?
8．函数y＝f(x)在R上单调递 增, 且f(m
2
)＞f(－m), 则实数m的取值范围是________．
答案：(－∞, －1)∪(0, ＋∞)

解析：由函数y＝f(x)在R上单调递增, 且f(m
2
)＞f(－m), 得m
2
＞－m, 结合二次函数y
＝m
2
＋m的图象解得m＜－1或m＞0.
?
?< br>?2b－1?x＋b－1，x>0
9．若函数f(x)＝
?
2
在R上爲 增函数, 则实数b的取值范围是
?
－x＋?2－b?x，x≤0
?
________．
答案：[1,2]

2b－1>0
?
?
2－b
解析：由题意, 得
?
≥0
2
?
?
b－1≥f?0?

, 解得1≤b≤2.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝－x
2
－ax＋3在区间(－∞, －1]上是增函数．
(1)求a的取值范围；
a
－∞，－
?
上爲增函数． (2)证明：f(x)在区间
?
2
??
a
解：(1)∵f(x)的图象是开口向下的抛物线, 且对称轴爲x＝－, ∴f(x)在区间
2
?
－∞，－
a
?
上爲增函数．若使f( x)在区间(－∞, －1]上爲增函数, 则－
a
≥－1, ∴a≤2.∴a
2
??
2
的取值范围是(－∞, 2]．
a
(2)证明：设x
1
＜x
2
＜－, 则
22
f(x
1
)－f(x
2
)＝(－x
2
1－ax
1
＋3)－(－x
2
－ax
2
＋3)
＝(x
2
－x
1
)(x
2
＋x
1
＋a)．
a
∵x
1
＜x
2
＜－,
2
∴x
2
－x
1
＞0, x
1
＋x
2
＋a＜0.∴f(x
1
)－f(x
2
)＜0,
即f(x
1
)＜f(x
2
)．
a
－∞，－
?
上是增函数． ∴f(x)在
?
2
? ?
11．(13分)设函数f(x)＝x
2
＋1－ax, 求参数a的取值范围, 使函数f(x)在[0, ＋∞)上是
单调函数．
2
解：在[0, ＋∞)上任取x
1
, x
2
, 且x
1
2
, 则f(x
1
)－f(x
2
)＝x
2
1
＋1－x
2
＋1－a(x
1
－x2
)＝
2
x
1
＋x
2
x
2
1
－x
2
??
－a
－a(x－x)＝(x－x)
??
.
1212
2
＋1＋x
2
＋1
2
＋1
x
?
12
?
x
2
＋1＋x
12
x
1
＋x
2
因爲0<
2
<1, 则
x
1
＋1 ＋x
2
2
＋1
x
1
＋x
2
①当a≥1时,
2
－a<0, 又因爲x
1
－x
2
<0, 所以f(x
1
)－f(x
2
)>0,
x
1
＋1 ＋x
2
2
＋1
即f(x
1
)>f(x
2
) ．
于是当a≥1时, 函数f(x)在[0, ＋∞)上是减函数．
2a
②当01
＝0, x
2
＝满足f(x
1
)＝1, f(x
2
)＝1,
1－a
2
所以函数f(x)在[0, ＋∞)上不是单调函数．
x
1
＋x
2
③当a≤0时,
2
－a>0, 又因爲x
1
－x
2
<0, 所以f(x
1
)－f(x
2
)<0,
x
1
＋1 ＋x
2
2
＋1
即f(x
1
)2
) ．
于是当a≤0时, 函数f(x)在[0, ＋∞)上是增函数．
综上所述, 当a≥1或a≤0时, 函数f(x)在[0, ＋∞)上是单调函数．

能力提升
2
12．(5分)设f(x)是定义在D上的减函数, 且 f(x)＞0, 则下列函数y＝3－f(x), y＝1＋,
f?x?
y＝[f(x)]
2
, y＝1－ f?x?中增函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
解析：f(x)爲减函数, f(x)＞0.则
2
y＝3－f(x)是增函数, y＝1＋是增函数；
f?x?
y＝[f(x)]
2
是减函数, y＝1－ f?x?是增函数．
13．(15分)已知函数f(x)的定义域是(0, ＋∞), f(xy)＝f(x)＋f(y), 且当x>1时, f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；
?
x＋
1
??
≤0. (3)解不等式f
?
x??
2
??
解：(1)令x＝y＝1, 得f(1)＝2f(1), 所以f(1)＝0.
1
?
1
?
1
?
＝－f(x)． (2)令y＝, 则f(1)＝f(x)＋f
?
＝0, 即f
?
x
??
x?
x
1
??
x
2
?
任取x
1
, x
2
∈(0, ＋∞), 且x
1
2
, 则f(x
2
)－f(x
1
)＝f(x
2
)＋f
?
?
x
1
?
＝f
?
x
1
?
,
x
2
?
x
2
由于>1, 因此f
?
?
x
1
?
>0, 即f(x
2
)>f(x
1
), 所以f(x)在(0, ＋∞)上是增函数．
x
1
?
x＋
1
??
≤0＝f(1), 又f(x)在(0, ＋∞)上是增函数, (3)因爲f
?
x
??
2??
1－1＋17－1－17
1
x＋
?
≤1, 结合二次函数的图象解得0?
或≤x<－.
?
2
?
442
－1＋17－1－17
1
于是不等式的解集爲{x|0442

第12课时 函数的最大(小)值


课时目标
1.理解函数最大(小)值的概念．

2．能利用函数的单调性求最值．
3．会求二次函数在闭区间上的最值．

识记强化



1．函数的最大值．
一般地, 设函数y＝f(x)的定义域爲I, 如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I, 都有f(x)≤M；
②存在x
0
∈I, 使得f(x
0
)＝M.
那么, 称M是函数y＝f(x)的最大值,
记作f(x)
max
＝M.
2．函数的最小值．
一般地, 设函数y＝f(x)的定义域爲I, 如果存在实数N满足：
①对任意x∈I；都有f(x)≥N；
②存在x
0
∈I, 使得f(x
0
)＝N,
就称N是函数y＝f(x)的最小值,
记作f(x)
min
＝N.

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．定义在[－2,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示, 则函数y＝f(x)的最大值和最小值分
别是( )

A．f(2), 0 B．2, f(－1)
C．2, －1 D．2, －2
答案：C
解析：函数y＝f(x)图象的最高点的纵坐标2爲其最大值, 最低点的纵坐标－1爲其最小
值．
3
2．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( )
x＋2
3
A., 0
7
3
B., 0
2
33
C.,
27
1
D．最小值爲－, 无最大值
4
答案：C
33
解析：因爲函数y＝在区间[0,5]上单调递减, 所以当x＝0时, y
max
＝, 当x＝5时,
2
x＋2
3
y
min
＝.故选C.
7
2
?
?
x＋6，x∈[1，2]
3．函数f(x)＝
?
, 则f(x)的最大值和最小值分别爲( )
?
?
x＋7，x∈[－1，1?
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案：A
2
?
?
x＋ 6，x∈[1，2]
解析：作出分段函数f(x)＝
?
的图象(图略), 由图象可知 f(x)
max
＝f(2)
?
x＋7，x∈[－1，1?
?
＝2
2
＋6＝10, f(x)
min
＝f(－1)＝－1＋7＝6.故选A.
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差爲2, 则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
答案：C
解析：依题意, 当a>0时, 2a＋1－(a＋1)＝2, 即a＝2；当a<0时, a＋1－(2a＋1)＝2, 即
a＝－2.故选C.
5．已知关于x的不等式x
2
－x＋a－1≥0在R上恒成立, 则实数a的取值范围是( )

55
－∞，
?
B.
?
－∞，
?
A.
?
4
?
4
???
55
，＋∞
?
D.
?
，＋∞
?
C.
?
?
4
??
4
?
答案：D
解析：记f(x)＝x
2
－x＋a－1, 则原问题等价于二次函数f(x)＝x2
－x＋a－1的最小值大于
1
51555
x－
?
2< br>＋a－, 当x＝时, f(x)
min
＝a－, 所以a－≥0, 求得a≥.故选D. 或等于0.而f(x)＝
?
?
2
?
42444
6．定义域爲R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x), 且当x∈(0,1]时, f(x)＝x
2
－x, 则当x∈(－
1,0]时, f(x)的最小值爲( )
11
A．－ B．－
84
1
C．0 D.
4
答案：A
解析：设x∈(－1,0], 则x＋1∈(0,1], 因爲当x∈(0,1]时, f(x)＝x
2
－x, 所以f(x＋1)＝(x＋
1
11111
x＋
?
2
－, 所以当x＝－时, f(x)1)
2
－(x＋1)＝x
2
＋x.又f(x＋1)＝2f(x), 则f(x)＝x
2
＋x＝
?
222
?
2
?
82
1
取得最小值－.故选A.
8
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共 15分)
7．若函数y＝x
2
＋x－2的定义域爲[－1,2], 则值域爲________．
9
－，4
?
答案：
?
?< br>4
?
19
99
x＋
?
2
－, ∴－≤y≤2
2
＋2－2, 即y∈
?
－，4
?
. 解析： ∵y＝x
2
＋x－2＝
?
?
2
?
4
?4
?
4
8．函数y＝－x
2
＋x＋2的最大值爲_______ _, 最小值爲________．
3
答案： 0
2
1
919
x－
?
2
＋.所以当x＝时, u
max
＝, 即y
max
解析：令u＝－x
2
＋x＋2, 则u≥0, 且u＝－
?
?
2
?
424
3
＝.又因爲u≥0, 所以y
min
＝0.
2
9．已知函数f(x)＝kx
2
＋ 2kx＋1在x∈[－3,2]上的最大值爲4, 则实数k的值等于
________．
3
答案：－3或
8
解析：因爲f(x)＝kx
2
＋2kx ＋1的顶点横坐标爲x
0
＝－1(k≠0), －1∈[－3,2]．当k＞0时,
3
[f(x)]
max
＝f(2)＝4k＋4k＋1＝4, 解得k＝；当k＜0, 时, [f(x)]
max
＝f(－1)＝k－2k＋1＝4, 解得
8
k＝－3；当k＝0时, f(x)＝1, 无最值．
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝x
2
－2ax＋2, x∈[－1,1], 求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝(x－a)
2
＋2－a
2
的图象开口向上, 且对称轴爲直线x＝a.

当a≥1时, 函数f(x)的大致图象如图(1)所示, 函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数, 最小
值爲f(1)＝3－2a；
当－1小值爲f(a)＝2－a
2
；
当a≤－1时, 函数f(x)的大致图象如图(3)所示, 函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数, 最
小值爲f(－1)＝3＋2a.
3＋2a，a≤－1
?
?
于是f (x)
min
＝
?
2－a
2
，－1?< br>?
3－2a，a≥1


x
2
＋2x＋a
11．(13分)已知函数f(x)＝, x∈[1, ＋∞)．
x
1
(1)当a＝时, 求函数f(x)的最小值；
2
(2)若对任意x∈[1, ＋∞), f(x)>0恒成立, 试求实数a的取值范围．
1
x
2
＋2x＋
2
11
解：(1)当a＝时, f(x)＝＝x＋＋2.
2x2x
?
1－
1
?
<0, 任取x
1
, x
2
∈[1, ＋∞), 且x
1
2
, 则f(x
1
)－f(x
2
)＝(x
1
－x
2
)·
?
2x
1
x2
?
所以f(x
1
)2
), 即函数f(x)在[1, ＋∞)上单调递增．
17
所以函数f(x)在[1, ＋∞)上的最小值爲f(1)＝1＋＋2＝.
22
x
2
＋2x＋a
(2)依题意f(x)＝>0在[1, ＋∞)上恒成立, 即x
2
＋2x＋a>0在[1, ＋∞)上恒成
x
立．
记y＝x
2
＋2x＋a, x∈[1, ＋∞), 由y＝(x＋1)
2
＋a－1在[1, ＋∞)上单调递增知, 当x＝1
时, y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0, 即a>－3时, f(x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围爲(－3, ＋∞)．
能力提升
12．(5分)对于每一个实数x, 设f(x)是y＝4x＋1, y＝－2x＋4和y＝x＋2三个函数中的
最小值, 则f(x)的最大值是( )
8
A. B．3
3

21
C. D.
32
答案：A
解析：作出函数f(x)的图象, 如下图所示．
由函数f(x)的图象可知, f(x)图象的最高点爲点A(如图)．
2
x＝，< br>?
y＝x＋2，
3
?
由
?
得
8
?
y＝－2x＋4，
?
y＝.
3
8
故f(x)的最大值爲.
3
13．(15分)求f(x)＝x
2
－2ax－1在区间[0,2]上的最 大值和最小值．
解：f(x)＝(x－a)
2
－1－a
2
, 对称轴爲x＝a.
①当a<0时, 由图(1)知, f(x)
min
＝f(0)＝－1, f(x)
max
＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时, 由图1－3－12知, f(x)
min
＝f(a)＝－1－a
2
, f(x)
max
＝f(2)＝3－4a.


?
?
?

(1) (2) (3) (4)
③当1≤a<2时, 由图(3)知, f(x)
min
＝f(a)＝－1－a
2
, f(x)
max
＝f(0)＝－1.
④当a≥2时, 由图(4)知, f(x)
min
＝f(2)＝3－4a, f(x)
max
＝f(0)＝－1.

第13课时 函数的奇偶性

课时目标
1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．
2．掌握奇偶函数的图象的对称性, 并能利用其正确作出奇偶函数的草图．


识记强化



1．奇(偶)函数的概念．
(1)一般地, 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(－x)＝f(x), 那么函数f(x)就
叫做偶函数．
(2)一般地, 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(－x)＝－f(x), 那么函数f(x)
就叫做奇函数．
(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数, 就说f(x)具有奇偶性．
2．奇(偶)函数的图象特点．
(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称, 那么這
个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来, 如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么這个
函数是偶函数．
(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义, 则f(0)＝0.

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1＋x
1．函数f(x)＝(x－1)· , x∈(－1,1)( )
1－x
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
答案：B
解析：∵x∈(－1,1), ∴x－1＜0.
1＋x
∴f(x)＝(x－1)·＝－ 1－x
2
.
1－x
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)爲偶函数．
故选B.
1
2．函数f(x)＝－x的图象关于( )
x
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案：C
1
解析：∵f(x)＝－x是奇函数, ∴f(x)的图象关于原点对称, 故选C.
x
3．下列说法错误的个数爲( )
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：C
1
解析：由奇、偶函数的性质, 知①②说法正确；对于③, 如f(x)＝, x∈(－∞, 0)∪(0,
x
1
＋∞), 它是奇函数, 但它的图象不过原点, 所以③说法错误；对于④, 如f(x)＝
2
, x∈(－∞,
x
0)∪(0, ＋∞), 它是偶函数, 但它的图象不与y轴相交, 所以④说法错误．故选C.
4．下列函数不具备奇偶性的是( )
1
A．y＝－x B．y＝－
x
x－1
C．y＝ D．y＝x
2
＋2
x＋1

答案：C
x－1
1
解析：y＝－x与y＝－都是奇函数, y＝x
2
＋2是偶函数, y＝的定义域爲{x∈R|x≠
x
x＋1
－1}, 不关于原点对称, 故选C.
5．设函数y＝f(x)在区间D上是奇函数, 函数y＝g(x)在区间D上是偶函数, 则函数H(x)
＝f(x)·g(x)在区间D上是( )
A．偶函数 B．奇函数
C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数
答案：B
解析：由f(x)是奇函数得f(－x)＝－f(x),
g(x)是偶函数得g(－x)＝g(x),
H(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)
＝－H(x)
所以H(x)＝f(x)·g(x)在区间D上爲奇函数．
6．函数f(x)＝ax
2
＋bx＋2a－b是定义在[a－1,2a]上的偶函数, 则a＋b＝( )
11
A．－ B.
33
C．0 D．1
答案：B
1
解析：由偶函数的定义, 知[a－1,2a]关于原点对称, 所以2a＝1－a, 解得a＝.又f(x)爲
3
1
偶函数, 则b＝0. 所以a＋b＝.
3
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．函数f(x)＝ax
2
＋bx＋3x＋b是偶函数, 且其定义域爲[a－1,2a], 则2a＋3b＝
________.
25
答案：－
3
解析：因爲偶函数的定义域关于原点对称,
1
所以(a－1)＋2a＝0, 所以a＝.
3
因爲偶函数的图象关于y轴对称,
b＋3
所以－＝0, 所以b＝－3.
2a
25
故2a＋3b＝－.
3
8．设奇函数f(x)的定义域爲[－5,5], 若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式f(x)
＜0的解集爲________．

答案：(－2,0)∪(2,5]
解析：由奇函数的图象关于原点对称, 作出函数f(x)在[－5,0)的图象, 由图象可以看出,
不等式f(x)＜0的解集是(－2, 0)∪(2,5], 如图所示．
9．已知f(x)、g(x)是R上的奇函数, 若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0, ＋∞)上的最大
值爲5, 则F(x)在(－∞, 0)上的最小值爲________．
答案：－1
解析：奇偶性的应用, 由图象特征知在某一区间存在最值, 则其关于原点对称的区间也
存在最值．
设x∈(－∞, 0), 则－x∈(0, ＋∞)．
∵f(x)、g(x)是R上的奇函数,
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2 ＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)]＋2.
又∵F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0, ＋∞)上的最大值爲5,
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)]＋2≤5.
∴af(x)＋bg(x)≥－3.∴af(x)＋bg(x)＋2≥－1.
则F(x)在(－∞, 0)上的最小值爲－1.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x－1|－|x＋1|；

x＋2，x＜－1< br>?
?
(2)f(x)＝
?
0，|x|≤1
?
?
－x＋2，x＞1

.
解：(1)函数f(x)的定义域爲R, 定义域关于原点对称．
因爲f(－x)＝|－x－1|－|－x＋1|＝|x＋1|－|x－1|＝－f(x), 所以f(x)爲奇函数．
(2)函数f(x)的定义域爲R, 定义域关于原点对称．
当x＜－1时, －x＞1, f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当|x|≤1时, |－x|≤1, f(－x)＝0＝f(x)；
当x＞1时, －x＜－1, f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．
所以对一切x∈R, 都有f(－x)＝f(x), 即函数f(x)是偶函数．
11．(13分)若f(x)是R上的偶函数, g(x)是R上的奇函数, 且满足f(x)＋g(x)＝
1
, 求f(x)
x－1
和g(x)的解析式．
解：因爲f(x)是偶函数, g(x)是奇函数, 所以对于定义域内的任意x, 有f(－x)＝f(x), g(－
11
x)＝－g(x)．在f(x)＋g(x)＝中用－x代替x, 得f(－x)＋g(－x)＝, 即f(x)－g(x)＝
x－1－x－1
11
＝－,
－x－1x＋1
?
f?x?＋g?x?＝
x－1
，
则有?
1
f?x?－g?x?＝－，
?
x＋1
1

1x
解得f(x)＝
2
, g(x)＝
2
.
x－1x－1
能力提升
12．(5分)设f(x)＝ax
5
＋bx
3
＋cx＋7(其中a、b、c爲常数, x∈R), 若f(－7)＝－17, 则f(7)
＝( )
A．31 B．17
C．－31 D．24
答案：A
解析：令g(x)＝ax
5
＋bx
3
＋cx, 则g(x)爲奇函数．
∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17, 得g(－7)＝－24.
∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.
13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称, 且x≥0时f(x)＝x
2
－2x.求满足f(x－1)<3的x
取值范围．
解：∵f(x)图象关于y轴对称, 所以函数f(x)爲偶函数
x≥0时, x
2
－2x＝3, x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.
∵f(x)爲偶函数, ∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3, f(|x－1|)∴|x－1|<3, －2


第14课时 函数奇偶性的简单应用

课时目标
1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式．
2．能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题．


识记强化


1．奇函数?函数图象关于原点对称．
2．偶函数?函数图象关于y轴对称．


课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．下列函数中既是奇函数又在定义域上爲增函数的是( )
1
A．f(x)＝3x＋1 B．f(x)＝
x
1
C．f(x)＝1－ D．f(x)＝x
x

答案：D
1
解析：A.f(x)＝3x＋1在 定义域R上是增函数但不是奇函数．B.f(x)＝是奇函数但不是
x
1
增函数．C. f(x)＝1－不是奇函数且在定义域上不是增函数, 只有D符合．
x
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A．(a, f(－a)) B．(－a, f(a))
?
1
??
C．(－a, －f(a)) D.
?
a， f
??
a
??
答案：C
解析：∵f(－a)＝－f(a), ∴C正确, 故选C.
a
3．若函数f(x)＝x
2
＋(a∈R), 则下列结论正确的是( )
x
A．对任意实数a, f(x)在(0, ＋∞)上是增函数
B．对任意实数a, f(x)在(0, ＋∞)上是减函数
C．存在实数a, 使f(x)是偶函数
D．存在实数a, 使f(x)是奇函数
答案：C
4.54.5
解析：对于A, 取a＝4.5, 则f(1)＝1
2
＋＝5.5, f(1.5)＝1.5
2
＋＝5.25, 显然f(1)>f(1.5),
11.5
2
所以A错误；对于B, 取a＝0, 则f(x)＝x在(0, ＋∞)上是增函数, 所以B错误；对于C, 取
a＝0, 则f(x)＝x
2
, 定义域爲(－∞, 0)∪(0, ＋∞), 且f(－x)＝(－x)
2
＝x
2
＝f(x), 则f(x)是偶函数,
所以C正确；对于D, 假设存在实数a使得f(x)是奇函数, 则f(－1)＝－f(1), 又f(－1)＝1－
a, f(1)＝1＋a, －f(1)＝－1－a, 显然f(－1)≠－f(1), 即假设不成立, 所以D错误．故选C.
1
4．设f(x)是定义在R上的奇函数, 且当x≤0时, f(x)＝x
2
－x, 则f(1)＝( )
2
31
A．－ B．－
22
31
C. D.
22
答案：A
3
解析：因爲f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(1)＝－f(－1)＝－.
2
5．若f(x)＝(x－a)(x＋3)爲R上的偶函数, 则实数a的值爲( )
A．－3 B．3
C．－6 D．6
答案：B
解析：因爲f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(－x)＝f(x), 即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x
＋3), 化简得(6－2a)x＝0. 因爲x∈R, 所以6－2a＝0, 即a＝3.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则
( )
A．f(－1)＜f(3)＜f(4)
B．f(4)＜f(3)＜f(－1)
C．f(3)＜f(4)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(4)＜f(3)
答案：D
解析：因爲f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)＝0, 又f(x)满足f(x－4)＝－f(x), 则f(4)＝－f(0)
＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x), 所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)．又f(x)在区间
[0,2]上是增函数, 所以f(1)＞f(0), 即f(1)＞0, 所以f(－1)＝－f(1)＜0, f(3)＝f(1)＞0, 于是f(－
1)＜f(4)＜f(3)．
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知函数f(x)爲偶函数, 且当x＜0时, f(x)＝x＋1, 则x＞0时, f(x)＝________.

答案：－x＋1
解析：当x＞0时, －x＜0, ∴f(－x)＝－x＋1, 又f(x)爲偶函数, ∴f(x)＝－x＋1.
8．已知y＝f(x)是偶函数, y＝g(x)是奇函数, 它们的定义域均爲[－2,2], 且它们在x∈
[0,2]上图象如图所示, f(x)>g(x)的解集是________．
答案： [－2,0)∪(0,1)
解析：做出函数f(x), g(x)在[－2,2]上的图象．若f(x)>g(x), f(x)图象应位于g(x)图象上方,
结合图象, f(x)>g(x)解集爲[－2,0)∪(0,1)．
9．若奇函数f(x)(x≠0)在x∈(0, ＋∞)时, f(x)＝x－1, 则满足不等式f(x－1)<0的x的取
值范围是________．
答案：(1,2)∪(－∞, 0)
解析：方法一：当x∈(－∞, 0)时, －x∈(0, ＋∞), 所以f(－x)＝－x－1.
又函数爲奇函数,
所以f(x)＝－f(－x)＝x＋1, x∈(－∞, 0)．
?
?
x－1，x>0，
所以f(x)＝
?

?
x＋1，x<0.
?


?
?
x－2，x>1，
所以f(x－1)＝
?
)
?
x，x<1.
?

则f(x－1)<0时,
有1方法二：由于当x∈(0, ＋∞)时, f(x)＝x－1, 所以f(1)＝0, 且函数在(0, ＋∞)上爲增函
数, 又函数爲奇函数, 所以f(－1)＝0, 且函数在(－∞, 0)上也爲增函数, 于是f(x－1)<0转化
爲f(x－1)?
x－1>0，
?
当x∈(0, ＋∞)时, 有
?
即1?
x－1<1，
?
当x∈(－∞, 0)时, x－1<－1, 即x<0.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)已知函数f(x)是定义在(－∞, 0)∪(0, ＋∞)上的奇函数, 又f(x)在(0, ＋∞)上
1
是减函数且 f(x)<0.问F(x)＝在(－∞, 0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．
f?x?
解：F(x)在(－∞, 0)上是增函数, 证明过程如下：
设x
1
2
<0, 则－x
1
>－x
2
>0.
f?x
2
?－f?x< br>1
?
11
F(x
1
)－F(x
2
)＝－＝.
f?x
1
?f?x
2
?f?x
1
?f?x
2
?

∵f(x)是奇函数, ∴－f(x
1
)<－f(x
2
),
即f(x
2
)－f(x
1
)<0.
∵f(x)在(0, ＋∞)上总小于0, －x
1
>－x
2
>0,
∴f(x
1
)＝－f(－x
1
)>0, f(x
2
)＝－f(－x
2
)>0.
∴f(x
1
)f(x
2
)>0, ∴F(x
1
)－F(x
2
)<0.
即F(x
1
)2
)．
∴F(x)在(－∞, 0)上是增函数．
11．(13分)奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数, 若f(m－1)＋f(3－2m)＜0, 求实数m
的取值范围．
解：原不等式化爲f(m－1)＜－f(3－2m)．
因爲f(x)是奇函数, 所以f(m－1)＜f(2m－3)．
因爲f(x)是减函数, 所以m－1＞2m－3, 所以m＜2.
又f(x)的定义域爲(－1,1),
所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1,
所以0＜m＜2且1＜m＜2, 所以1＜m＜2.
综上得1＜m＜2.
故实数m的取值范围是(1,2)．
能力提升
12．(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x), 则f(6)的值爲( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：B
解析：∵f(x)是R上的奇函数
∴f(0)＝0.
f(2)＝－f(0)＝0.
f(4)＝－f(2)＝0.
f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝0.
ax＋ b
12
13．(15分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数, 且f()＝.
2
25
1＋x
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的值域．
ax＋ba?－x?＋b
解：(1)因爲f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数, 所以f(－x)＝－f(x), 即＝
1＋x
2
1＋?－x?
2
ax＋b
－, 求得b＝0.
1＋x
2
1
a
2
122
又f()＝, 即＝, 求得a＝1.
2515
1＋??
2
2
x
故所求函数解析式 爲f(x)＝(x∈(－1,1))．
1＋x
2
x1
(2)当x＝0时, f(0)＝0；当x≠0时, f(x)＝＝
1
1＋x
2
x＋
x
1
令u(x)＝x＋, x∈(－1,1), 且x≠0, 设任意的x
1
, x
2
∈(0,1), 且x
1
＜x
2
, 则
x
111
u(x
1
)－u(x
2
)＝x
1
＋－(x
2
＋)＝(x1
－x
2
)(1－)．
x
1
x
2
x
1
x
2
1
因爲0＜x
1
＜x
2
＜ 1, 所以0＜x
1
x
2
＜1,1－＜0.
x
1
x
2
又x
1
－x
2
＜0, 所以u(x
1
)－u(x
2
)＞0, 即u(x
1
)＞u(x
2
), 故u(x)在(0,1)上单调递减．

同理可得u(x)在(－1,0)上单调递减．
1
所以当x∈(－1,0)时, u(x)＜u(－1)＝－2,0＞f(x)＞－；
2
1
当x∈(0,1)时, u(x)＞u(1)＝2,0＜f(x)＜.
2
11
又x＝0时, f(0)＝0, 所以当x∈(－1,1)时, 函数f(x)的值域爲(－, )．
22



第15课时 根式


课时目标
1.理解方根及根式的概念．
2．正确运用根式的运算性质、进行运算变换．


识记强化


1．根式的定义．

n
如果x
n
＝a, 那么x叫做a的n次方根, 其中n＞1且n∈N
*
.式子a叫做根式, 這里n叫
做根指数, a叫做被开方数．
2．根式的性质．
n
(1)当n爲奇数时, 有a
n
＝a；

?
?
a?a≥0?
a＝
?
)；
?
－a?a＜0?
?
n
(2)当n爲偶数时, 有
n

(3)负数没有偶次方根；零的任何次方根是0.

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
5
1.?a－b?
2
＋?a－b?
5
的值是( )
A．0 B．2(a－b)
C．0或2(a－b) D．a－b
答案：C
解析：分类讨论, 当a－b≥0时,
原式＝(a－b)＋(a－b)＝2(a－b)；
当a－b<0时, 原式＝－(a－b)＋(a－b)＝0.
2．当a、b∈R, 下列各式总能成立的是( )
8
66
A．(a－b)
6
＝a－b B.?a
2
＋b
2
?
8
＝a
2
＋b
2

10
44
C.a
4
－b
4
＝a－b D.?a＋b?
10
＝a＋b
答案：B
解析：本题可以通过取特殊值排除, 最后确定正确选项．如取a＝0, b＝1, A不成立；
取a＝0, b＝－1, C不成立；取a＝－1, b＝－1, D不成立；因爲a
2
＋b
2
≥0, 所以B正确．
3．计算：－x
3
＝( )
A．x－x B．－xx
C．－x－x D．xx
答案：C
解析：由已知, 得－x
3
≥0, 所以－x
3
＝?－x?·x
2
＝－x·x
2
＝－x·|x|＝－x－x, 选
C.
4．若xy≠0, 那么等式x
2
y
3
＝－xyy成立的条件是( )
A．x>0, y>0 B．x>0, y<0
C．x<0, y>0 D．x<0, y<0
答案：C
x
2
y
3
>0
?
?
?
x<0
解析：∵xy≠0, ∴x≠0, y≠0.由
?
－xy>0
, 得
?
.选C.
y>0
?
?
?
y>0
5．已知m
10
＝2, 则m等于( )


A．10 2 B.
10
2

10
C.2
10
D．±2
答案：D
解析：∵m
10
＝2, ∴m是2的10次方根
10
又∵10是偶数, ∴2的10次方根有两个, 且互爲相反数, ∴m＝±2
6．式子 3＋ 5＋
A．1 B．10
C．100 D.10
答案：D
3－ 5的化简结果爲( )
解析：(3＋ 5＋ 3－ 5)
2
＝3＋ 5＋3－ 5＋2 ?3＋ 5??3－ 5?＝6＋2 4＝
10.∴化简结果爲10.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
6
7．(1)?－3?
6
＝________；
3
(2)?－5?
3
＝________.
答案：(1)3 (2)－5
63
解析：(1)?－3?
6
＝|－3|＝3.(2)?－5?
3
＝－5.
8．化简：(3＋ 2)
2012
·(3－ 2)
2013
＝________.
答案：3－ 2
解析：原式＝(3＋ 2)
2012
·(3－ 2)
2012
·(3－ 2)＝[(3＋ 2)(3－ 2)]
2012
·(3
－ 2)＝ 3－ 2.
－x
3
9．化简的结果是________．
x
答案：－－x
－x
3
－x
3
解析：由题意知x<0, ∴＝－＝－－x.
xx
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)求下列各式的值：
(1)?－100?
2
；
3
(2)(1－ 3)
3
；
6
(3)?1－ 3?
6
；
(4)x
2
＋2xy＋y
2
.
解：(1)?－100?
2
＝|－100|＝100.
(2)(1－ 3)
3
＝1－ 3.
6
(3)?1－ 3?
6
＝|1－ 3|＝ 3－1.
?
x＋y，x≥－y，
?
(4)x
2
＋ 2xy＋y
2
＝?x＋y?
2
＝|x＋y|＝
?
)
?
－x－y，x＜－y.
?
11．(13分)求下列各式的值：
3

43
3
(1)?－6?
3
＋?5－4?
4
＋?5－4?
3
；
(2)x
2
－2x＋1－x
2
＋6x＋9(－3解：(1)原式＝－6＋4－ 5＋ 5－4＝－6
(2)原式＝|x－1|－|x＋3|

当－31≤x<3时, 原式＝x－1－x－3＝－4.
能力提升
12．(5分)化简6－25－8－215的结果爲( )
A．1－3 B.3－1
C．－1－3 D．1＋3
答案：B
解析：原式＝?5－1?
2
－ ?5－ 3?
2
＝5－1－(5－ 3)＝3－1.
a－b
的值．
a＋b
13．(15分)(1)已知a, b是方程x
2
－6x＋4＝0的两个实数根, 且a>b>0, 求
(2)若x>0, y>0, 且满足x(x＋y)＝3y(x＋5y)求
解：(1)∵a, b是方程x
2
－6x＋4＝0的两实数根,
?
?
a＋b＝6，
∴
?
∵a>b>0, ∴a>b.
?
ab＝4.
?
2x＋2xy＋3y
的值．
x－xy＋y

则
?
∴
?
a－ b
?
2
a＋b－2 ab6－2 4
21
＝＝＝.
?
＝
?
a＋ b
?
a＋b＋2 ab6＋2 4
105
a－ b
15
＝＝.
55
a＋ b
(2)由x(x＋y)＝3y(x＋5y)得x＋xy＝3xy＋15y
即x－2xy－15y＝0
∴(x＋3y)(x＋5y)＝0
∵x>0, y>0
∴x－5y＝0, 即x＝5y.
2x＋2xy＋3y
∴x＝25y∴
x－xy＋y
2×25y＋225y
2
＋3y
＝
25y－25y
2
＋y
50y＋10y＋3y
＝＝3
25y－5y＋y

第16课时 分数指数幂与幂的运算

课时目标
1.理解分数指数幂的概念．
2．能熟练进行分数指数幂与根式的相互转化．
3．掌握幂的运算法则．


识记强化


1．分数指数幂的意义．
(1)正数的正分数指数幂．
n
a＝a
m
(a＞0, m, n∈N
*
, 且n＞1)
(2)正数的负分数指数幂．
a＝ (a＞0, m, n∈N
*
, 且n＞1)
(3)0的分数指数幂．
0的正分数指数幂等于0,
0的负分数指数幂没有意义．
2．有理指数幂的性质．
?
m
n
m
n



?1?a
r
a
s
＝a
rs
?a＞0，r ，s∈Q?.
?2??a
r
?
s
＝a
r

s
?a＞0，r，s∈Q?.
＋
?3??ab?
r
＝a
r< br>b
r
?a＞0，b＞0，r∈Q?.

)

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
5
－
1．把根式?a－b?
2
改写成分数指数幂的形式爲( )
A．(a－b)
?
2
5
?
2
5
?
B．(a－b)
2
5
5
2
C．a－b
答案：A
D．a－b
－
2
5
2
5
2
解析：原式＝[(a－ b)]＝(a－b)
3
3
2
?－5?]
4
1
5< br>?
2
5
.故选A.
2．化简[的结果爲( )
A．5 B.5
C．－5 D．－5
答案：B
解析：[＝5＝5＝5, 故选B.
3．下列等式能够成立的是( )
n
?
7
7
A.
?
m
7
(m≠n, m≠0)
?
m
?
＝n·
B.
12
4
?－ 3?
4
＝(－3)
3
4
1
3
1
3
3
?－5?
2
]
4
13
?
＝(5
2)
34
2?
1
4
1
2
C.x
3
＋y
3
＝(x＋y) (x≥0, y≥0)
D.9＝3
答案：D < br>n
?
7
n
7
－
?
解析：∵
?
m
?
＝
7
＝n
7
·m
7
, ∴A错；
m
∵
∵
∵
12
4
?－3?
4
＝< br>12
3
4
＝3≠(－3)
≠(x＋y)
3
4
1
3
1
3
3
1
3
, ∴B错；
1
3333
x＋y＝(x＋y)
4
, ∴C错；
9＝9＝3, ∴D正确, 故选D.
a
2
4．式子(a>0)经过计算可得( )
3
2
a·a
6
A．a B．－a
5

56
C.a
6
D.a
5

36
1
3

答案：D
6
解析：原式＝＝a＝a＝a
5
.
5．设x, y, z∈R, xyz≠0, 且4
x
＝6
y
＝144
z
, 则( )
111211
A.＝＋ B.＝＋
zxyzxy
121112
C.＝＋ D.＝＋
zxyzxy
答案：D
2-
7
6
5
6
解 析：设4
x
＝6
y
＝144
2
＝t, 则4＝t, 6＝t, 144＝t, ∴36＝t.又144＝4×36, ∴t
112
＝t·t, 即＝＋, 选D.
zxy
6．已知02
－3x＋1＝0, 则x－x
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－5
答案：B < br>1
2
?
1
2
1
x
2
y
1< br>x
1
y
1
z
2
y
1
z
的值 爲( )
解析：∵x
2
－3x＋1＝0, ∴x
2
＋1＝3x, ∵0x
?
1
－2
2
)＝x＋x
1
－2＝3－2＝1.又
－
1
1
2
01
2
?
1
2
?
1
x－1
2
＝x－＝<0, ∴x－x
2
＝－1.
xx
11
故选B.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
3
7．用分数指数幂 表示：
?
1
2
?
1
12
xy
2
6 4
x
5
·y
3
＝________.
答案：x
解析：
y
＝＝x
15
?
36
3
6
xy
2
1
8
4
x
5
·y
3
x
y
23
?
34
＝x
?
1
2
y
?
1
12

8．若10＝3
1
答案：
3
解析：10
2
x
－
y
?
4
－< br>, 10
y
＝27, 则10
2
xy
＝________.
＝(10
x
)
2
÷10
y
＝(3
?
1
8
2
4
)÷27＝3
?
1
4
1
÷3＝.
3
3
4
111
9．若a, b, c爲正实数, a
x
＝b
y
＝c
z
, ＋＋＝0, 则abc＝________.
xyz
答案：1
解析：设a
x
＝b
y
＝c
z
＝k, 则k>0, a＝k, b＝k, c＝k, 因此abc＝kkk＝k
k
0
＝1.
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)计算：
1
?
0.5
8
?
?
3
??
2－2
(1)?
2
?
－0.75＋6×
??
；
?
4
??
27
?
2
1
x
1
y
1
z< br>1
x
1
y
1
z
111
??
xyz< br>＝

1
2
2
(2)(0.25)
?< br>?
2015
?
0
?
2
×[(－2)
3
]
?
3
＋10(2－3)
－
1
－10×3
0.5
； －
?
－2×
??
2014
??
1
2< br>1
8
3
5
2
1
?
?
3
3< br>?
4－
1
?
－
1
. (3)(7＋43)－81＋3 2－2×
?
＋2×
?
8
??
3
?
18?
2
?
0.5
－0.75
2
＋6
－
2
×
??
3
解：(1)
?
?
4
??
27
?
3
?
2
?
2
?
3
?2
1
??
2
?
3
?
?
3
??
＝
??
2
??
－
?
4
?
××??
3
??

36
3
3
?
2
1
?
2
?
－
2
＝－
?
＋×
2< br>?
4
?
36
?
3
?
3919
＝－＋ ×
216364
＝1.
(2)(0.25)
?
1
22
1
2
?
2015
?
0
?
2
×[(－2)
3
] －
?
－2×
??
2014
??
1
2
－
2
?
2
3
＋10(2－3)
1
－10×3
0.5

1
－
＝[(0.5)
2< br>]
?
1
－(－2×1)
2
×(－2)＋10×－10×32

2－3
1
＝2－4×＋10(2＋3)－103
4
＝21.
1
?
?
3
3
?
4－
1
?
－
1
(3)(7＋43)－81＋32－2×
?＋2×
?
8
??
3
?
＝[(2＋3)
2
] －(3
4
) ＋(2
5
)
＝2＋3－3＋8－8＋2
＝4.
11．(13分)已知x＋x
－
(1)x－x
1
；
－
x
2
＋x
2
－7
(2).
－
x＋x
1
＋3
解：(1)将x＋x
∴(x－x
即x－x
－< br>1
1
2
1
8
3
5
2
1
2< br>1
8
3
5
－2×(2)
－
3
?
2
3
＋2×(2
2
)
1
3
1
3

1
2
?
1
2
＝3, 计算：
1
2
?
1
2
＝3两边平方, 得x＋x
1
＋2＝3
2
, 即x＋x
1
＝7,
·x
?
1
2
－－
1
2
?
?
11< br>－
1
2
2
)＝x＋x－2x
2
1
2
＝7－2×1＝5,
1
2
＝±5,
1
2
?
1
2
1
2
?
1
2
∴x－x＝(x－x)(x＋x) ＝±35.
－
1
－
(2)将x＋x＝7两边平方, 得x
2
＋x
2
＋2＝49,
－
∴x
2
＋x
2
＝47,
－
x
2
＋x
2
－747－7
∴＝＝4.
－
x＋x
1
＋37＋3
能力提升
12．(5分)
1
??
1
??
1
??
1
??
1＋
1
??
1＋1＋1＋1＋
?
2
32
??
2
16
??
2
8
??
2
4
??
2
2
?

?
1＋
1
?
的值等于( )
?
2
?
11
A．1－
64
B．2－
63

22

113
C.－
65
D.
221
??
4
?
1－
2
32
?
答案：B
1111
?
1＋
1
?
＝2
?
1－
1
2
?
1－
?
·
?
1＋
?
·
?
1＋
2
?
·
?
1＋
4
?
·解析：原式＝2
?
… ·
32
?
2
??
2
??
2
??
2
??
2
??
2
?
?
1＋
1
2?
·
?
1＋
1
?
＝2
?
1－
1
?
＝2－
1
. …·
3264
?
2
??
2
??
2
?
2
63
13
13．(15分) 设的整数部分爲x, 小数部分爲y, 求x
2
＋ 7xy＋的值．
y
3－ 7
3＋ 74－1＋ 77－1
1
解：因爲＝＝＝2＋,
222
3－ 7
7－1
.
2
7－1
3
原式＝2
2
＋ 7·2·＋＝4＋7－ 7＋7＋1＝12.
2
7－1
2
所以x＝2, y＝

第17课时 指数函数的基本内容

课时目标
1.理解指数函数的概念和意义．
2．会求与指数函数有关的定义域和值域．
3．会画指数函数的图象, 能用指数函数的图象解决一些简单的问题．


识记强化

1．指数函数的定义．
函数y＝a
x
(a＞0, 且a≠1)叫做指数函数．
2．指数函数的图象与性质.
a＞1 0＜a＜1
图象
性质
定义域
值域
定点
相应的y值

R
(0, ＋∞)
图象过点(0,1)即a
0
＝1
x＞0时, y＞1；x＝0时, y＝1；x＞0时, 0＜y＜1；x＝0时, y
x＜0时, 0＜y＜1. ＝1；x＜0时, y＞1.

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)

一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．下列函数中, 是指数函数的是( )
＋
A．y＝x
2
B．y＝3
2
x
1

C．y＝3×4
x
D．y＝3
2
x

答案：D
解析：A项中函数的底数是自变量x, 指数是常数2, 故不是指数函数；B项中函数的底
数是常数3, 指数是2x＋1, 而不是自变量x, 故不是指数函数；对于C项, 這个函数中4
x
的
系数是3, 不是1, 故不是指数函数；D项中函数可以化爲y＝9
x
, 符合指数函数的定义, 而y
＝3
2
x
与y＝9
x
的定义域与对应关系相同, 所以它们是同一函数, 即y＝3
2
x
是指数函数．故选
D.
1< br>?
x
2．对函数y＝
?
?
2
?
, 使0A．x<0 B．x<1
C．x>0 D．x>1
答案：C
3．函数y＝(a
2
－3a＋3)a
x
是指数函数, 则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>1, 且a≠2
答案：C

解析：由指数函数的概念, 得a
2
－3a＋3＝1, 解得a＝1或a＝2.当a＝1时, 底数是1, 不
符合题意, 舍去；当a＝2时, 符合题意, 故选C.
－
4．函数y＝ 2
x
1
－8的定义域爲( )
A．[3, ＋∞) B．[4, ＋∞)
C．(3, ＋∞) D．(4, ＋∞)
答案：B
－－
解析：要使函数有意义, 需2
x
1
－8≥0, 则2
x
1
≥8＝2
3
, ∴x－1≥3.得x≥4.故选B.
5．当x＞0时, 函数f(x)＝(a
2
－1)
x
的值总大于1, 则实数a的取值范围是( )
A．1＜|a|＜2 B．|a|＜1
C．|a|＞1 D．|a|＞ 2
答案：D
解析：根据指数函数性质知a
2
－1＞1, 即a
2
＞2, ∴|a|＞2.
6．下列函数中, 定义域与值域相同的是( )
1
A．y＝2
x
B．y＝
x－1
C．y＝3
答案：C
1
x?1
D．y＝2
1
x
1
解析：A选项中, y＝2
x
的定义域爲R, 值域爲(0, ＋∞)；B选项中, y＝的定义域爲
x－1
{x|x≠1}, 值域爲{y|y≠0}；C选项中, x－1>0?x>1, 所以y＝3
1
>0?3
x－1
1
x?1
1
x?1
的定义域爲(1, ＋∞), 又
1
x
>3
0
＝1,
1
所以其值域也爲(1, ＋∞)；D选项中, y＝2的定义域爲(－∞, 0)
1
1
∪(0, ＋∞), 而≠0?2
x
>0且2
x
≠1, 所以其值域爲(0,1)∪(1, ＋∞)．所以选C.
x
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．函
答案：{x|－2≤x≤3}
x
2
－x－6
的定义域爲________．
x
2
－x－6
解析：1－3≥0?3≤1?x
2
－x－6≤0?－2≤x≤3.
－
8．若a>0且a≠1, 则函数f(x)＝a
2
x
4
＋3的图象恒过定点________．
答案：(2,4)
－
解析：令2x－4＝0, 得x＝2, ∴f(2)＝a
0
＋3＝4, ∴函数f(x)＝a
2
x
4
＋3的图象恒过定点
(2,4)．
x
?
?
2，x<0
9．若函数f(x)＝
?
, 则函数f(x)的值域是________．
－
x
?
－2，x>0
?
答案：(－1,0)∪(0,1)
－
解析：由x<0, 得0<2
x
<1；由x>0, 得－1<－2
x
<0.所以函数f(x)的值域爲(－1,0)∪
(0,1)．
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
10．(12分)指数函数y＝f(x)的图象经过点(π, 2), 试求y＝f(x)的解析式及f(0)、f(1)、f(－
π)的值．
解：根据指数函数的定义, 可设指数函数爲y＝f(x)＝a
x
, 利用待定系数法可求出a的

值．因爲它的图象经过点(π, 2),
f(1)＝2, f(－π)＝2
1
?
?
1
?
π
所以2＝a, a＝2, 于是f(x)＝(2)＝2.所以f(0)＝2
0
＝1,
1
?< br>x
x
?
?
?
1
－
＝2
1
＝ .
2
a
11．(13分)已知函数f(x)＝a
x
(a>0, a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大, 求a的值．
2

a
解：(1)当a>1时, f(x)在[1,2]上单调递增, 故a
2
－a＝, 即2a
2
－3a＝0.
2
3
因爲a>0, 所以a＝,
2
a
(2)当02
＝, 即2a
2
－a＝0.
2
1
因爲a>0, 所以a＝.
2
31
综上, a＝或.
22
能力提升
x
12．(5分)若集合A＝{y|y＝2, x∈R}, B＝{y|y＝x
2
, x∈R}, 则( )
A．AB B．A?B
C．AB D．A＝B
答案：A
解析：A＝{y|y＞0}, B＝{y|y≥0}, 故AB.
13．(15分)对于A年可成材的树木, 在此期间的年生长率爲a%, 以后的年生长率爲
b%(a＞b), 树木成材后, 既可以出售树木, 重栽新树苗；也可让其继续生长．
(1)问哪一种方案可获得较大的木材量？
(2)对于5年成材的树木, 用哪种方案可获得较大的木材量？(2≈1.149)
解：(1)只需考虑2A年的情形, 设新树苗的木材量爲Q, 则2A年后有两种结果：
①连续长2A年, 木材量N＝Q(1＋a%)
A
(1＋b%)
A
；
②生长A年后再重栽, 木材量M＝2Q(1＋a%)
A
.
M2
∵＝,
N
?1＋b%?
A
∴当(1＋b%)
A
＜2时, 用重栽的方案较好；
当(1＋b%)
A
＞2时, 用连续生长的方案较好．
(2)当A＝5时, 考虑(1＋b%)
5
＝2, 解得b＝14.9.
因此, 对于5年成材的树木, 当5年以后的生长率低于14.9%, 应考虑重栽, 当5年以后
的生长率高于14.9%时应考虑用连续生长的方案．


第18课时 指数函数图象及应用


1
5

课时目标
1.加深指数函数图象的认识, 掌握图象的变换．
2．能利用图象解决一些简单问题．

识记强化


1．两类指数函数图象
(1)a>1 (2)0


11
2．指数函数y＝a
x
, 当a＝2, a＝, a＝10, a＝时, 图象爲图中的①、②、③、④
210

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1
?
x
1．函数f(x)＝π
x
与g(x)＝
?
?
π
?
的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
答案：C
1
?
x
－
解析：设点(x, y)爲函数f(x)＝π
x
的图象上任意一点, 则点(－x, y)爲g(x)＝π
x
＝
?
?
π
?
的图
1
?
x
象上的点．因爲点(x, y)与点(－x, y)关于y轴对称, 所以函数f(x)＝π
x
与g(x)＝
?
?
π
?
的图象关
于y轴对称, 选C.
1
?
|
x
|
2．函数y＝
?
?
2
?
的图象是( )

答案：B
1
x< br>解析：因爲y＝
?
1
?
2
?
|
x
|
＝
?
??
，x≥0
?
?
?
2
?< br>?
1
?
所以选B.
?
?
－
2
?
x
，x<0

,
3．要得到函数y＝2
1
－
2
x
的图象, 只需将指数函数 y＝
?
1
?
4
?
?
x
的图象(
A ．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移
1
2
个单位
D．向右平移
1
2
个单位
答案：D
1-2
?< br>?
1
?
解析：y＝
?
1
?
4
??
x
＝2
－
2
x
＝2
?
x?
2
?
?
.向右平移
1
2
个单位．

)

4．函数①y＝a
x
；②y＝b
x
；③y＝c
x
；④y＝d
x
的图象如 图所示, a, b, c, d分别是下列四
514
个数：, 3, , 中的一个, 则对应的a, b, c, d的值是( )
4311
514541
A., 3, , B.3, , ,
43114113
415145
C., , 3, D., , , 3
11343114
答案：C
解析：方法一：从第一象限看指数函数的图象, 逆时针方向底数依次从小变大, 故选C.
541
方法二：直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次爲c, d, a, b, 而3>>>,
4113
故选C.
－
5．已知函数f(x)＝a
xb
的图象如图所示, 其中a, b爲常数, 则下列结论正确的是( )

A．a>1, b<0 B．a>1, b>0
C．00 D．0答案：D
－－
解析：由图象, 知f(x)＝a
xb
在R上单调递减, 则0b
<1＝a
0
,
所以－b>0, 即b<0.故选D.
1
6．函数y＝a
x
－(a>0, a≠1)的图象可能是( )
a

答案：D

1
解析：A, B选项中, a>1, 于是0<1－<1, 所以图象与y轴的交点的纵坐标应在(0,1)之间,
a
1
显然A, B的图象均不正确；C, D选项中, 0a
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
33
7．已知指数函数f(x)的图象经过点
?
－，
?
, 则f(3.14)与f(π)的大小关系爲
?
29
?
________．
答案：f(3.14)

3
3
3
?
3
－
?
＝, a
2
＝解析：∵f(x)是指数函数, ∴可设f(x)＝a
x
(a>0, a≠1), 由已知, 得f
?
?
2
?
99
, 即a＝3, ∴f(x)＝3
x
.
∵3.14<π, ∴f(3.14) 8．若直线y＝2a与函数y＝|a
x
－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点, 则a的取值范
围是________．
1
答案：2
解析：当a>1时, 通过平移变换和翻折变换可得如图(1)的图象, 则由图可知1<2a<2, 即
1
1矛盾；
2
＝3
?
3
2

(1) (2)
当01
2

?< br>9．若函数f(x)＝
?
?
1
?
，?x≥0?，
?< br>?
3
?
x
1
，?x<0?，
x

1
)则不等式|f(x)|≥的解集爲________．
3
答案：{x|－3≤x≤1}
1
?
11111
解析：①当x<0时, |f(x)|＝
?
≥, 即≥或≤－, ∴－3≤x<0.
?
x
?
3x3x3
?
1
?
x
?
≥
1
, 即
?
1
?
x
≥
1
, ∴0≤x≤1.由①②可得－3≤x≤1. ②当x≥0时,
?
??
3
??
3
?
3
?
3
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
＋
10．(12分)画出函数y＝2
|
x
1|
的图象, 并根据图象指出它的单调区间．
?
?
1
?
x
＋
1
?x＜－1?
?
＋
解：y＝2
|
x
1|
＝
?
?
2
?
)
?
?
2
x
＋
1
?x≥－1?


1
?
x
＋
1
(x＜－1)的图象作出, 而它的图象是由y
1
＝其图象分成两部分, 一部分是将y
1
＝
?< br>?
2
?
?
1
?
x
沿x轴的负方向平移一个单 位得到的, 另一部分是将y
2
＝2
x
＋
1
(x≥－1)的图象作出, 即将
?
2
?
y＝2
x
的图象向左平移一个单位得到的．如图 , 可知单调递减区间爲(－∞, －1], 单调递增
区间是[－1, ＋∞)．
11．(13分)画出函数y＝|3
x
－1|的图象, 并利用图象回答：k爲何值时, 方程|3
x
－1|＝k无
解？有一解？有两解？

解：函数y＝|3
x
－1|的图象是由函数y＝ 3
x
的图象向下平移一个单位后, 再把位于x轴下
方的图象关于轴翻折到x轴上方得到, 函数图象如图所示．
当k<0时, 直线y＝k与函数y＝|3
x
－1|的图象无交点, 即方程无解；
当k＝0或k≥1时, 直线y＝k与函数y＝|3
x
－1|的图象有唯一的交点, 即方程有一解；
当0x
－1|的图象有两个不同交点, 即方程有两解．
能力提升
x
xa
12．(5分)函数y＝(0|x|
答案：D


?
a
x
，x>0，
xa
x
?
解析：函数定义域爲{x|x∈R, x≠0}, 且y＝＝
?
x
当x>0时, 函数是一个指
|x|
?
－a，x<0.
?

数函数, 因爲0x
(x<0)的图象关于
x轴对称, 函数递增．
41
1
－
2，
?
. 13．(15分)函数f(x)＝(a
x
＋a
x
)(a>0, 且a≠1)的图象经过点
?
9
??
2
(1)求 f(x)的解析式；
(2)证明 f(x)在[0, ＋∞)上是增函数．

41
2，
?
, 解：(1)∵f(x)的图象过点
?
9< br>??
1411
2
1
?
41
－
a＋
2
＝. ∴(a
2
＋a
2
)＝, 即
?
a
?
9292
?
1
整理得9a
4
－82a
2
＋ 9＝0, 解得a
2
＝9或a
2
＝.
9
1
又a>0, 且a≠1, ∴a＝3或a＝.
3
1
－
当a＝3时, f(x)＝(3
x
＋3
x
)；
2
11
?
1
?
x
?
1
?
－
x
?
1
x
－
x
当a＝时, f(x)＝
?
＋＝(3＋3)
32< br>??
3
??
3
??
2
1
－
综上可知 , 所求解析式爲f(x)＝(3
x
＋3
x
)．
2
(2)设x
1
, x
2
∈[0, ＋∞), 且x
1
2
, 则
1
x
1
x－x－x
f(x
1
)－f(x
2
)＝(3
1
＋3
1
)－(3
2
＋3
2
)
22
＝


.
xx
x＋x
∵0≤x
1
≤x
2
, ∴3
1
－3
2
<0, 且3
12
>1.
∴f(x
1
)－f(x
2
)<0, 即f(x
1
)2
)．
∴f(x)在[0, ＋∞)上是增函数．

第19课时 指数函数的性质及应用(1)


课时目标
1.理解指数函数的单调性．
2．能利用指数函数的单调性比较指数式的大小．
3．会解决与指数函数有关的综合问题．

识记强化



1．指数函数的单调性
(1)当0＜a＜1时指数函数y＝a
x
爲减函数．
(2)当a＞1时指数函数y＝a
x
爲增函数．
2．比较指数式的大小, 首先要把两指数式化爲同底指数幂的形式, 然后根据底数的值,
结合指数函数的单调性, 判断出指数式的大小．

课时作业


(时间：45分钟, 满分：90分)


一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．若函数f(x)＝(2a－1)
x
是R上的减函数, 则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1, ＋∞)
1
?
C.
?
?
2
，1
?
D．(－∞, 1)
答案：C
1
?
1
解析：由已知, 得0<2a－1<1, 则?
?
2
，1
?
.
2
2．已知a＝0.86
0.75
, b＝0.86
0.85
, c＝1.3
0.86
, 则a, b, c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
答案：D
解析：∵函数y＝0.86
x
在R上是减函数, ∴0<0.86
0.85
<0.86
0.75
<1.又1.3
0.8 6
>1, ∴c>a>b.
4
x
－1
3．函数f(x)＝
x
的图象关于( )
2
A．原点对称 B．直线y＝x对称
C．直线y＝－x对称 D．y轴对称
答案：A
4
x
－1
x
－
x
－
解析：由题意可知, 函数f(x)的定义域爲R, 且f(x)＝
x
＝2－2, f(－x)＝2
x
－2
x
＝
2
－f(x), 所以函数f(x)爲奇函数, 故选A.
4．函数y＝f(x)爲奇函数, x>0时, f(x)＝10
x
, 当x＜0时, 则f(x)等于( )

A．10
x
B．10
x

－
C．－10
x
D．－10
x

答案：D
解析：当x＜0时, －x＞0,
－
所以f(－x)＝10
x
.
又因爲f(x)爲奇函数,
－
所以f(－x)＝－f(x)＝10
x
,
－
所以x＜0时, f(x)＝－10
x
.故选D.
1
?
|
x
|
5．关于x的方程
?
?
2
?
＝a＋1有解, 则a的取值范围是( )
A．0C．a≥1 D．a>0
－
答案：B
1
?
|x
|
解析：设f(x)＝
?
?
2
?
, 其图象如图所示,

由图得0则0－
6．设函数f(x)＝a
|
x
|
(a>0, 且a≠1), f(2)＝4, 则( )
A．f(－2)>f(－1)
B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2)
D．f(－2)答案：A
1
－
解析：f(2)＝4, ∴a
2
＝4, a＝, f(x)＝2
|
x
|
, f(x)在(－∞, 0)上单调递减－2<－1, ∴f(－
2
2)>f(－1), 选A.
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
1
?
x－
3
7．满足
?
?
4
?
>16的x的取值集合 是________．
答案：(－∞, 1)
1
?
x
－
3
?
1
?
x
－
3
>
?
1
?
－
2
, 利用指数函数的单调性, 得x－3<－2, 即x<1. 解析：
?
>16, 即
?
4
??
4
??
4
?
8．函数y＝1－3
x
的值域爲________．
答案：[0,1)
解析：由3
x
>0, 得－3
x
<0, ∴1－3
x
<1, 又1－3
x
≥0, 所以0≤1－3
x
<1, 所以函数y＝

1－3
x
的值域爲[0,1)．
9．根据条件写出正数a的取值范围：
－
(1)若a
0.3
＜a
0.2
, 则a∈________；
(2)若a
7.5
＜a
4.9
, 则a∈________；
(3)若a＜1, 则a∈________；
(4)若a＜a, 则a∈________.
答案：(1)(1, ＋∞) (2)(0,1) (3)(0,1) (4)(1, ＋∞)
－
解析：(1)∵ －0.3＜0.2, a
0.3
＜a
0.2
, ∴函数y＝a
x
是增函数, 故a∈(1, ＋∞)．
(2)∵7.5＞4.9, a
7.5
＜a
4.9
, ∴函数y＝a
x
是减函数, 故a∈(0,1)．
7
(3)∵a＜1＝a
0
, ＞0.∴函数y＝a
x
是减函数, 故a∈(0,1)．
4
2
(4)∵＜1, a
3
＜a
1
, ∴函数y＝a
x
是增函数, 故a∈(1, ＋∞)．
3
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
2
?
－x
2
－4x
?
10．(12分)(1)求函数y＝
?
5
?的单调区间．
1
－x
2
＋2x
(2)求函数y＝()的值域．
3
2
?
u
2
2
－4x.函数y＝
??u
在R上是减函数, 函数解：(1)函数的定义域是R.设y＝
?
, u＝－x
?
5
??
5
?
2
?
u＝－x
2< br>－4x在区间[－2, ＋∞)上是减函数, 在(－∞, －2)上是增函数, 所以函数y＝
?
?
5
?
的单调递增区间是[－2, ＋∞), 单调递减区间是(－∞, －2)．
1
t
11
－x
2
＋2 x
1
2
(2)令－
x
＋2
x
＝
t
, 则
t
≤1.
y
＝(), (
t
≤1) ∴
y
≥∴函数
y
＝()的值域爲[,
3
333
＋∞)
11．(13分)若a>0且a≠1, 试比较a与a的大小．
1
31
x＋
?
2
≥0, 解：∵ x
2
＋x＋1－＝x
2
＋x＋＝
?
44
?
2
?
3
∴x
2
＋x＋1≥.
4
(1)当a>1时, f(x)＝a
x
在R上爲增函数, 此时a
x
2
＋x＋1
7
4
2
3
7
4
2< br>－x
2
－4x
x
2
＋x＋1
3
4
≥ a；
≤a.
3
4
3
4
(2)当0x
在R上爲减函数, 此时a
能力提升
－
e
x
＋e
x
12．(5分)函数y＝
x
－
x
的图象大 致爲( )
e－e
x
2
＋x＋1

e< br>x
＋e
x
解：首先∵f(－x)＝－f(x)∴f(x)爲奇函数．图象关于原 点对称．排除D, 化简y＝
x
－
x
e－e
e
2
x
＋1
2
＝
2
x
＝1＋
2
x
可得, x>0时, 函数单调递减, 排除B、C.故选A.
e－1e－1
4
x
＋ a
13．(15分)已知函数f(x)＝
x
爲偶函数．
2
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性, 并求其最小值．
解：(1)由偶函数的定义, 可得
－
4
x
＋a4
x＋a1＋a·4
x
4
x
＋a
＝
x
, ∴＝
x
,
－
22
x
2
2
x
即 (a－1)·(4
x
－1)＝0.
∵上式对于x∈R恒成立, ∴a－1＝0, 即a＝1.
4
x
＋1
x
1
(2)由(1), 得f(x)＝
x
＝2＋
x
.
22
取任意两个实数x
1
, x
2
且x
1
2
, 则
f(x
1
)－f(x
2
)



.
xxxx
2

－
∵x
1
2
, ∴2<2
又2
1·2
xx
2
x
1
x
2
>0, ∴有以下两种情况 ：
－1<0, ①当x
1
2
<0时, 0<2
1
<2
2
<1, ∴2
1
·2
∴f(x
1
)－f(x
2
)>0, 即f(
1
)>f(x
2
),
∴f(x)在(－∞, 0)上是减函数；
xxxx
②当x
2
>x
1
>0时, 2
2
>2
1
>1, ∴2
1
·2
2
－1>0,
∴f(x
1
)－f(x
2
)<0, 即f(x
1
)2
),
∴f(x)在(0, ＋∞)上是增函数．
从而f(x)在(－∞, 0)上是减函数, 在(0, ＋∞)上是增函数．
故当x＝0时, f(x)
min
＝f(0)＝2.

第20课时 指数函数的性质及应用(2)


课时目标
1.加深对指数函数性质的认识．
2．能够熟练运用指数函数的性质解决一些综合问题．


识记强化



1．指数函数y＝a
x
, 底数a>0, a≠1.01时爲增函数．
2．复合函数单调性判定方法是同增、异减, 但必须注意复合函数的定义域．
3．比较指数式大小, 一要注意化成同底的幂的形式, 二要注意和1的大小关系．

课时作业

(时间：45分钟, 满分：90分)

一、选择题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)
1．若函数y＝(a
2
－1)
x
在(－∞, ＋∞)上爲减函数, 则a满足( )
A．|a|＜1 B．1＜|a|＜2
C．1＜|a|＜ 2 D．1＜a＜ 2
答案：C
解析：由指数函数的单调性知0＜a
2
－1＜1, 解得1＜a
2
＜2,1＜|a|＜ 2.
f?x－4?，x>0，
?
?
2．若函数f(x)＝
?
x
1
则f(2016)＝( )
2＋，x≤0，
?
3
?
45
A. B.
33
8
C．2 D.
3
答案：A
14
解析： 依题意f(2016)＝f(4×504＋0)＝f(0)＝2
0
＋＝.
33
1
1
?
b
?
1
?
a
3．若<
?
<<1, 则( )
2
?
2
??
2
?
A．aa>1
C．0答案：D
1
?
x
1
?
1
?
b
?
1
?
a
?
1
?
0
, ∴0?
在R上是减函数, <<<1＝
?
2
??
2
?
2
?
2
??
2
?
1
?
1－x
2
4．函数f(x)＝
?
的单调递增区间爲( )
?
2
?
A．[0,1] B．[－1,0]
C．(－∞, 0] D．[0, ＋∞)
答案：D
1
?
1－x
2
1
?
解析：由于底数∈(0,1), 所以函数f(x)＝
?
2
?
的单调性与y＝1－x
2
的单调 性相反, f(x)
2

1
?
1－x
2
＝
?
的单调递增区间就是y＝1－x
2
的单调递减区间．由y＝1－x
2
的图象(图略), 可
?
2
?
知：当x≤0时, y＝1－x
2
是增函数；当x≥0时, y＝1－x
2
是减函数．所以函数< br>1
?
1－x
2
?
f(x)＝
?
2
?
的单调递增区间爲[0, ＋∞)．
5．已知方程|2
x
－1|＝a有两个不等实根, 则实数a的取值范围是( )
A．(－∞, 0) B．(1,2)
C．(0, ＋∞) D．(0,1)
答案：D
?
2
x
－1，x≥0
?
解析：函数y＝ |2
x
－1|＝
?
x
, 其图象如图所示．由直线y＝a与y＝|2
x
－1|
?
?
－2＋1，x<0
的图象相交且有两个交点, 可得0

?
?
? 2－a?x＋1，x<1
f?x
1
?－f?x
2
?
6．已知 f(x)＝
?
x
, 对任意实数x
1
, x
2
且x
1
≠x
2
都有>0成立, 那
x
1
－x
2
?
a，x≥1
?
么a的取值范围是( )
3
?
3
，2
B.
?
1，
?
A.
?
?
2
??
2
?
C．(1,2) D．(1, ＋∞)
答案：A
a>1
?
?
f?x
1?－f?x
2
?
解析：由>0, 可知函数f(x)在R上单调递增, 所以有
?
2－a>0
, 解
x
1
－x
2
?
?
?2－a?×1＋1≤a
1
3
得≤a<2.故选A.
2
二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)
7．已知a＝0.8
0.7
, b＝0.8
0.9
, c＝1.2
0.8
, 则a、b、c的大小关系是________．
答案：c＞a＞b a＝0.8
0.7
＜1, b＝0.8
0.9
＜1.
解析：又0.8
0.7
＞0.8
0.9
, 且c＝1.2
0.8
＞1, 所以c＞a＞b.
1
8．若函数f(x)＝a＋
x
是奇函数, 则a＝ ________.
4＋1
1
答案：－
2
11
解析：∵f(x)满足f(－x)＝－f(x), 且定义域爲R, ∴f(0)＝0, 即a＋＝0, ∴a＝－.
22


9．函数y＝0.3的递减区间是________．
答案：[1, ＋∞)
解析：令u＝x
2
－2x－3＝(x－1)
2
－4在[1, ＋∞)上单调递增．又因爲y＝0.3
u
是减函
数．
故y＝0.3的递减区间是[1, ＋∞)．
三、解答题(本大题共4小题, 共45分)
＋
10．(12分)已知－1≤x≤2, 求函数f(x)＝3＋2×3
x
1
－9
x
的值域．
＋解：f(x)＝3＋2×3
x
1
－9
x
＝－(3
x)
2
＋6×3
x
＋3.
令3
x
＝t, 则y＝－t
2
＋6t＋3＝－(t－3)
2
＋12.
1
∵－1≤x≤2, ∴≤t≤9.
3
∴当t＝3, 即x＝1时, y取得最大值12；
x
2
－2x－3
x
2
－2x－3

当t＝9, 即x＝2时, y取得最小值－24.
即f(x)的最大值爲12, 最小值爲－24.
∴函数f(x)的值域爲[－24,12]．
－
10
x
－10
x
11．(13分)已知f(x)＝
x
－
.
10＋10
x
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)在定义域内是增函数；
(3)求f(x)的值域．
10
x
－10
x
解：(1)∵f(x)的定义域爲R, 且f(－x)＝
－
x
＝－f(x)．
10＋10
x
∴f(x)是奇函数．
－
10
x
－ 10
x
10
2
x
－1
(2)证明：f(x)＝
x< br>
－
＝
10＋10
x
10
2
x
＋1
2
＝1－
2
x
.令x
2
＞x
1
, 则
10＋1
f(x
2
)－f(x
1
)＝
.
∵10
x
爲增函数,
∴当x
2
＞x
1
时, 10
2x
2x
2< br>－
－＝
－10
2x
2x
1
＞0.
又∵10
1
＋1＞0,10
2
＋1＞0,
∴当x
2
＞x
1
时, f(x
2
)－f(x
1
)＞0,
即f(x
2
)＞f(x
1
)
所以f(x)是增函数．
10
2
x
－1
(3)令y＝f(x), 由y＝
2
x
, 解得：
10＋1
1＋y
10
2
x
＝.
1－y
∵10
2
x
＞0, ∴－1＜y＜1
即f(x)的值域爲(－1,1)．
能力提升
1
?
a
?
1
?
b
12．(5分)已知实数a、b满足等式
?
?
2
?
＝
?
3
?
, 下列五个关系式：①0③0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：B
1
?
x
?
1
?
x
的图象可知, 解析： 由y＝
?
与y＝
?
2
??
3
?
1
?
a
?
1
?
b
当a＝b＝0时,
?
?
2
?
＝
?
3
?
＝1；
1
?
a
?
1
?
b
当a?
?
2
?
＝
?
3
?
；
1
?
a
?
1
?
b
当a>b>0时, 也可以使
?
?
2
?
＝
?
3
?
.
当①②⑤都可以, 不可能成立的关系式是③④两个．
13．(15分)已知函数f(x)＝b·a
x
(式中a, b爲常量, 且a>0, a≠1)的图象经过点A(1,6),
B(3,24)．
(1)求f(x)；

1
?
x
?
1
?
x
(2)若不等式
?
?
a
?
＋
?
b
?－m≥0在x∈(－∞, 1]时恒成立, 求实数m的取值范围．
?
?
6＝ab，
解：(1)把A(1,6), B(3,24)代入f(x)＝b·a, 得
?

?
24＝b·a
3
.
?
x

?
?
a＝2，
结合a>0且a≠1, 解得
?

?
b＝3.
?

∴f(x)＝3·2
x
.
1
?
x
?
1
?
x
(2)要使
?
?
2
?
＋
?
3
?
≥m在(－∞, 1]上恒成立,
1
?
x
?
1
?
x
只需保证函数y＝
?
?
2
?
＋
?
3
?
在(－∞, 1]上的最小值不小于m即可．
1
?
x
?
1
?
x
∵函数y＝
?
?
2
?
＋
?
3
?< br>在(－∞, 1]上爲减函数,
1
?
x
?
1
?< br>x
5
∴当x＝1时, y＝
?
＋有最小值.
?
2
??
3
?
6
5
∴只需m≤即可．
6

第21课时 对数与对数的运算(1)


课时目标
1.理解对数的概念．
2．掌握对数的基本性质．
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算．


识记强化