高一数学知识点大全

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第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
集合的中元素的三个特性：
元素的确定性如：世界上最高的山
元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
2.集合的表示：
{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
列举法：{a,b,c……}
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括

页 第 1

号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
Venn图:
3.集合的分类：
有限集 含有有限个元素的集合
无限集 含有无限个元素的集合
空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分， ；（2）A与B
是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
?
B或B
?
?
A A
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集
合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子
集，记作AB(或BA)

页 第 2

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真
子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运
算
类
型
定 由所有属于A由所有属于集设S是一个
交 集 并 集 补 集
义 且属于B的 元合A或属于集集合，A是S的
素所组成的合B的元素所一个子集，由S
集合,叫做组成的集合 ，中所有不属于A
A,B的交叫做A,B的并的元素组成的集
集．记作A
?
B 集．记作：A
?
B合，叫做S中子
（读作‘A交（读作‘A并集A的补集（或
B’），即A
?
B=B’），即A
?
B 余集）

页 第 3

｛x|x
?
A，且={x|x
?
A，或
记作
C
S
A
，即
x
?
B｝． x
?
B})． CSA=
{x|x?S,且x?A}

韦
A
B
A
B
S
A
恩

图1

图2

图
示
性A
?
A=A A
?
A=A (CuA)
?

A
?
Φ=Φ A
?
Φ=A (CuB)
质 A
?
B=B
?
A
?
B=B
?
A = Cu (A
?
B)
A A
?
B
?
Ａ (CuA)
?

A
?
B
?
A A
?
B
?
B (CuB)
A
?
B
?
B = Cu(A
?
B)
A
?

(CuA)=U
A
?
(CuA)=
Φ．
例题：
1.下列四组对象，能构成集合的
第 4

页
是

（ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的
书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2 -2x+1,x
?
R},N={x|x≥0}，则M与N
的关系是 .
4.设集合A=
?
是
5.50名学生做的物理、化学两 种实验，已
知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得
正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有
人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成
的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|
x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

页 第 5
x1?x?2
?
，B =
?
xx?a
?
，若A
?
B，则
a
的取值 范围

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确
定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→ B为从集
合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫
做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对
应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的
值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的
定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.
那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

页 第 6

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函
数值的字母无关）；②定义域 一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)
中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫
做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满
足函数关系y=f(x)，反过 来，以满足y=f(x)的每一组有序实数
对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
描点法：
图象变换法
常用变换方法有三种
平移变换
伸缩变换

页 第 7

对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是 两个非空的集合，如果按某一个确定的
对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都< br>有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B为从集
合A到集合B的 一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）
?
B
（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是
唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一
个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

页 第 8

(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值
域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x
∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个
区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f( x1)y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1时，都有f(x1)＞f (x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函

页 第 9

数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增
函数的图象从左 到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降
的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x1○
2 作差f(x1)－f(x2)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)
的单调性密切相关，其规律：“同增 异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把
单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－

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x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－
x )=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =
○
0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，
则f(x)是奇函数．
注意：函数定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要
条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函< br>数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)
±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助
函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变

页 第 11

量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是
要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
凑配法
待定系数法
换元法
消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
○
值
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]
上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在 区间[b，c]
上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴
y?
x
2
?2x?15
x?3?3
⑵
y?1?(
x?1
2
)
x?1


页 第 12

2.设函数
f(x)
的定义域为
[0 ，1]
，则函数
f(x)
的定义域为_ _
2
3.若函数
f(x?1)
的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)的定义域是
?
x?2(x??1)
?
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?
，若
f(x)?3
，则
x
= 4.函数
5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

f(x?1)?x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的解析式 6.已知函 数
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4
， 则
f(x)
= 。
8.设
f(x)
是R 上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
x?(??,0 )
时
f(x)
=
3
x)
,则当
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
2
2
⑴
y?x?2x?3
⑵
y??x?2x?3
⑶
y?x?6x?1

3
y??x?1
的单调性并证明你的结论． 10.判断函数
2
11 .设函数
1?x
2
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且 求证：
1
f()??f(x)
x
．
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算

页 第 13

1．根式的概念：一般地，如果
x
方根，其中
n
>1，且
n
∈
N
*．
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
nn
0?0
。
n
n
a?a
，
n
当是奇 数时，当
n
是偶数时，
?
a(a?0)
a
n
?|a |?
?
?
?a(a?0)

2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
，
a
?m
n
?
1
a
m
n
?
1
na
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
a
·
a
rr
?a
r?s

(a?0,r,s?R)
；
(a?0,r,s?R)
；
(a?0,r,s?R)
．
rsrs
(a)?a
（2）
rrs
(ab)?aa
（3）


（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x(a?0,且a?1)
叫做
指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零
和1．

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2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
221
1
1
1
-4-2
0
-1
246

-4-2
0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调递增
非奇非偶函数
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
x
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b ),f(a)]
；（1）在[a，b]上，
（2）若
x?0
，则
f (x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
x
f(x)?a(a?0且a?1)
，总有
f(1)?a
； （3）对于指数函数
二、对数函数
（一）对数
x
a
1．对数的概 念：一般地，如果
?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作：
x?log
a
N
（a
— 底数，
N
— 真
数，
log
a
N
— 对数式）

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说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
2 ；
○
log
a
N
3 注意对数的书写格式．
○
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
○
lnN
．
a
x
?N?log
a
N?x
指数式与对数式的互化
幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
log
a
(M
N)?< br>log
a
M
＋
log
a
N
； 1 ·
○
2
○
3
○
log
a
M
?< br>N
log
a
M
－
log
a
N
；

(n?R)
．

页 第 16
log
a
M
n
?n
log
a
M

注意：换底公式
log
a
b?
log
c< br>b
log
c
a
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
利用换底公式推导下面的结论
1
n
logb?
a
log< br>a
m
b?log
a
b
log
b
a
m
（1）；（2）
n
．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数
函 数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定
义，注意辨别。如：
y?2log
2x
，
只能称其为对数型函数．
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○
2、对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
1 .5
y?log
5
x
5
都不是对数函数，而
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5

-2
-2.5

定义域x＞0
值域为R
定义域x＞0
值域为R

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在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）
（三）幂函数
?y?x
(a?R)
的函数称为幂函1、幂函数定义：一般地，形如
数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点
（1，1）；
?
?0
时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上
是增函 数．特别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
? 1
时，
幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图 象在区间
(0,??)
上是减函数．在
第一象限内，当
x
从右边趋向 原点时，图象在
y
轴右方无限地逼
近
y
轴正半轴，当
x趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴
正半轴．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能
是 ( )

页 第 18

2.计算： ①
25
1
log
5
3
log
3
2
?
log
27
64
;②
2
4?log
2
3
= ；
27?2log
5
2
=
= ③
1
7
?
1
?
4
0.064
3
? (?)
0
?[(?2)
3
]
3
?16
?0.75< br>?0.01
2
8
3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为
4.若函数
f(x)?log
倍，则a=
5.已知
f(x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
1?x
a
1
2
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3< br>，（1）求
f(x)
的定义域（2）求使
f(x)?0
的
x< br>的取值范围
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点 的概念：对于函数
y?
立的实数
x
叫做函数
y?
f(x)( x?D)
，把使
f(x)?0
成
f(x)(x?D)
的零点。 f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实2、函数零点的意义：函数
y?
数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
f(x)
的图象与
x
轴有交即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?
点
?
函数
y?f(x)
有零点．

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3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与
○
函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数 的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
2
y?ax?bx?c(a?0)
． 二次函数
（1）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数
的图象与
x
轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax
2
?bx? c?0
有两相等实根，二次函数
的图象与
x
轴有一个交点，二次函数有一个二 重零点或二阶零
点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0< br>无实根，二次函数的图象
与
x
轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型




不
符
合
实
际
选择函数模型
收集数据
检验
画散点图

求函数模型

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