高中数学总复习知识梳理( 教案)

高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x
2
?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为

（答：
?
?1，0，
?
）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3. 注意下列性质：
< br>（1）集合a
1
，a
2
，……，a
n
的所有子集的个 数是2
n
；


（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：


??
?
?
1
?
3
?< br>??
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A< br>?
?
?
C
U
B
?

ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x
2
?a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
（∵3?M，∴

a·3?5
?0
3
2
?a
a·5?5
?0
2
5?a
5
??
?a?
?
1，
?
?
?
9，25
?
）

3
?
?
∵5?M，∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).


若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应
元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是


（答：0，2?2，3?3，4）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则 函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。

（答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令t?
??????
??
??
?< br>2
x?1?e
x
?x，求f(x).

x?1，则t?0

?

∴x?t?1

t

∴f(t)?e
2
?1
?t
2
?1


∴f(x)?e
x
2
?1
?x
2
?1
?< br>x?0
?

12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x

如：求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
?
?< br>x?1
?
x?1
?
）

（答：f(x)?< br>?
?
?
??x
?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a


?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，ff
?1
(b)?f(a)?b

14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？


?1
??
（y?f (u)，u??(x)，则y?f
?
?(x)
?
（外层）（内层）

f(x)?log
1
(x
2
?ax?a)
2
当内、 外层函数单调性相同时f
?
?(x)
?
为增函数，否则f
?
?(x)
?
为减函数。）


如：求y?log
1
?x?2x的单调区间

2
?
2
?

（设u??x?2x，由u?0则0?x?2


且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：

2
2
2
u




O 1 2 x


当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2


当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
已知
f(x)?log
1
(x
2
?ax?a )
的值域为R，f（x）在
(??,1?3)
上是增函数，则a的取
2
值是

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

3

如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大

?
?

值是（ ）
A. 0 B. 1
2
C. 2 D. 3

（令f'(x)?3x?a?3?
x?
?
?
a
??
a
?
??
x?
?
?0

3
??
3
?

则x??
a
或x?
3
a

3
a
?1，即a?3

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
2
x
?1

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0


a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

即
2
0
?1
2
x
，

又 如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
4?1< br>求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x?
?
?1，0
?
， 则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x

x
4?11?4

x?(?1，0)
?
x
?
?
2
?
?
4
x
?1

又f(0)?0，∴f(x)?
?

x?0
）
?
x
?
2
x?
?
0，1
?
?
?4
x< br>?1
17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T? 0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）


又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
?
?
?


即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)


则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

将y?f(x)图象??????????
左移a(a?0)个单位
右移a(a?0) 个单位
y?f(x?a)
y?f(x?a)

y?f(x?a)?b
上移b(b?0)个单位

????????

??
y?f(x?a)?b
下移b(b?0)个单位
注意如下“翻折”变换：

f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x


19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。

kk
k?0推广为y?b?
???
k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
2

（3） 二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?图象为 抛物线

?
?
??
2a4a
?
b4ac?b
2
?
b
，，对称轴x??

顶点坐标为
?
?

?
4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x



一根大于k，一根小于k?f(k)?0

x

（4）指数函数：y?aa?0，a?1

??

（5）对数函数y?log
a
xa?0，a?1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
??
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y



?k


O
k


x



20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a?1(a?0)，a

a
m
n
0?p

?
1
(a?0)

a
p
?a
n
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)

< br>对数运算：log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM?0，N?0


log
a
??
M1
? log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?log
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a?x


对数换底公式：log
a
b?
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b

log
c
am

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y )?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）


（3）证明单调 性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
?……

??

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法 ，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：

（1）y?2x?3?13?4x


（2）y?
2x?4

x?3
2x
2

（3）x?3，y?

x?3

（4）y?x?4?9?x

（5）y?4x?
2
?
设x?3cos?，??
?
0，?
?
?

9
，x?(0，1]

x
11
l·R??·R
2
）

22


R


1弧度
O R
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x





如：若?
?
??? 0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8


又如：求函 数y?1?2cos
?
?
?
?
?x
?
的定义域和值 域。

?
2
?

（∵1?2cos< br>?
?
?
?
?x
?
）?1?2sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
，如图：

2


∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对
称轴吗？


sinx?1，cosx?1


y
y?tgx




x
?
?


?


O
?

2
2





对称点为
?
k

?
?
?
，0
?
，k?Z

?
2
?

y?sinx的增区间为
?
2k??
?
?
??
?
，2k??
?
?k?Z
?

22
?
?3?
?

减区间为
?
2k??，2k??
?
k?Z
?

?
22
??

图象的对称点为k?，0，对称轴为x?k??

y?cosx的增区间为2k?，2k???
?
k?Z
?


减区间为2k???，2k??2?

图象的对称点为
?
k? ?
?
??
?
?
k?Z
?

2
??
??
?
k?Z
?

?
?< br>?
?
，0
?
，对称轴为x?k?
?
k?Z
?

?
2
?
，k??
2
?
?
?k?Z

2
?

y?tanx的增区间为
?
k??
?
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x??
?


（1）振幅|A|，周期T?
??
2?

|?|
< br>若f
?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴 。


若f
?
x
0
?
?0，则x< br>0
，0为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令?x??依次为0，
（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

??
?3?
，?，，2?，求出x与y，依点

22

?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?

?(x
2
)???
?
2
?

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。

如：cos
?
x?

（∵??x?
?
??
?
23?
??
，x?
?
?，
?
，求 x值。

?
??
6
?
22
??
3?7?? 5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）

26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是

（x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
????
?
?
x'?x?h
a?(h，k)

（1）点P（x，y）?????

??P'（x'，y'），则
?
y'?y?k
平移至
?

（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0


如：函数y?2sin
?
2x?
图象？

（y?2sin
?
2x?
?
?
?
?
??
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的

4
?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
横 坐标伸长到原来的2倍
?1???????????y?2sin2
?
x
?< br>?
?
?1

?
?
?
4
?
?
2
?
4
?
?
?
??
1个单位
4< br>?2sin
?
x?
?
?1????????y?2sinx?1?上平移
???????y?2sinx

?
4
?
左平移 个单位
1
2
?y?sinx）

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin??cos??sec ??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan
2222
?

4
?sin
?
?cos0?……称为1的代换。

2

“k·
?
??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
< br>2
9?
?
7?
?
?tan
?
?
?< br>?sin
?
21?
?
?
?
6
?
4< br>“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos


又如：函数y?
A. 正值或负值
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值 C. 非负值

D. 正值
sin?
sin
2
?
?
cos??1
?
cos?

（y???0，∵??0）

cos?
cos
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?
sin??
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
??sin2??2sin?cos?

sin
?
???< br>?
?sin?cos??cos?sin????
令???
cos
?< br>???
?
?cos?cos??sin?sin??????cos2??cos
2
??sin
2
?

令???
tan
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
2
sin??
2
cos
2
??
ta n2??

2tan?

1?tan
2
?



asin??bcos??

sin??cos? ?
a
2
?b
2
sin
?
???
?
，tan??
?
?
?

4
?
b

a
?
2sin
?
??
?

sin? ?
?
??
3cos??2sin
?
??
?

?
3
?
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函 数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（1）角的变换：如??
?
???
?
??，
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
??
?
……

??
22
??
2
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 < /p>

sin?cos?2
?1，tan
?
???
?
??，求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1

（由已知得：

??1，∴tan??
2
2sin?2
2sin?
2

又tan
?
???
?
?

3
21
?
tan
?
???
?
?tan?
1

∴tan
?
??2?
?
?tan
?
???
?????
32
?）

1?tan
?
???
?< br>·tan?
1?
2
·
1
8
32

如：已知
??
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2RsinA
abc
?
???2R?
?
b?2Rs inB

正弦定理：
sinAsinBsinC
?
c?2R sinC
?

S
?
?
1
a·bsinC

2

∵A?B?C??，∴A?B???C


∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin

如?ABC中，2sin

（1）求角C；

2
A?BC
?cos

22
A?B
?cos2C?1

2
c
2
，求cos2A?cos2B的值。

（2）若a?b?
2
22
2

（（1）由已知式得： 1?cos
?
A?B
?
?2cosC?1?1


又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

2
1
或cosC??1（舍）

2
?

又0?C??，∴C?

3
1
222

（2）由正弦定理及a?b?c得：

2
3
2222
?

2sinA?2sinB?sinC?sin?

34

∴cosC?

1?cos2A?1?cos2B?

∴cos2A?cos2B??
3

4
3
）

4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦： arcsinx?
?
?
?
??
?
，
?
，x ?
?
?1，1
?

2
??
2

反余弦：arccosx?0，?，x??1，1


反正切：arc tanx?
?
?
????
?
??
?
，
?< br>，
?
x?R
?

?
22
?
34. 不等式的性质有哪些？

（1）a?b，
c?0?ac?bc
c?0?ac?bc


（2）a?b，c?d?a?c?b?d


（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd


（4）a?b?0?
1111
?，a?b?0??

abab
n
nn

（5）a?b?0?a?b，
n
a?b


（6）| x|?a
?
a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a


如：若
2
11
??0，则下列结论不正确的是（
ab
2
）


A.a??b
2


C.|a|?|b|?|a?b|
答案：C
35. 利用均值不等式：
D.
ab
??2

ba
?
a?b
?

a
2
?b
2
?2aba，b?R
?
；a?b?2ab；ab?
??
求最值时 ，你是否注

?
2
?
??
2
意到“a，b?R?
”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：

a
2
?b
2
a?b2ab
??ab?a，b?R
?

22a?b
??

当且仅当a?b时等号成立。

222

a?b?c?ab?bc?caa，b?R

??

当且仅当a?b?c时取等号。


a?b?0，m?0，n?0，则

bb?ma?na
??1??

aa?mb?nb
4

如：若x?0，2?3x?的最大值为
x


（设y?2?
?
3x?

?
?
4
?
?
?2?212?2?43

x
?

当且仅当3x?
423
，又x?0，∴x?时 ，y
max
?2?43）

x3

又如：x?2y?1，则2
x
?4
y
的最小值为
< br>（∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。

如：证明1?

（1?
111
??…??2

2
2
3
2
n
2
111111
??……??1?? ?……?

1?22?3
2
2
3
2
n
2< br>?
n?1
?
n
?1?1?

11111
???……??
223n?1n
1
?2??2）
n


37.解分式不等式
f(x)
?a
?
a?0
?
的一 般步骤是什么？

g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?< br>?0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1


（解集为
?x|x?
23
?
?
1
?
?
）

2
?

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1


求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明：
|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|

22
2
?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1


∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是

（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和

u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5


或者：x?3?x?2?
?< br>x?3
?
?
?
x?2
?
?5，∴a?5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n?1
? a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d


等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y


前n项和Sn
a
1
?a
n
?
n
?
??na
2
1
?
n
?
n?1
?
2
d


性质：
?
a
n
?
是等差数列


（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?ap
?a
q
；


（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列；


S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；


（4） 若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前 n项和，则
a
m
S
2m?1
?；

b
m
T
2m?1
2

（5）
?a
n
?
为等差数列?S
n
?an?bn（a，b为常数，是关于 n的常数项为

0的二次函数）
2

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an?bn的最值；或者求出
?
a
n?
中的正、负分界

项，即：

当a
1
?0，d?0，解不等式组
?
?
a
n
?0
可得S
n
达到最大值时的n值。

a?0
?
n?1
?
a
n
?0
当a
1
?0，d?0，由
?
可得S
n
达到最小值时的n 值。

a?0
?
n?1

如：等差数列
?< br>a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a
n ?1
?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?

（由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3，∴a
n?1
?1


又S
3
?

?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1，∴a
2
?
1

3

?
1
?
?
?1
?
na
1
?a
n
?
n
?
a
2
?a
n?1
?
·n
?
3
?
?
???18

∴S
n
?
222

?n?27）

44. 等比数列的定义与性质

定义 ：
a
n?1
?q（q为常数，q?0），a
n
?a
1
q
n?1

a
n
2

等比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)
?

前n项和：Sn
?
?
a
1
1?q
n
（要注意!）

(q?1)
?
1?q
?
??

性质：
?
a
n
?
是等比数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
111
a
1
?
2
a
2
?……?
n
a
n< br>?2n?5
2
22
1
解：
n?1时，a
1
?2?1?5，∴a
1
?14

2
111

n?2时，a
1
?
2
a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
222
1

?1???2?得：
n
a
n
?2

2

如：
?
a
n
?
满足

∴a
n
?2
n?1
?1?

?2?


?
14(n?1)

∴a
n
?
?
n?1

2(n?2)
?
［练习］

数列
?
an
?
满足S
n
?S
n?1
?
5
an?1
，a
1
?4，求a
n

3

（注意到a
n?1
?S
n?1< br>?S
n
代入得：
S
n?1
?4

S
n
n

又S
1
?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4


n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
（2）叠乘法

例如：数列
?
a
n
?< br>中，a
1
?3，
n?1

a
n?1
n
?，求a
n

a
n
n?1
解：
a
2
aaa
12 n?11
·
3
……
n
?·……，∴
n
?

a
1
a
2
a
n?1
23na
1
n

又a
1
?3，∴a
n
?
3

n
（3）等差型递推公式

由a
n
?a< br>n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求a
n
， 用迭加法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?< br>?
a
3
?a
2
?f(3)
?

?
两边相加，得：

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］
n?1

数列
?
a
n
?
，a
1
?1，a
n
?3?a
n?1
?
n? 2
?
，求a
n


（a
n
?
1
n
3?1）

2
??
（4）等比型递推公式

a
n?ca
n?1
?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0

< br>可转化为等比数列，设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
??
c?1
?
x


令(c?1)x?d，∴x?

∴
?
a
n
?
??
d

c?1?
?
d
?
d
是首项为a?，c为公比的等比数列

?
1
c?1
?
c?1

∴a
n
?
dd
??
n?1
?
?
a
1< br>?
?
·c

c?1
?
c?1
?
?< br>?
d
?
n?1
d

?
c?
c?1
?
c?1

∴a
n
?
?
a
1
?
［练习］

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9，3a
n?1
?a
n
?4，求a
n

?
4
?

（a
n
?8
?
?
?
?
3
?
（5）倒数法
n?1
?1）


例如：a
1
?1，an?1
?
2a
n
，求a
n

a
n
?2

由已知得：
1
a
n?1
?
a
n
?2
11
??

2a
n
2a
n

∴
1
a
n?1
?
11
?

a
n
2

?
?
?
1
?
11

为等差数列，?1，公 差为
?
a
1
2
?
a
n
?
111< br>?1?
?
n?1
?
·?
?
n?1
?

a
n
22

?

∴a
n
?
2

n?1
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
?
a
k?1
n
1

k
a
k?1
解：< br>由
n
111
?
11
?
??
?
??
?
d?0
?

a
k
·a
k?1a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a< br>k
a
k?1
?
n
11
?
11
??
?
?
?

∴
?
?

aadaa
?
k?1
kk?1
k?1
kk?1
?