高中数学知识清单pdf-高中数学教材的知识安排
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第一章 课程知识
1.
高中数学课程的地位和作用:
⑴ 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程,它包含了
数学中最基本的内
容,是培养公民素质的基础课程。
⑵ 高中数学对于认识数学与自然界、数
学与人类社会的关系,提高提出问题、分析和解决
问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有
基础性的作用。
⑶ 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识。
⑷
高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。
2. 高中数学课程的基本理念:
⑴
高中数学课程的定位:面向全体学生;不是培养数学专门人才的基础课。
⑵
高中数学增加了选择性(整个高中课程的基本理念):为学生发展、培养自己的兴趣、
特长提供空间。
⑶ 让学生成为学习的主人:倡导自主学习、合作学习;帮助学生养成良好的学习习惯。
⑷
提高学生数学应用意识:是数学科学发展的要求;是培养创新能力的需要;是培养学习
兴趣的需要;是培
养自信心的需要;数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。
⑸
强调培养学生的创新意识:强调发现和提出问题;强调归纳、演绎并重;强调数学探究、
数学建模。
⑹ 重视“双基”的发展(数学基础知识和基本能力):理解基本的数学概念和结论的本质;
强
调概念、结论产生的背景;强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
⑺
强调数学的文化价值:数学是人类文化的重要组成部分;《新课标》强调了数学文化的
重要作用。
⑻
全面地认识评价:学习结果和学习过程;学习的水平和情感态度的变化;终结性评价和
过程性评价。
3. 高中数学课程的目标:
⑴ 总目标:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步
提高作为未来公民所必要的
数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。
⑵
三维目标:知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
⑶
把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
⑷
五大基本能力:计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能
力
4.
高中数学课程的内容结构:
⑴ 必修课程(每模块2学分,36学时):数学1(集合、函数)、数学
2(几何)、数学3(算
法、统计和概率)、数学4(三角函数、向量)、数学5(解三角形、数列、不
等式)
⑵ 选修课程(每模块2学分,36学时;每专题1学分,18学时):
① 选修系
列1(文科系列,2模块):1-1(“或且非”、圆锥曲线、导数)、1-2(统计、
推理与证明、复
数、框图)
② 选修系列2(理科系列,3模块):2-1(“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何
)、
2-2(导数、推理与证明、复数)、2-3(技术原理、统计案例、概率)
③
选修系列3(6个专题)
④ 选修系列4(10个专题)
5. 高中数学课程的主线:
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。
6. 教学建议:
⑴ 以学生发展为本,指导学生合理选择课程、制定学习计划
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⑵ 帮助学生打好基础,发展能力:
① 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
② 重视基本技能的训练
③ 与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑶
注重联系,提高对数学整体的认知
⑷ 注重数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识和能力
⑸ 关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成
⑹ 改善教与学的方式,使学生主动地学习
⑺ 恰当运用现代信息技术,提高教学质量
7. 评价建议:
⑴
重视对学生数学学习过程的评价
⑵ 正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶
重视对学生能力的评价(问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评)
⑷
实施促进学生发展的多元化评价(尊重被评价对象)
⑸ 根据学生的不同选择进行评价
第二章 教学知识
8. 教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则
(“循序渐进”)、理论与实际相结合原
则(“学以致用”)、巩固与发展相结合原则(“温故而知新”
)
9. 教学过程
备课(备教材、备学生、备教法)、课堂教学(组织教学、复习提问、讲
授新课、巩固
新课、布置作业)、课外工作(作业批改、课外辅导、数学补课活动)、成绩的考核与评<
br>价(口头考察、书面考察)、教学评价(导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与
决策调控作
用)
10. 教学方法
⑴
讲授法:科学性、系统性(循序渐进)、启发性、量力性(因材施教)、艺术性(教
学语言)
⑵ 讨论法:体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶
自学辅导法:卢仲衡教授提出,要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
⑷ 发现法:又称问题教学
法(布鲁纳),步骤是创设问题情境;寻找问题答案,探讨问
题解法;完善问题解答,总结思路方法;知
识综合,充实改善学生的知识结构。
11. 概念教学
⑴ 概念的内涵与外延:当概念的内
涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩
小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关
系,称为反变关系。
⑵ 概念间的逻辑关系:相容关系(同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、
交叉
关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”)、不
相容关
系(对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”)
⑶ 概念下定义的常见方式
:属加种差定义法(被定义的概念=最邻近的属概念+种差,
如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”
)、解释外延定义法(不易揭示其内涵,
如“有理数和无理数统称实数”)、描述性定义法(用简明清晰
的语言描述,如
“
”)
⑷ 数学概念获得的主要方式:概念形成(由学生发现)、概念同化(教师直接展示定义)
12.
命题教学:整体性策略(旨在加强命题知识的横、纵向联系)、准备性策略(教学实施
之
前)、问题性策略(激发学生的积极性)、情境化教学、过程性策略(暴露命
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题产生于证明的“所以然”过程)、产生式策略(变式练习)
13. 推理教学
⑴ 推理的结构:任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵ 推理的形式:演绎推理(由一
般到特殊;前提真,结论真;三段论:大前提、小前
提,得推理)、归纳推理(由特殊到一般)、类比推
理(由特殊到特殊)
14. 问题解决教学
⑴
数学问题的设计原则:可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵
纯粹数学问题解决:波利亚怎样解题表(分析题意;拟定计划;执行计划;验算所
得到的解)
⑶ 非常规问题解决:建模分析(分析问题背景,寻找数学联系;建立数学模型;求解
数学模型
;检验;交流和评价;推广)
15. 学习方式:自主学习、探究学习、合作学习
第三章
教学技能
16. 教学设计
⑴ 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前,以现代教育理
论为基础,应用系统科
学方法分析研究课堂教学的问题,确定解决问题的方法和步骤,并对课堂教学活动
进行系统安排的过程。
⑵ 教学设计与教案的关系:
① 内容不同:
教
学设计的基本组成既包括教学过程,也包括指导思想与理论依据、教学背景
分析、对学生需要的分析、学
习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源
的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理
论进行分析,不仅说
明教什么、如何教,而且说明为什么这样教;教案的基本组成是教学过程,侧
重教什么、如何教。
② 核心目的不同:
教学设计不仅重视教师的教,更重视学生的学,
以及怎样使学生学得更好。达
到更好的教学效果是教学设计的核心目的;教案的核心目的就是教师怎样讲
好
教学内容。
③ 范围不同:
从研究范围上讲,教案只是教学设计的一个重要内容。
⑶ 数学课堂教学设计的意义:
① 使课堂教学更规范、操作性更强
② 使课堂教学更科学
③
使课堂教学过程更优化
⑷ 数学课堂教学设计的基本要求:
①
充分体现数学课程标准的基本理念,努力体现以学生发展为本
② 适应学生的学习心理和年龄特征
③ 重视课程资源的开发和利用
④ 注重预设与生成的辩证统一
⑤
辩证认识和处理教学中的多种关系
⑥ 整体把握教学活动的结构
⑸ 数学教学设计的准备:
① 认真学习新课标,了解当前我国数学课程的目标要求
② 全面关注学生需求
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③
认真研读数学教材和参考书,领悟编写意图
④
广泛涉猎数学教育的其他优秀资源,吸取他人精华,丰富自己的教学设计
⑤
制定学期教学计划、单元教学计划
⑹ 教材分析
①
分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务
② 整体系统的观念用教材
③
理解教材的编排意图
④ 突出教材的重点和难点
⑺ 学情分析
①
分析学生原有的认知基础
② 分析学生的个体差异
③ 了解学生的生理、心理
④
了解学生对本学科学习方法的掌握情况
⑤ 分析学习知识时可能要遇到的困难
⑻
制定合理教学目标的要求
① 反映学科特点,体现内容本质
② 要有计划性,可评价性
③ 格式要规范,用词要考究
④ 要全面,不能“重知轻思”、“重知轻情”等
⑤
注意教学目标的层次性(记忆、理解、探究)
⑥ 要实在具体,不浮华
⑼ 教学反思
① 教学反思的内容:对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
② 教学反思的步
骤:截取课堂教学片段及其相关的教学设计;提炼反思的问题;
个人撰写反思材料;集体讨论;个人再反
思,并撰写反思论文
⑽ 教学设计的撰写:
① 教学目标:知识与技能(了解、掌握、应用
);过程与方法(提高能力);情感
态度与价值观(体验规律、培养看问题的方法)
②
学情分析
③ 教材分析:本节课的作用和地位;本节课的主要内容;重难点分析
④
教学理念
⑤ 教学策略
⑥ 教学环境
⑦ 教学过程
⑧ 教学反思
17. 教学实施
⑴
课堂导入:直接导入法、复习导入法、事例导入法(情境导入法)、趣味导入法、悬
念导入法
⑵ 课堂提问的原则:目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进
性原则、
全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑶
课堂提问的类型:复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分
析综合提问、评价提问
⑷ 学生活动:
① 学生活动体现了学生在学习中的主体地位
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②
作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
③ 学生活动的目的是促进学生的理解
④ 从总体上说,学生活动必须是思维活动
⑸ 课堂结束技能的实施方法:练习法、比较法与
归纳法、提问法和答疑法、呈上法和
启下法、发散法和拓展法
⑹
结束技能实施时应注意的问题:自然贴切,水到渠成;语言精练,紧扣中心;内外
沟通,立疑开拓
18. 教学评价
⑴
数学教育评价的要素:教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、
学生行为、教学效果
⑵ 数学教育评价的功能:管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章
常用数学公式
一、 函数、导数
1. 函数的单调性
⑴ 设
、
且
。那么
?
在
上是增函数;
?
在
上是减函数。
⑵ 设函数
在某个区间内可导,若
,则在该区间内
为增函数;若
,则在该区间内
为减函数
2.
函数的奇偶性(该函数的定义域关于原点对称)
对于定义域内任意的 ,都有
,则
是偶函数;
对于定义域内任意的 ,都有
,则
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 轴对称。
3. 函数在点
处的导数的几何意义
函数
在点
处的导数
是曲线
在
处的切线的斜率,相
应的切线方程是
。
4. 几种常见函数的导数
(C为常数);
;
( );
;
;
;
;
;
;
;
5. 导数的运算法则
;
;
,
,
6. 幂函数
( , )
性质
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为奇数,
为奇数
奇函数
为奇数,
为偶数
为偶数,
为奇数
偶函数
第一象限
图像
减函数 增函数 增函数
过定点
7. 求函数
的极值的方法:解方程
。当
时:
⑴ 如果在
附近的左侧
,右侧
,则
是极大值;
⑵ 如果在
附近的左侧
,右侧
,则
是极小值;
8.
凹凸函数:设
在开区间 上存在二阶导数:
⑴ 若对任意
,有
,则
在 上为下凸函数;
⑵ 若对任意 ,有
,则
在 上为上凸函数;
二、
三角函数、三角变换、解三角形、向量
9. 同角三角函数的基本关系式
,
10.
正弦、余弦的诱导公式
,
为偶数
为奇数
为偶数
为奇数
11. 和角与差角公式
;
;
(辅助角
所在象限由点
的象限决
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定,
)
12. 二倍角公式
;
;
13. 三角函数的周期
函数
, 及函数
, ( , ,
为常数,且
, )的周期
;函数
,
, ( , ,
为
常数,且 , )的周期
。
14. 三角函数的图像变换:
⑴ 函数
, 即
横坐标伸长( )或缩短(
)到
原来的
倍,再向左(
)或向右(
)平移
个单位,最后纵坐标伸长( )
或缩短( )到原来的
倍。
⑵ 函数
, 即
向左( )或向右( )平移
个
单位,再横坐标伸长( )或缩短( )到原来的倍,再,最后纵坐
标伸长( )或缩短( )到原来的 倍。
15.
正弦定理
( 是
外接圆的半径)
16. 余弦定理
17. 三角形面积公式
18. a与b的数量积(或内积)
( 是向量a,b的夹角)
19. 向量的坐标运算
⑴ 设
,
,则
,
,
;
⑵ 设
,
,则
;
⑶ 设
,则
。
20. 两向量的夹角公式
设
,
,且 ,则
21. 向量的平行与垂直
。
;
三、 数列、集合与命题
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22. 数列的通项公式与前 项的和的关系
(数列
的前 项的和为
)
23.
等差数列的通项公式和前 项和公式
;
24. 等比数列的通项公式和前 项和公式
;
,
,
25. 数列求和常见结论:
;
( )
;
;
。
26. 有 个元素的集合,含有
个子集,
个真子集。
27. 原命题:若 则 ;否命题:若 则 ;命题的否定:若 则 。
28.
全称量词即“所有”,“全部”,可写作“ ”;存在量词又称特称量词,写作“ ”。
四、 不等式
29. 均值不等式
设 ,
,
(当且仅当 =b时取“=”号)
,其中
30. 柯西不等式
, ,
,
,
,
,当且仅当
31. Jensen不等式
32.
三角不等式:
33. 指数不等式:
五、 解析几何与立体几何
34.
直线的五种方程
⑴ 点斜式:
(直线
l
过点
,且斜率为
k
)
⑵ 斜截式:
(b为直线
l
在y轴上的截距)
⑶ 两点式:
时不等式取等号。
(直线
l
过点
,且
,
)
⑷
截距式:
( 、b分别为直线的横、纵截距, )
⑸ 一般式:
(其中A、B不同时为0)
35. 两条直线的平行和垂直
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若
:
,
:
⑴
,
;
⑵
36. 点
到直线 :
(的距离
37. 角平分线所在直线的方程
,其中
、
分别为角的边所在直线的斜率, 为原角的大小
38. 圆的三种方程
⑴ 圆的一般方程:
⑵ 圆的标准方程:
⑶ 圆的参数方程:
39. 两个圆的公共弦所在方程
40. 直线与圆的位置关系
直线 :
与圆
的位置关系有三种:
相离 ; 相切
; 相交 ,弦长=
;
其中
41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆:
,
,离心率
,准线
,参数方
程是
,椭圆上的点与两个定点
、
的距离之和等于常数
( )。
双曲线:
,
,离心率
,准线
,渐近
线方程是
,椭圆上的点与两个定点
、
的距离之差等于常
数( )。
抛物线:
,焦点
,准线
,焦半径
,过抛物线焦点的弦
长
,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。
42.
双曲线的方程与渐近线方程的关系
⑴ 若双曲线方程为
。
⑵ 若渐近线方程为
双曲线可设为
。
⑶ 若双曲线与
有公共渐近线,可设为
( ,焦点
在轴上; ,
焦点 在轴上)
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43. 若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于
、
两点,则弦长公式为
( )
44.
柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积= ,表面积=
,体积= ( 是柱体的底面积, 是柱体的高);
圆锥侧面积=
,表面积=
,体积=
( 是锥体的底面积,
是锥体的高);
球的半径是 ,则其体积
,其表面积
六、 空间几何
45.
平面方程:
⑴ 点法式:
,
是平面的法向量
⑵ 一般式:
( 不全为0)
⑶ 参数式:已知平面 上一点
以及平行于平面的两不共线向量
和
,则有
46.
两平面间的关系:
⑴
;
(法向量共线但两平面不重合)
⑵
⑶
与
的夹角(
):
47. 直线方程:
⑴ 一般式(交面式):
⑵ 参数式:
⑶ 对称式(标准式):
48.
直线与平面的关系:
⑴
且
;
⑵
⑶
与 的夹角( ):
49. 曲面方程:
⑴ 单叶双曲面:
( )
⑵ 双叶双曲面:
(
)
⑶ 椭圆抛物面:
( ),当 时,曲面为旋转抛物面
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⑷
双曲抛物面:
(
)
七、 概率统计
50. 平均数、方差、标准差、期望的计算
平均数:
方差:
标准差:
期望
51.
回归线方程
,其中
52. 独立性检验:
53.
排列数、组合数
排列数公式:
组合数公式:
,其中
,
;
,
,其中
54. 二项式定理:
⑴
⑵ 第 项:
( ,
)
⑶ 系数和:
,
⑷ 当 的绝对值与1相比很小且 不大时,有
,
55. 相对独立事件同时发生的概率
56. 正态分布记为
,其中期望 ,方差
,曲线关于直线 对称并
在 时取最大值。
57.
离散型随机变量的期望与方差的性质:
⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平;方差与标准差
反映了离散型随机变量
取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
⑵
;
( 为常数)
⑶
;
( 为常数)
⑷ 设 ,则
,
,
⑸ 若
,则
,
;若 服从几何分布,且
,则
,
。
八、 复数
58.
复数的除法运算:
59. 复数 的模:
60. 复数之间不能进行大小比较
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61. 设一元三次方程
( )的三个根分别是
,则有:
⑴
,
,
⑵ 令
,其中
,
当
时,方程有一个实根,一对共轭复根;
当
时,方程有三个实根,其中有一个二重根;
当
时,方程有三个不等实根。
九、 极限与级数
62.
柯西收敛准则:数列
收敛的充分必要条件是:对于任意
,存在整数 ,使
得当 , 时,有
。
63. 极限的定义:
:对于任意
,存在正数 ,当
时,有
。
64. 当 时,有
,
,则有
,
65. 函数极限的计算:
⑴
(
)其中各函数极限均存在
⑵
洛必达法则:若函数和满足下列条件:
①
,其中 或 ;
② 在点 的某去心邻域内两者均可导,且
;
则有
66. 拉格朗日中值定理:如果函数
满足在闭区间
上连续;在开区间
内可导;
那 么在开区间
内至少有一点 ( )使等式
成立。
67. 正项级数敛散性判断:
⑴
比较判别法:大收敛推出小收敛,小发散推出大发散
⑵ 比值与根值判别法:
若
,级数
发散,且
;
,此判别法失效
,级数
收敛
,此判别法失效
,级数
收敛
若
,级数
发散,且
;
⑶ 与 级数比较:设
,当
时收敛,当 时发散。
68.
交错级数的敛散性(莱布尼茨判别法):设交错级数
满足
,
;
,则
收敛,且其和
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,余项
。
69. 幂级数收敛半径及收敛域:
设幂级数
,则有
,
⑴ 若
,则其收敛半径为
,
;
,
⑵ 判断
在
处的敛散性;
⑶ 若该级数在
处收敛,则其收敛域为
;若该级数在
处收敛,则其收敛域为
;若该级数在
处都
收敛,则其收敛域为
。
十、
矩阵、线性空间与线性变换
70. 矩阵的转置:
⑴ 对于 阶实矩阵 ,若满足
或
(为单位矩阵),则矩阵 称为正交矩
阵,其中
为 的转置;
⑵ 若 阶方阵 满足
,则称
为对称矩阵;若 阶方阵 满足
,则称
为
反对称矩阵,反对称矩阵对角线上的元素必为0;
⑶ 转置的运算规律:
71.
齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩
72. 特征值和特征向量:
⑴ 给定矩阵 ,若存在一个非零向量 和实数 ,满足 ,则称 为矩阵
的特征
值, 为矩阵 的属于特征值 的特征向量。
⑵
任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和;所有特征值的乘积等于该矩
阵的行列式的值。
⑶ 若同阶矩阵 和 的特征值相同,则有 等价于 。
73. 非异矩阵:若 阶矩阵
的行列式不为零,即
,则称 为非奇异矩阵或满秩矩阵,
否则称 为奇异矩阵或降秩矩阵。
74. 相似、合同:
⑴ 相似: 非异矩阵
,使得
,则有 相似于 。
⑵
相似的判断:相同的特征值、迹(自左上到右下的主对角线的和)、行列式的值相同
⑶ 合同:
非异矩阵 ,使得
,则有 与 合同。
⑷
合同的判断:正、负特征值的个数相等
75. 线性空间:
⑴ 柯西
布涅科夫斯基不等式:设 是欧式空间, 、 ,则
,
当且仅当 、
线性相关时,等号才成立
⑵ 本身与
都是
的子空间,称之为 的平凡子空间,而 的其他子空间称为非平凡
子空间。
⑶ 设
与
是线性空间 的两个子空间,则
76. 施密特正交化法:
对 维欧式空间 的任一组基
,
,
, ,
,
令
,
,
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,
,
,
, , , ,
即为 的一组标准正交基。
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