高中数学数列的类型

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1
a
n?1
?a
n
?f(n)

解法：把原递推公 式转化为
a
n?1
?a
n
?f(n)
，利用累加法(逐差相 加
法)求解。
例:已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
1
1
a
n?1
?a
n
?
2
2
，
n?n
，求
a
n
。
1
n
n?1
2
n

例：在数列{a
n}中，a1=1,a
n+1
=
(1?)a
n
?

（1）设
b
n
?
a
n
，求数列{a
n
} 的通项公式；
n
（2）求数列{a
n
}的前n项和。

类型2
a
n?1
?f(n)a
n

an?1
?f(n)
a
n
解法：把原递推公式转化为
求解。
例:已知数列
?
a
n
?
满足

例:已知< br>a
1
?3
，
a
n?1
?
a
1
?
，利用累乘法(逐商相乘法)
2
n
a
n?1
?a
n
3
，
n?1
，求
a
n
。
3n?1
a
n
3n?2

(n?1)
，求
a
n
。
例已知数列{a
n
}，满足a
1
=1,a
n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+(n－1)a
n
－
1
(n≥2)，则{a
n
}的通项a
n
=_____

类型3
a
n?1
?pa
n
?q
（其中p，q均为常数，
(pq(p?1)?0)
）。
解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：
a
n?1
?t?p(a
n
?t)
，其
t?
q
1?p
，再利用换元法转化为等比数列求解。 中
例:已知数列?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?3
，求
a
n
.
例：设数列{a
n
}满足a
1
=a,a
n
+1=c a
n
+1－c,n∈N
*
，其中a、c为实
数，且c≠0
求数列{a
n
}的通项公式；

类型4
（
a
n?1
?pa
n
?q
n
（其中p，q均为常数，
( pq(p?1)(q?1)?0)
）。
a
n?1
?pa
n
?rq
n
,其中p，q, r均为常数） 。
q
n?1
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：a
n
a
n?1
p
a
n
1
p1
b?
???
b?b?
n
n?1n
q
n
）
q
n?1
q
q
n
q
引入辅助数列
?
b
n
?
（其中
qq
，得：
再待定系数法解决。
例:已知数 列
?
a
n
?
中，
a
1
?
5
11
a
n?1
?a
n
?()
n?1
6
,
32
，求
a
n
。
例：设数列{a
n
}的 前n项的和
s
n
?a
n
??2
n?1
?,n?1, 2,3...

求首项a
1
与通项a
n
。
例：设 数列{a
n
}的前n项的和
s
n
,已知a
1
?1, s
n?1
?4a
n
?2

（1）设
b
n< br>?a
n?1
?2a
n
，证明数列{b
n
}是等比数列 ；
（2）求数列{a
n
}的通项公式。


4
3
1
3
2
3

【例】
3?1
、已知数 列
a
n
?
2


n
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n
?3
n ?1
?a
n?1
(n?2)
，则通项公式
类型5 递推公式为
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
（其中p，q均为常数） 。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
a
n?2
?sa
n?1
?t(a
n?1
?sa
n
)
?
s?t?p< br>?
其中s，t满足
?
st??q

a
1
?< br>?
,a
2
?
?
给解法二(特征根法)：对于由递推公式
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
，
2
?
a
n
?
x
出的数列，方程
?px?q?0
，叫做数 列
?
a
n
?
的特征方程。若
x
1
,x2
是特征方程的两个根，当
x
1
?x
2
时，数列
?
a
n
?
的通项为
n?1
a
n
?Ax< br>1
n?1
?Bx
2
，其中A，B由
a
1
?< br>?
,a
2
?
?
决定（即把
a
1
,a
2
,x
1
,x
2
和
n?1n?1
n?1, 2
，代入
a
n
?Ax
1
?Bx
2
，得到关 于A、B的方程组）；当
x
1
?x
2
?
a
n
?(A?Bn)x
1
n?1
a
n
?
时，数列的通项为，其 中A，B由
a
1
?
?
,a
2
?
?
决
a
n
?(A?Bn)x
1
n?1
a,a,x,x
n?1,2
1212
定（即把和，代入，得到关于A、B
的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列
?
a
n
?
：
3a
n?2
?5a
n?1
?2a
n
?0(n?0 ,n?N)
，
a
1
?a,a
2
?b
，求数列?
a
n
?
的通项公式。

解法二（特征根法）：数列
?
a
n
?
：
3a
n?2
?5a
n ?1
?2a
n
?0(n?0,n?N)
，
a
1
? a,a
2
?b
的特征方程是：
3x
2
?5x?2?0
。

?x
1
?1,x
2
?
22
n ?1
n?1n?1
?A?B?()
3
,
?
a
n?Ax
1
?Bx
2
3
。又由
a
1
?a ,a
2
?b
，于是
?
a?A?B
?
A?3b?2 a
?
2
?
??
2
n?1
B?3(a?b)
b?A?B
a?3b?2a?3(a?b)()
?
?
n
3
?
3
故
21
a?a?a
nn?2n?1
?
a
n
?
a?1a?2
33
12
例:已知数列中，,,，求
a
n
。
例：已知数列{a
n
}满足
a
1
= 1,
a
2
=3，
a
n?2
?3a
n?1
? 2a
n
（
n?N
?
）。
（1）证明：数列
?a
n?2
?a
n
?
是等比数列；
（2）求数列{a
n
}的通项公式；
类型6 递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。(或
S
n
?f(a
n
)
)
例：已知数列
?
a
n
?
前n项和
（2）求通项公式
a
n
.
（2）应用类型4（
a
n?1
?pa
n
?q
n
S
n
?4?a
n< br>?
1
2
n?2
.（1）求
a
n?1
与
a
n
的关系；
（其中p，q均为常数，
n?1
(pq(p?1)( q?1)?0)
））的方法，上式两边同乘以
2

1
?
例：已知数列{a
n
}的前项和S
n
= -< br>a
n
-
?
，令
??
+2（
n
为正整 数）
?
2
?
b
n
=
2
n
a
n
，求证数列{b
n
}是等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式
n?1



、
0
，a
?0)
类型7
a
n?1
?pa
n
?an?b
(p?1
解 法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
a
n?1
?x(n?1)?y ?p(a
n
?xn?y)
，与已知递推式比较，解出
x,y
,从而转

化为
?
a
n
?xn?y
?
是公比为
p
的等比数列。
例:设数列
?
a
n
?
：
a
1
?4,a
n
?3a
n?1
?2n?1,(n? 2)
，求
a
n
.
例：已知数列{a
n
}中，a
1
=，点
?
n,2a
n?1
?a
n
?
在直线
y?x
上，其中
n?1,2,3L

1
2
（Ⅰ）令
b
n
?a
n?1
?a
n
?3，求证数列{b
n
}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a
n
}的通项。

类型8
a?pa
r
（p＞0,
n?1n
a
n
＞0）
解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为
a
n?1
?pa
n
?q
，
再利用待定系数法求解。
例：已知
a
1
?2
，点
?
a
n
,a
n?1
?
在函数f
?
x
?
?x
2
?2x
的图像上，其中
n?1,2,3L
证明数列
?
lg
?
1?a
?
?
是等比数列
n
f(n)a
n

?
类型9
a
n?1
g(n)a?h(n)
n
解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a
例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分）
已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?
n?1
?pan
?q
。
3na
n?1
3
,且a
n
?(n?2,n?N
*
)

22a
n?1
?n?1
求数列
?
a
n
?
的通项公式；