(完整版)高中数学数列知识点整理

数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
,(n?1)
?
S
1
注意通项能否合并。
a
n< br>?
?
S?S,(n?2).
n?1
?
n
2、等差数列 ：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a、A、b
成等差数列
?A?
⑶通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d? a
m
?(n?m)d

或
a
n
?pn?q
(
p、q是常数）.

⑷前
n
项和公式：
?
a?b

2
Sn
?na
1
?
n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
d?

22
⑸常用性质：
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p ,q?N
?
?
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
②下标为等差数列的项
?
a
k,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
，仍组成等差数列；
③数列
?
?
a
n
?b
?
（
?,b
为常数）仍为等差数列；
④若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、
，…也成等差数列。
{a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
⑤单调性：
?
a
n
?
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；
ⅱ）
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；
ⅲ）
d?0?
?
a
n
?
为常数列；
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
（p,q 是常数）
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S
2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数
列就叫做等比数列。
G、b
成等比数列
?G?ab,
（
ab
同号）⑵等比中项：若三数
a、
。反之不一定成立。
2

n?1n?m
⑶通项公式：
a
n
?a
1
q ?a
m
q

⑷前
n
项和公式：
S
n
?
⑸常用性质
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a
1< br>?a
n
q

1?q
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
②
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为等比数列，公比为
q
( 下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列
?
?
a
n
?
（
?
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的等比数列；正项等比数 列
?
a
n
?
；则
k
?
lga
n< br>?
是公差为
lgq
的等差数列；
④若
?
a
n
?
是等比数列，则
?
ca
n
?
，

?
a
n
，
2
??
?
1
?

?
，
a
?
n
?
2
1
r
q ，q，，q
r
.
是等比数列，公比依次是
a(r?Z)
?
n
?
q
⑤单调性：
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q?1
?
?< br>a
n
?
为递增数列；
a
1
?0,0?q?1或a1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列；
q?1?
?
a
n
?
为常数列；
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k< br>、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，
寻找规律，从而根据规律写 出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
?
a
n
?的通项
a
n
可用
,(n?1)
?
S
1
公式
a
n
?
?
构造两式作差求解。
S?S,(n?2)
n?1
?
n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另 一种是“合二
为一”，即
a
1
和
a
n
合为一个表达 ，（要先分
n?1
和
n?2
两种情况分别进行运算，然后验
证能否统 一）。
类型Ⅲ 累加法：
形如
a
n?1
?a
n?f(n)
型的递推数列（其中
f(n)
是关于
n
的函数）可< br>构造：

?
a
n
?a
n?1
?f(n ?1)
?
a?a?f(n?2)
?
n?1n?2

?
?
...
?
?
a
2
?a
1
?f(1)< br>将上述
n?1
个式子两边分别相加，可得：
a
n
?f(n?1 )?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a
1
,(n?2)

①若
f(n)
是关于
n
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法：
形如
a
n?1
?a
n
?f (n)
?
?
a
n?1
?
?f(n)
?
型的 递推数列（其中
f(n)
是关于
n
的函数）
可构
?
a
n
?
?
a
n
?
a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2)
?
造：
?< br>a
n?2

?
...
?
?
a
2< br>?
a
?f(1)
?
1
将上述
n?1
个式子两 边分别相乘，可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1) a
1
,(n?2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
（其中
p, q
均为常数且
p?0
）型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列;
（2）若
q?0
时，数列{
a
n
}为等比数列;
（3）若
p?1
且
q?0
时，数列{
a
n
}为线性 递推数列，其通项可通过待定系数法构造等
比数列来求.方法有如下两种：

法 一：
设
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
,展开移项整理得
a
n?1
?pa
n
?(p ?1)
?
,与题设

a
n?1
?pa
n
?q
比较系数（待定系数法）得
?
?
qqqqq
,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)?a
n
??p(a
n?1
?)
,即
p?1p?1p?1p?1p?1
q
?
q
?
a?
构成以为首项，以
p
为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公a?
?
n
?
1
p?1
p?1
??
式求 出
?
a
n
?
?
?
q
?
?
的通项整理可得
a
n
.

p?1
?
a
n? 1
?a
n
?p,
即
a
n
?a
n?1
法二：
由
a
n?1
?pa
n
?q
得
a< br>n
?pa
n?1
?q(n?2)
两式相减并整理得
?
a
n?1
?a
n
?
构成以
a
2
?a
1
为首项，以
p
为公比的等比数列.求出
?
a
n?1?a
n
?
的通项再转化
为类型Ⅲ（累加法）便可求出
a
n
.

㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n )
(p?1)
型的递推式：
⑴当
f(n)
为一次函数类型（即等差数列）时：
B
的值，转法一：
设
a
n
?An?B?p
?
a
n?1?A(n?1)?B
?
，通过待定系数法确定
A、
化成以
a1
?A?B
为首项，以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?An?B
?
，再利用等比数列的通项
公式求出
?
a< br>n
?An?B
?
的通项整理可得
a
n
.
< br>法二：
当
f(n)
的公差为
d
时，由递推式得：
a< br>n?1
?pa
n
?f(n)
，
a
n
?pa< br>n?1
?f(n?1)
两式相减得：
a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n?1
)?d
，令
b
n< br>?a
n?1
?a
n
得：
b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b
n
，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
a
n
.

⑵当
f(n)
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：
设
a
n
?
?
f(n)?p
?
a
n?1
?< br>?
f(n?1)
?
，通过待定系数法确定
?
的值，转化成以< br>a
1
?
?
f(1)
为首项，以
p
为公比的等 比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?
，再利用等 比数列的通项公式求
出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理可得
a
n
.

法二：
当
f (n)
的公比为
q
时，由递推式得：
a
n?1
?pa
n
?f(n)
——①，
a
n
?pa
n?1
?f( n?1)
，两边同时乘以
q
得
a
n
q?pqa
n? 1
?qf(n?1)
——②，由①②两式相

减得
a
n ?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1
)
，即
a
n?1
?qa
n
?p
，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出< br>a
n
.

a
n
?qa
n?1
法三：
递推公式为
a
n?1
?pa
n
?q
n
（其 中p，q均为常数）或
a
n?1
?pa
n
?rq
n
（其中
p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以
q
n?1
，得：
a
n?1
p
a
n
1
??
n
?
，
n?1
q
q
q
q
引入辅助数列
?< br>b
n
?
（其中
b
n
?
a
n
p1
b?b?
），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
n?1n
qq
q
n
⑶当
f(n)
为任意数列时，可用通法：
在
a
n?1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p
n?1
可得到
a
n?1
a
n
f(n)
a
n
???b
n
，则，令
n?1nn?1n
pppp
b
n?1
?b
n
?
f(n)
n
，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出< br>b
n
之后得
a
n
?pb
n
.
n?1
p

类型Ⅵ 对数变换法：
q
形如
a
n?1
?pa(p?0,a
n
?0)
型的递推式：
q在原递推式
a
n?1
?pa
两边取对数得
lga
n?1
?qlga
n
?lgp
，令
b
n
?lga
n
得：
b
n?1
?qb
n
?lgp
，化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型，求出
b
n
之 后得
a
n
?10
b
n
.
（注意：底数不一
定要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n? 1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
）的递推式：两边同除于
a
n?1
a
n，转化为
11
??p
形式，化归为
a
n?1
?pan
?q
型求出
1
的表达式，再求
a
n
； a
n
a
n?1
a
n
还有形如
a
n?1
?
ma
n
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
1
?
m1
?
m
形式，化归
pa
n
?qa
n?1
qa
n
p
为
a
n?1
?pa
n
?q型求出
1
的表达式，再求
a
n
.
a
n

类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式求解。方法为：设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a
n ?1
?ka
n
)
，比较系数得
h?k?p,?hk?q
，可 解得
h、k
，于是

{a
n?1
?ka
n}
是公比为
h
的等比数列，这样就化归为
a
n?1
?p a
n
?q
型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解 ，对不能转化为以上方
法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n
.


5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列
?
a
n
?
为等差数列，数 列
?
b
n
?
为等比数列，则数列
?
a
n< br>?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
an
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项和.
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法
.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
?
c

(a,b
1
,b
2
,c为常数）
时，往往可将
(a n?b
1
)(an?b
2
)
a
n
变成两项的差，采 用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
?
?
an?b
1
?
?
an?b
2
，通分整理后与原 式相比较，根据对应项系数相等得
?
?
c
，从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).

(an ?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
) an?b
1
an?b
2

常见的拆项公式有：
①
111
??；

n(n?1)nn?1
②
1111
?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11
?(a?b);

a?b
a?b
m?1mm
?C
n?1
?C
n
;< br>
③
④
C
n

⑤
n?n!?(n?1) !?n!.


⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数 列，若将这类数列适当拆开，可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一 般分两步：①找通向项公
式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法
如果一个数列
?
a
n
?
，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之 和，则可用把正着写与
倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法 。特
征：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和：
①
1?2?3?...?n?
n(n?1)
;

2
2
②
1?3?5?...?(2n?1)?n;

③
1?2?3?...?n?

2222
1
n(n?1)(2n?1).

6