高中数学数列知识点

数 列

一、数列定义：
按照一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫
做这个数列的项。
数列的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应
数列中的一个数，所以
a,a,?a,?
12n
数列的一般形式可以写成
简记为{a
n
}
注意：

{a
n
}
与
a
n
，而< br>是不同的概念，
{a
n
}
表示数列
a
1
,a
2
,?

a
n
表示的是数列的第
n
项；
数列的特性：（1）有序性；（2）可重复性
二、数列的分类：
项数有限的数列为“有穷数列”， 项数无限的数列为“无穷
数列”
从第2项起，每 一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
(
a
n?1
?a
n,n?N
*
) 如：1，2，3，4，5，6，
7；
从 第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；

a?a,n?N
n? 1n
(
2，1；
*
) 如：8，7，6，5，4，3，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
的数列叫做摆动数列；
各项相等的数列叫做常数列
2，2，2，2，2

三、数列是特殊的函数
(a
n?1
?a
n
)
；如：2，2，
1,2,3, ?
数列是定义在正整数集
N
（或它的有限子集
{
*
,n}< br>）
上的函数
f(n)
，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，
相 对应的一列函数值为
f(1),f(2),?
； 通常用
a
n
代替
f(n)
，于是数列的一般形式常记为
a
1
,a
2
,?
或简记为
{a
n
}
.
四、数列的通项公式
数列的第n项a
n
与项的序数n之间的关系可以用一个公式
a
n
=f (n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.如：
a
n
?(?1)
n?1
?1
(注：①数列的通项公式不唯一
②可以由通项公式求出数列中的任意一项)
相关练习：P
153

递推公式：如果数列{ a
n
}的第n项与它前一项或几项的关系可
以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这 个数列的递推公式，
如
a
1
?1,a
n
?2a
n ?1
?1,(n?1)


五、数列的前n项和
(1)
S
n
?a
1
?a
2
???a
n?1
?a
n

?
S
1
(n?1)
a?
a
（ 2）
n
和
S
n
之间的关系：
n
?
S?S( n?2)

n?1
?
n
练：已知数列{a
n
}的前 n项和S
n
=n-48n，
（1）求数列的通项公式；
（2）求S
n
的最大或最小值．
二、等差数列、等比数列：

等差数列 等比数列
2
如果一个数列从第2项起，每如果一个数列从第2项起，每一
一项与它的前一项的差等于同
定义
一个常数，这个数列就叫等差个常数，这个数列就叫做等比数
数列
*
式子表示
a
n
?a
n?1
?d(n?N,n?2)

项与它的前一项的比等于同一
列
(n?N
*
,n?2)

通项公式
（）
a
n
?a
m
?(n?m)d



若a，b，c三个数成等差数列，

（）
a
n
?a
m
q
n?m

求和公式
那么b叫a，c的等差中项， a, 若a,成等比数列,那么G叫做
等差（比）
b, c满足b-a=c-b
中项
a,b的等比中项 （
a，b，c成等差数列的充分必
，即，
ab?0
）
要条件是b=(a+c)2．
等差数列
若
等比数列
若
m?n?p?q
，
则；
m?n?p?q
，
则；
在等差数列中，每隔相同的项
在等比数列中，每隔相同的项抽
等差（比 ）
数列的性
质
抽出来的项按照原来顺序排
出来的项按照原来的顺序排列，< br>列，构成的新数列仍然是等差
构成的新数列仍然是等比数列
数列
(1)若数 列
为等
{a
n
}
与
{b
n
}
均< br>数列，

差则
(1)若数列
{a
n
}
与{b
n
}
均为等
比数列，则
{ma
n
b
n
}
仍为等比数
列
{ma
n
?kb
n
}
仍为等差
数列

ma
n
{a}
n
的前项
{}
仍为等比数列 (2)设等差数列
的和
?
为
b
n
S
n
,m?N,则
S
m
,S
2m?m
,S
3m?2m
, ?
仍是等差数列

(2)设等比数列
{a
n
}
的 前项的
和为
?
S
n
,m?N,则
S
m
,S
2m?m
,S
3m?2m
,?
仍是等比数列

（1）等差数列的判定方法：
①定义法：
a
n?1
?a
n
?d
或
a
n
?a
n?1
?d(n?2)
（
d
为
常数）
?{a
n
}
是等差数列
②中项公式法：
2a
n?1
③通项公式法：
等差数列
2< br>S?An?Bn
④前
n
项和公式法：
n
?a
n
?a
n?2
?{a
n
}
是等差数列
a
n
?pn?q
（
p,q
为常数）
?{a
n
}
是（
A,B
为常数）
?{a
n
}
是等差数列
（2）等比数列的判定方法：

a
n?1
?q
an
?d(n?2)
q
①定义法：
a
或
a
（是不 为零的常
n
n?1
数）
?{a
n
}
是等比数列 < br>2
②中项公式法：
a
n?1
?a
n
?a
n? 2
(a
n
a
n?1
a
n?2
?0)?{a
n
}
是
等比数列
n
a?cq
③通项公式法：
n< br>（
c,q
是不为零常数）
?{a
n
}
是等比数列 < br>④前
n
项和公式法：
S
n
?kq?
2
a1
k
（
k?
是常数）
q?1
?{a
n
}
是等比数列

练习：
1.设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，若
S
3< br>则
?3,S
6
?24,
a
9
= 。15
3
2
111
lim(1??
2
?L?L
n
)?
2、
n??

333

S
9
a
5
5
?
?
3．设< br>S
n
是等差数列
?
a
?
的前n项和，若
a9
，则
S
5

3
n
( )．D
1
A．
2
B．2 C．-1 D． 1
5、 在数列
{a
n
}
中，
a
1
点
(
?3
，且对任意大于1的正整数
n
，
a
n
,a
n?1
)
在直线
x?y?3?0
上，则
n??

lim
a
n
(n?1)
2
?

6、已知数 列
?
a
n
?
是首项
a
1
?1
，公 比
q?0
的等比数列，
?
b?logan?N
?
n2n设
?
，
b?b?b?6,b?b?b?0
135135
且.
a
?
n
?
的通项公式； (1)求数列
S
n
S
1
S
2
??????
b
S
(2)设
?
n
?
的前n项和为
n
，当
12n
求n的值．
详解：
最大时，

（1）据题设
a


n
=
a
1
q
n
-
1
，又
b
n
=
log
2
a
n
=
log< br>2
a
1
q
n
-
1
=
log
2
a
1
+
(
n
-
1
)
log2
q

{
b
n
}
为等差数列，
b1
=log
2
a
1
>0
(
Qa
1>1
)

135
由
b+b+b

=6?3b
3
6?b
3
2
由
b
1< br>鬃b
3
b
5
=0?b
5
0b
1
=4

n
-
1
ì
b
1
=
4
祆
log
2
a
1
=
4
?
镲
镲
揶
眄
镲
b
3
=
2
铑
log
2< br>a
1
+
2log
2
镲
?
ì
a
1
=
16
?
?
a
=
16
1
?< br>?
?
眄
1

镲
logq
=-
1q
=
镲
2
?
2
?


an
=
a
1
q
骣
1
÷
=
16< br>?
?
÷
?
?
桫
2
÷
n
-< br>1
2
5
-
n

（2）
b

S
n
n
=
log
2
a
n
=
log
2
2
5
-
n
=
5
-
n< br>
=
n
(
b
1
+
b
n
)< br>2
=
n
(
4
+
5
-
n
)< br>2
=
n
(
9
-
n
)
2
则
S
n
n
=
9
-
n

2
记
T
n
=
S
S
1
S
2
++鬃?< br>n
12n
9-19-29-n
++鬃?
222
骣
9- n
÷
n
?
4
+
÷
?
?
桫
117
2
÷
=-
n
2
+
n

244
17
4
=
8.5
若
T
n最大，当且仅当
n
=-
骣
1
2
?
-
÷
÷
?
?
桫
4
÷
Q
n
蜰
*

n
=
8,
或
9

7、在数列中，
（1）求的值；
（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（3）求数列。
四. （1）解：

（2）证明：

是首项为，公比为2的等比数列。 ，即的通项公式为
（3）解：的通项公式为

真题演练：
（2013）4、设< br>S
n
是等差数列的前
n
项和，
a
5
S
5
?3(a
2
?a
8
),则
a
3
的值为 （ ）
5
13
1
A.

B.

C.

D.

6
6
35
四、成等 差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上
2、5、13后成为等比数列
（1）求 数列
{b
n
}
中的
b
3
,b
4
, b
5

{b
n
}
的通项公式
5
{Sn
?}
是等（2）设数列
{b
n
}
前n项和为
S
n
，求证：数列
4
比数列

(2014) 5、已 知方程
(x?2x?m)(x?2x?n)?0
的四个根组成一个
22
1m?n?
（ ） 首项为
4
的等差数列，则

A.1

313
B.

C.

D.

4 28
8、一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等
差数列
?a
n
?
,若
a
1
,a
3
,a
7
成等比数列，则此样本的中位数是

四、已知等差数列
{an
}
的前
n
项和是
S
n
，
a
2
?3,S
6
?36

（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式
（2） 若数列
{b
n
}
是等比数列且满足
b
1
?b
2
?3,b
4
?b
5
?24.
求数列
{a
n
?b
n
}
的n前项和
T
n



且满足