(完整word版)高中数学数列讲义

数列讲义

授课教师：
听课学生：


2015-6-20

Part I 基础达标
一、数列
数列的基本概念及性质
? 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作
a
n
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首
项），在第二个位置的叫第2项 ，……，序号为
n
的项叫第
n
项（也叫通项）记作
a
n
；
数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，a
n
，……，简记作
?
a
n
?
。

? 通项公式的定义：如果数列
{
a
n
}
的第n项与n之间 的关系可以用一个公式表示，那么
这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是
a
n
=
n
（
n
?
7，
n?N
?
），数列②的通项公式是
a
n
=
（
n?N
?
）。
注意：
①
?
a
n
?
表示数列，
a
n
表示数列中的第
n
项，a
n
=
f
?
n
?
表示数列的通项公式；
1

n
?
?1,n?2k?1
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，
a
n
=
(?1)
=
?
(k?Z)
；
?1,n?2k?
n
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

? 数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一 项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函
数观点看，数列实质上是定 义域为正整数集
N
?
（或它的有限子集）的函数
f(n)
当自变量< br>n
从1开始依次取值时对应的一系列函数值
f(1),f(2),f(3),
… …，
f(n)
，……．通常用
a
n
来代替
f
?n
?
，其图象是一群孤立点。

? 数列分类：①按数列项数是有限还 是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之
间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。

? 递推公式定义：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a< br>n?1
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递
推公式。
?
(n?1)
?
S
1
数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
a
n
?
?

S?S(n≥2)
n?1
?
n

2015-6-20

1

2. 例题讲解与练习
? 类型一：数列的基本计算
{a
n
}
{a
n
}
a
1
?2,a
n
?
中，
中，
1. 数列
2. 数列

a
n?1
(n?2,3,4,
L
1?a
n?1
），则它的前5 项是 。
则
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
?a
n?1
?a
n
,a
7
?
。
? 类型二：根据数列的有限项，写出数列的通项公式
3. 求以下数列的通项公式
（1）9，99，999，9999，……；a
n
= ;
（2）7，77，777，7777，……；a
n
= ;
（3）7，-77，777，-7777，……；a
n
= ;
（4）1．-1，1，-1，……；a
n
=
（5）1，0，1，0，……；a
n
=
1234
1,2,3,4,
（6）
2345
……；a
n
= ;

? 类型三：已知数列的前n项和求数列的通项公式
4. 已知数列{a
n
}的前n项和为
5. 已知数列{a
n
}的前n项和为
6. 已知数列{a
n
}的前n项和为
S
n
?2n
2
?n?1
S
n
?2n
2
?n
， 求数列{a
n
}的通项公式；
，求数列{a
n
}的通项公式。
,则通项a
n
=
S
n
?(?1)
n?1
n
注意：（1）公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。
（2）切勿忽视n=1的情形。

? 类型四：用递推公式求数列的通项公式
7. 数列
{a
n
}
中，满 足
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?n
，求数 列{a
n
}的通项公式；
8. 数列

{a
n
}
中，满足
a
1
?2,a
n?1
?
n
a< br>n
n?1
，求数列{a
n
}的通项公式；
? 类型五：数列与函数的结合
f(x)?
9. 已知函数
（1）求证：
x-1
x
，设
a
n
?f(n)(n?N*)

；
a
n
?1

2015-6-20

2

（2）{a
n
}是递增数列还是递减数列？为什么？

二、等差数列
1. 等差数列定义和基本性质

? 等差数列定义：一般地 ，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。用递推公式表示为a
n
?a
n?1
?d(n?2)
或
a
n?1< br>?a
n
?d(n?1)
。

? 等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
； 说明：等差数列（通常可称为
AP
数列）的单调性：
d?0
为递增数列，
d?0
为常数
列，
d?0
为递减数列。

? 等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差 数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其中
A?< br>a?b

2
a
，
A
，
b
成等差数列
?
A?

a?b
。
2
n (a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
? d
。
22
? 等差数列的前
n
和的求和公式：
S
n
?

? 等差数列的性质：
（1）在等差数列
?
a
n
?
中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列
?
a
n
?
中，相隔等距离的项组成的数列是
AP
，
如：
a
1
，
a
3
，
a
5
，
a
7
， ……；
a
3
，
a
8
，
a
13
，< br>a
18
，……；
n?N
?
，
a
n
?a
m
?(n?m)d
，
d?
（3）在等差数列
?
a
n
?
中，对任意
m
，
a
n
?a
m
(m?n)
；
n?m
（4）在等差数列
?
a
n
?
中，若
m
，
n
，
p
，
q?N< br>?
且
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
（5）设数列
{a
n
}
是等差数列，且公差为
d
，则有：
S
奇
a
?
n
；
S
偶
a
n?1
S
n
（ii）若项数为奇数，设共有
2n?1
项，则①
S
奇
?
S
偶
?a
n
?a
中
；②
奇
?
。
S
偶
n?1
（i）若项数为偶数，设共有
2n
项，则①
S
偶
?
S
奇
?nd
； ②
（6）
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
仍成等差数列



? 数列最值
（1）
a
1
?0
，
d?0
时，
S
n
有最大值；
a
1
?0
，
d?0
时，< br>S
n
有最小值；

2015-6-20

3 < /p>

（2）
S
n
最值的求法：①若已知
S
n
，可用二次函数最值的求法（
n?N
?
）；②若已知
a
n
，
?
a
n
?0
?
a
n
?0
则S
n
最值时
n
的值（
n?N
?
）可如下确定< br>?
或
?
。
a?0a?0
?
n?1
?
n?1
2. 例题讲解与练习
1. 在等差数列{a
n
}中，a
2
+a
5
+a< br>8
=9,a
3
a
5
a
7
= -21,求通项a
n
.
2. 在等差数列{a
n
}中，S
10
=310，S
20
=1220，求S
n
与通项a
n.
3. a
3
,a
15
是方程x
2
-6x- 1=0的两个根，求a
7
+a
8
+a
9
+a
10< br>+a
11
= .
4. 等差数列{a
n
}，
S
9
?18,S
n
?240,a
n?4
?30,( n?9)
，则项数n为（ ）
5．等差数列{a
n
}的前m项和为30 ，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260
6. 若数列
{a
n
}
是等差数列，首项
a
1
?0,a
2003
?a
2004< br>?0,a
2003
.a
2004
?0
，则使前n项和
S
n
?0
成立的最大自然数n是：（ ）
A . 4005 B. 4006 C . 4007 D. 4008
S
n
a
11
7n?1
?
T4n?27
,求
b
11
. 7. 等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和为S
n
，T
n
，且
n

8. 等差数列{a
n
}共有2n-1 项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n= .
9．在等差数列{a
n
}中,
a
1
??25,S
3
?S
8
,
则前n项和
S
n
的最小值为（ ）
A. -80 B. -76 C. -75 D. -74
10. 已知等差数列
的是（ ）
A. d < 0 B.
{a
n
}
S
n
，是其前n项和，且
S
5
? S
6
,S
6
?S
7
,S
7
?S
8
，则下列结论错误
a
7
?0
C.
S
9
?S
5
D.
S
6
与
S
7
均为
S
n
的最大值.

11．已知数列｛b
n
｝是等差数列，b
1
=1，b1
+b
2
+…+b
10
=100.
（Ⅰ）求数列｛b
n
｝的通项b
n
；
（Ⅱ）设数列｛a< br>n
｝的通项a
n
=lg（1+
lgb
n+1
的大小， 并证明你的结论。



1
1
），记S
n
是数列｛a
n
｝的前n项和，试比较S
n
与
2
b
n
三、等比数列
2015-6-20

4

等比数列定义和基本性质
? 等比数列定义
一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常
．．．．．
数，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用
．
字母
q
表示
(q? 0)
，即：
a
n?1
：
a
n
?q(q?0)
数列（注意：“从第二项起”、“常数”
q
、等比数列的公比和项都不为零）

? 等比数列通项公式为：
a
n
?a
1
?q
n?1
(
a
1
?q?
0)
。
说明：（1）由等比数列的 通项公式可以知道：当公比
d?1
时该数列既是等比
a
数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若
{a
n
}
为等比数列，则
m
?q
m?n
。
a
n
? 等比中项
如果在
a与b
中间插入一个数
G
，使
a,G,b
成等比数列，那么
G叫做
a与b
的
等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

? 等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列
a
1
, a
2
,a
3
,L,a
n
,L
的前n项和是
S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
?L? a
n
，
a
1
(1?q
n
)
a?aq
当
q?1
时，
S
n
?
或
S
n
?
1n
；当q=1时，
S
n
?na
1
（错位相减法 ）。
1?q
1?q
说明：（1）
a
1
,q,n,S
n
和
a
1
,a
n
,q,S
n
各已知三个 可求第四个；（2）注意求和公
式中是
q
n
，通项公式中是
q
n?1
不要混淆；（3）应用求和公式时
q?1
，必要时应讨
论
q ?1
的情况。

? 等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数 列的
第
m
项，且
m?n
，公比为
q
，则有
a
n
?a
m
q
n?m
；

②对于等比数 列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a< br>n
?a
m
?a
u
?a
v
，也就是：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a
??????
,a,?,a
n?2
,a
n?1
,an
。 ，如图所示：
a
1
,a
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1

③若数列?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
? S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。
如下图所示：
????????????
S
?
3k
??? ?????????
a
1
?a
2
?a
3
???a< br>k
?a
k?1
???a
2k
?a
2k?1
? ??a
3k

???????????????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k


2015-6-20

5

2. 例题讲解与练习
1. 数列
{a
n
}
是等比数列，则在①
{a
n
a
n?1
}
；②
{a
n
?a
n?1
}
；③
{a
n
?a
n?1
}
；④
{a
n
3
}
；
⑤
{na
n
}；⑥
{lga
n
}
这6个数列中仍成等比数列的是 。

2. 等差数列a,b,c三项的和为12，且 a,b,c+2成等比数列，求a的值。

3. 等比数列{a
n
}中,a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,则a
3
+a
5
=( )

4. 等比数列{a
n
}中，
a
9
?a
10
?a,(a?0),a
19
?a
20
?b ,
则
a
99
?a
100
?
（ ）
b
9
b
10
b
9
b
A：
8
B：
()
C：
9
D：
()
10

a
aa
a
a
5
a
6
?9
，5. {a
n
}是各项为正数的等比数列，则
log
3
a
1
?log
3
a
2
???log
3
a
10
=（ ）
A：12 B：10 C：8 D：
2?log
3
5

6．等比数列{a
n
}中，
S
n
?49
，
S
2n
?112
，则S3n
= 。
7．等比数列{a
n
}中，< br>a
1
?1,a
n
??512,S
n
??341,求q。
8．求
1,a,a
2
,
L
,a
n?1
,
L
的前n项和。
9．{a
n
}成等差数列，
a
1
,a
5
,a
13
成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A：
111
B：2 C： D：
243
q?1, b
i
?0(i?1,2,?,n)
，
a
11
?b
1 1
，10．{a
n
}成等差数列，{b
n
}成等比数列，若
a
1
?b
1
，
则（ ）
A：
a
6
?b
6
B：
a
6
?b
6
C：
a
6
?b
6
D：
a
6
?b
6
或
a
6
?b
6

(a
1
?a
2
)
2
x,a
1
,a
2
,y
成等 差数列，
x,b
1
,b
2
,y
成等比数列，11．则的取值 范围是（ ）
b
1
b
2
A：
[4,??)
B：（0，4） C：
(??,0]?[4,??)
D：
(??,0)?[4,??)

12．（2006年辽宁卷）在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,前
n< br>项和为
S
n
,若数列
?
a
n
?1
?
也
是等比数列，则
S
n
等于（ ）

2015-6-20

6

A．
2
n?1
?2
B．
3n
C．
2n
D．
3
n
?1

13．（2006年北京卷）设
f(n)? 2?2
4
?2
7
?2
10
?L?2
3n?10(n?N)
，则
f(n)
等于
（ ）
2222
A．
(8
n
?1)
B．
(8
n?1
?1)
C．
(8
n?3
?1)
D．
(8
n?4
?1)

7777
14．（1996全国文 ，21）设等比数列｛a
n
｝的前n项和为S
n
，若S
3
＋ S
6
＝2S
9
，求
数列的公比q；

15．（2 005江苏3）在各项都为正数的等比数列{a
n
}中，首项a
1
＝3，前三 项和为
21，则a
3
＋a
4
＋a
5
＝（ ）
（A）33 （B）72 （C）84 （D）189

16．（2000上海，12）在等差数列｛a
n
｝中，若 a
10
＝0，则有等式a
1
+a
2
+…＋
a
n
=a
1
+a
2
+…＋a
19
－
（n∈ N
)
成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b
n
｝
n
n＜19，
中，若b
9
＝1，则有等式 成立。

Part II 数列综合应用
一、数列求和
（一）．公式法
1. 求1，4，7，10，…，（3n-2）,…的前n项和。

2
2
2
4
2
2n
2. 求数列
,
2
,
L
,
n
,
L
，求前2k项的和.
y
yy
（二）．分项求和
1．求和（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2
n
）

2.
1?2?2?3?3?4?L?n(n?1)


3.
1?3?2?5?L?n(2n?1)

（三）．裂项求和
1.
111
??
L
?

1?33?5(2n?1)(2n?1)

2015-6-20

7

2. 数列{a
n
}成等比数列,各项都为正数，且q≠1,求证
111n?1
??L??

lga
1
lga
2lga
2
lga
3
lga
n?1
lga
nlga
1
lga
n


3.


4．求
1?

111
????

3?55?7(2n?1)(2n?3)
111

????
1?21?2?31?2???n
（四）．错位相减、其它
1．

2.
1?2?2?2
2
?3?2
3
???n?2
n


3. 已知数列{a
n
+1}是等比数列，
a
1
?1
，
q?2
，求
a
1
?2a
2
?3a< br>3
???na
n


1352n?1
?
2
?
3
?L?
n

2
222
（五）. 放缩及其他
1．
1
2
?2< br>2
?3
2
?4
2
?L?99
2
?1002

2
2
＋13
2
＋14
2
＋12．数列
2
，
2
，
2
，……的前10项和为（ ）。
2－13－14－1
（A）
17114389
（B）11 （C）11 （D）11
5512
132132
3.求和
S
n
?

1
1?2
?
1
2?3
?
L
?
1
n ?n?1

4. 求
S?1?

1
3?1
?
1
5?3
???
1
2n?1?2n?1


2015-6-20

8

4
x
121998
?
x
5. 求值设
f(x）
，求
f()?f()???f()
:
4?2
9

6.求证：
1?

111
??L??2

222
23n
1(n?1)
2
7.
n(n?1)?1?2?2?3?L?n(n?1)?

22

二、用已知数列的前n项和求数列的通项公式（略）
三、用递推公式求通项
1. 已知数列{a
n
}，满足，a
1< br>=2,a
n+1
=a
n
+2n,求{a
n
}的通项公式。

2. 已知数列{a
n
}，满足，a
1
=2,a
n+1
=a
n
+2
n
,求{a
n
}的通项公式。

3. 已知数列{a
n
}，满足，a
1
=2, a
n+1
=a
n
+
注：凡是具有a
n+1
=a
n
+
f(n)
形式都可运用 此法，其中
f(n)
表示可求和的数列。
4． 已知数列{a
n
}，满足，a
1
=1,
a
n?1
?

5．已知数列{a
n
}满足，
a
1
?1 , 2

6．已知数列{a
n
}，满足，a
1
=2,a
n+1
=2a
n
+1,求{a
n
}的通项公式。

7．已知数列{a
n
}，满足，a
1
=1,a
n+1=3a
n
+1,求{a
n
}的通项公式。

注：
a
n?1
?ka
n
?b
型通项公式可用此法。
n?1
1
，求{a
n
}的通项公式。
n(n?1)
n
a
n
求{a
n
}的通项公式。
n?1
a
n
?a
n?1
(n?N,n?2)
，求{ a
n
}的通项公式。

2015-6-20

9 < /p>

8．
a
1
?5,a
n?1
?2a
n< br>?n?5
，求{a
n
}的通项公式。

9. 已知数列{a
n
}
a
1
?1,a
n?1
?2a< br>n
?2
，求{a
n
}的通项公式。

注：
a
1
?5,a
n?1
?ka
n
?f(n)
型通项 公式可用此法。

n
递推公式的变形
1．已知数列{a
n
}，满足，a
1
=

2．已知数列{a
n
}，满足，a
1
=1,

3 ．首项为1的正项数列，
(n?1)a
n?1
?na
n
?a
n?1
a
n
?0
，求数列的通项公式。

22
1
,
a
n?1
?2a
n?1
a
n
?a
n
?0
，求{a
n
}的通项公式。
2
a
n?1
?
5a
n
求{a
n
}的通项公式。
5?a
n
四、
S
n
与
a
n
的相互转化
1．已知数列{a
n
}满足，
a
1
?
（1）问数列
{
1
,a
n
??2S
n
S
n?1
,(n?2)
，
2
1
}
是否为等差数列；
S
n
（2）求S
n
和a
n
.


2．已知数列{a
n
}满足，
S
n
?2a
n
?n
，求数列{a
n
}的通项公式。


3．已知数列 {a
n
}，满足
log
2
(1?S
n
)?n?1< br>，求通项a
n
.


4．已知数列{a
n
}满足，
S
1
?4
，当
n?2
时，
a
n< br>?

1
(S
n
?S
n?1
)
,求S
n
和a
n
.
2

2015-6-20

10

6．（05，山东）已知数列{a
n
}，< br>a
1
?5
，前n项和为
S
n
，且
S
n?1
?2S
n
?n?5(n?N)
，
（1）求数列{a
n
}的通项公式。
（2）求
a
1
?2a
2
?3a
3
???na
n


*
五、几个必须熟练掌握的综合题目
1. 已知数列
{a
n
}
是等差数列，前
n
项和为
S
n
且
a
1
?a
2
?a
3
?3
；
a
7
?a< br>9
?8

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式.
（2）设数列{b
n
}
满足，
b
n
?


2.（05济南2模）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
是n的二次函数，且
a
1
??2,a
2
?2,a
3
?6
an
. 求S
n
和a
n
.


3. 已知数列{a
n
}满足，
a
1
?2a
2
?3a3
???na
n
?n(n?1)(n?2)
，求数列{a
n}的通项公
式。

4.数列数列{a
n
}，满足
a
1
?1
，当n?2
时，
a
1
a
2
a
3
?a
n
?n
，求数列{a
n
}的通项公式。



5.
2
1
，求数列
{b
n
}
的前
n
和
T
n
.
S
n


6.

2015-6-20

11

7. 在等比数列
{a
n
}
中，
a
1< br>?1
，公比q>0，设
b
n
?log
2
a
n
，且
b
1
?b
3
?b
5
?6,b
1
b
3
b
5
?0

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
c
n
?

8.
1
，求数列{c
n
}
的前n项和
S
n
。
n(b
n
?6)


9.（07天津文）在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?4a
n
?3n?1
，
n?N
*
． （Ⅰ）证明数列
?
a
n
?n
?
是等比数列；（Ⅱ）求数 列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n；
（Ⅲ）证明不等式
S
n?1
≤4S
n
，对任意n?N
*
皆成立．


10．数列
?
an
?
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1
，
a
n?1
?2S
n
(n?N)
．
*

（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项a
n
；
（Ⅱ）求数列
?
na
n
?
的 前
n
项和
T
n
．

11．设数列
?a
n
?
满足
a
1
?3a
2
?3
2
a
3
?…?3
n?1
a
n
?
（Ⅰ）求 数列
?
a
n
?
的通项；
n
*
，
a?N
．
3

2015-6-20

12

（Ⅱ）设
b
n
?

n
，求数列?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
．
a
n
1
(3n?S
n
)
（
n?N
*
）
2
12. 已知数列
{a
n
}
项和为
S
n
，满足
a
n
?
（1） 证明：数列
{an
?3}
是等比数列，并求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 设
b
n
?

13. 已知等差数列
?a
n
?
满足：
a
3
?7
，
a
5
?a
7
?26
，
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
．
（Ⅰ）求
a
n
及
S
n
；

（Ⅱ） 令
b
n
=
n
a
n
，求数列
{b
n
}
的前n项和。
3
1
*
(
n
?
N)，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
Tn
．
2
a
n
?1
14. （2010上海已知数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
*
，且
S
n
?n?5a
n
?85
，
n? N

(1)证明：
?
a
n
?1
?
是等比数列；
(2)求数列
?
S
n
?
的通项公式，并求出使得
S
n?1
?S
n
成立的最小正整数
n
.

15. （2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）
设数列
{a
n
}
的 前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
?1,S
n?1
?4a
n
?2

（I）设
b
n
?a
n?1
?2a
n
，证明 数列
{b
n
}
是等比数列
(II) 求数列
{a
n
}
的通项公式。

2015-6-20

13