高中数学教学应用-高中数学 10个台阶
高中数学数列解题方法总结
?
累加法类型一:
a
n?1
?a
n
?f(n)(
f(n)
可以求和)
????
例1、在数列
?
an
?
中,已知
a
1
=1,当
n?2
时,有a
n
?a
n?1
?2n?1
?
n?2
?
,求数列
的通项公式。
解析:
Qa
n
?a
n?1
?2n?1(n?2)
解决方法
?
a
2
?a
1
?1
?
a
?a?3
32
?
?
?
?
a
4
?a
3
?5
上述
n?1
个等式相加可得:
?
M
?
?
?
a
n
?a
n?1
?2
n?1
a
n
?a
1
?n
2
?1
?a
n
?n
2
?
累积法
类型二:
a
n?1
?f(n)?a
n
(
f(n)
可以求积)
????
例2、在数列
?
a
n
?
中,已
知
a
1
?1,
有
na
n?1
?
?
n?1
?
a
n
,(
n?2
)求数列
?
a<
br>n
?
的通项公式。
解决方法
a
n
a
n?1
a
n?2
a
3
a
2
??L??a
1
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
2a
1
nn?1n?2322
???
L
??1?
n?1nn?143n?1
2
*
又
Qa
1
也满足上式;<
br>?a
n
?
(n?N)
n?1
解析:
a
n
?
?
待定常数法 类型三:a
n?1
?Aa
n
?B(其中A,B为常数A?0,1)
???
?
可将其转化为
a
n?1
?t?A(a
n
?t)
,
其中
t?
等比数列,然后求
a
n
即可。
例3
在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,当
n?2
时,有
a
n
?3a
n?1
?2
,求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解析:设
an
?t?3
?
a
n?1
?t
?
,则
a
n
?3a
n?1
?2t
解决方法
B
,则
数列
?
a
n
?t
?
为公比等于A的
A?1
?t?1
,于是
a
n
?1?3
?
a
n?1
?1
?
?
?
a
n
?1
?
是以<
br>a
1
?1?2
为首项,以3为公比的等比数列。
?a
n
?2?3
n?1
?1
类型四:
A
a
n?1
?Ba
n
?Ca
n?1
?0;其中A,B,C为常
数,且A?B?C?0
可将其转化为
A
?
a
n
?1
?
?
a
n
?
?
?
?
a
n
?
?
a
n?1
??
n?2
?
----
-(*)的形式,列出方程组
??
?
A?
?
?
?
?
B
?
a?
?
a
,解出还原到(*)式,则数列是以为首项,
?
,
?
;
a?
?
a
??
?
21
n?1n
A
?
?
?
?
?C
?
为公
比的等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出
a
n
。
例4、
在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,
a
2
?4
,且
a
n?1
?3a
n
?2a
n?1
?
n?2
?
求数列
?
a
n
?
的
通项公式。
解析:令
a
n?1
?
?
a
n
?
?
(a
n
?
?
a
n?1
),(n?2)
1
得方程组
?
?
?
?
?
?3
解得
?
??1,
?
?2;
?
?
?
?
??2
?a
n?1
?a
n
?2
?
a<
br>n
?a
n?1
??
n?2
?
则数列
?
a
n?1
?a
n
?
是以
a
2
?a
1
为首项,以2为公比的等比数列
?a
n?1
?a
n
?2?2
n?1
?2
n
?
a
2
?a
1
?2
?
a?a?2
2
32
?
2(1
?2
n?1
)
?
3
?2
n
?2
?
?
a
4
?a
3
?2
?a
n
?a
1
?
1?2
?
M
?
n
?1
?
?
a
n
?a
n?1
?2
?a
n
?2
n
?
n?N
*
?
类型五:
a
n?1
?ka
n
?f(n)
(
k?0
且
k?1
)
一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。
(1)若
f(n)?an?b
,则可设
∴
a
n?1
?A(n?1)?B?k(a
n
?An?B)
a
n?1
?ka
n
?(k?1)An?(k?1)B?A
?
(k?1)A?a
ba
a
B??
?
A?
2
k?1
(k?1)
(k?1)B?A?b
?
k?1
∴
解得:,
∴
{a
n
?An?B}
是以
a
1
?A?B
为首项,k为公比的等比数列
n?1
a?An?B?(a?A?B)?k
n1
∴
n?1
a?(a?A?B)?k?An?B
将A、B代入即可
n1
∴
(2)若
f(n)?q
(
q?
0,1),
则等式两边同时除以
q
令
C
n
?
nn?1
得
a
n?1
k
a
n
1
??
n
?
n?1
q
q
q
q
a
n
k1
C?C
?
则 ∴
{C
n
}
可归为
a
n?1
?ka
n
?b
型
n?1n
qq
q
n
1
例6
设在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
n
?a
n?1
?2n?1
?
n?2
?
求数列
?
a
n
?
的通项公式。
2
1
解析:设
b
n
?a
n
?An?b
?a
n<
br>?An?B?
?
a
n?1
?A
?
n?1
?<
br>?B
?
?
2
?
?
A
?2?0
?
?
A??4
这时
b?
1
b
?
2
展开后比较得
?
??
nn?1
?
n?2
?
且b
n
?a
n
?4n?6
2
?
A
?
B
?1?0
?
B?6
?
?22
1
?
1
?
?
?
b
n
?
是以3为首项,以为公比的等比数列
?b
n
?3?
??
2
?
2
?
n?1
?
1
?
即
3?
??
?
2
?
?
1<
br>?
?a
n
?4n?6
,
?a
n
?3?
??
?4n?6
?
2
?
n?1
例7
在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,
a
n
?2a
n?1
?2
?
n?2
?求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解析:
Qa<
br>n
?2a
n?1
?2
n?1
n?1n?1
?
n?2
?
2
?a
n
?2a
n?1
?2
n?1
,两边同除以
2
n
得
差的等差数列。
a
n
a
n?1
a
1
?
a
n
?
?
是以
=1为首项,2为公
??2
?
n
?
nn?1
2
22
2
??
a
n
?1?
?
n?1
?
?2?2n
?1
即
a
n
?2
n
?
2n?1
?
n
2
解决方法
c?a
n
?
倒数法 类型六:
a
n?1
?
(
c?p?d?0
)
????
pa<
br>n
?d
2?a
n
例10 已知
a
1
?4,
a
n?1
?
,求
a
n
。
2an
?1
111
1
??1
,设
?b
n
,
则
b
n?1
?b
n
?1
; 解析:两边取倒数得:
a
n?1
2a
n
a
n
2
b?2
1
1
?
; 令
b
n?1
?t?(b
n
?t)
;展开后得,
t??2
;
?
n?1
b
n
?
22
2
17
1
?2??
为首项,为公比的等比数列。 <
br>?
?
b
n
?2
?
是以
b
1
?2?
a
1
4
2
?
?
7
??
1<
br>?
?b
n
?2?
?
?
???
?
4<
br>??
2
?
类型七:
S
n
?f(a
n
)
n?1
1
?
7
??
1
?
;即
?2?
?
?
???
a
n
?
4
??
2
?
s
1
1
2
n?2
n?1
2
n
?1
,得
a
n
?
n?2
;
2?7
评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。
解决方法
???
??
a
n
?
?
?
(n?1)
?
s
n
?s
n?1
(n?2)
.
例11 已知数列
?
a
n
?
前n项和
S
n
?4?a
n
?
?
1
?
求
a
n?1
与
a
n<
br>的关系;
(2)求通项公式
a
n
.
解析:
?
1
?
1
?
n?1
时,
a
1
?s
1
?4?a1
?2
,得
a
1
?1
;
2
?
n?2
时,
a
n
?s
n
?s
n?1
?4
?a
n
?
得
a
n?1
?
1
2
n?
2
?4?a
n?1
?
1
2
n?3
;
11
a
n
?
n
。
22
n?1
(
2)在上式中两边同乘以
2
得
2
n?1
a
n?1
?
2
n
a
n
?2
;
?数列2
n
a
n
是以
2
1
a
1
?2
为首项,2为公差的等差数列
;
?2
n
a
n
?2?2n?2?2n
;得
an
?
类型八:周期型
例12若数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
??
n
。
2
n?1
1
?
2a,(0?a?)
n
?
6
?
n
2
?
?
,若
a
1
?
,则
a
20的值为___________。
1
7
?
2a?1,(?a?1)nn
?
2
?
解析:根据数列
?
a
n
?
的递推关系得它的前几项依次为:
6536536
,,,,,,LL
;我们
看出这个数列是一个周期数列,三项为一个周期;
7777777
3
?a
20
?a
2
?
5
.
7
8(n?1)
8
,求数列
{a
n
}
的通
项公式。
,a?
1
22
9
(2n?1)(2n?3)
类型九
、利用数学归纳法求通项公式
例13 已知数列
{a
n
}
满足a
n?1
?a
n
?
(2n?1)
2
?1
a
n
?
(2n?1)
2
解析:根据递推关系和
a
1
?
82448
得,
a
2
?,a
3?,LL
92549
(2n?1)
2
?1
所以猜测<
br>a
n
?
,下面用数学归纳法证明它;
(2n?1)
2
1
?
n?1
时成立(已证明)
(2k?1)
2
?1
,
2
?
假设
n?k
(k?2)
时,命题成立,即
a
k
?
(2k?1)
2
8
?
k?1
?
8(k?1)
(2k?1)
2?1
?
则
n?k?1
时,
a
k?1
?a
k
?
=
22
22
2
(2k?1)(2k?3)
(2k?1)
?
2k?1
??
2k?3
?
=
16k
4
????
?64k?84k?44k?8
?
2k?1
?<
br>?
?
2k?3
?
?1
??
?
2k?3
?
?1
?
。
??
22
222
?
2k?
1
??
2k?3
?
?
2k?1
??
2k?3
??
2k?3
?
32
222
?
n?k?1
时命题
成立;
由
1
?
2
?
可知命题对所有的
n?N均成立。
*
4