(完整版)高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题
数列

例1.已知数列

?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?2n
2
?n
,求

数列
?
a
n
?
的通项公式.



1.数列{
a


n
}的前
n
项和
S
n
与


通项
a
n
的关系：


a
?
?
S
1
(n?1)
例2.已知
a
1
?3且a
n
?S
n?1
?2
n
，求
a
n
及
S
n
．

n
?

?
S
n
?S
n?1
(n≥2)
















例3.已知
a

1
?1
，
S
2
n
?na
n

(n≥1)
求
a
n
及
S
n
．












数


列




例4.求和
1?
1

1?2
?
1
1?2? 3
???
1
1?2?3???n
.
2.数列求和的常用方法：公

式法、裂项相消法、错位相

减法、倒序相加法等。




关键是找数列的通项结构。
例5.数列1
1
,3
1
,5< br>1
,7
1
2
16
,…,(2n－1)+
1
4 8
2
n
的前n
项之和为S
n
，则S
n
等于 ( )
(A)n
2
+1－
1
2
n
(B)2n
2
－n+1－
1
2
n

(C)n
2
+1－
1
2
n?1
(D)n
2
－n+1－
1
2
n


例6.求和:
S?1?2x?3x
2
?4x
3
?L?nx
n?1
.











等差数列 等比数列

定义
a
n?1
?a
n
?d
(
d
为常数,
n≥ 2
)
a
n?1

a
?q(q?0,且为常数,n≥2)

n

递推
a
n
?a
n?1
?d
(
a
n
?a
m
?(n?m)d
)
a

n
?a
n?1
q
(
a
n?m
n
?a
m
q
)
公式


通项
a
n
?a
1
?(n?1)d

an?1
n
?a
1
q
（
a
1
,q?0< br>）

公式

中项
A?
a
n?k
?a
n?k
G??a
n?k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)


2



（
n,k?N
*
,n?k?0
）
（
n,k?N
*
,n≥k≥0
）


前
n
S?
n
(a
1
?a
n
)
?na
1

项和
n
2
S
?
(q?1)
n
?
?
a
等
?na?
n(n?1)
1d

?
1
?
1?q
n
?
a?a

差< br>2
?
1?q
?
1n
q
1?q
(q?1)数
?
?
列
?
d
?
?
2
??
n
2
?
?
?
?
a
d
?1
?
2
?
?
n
与
重要
①等和性:a< br>m
?a
n
?a
p
?a
q
①等积性:a
m
?a
n
?a
p
?a
q
等
性质
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)

(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)

比
②
数
a
n
?a
m
?(n?m)d

②
a
m
n
?a
m
?q
n?

列
③从等差数列中抽取等距离的项
③从等比数列中抽取等距离的项
组成的数 列是一个等差数列。
组成的数列是一个等比数列。
如：
a
1
,a
4
,a
7
,a
10
,???
（下标成等差
如：
a
1
,a
4
,a
7
,a
10
,???
（下标成等差
数列）
数列）
证明证明一个数列为等差数列的方证明一个数列为等比数列的方法：
方法 法：
1.定义法
a
1.定义法
a
n?1
?q(常数)

n?1
?a
n
?d(常数)

a
n
2.中项法
a
2.中项法
a
2
n ?1
?a
n?1
?2a
n
(n?2)

n?1
?a
n?1
?（a
n
）(n?2)

设元三数等差：
a?d,a,a?d


四数等差：
a?3d,a?d,a?d,a?3d

三数等比：
a< br>q
,a,aq或a,aq,aq
2
技巧

四数等比：
a,aq,aq
2
,aq
3

联系 真数等比，对数等差; 指数等差，幂值等比。


重点把握通项公式 和前n项和公式,对于性质主要是理解
．．
(也就是说自己能推
导出来),具体运用时 就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其
他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公 式的“累差”法和推导等比数列通项
公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如 推导等差数
列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是
数列求 和的重要技巧.

注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列计算是本章的中心内容，

利用等 差数列和等比数列的通项公式、前
n
项和公式及其性质熟练地进行计算，
等
是 高考命题重点考查的内容.⑶解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.
差
善于使用各种 数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等
数
差等比数列的通项公式求和 公式都可以看作是
n
的函数，所以等差等比数列的
列
某些问题可以化为函数问 题求解.
与
等
②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为
S
a< br>1
(1?q
n
)
n
?
比
1?q
(q ?1)
及
数
S
n
?na
1
(q?1)
；已 知
S
n
求
a
n
时，也要进行分类；③整体思想：在解数列问 题
列
时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.⑷在解答有
关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，
再利用有关数列知识和方 法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决
不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年 份有关的等比数列的第几项不
要弄错.


例7.等差数列{a
n
}中，已知
a
1
11
1
?
，
a
6
?
，a
n
=33，则n为（ ）

3
3

(A)48 (B)49 (C)50 (D)51

例8.在等比数列
?
an
?
中,
a
7
?12,q?
3
2
,则
a
19
?_____.




例9.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )

(A)1

(B)?1

(C)?1

(D)2




例10. 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
??2
，
a
5
?54
，求
a
8
，


等

差


数
例11.在等比数列
列
?
a
n
?
中,
a
1
和
a
10
是方程
2x
2
?5x?1?0
的 两个根,
与
则
a
4
?a
7
?
( )
等
比
(A)?
5
2

(B)
2
2

(C)?
1
2

(D)
1
2

数

例12.已知等差数列
?
a
?
满足
a
1
?a
2
?a
3< br>?L?a
101
?0
,则有( )
列
n
(A)a
1
?a
101
?0

(B)a
2
?a
100
?0

(C)a
3
?a
99
?0

(D)a
51
?51


例13. 已知数列
?< br>a
2
n
?
的前
n
项和
S
n
?3n?2n
，
求证:数列
?
a
n
?
成等差数列 ，并求其首项、公差、通项公式。







例14. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为


32：27，求公差.







例15. 在等比数列
?
a
n
?
，已知
a
1
?5
，
a
9
a
10
?100
，求
a
18
.








等
例16.设数列{a
n
}为等差数列，S
n
为数列{a
n
}的前n项和，已知S
7
=7，S
15
=75,
差
数
T
n
为数列{
S
n
n< br>}的前n项和，求T
n
.
列

与

等

比

数

列
例17.三数成等比数 列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数
列的第二个数减去4，则又成等比数列，求 原来三个数.






例18. 在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比
数列，求这两个数的和.





例19. 设{a
n
}是等差 数列，
b
1
a
211
n
?(
2
)
n
，已知b
1
+b
2
+b
3
=
8
，b
1
b
2
b
3
=
8
，求等差数
列的通项a
n
.






例20. 已知等差数列{a
n
}中，|a
3
|=|a
9< br>|，公差d<0，则使前n项和S
n
取最大值的
正整数n是( )
(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案
例1. 当
n?1
时，
a
1
?S
1
?1< br>,当
n≥2
时，
a
n
?2n
2
?n?2(n ?1)
2
?(n?1)?4n?3
,经检
验
n?1
时
a
1
?1
也适合
a
n
?4n?3
,∴< br>a
n
?4n?3
(n?N
?
)

例2. 解：∵
a
n
?S
n
?S
n?1
,∴
S< br>n
?2S
n?1
?2
n
,∴
S
n
2
n
?
S
n?1
2
n?1
?1

设
b
S
n
n
?
的等差数列,∴
b
S
1
2
n
则
?
b
n
?
是公差为1
n
?b
1
?n?1
又∵
b
1
?
2
?
a
1
2
?
3
2
,
∴
Sn
?n?
1
,∴
S
n?1
2
2
n?(2n?1)2
,∴当
n≥2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2n?3)2
n?2
n

∴< br>a
?
3
(n?1)
n
?
?
?
(2n ?3)?2
n?2

(n≥2)
,
S
n
?(2n?1)2
n?1

例3 解：
a
n?1
n
?S
n
?S
n?1
?n
2
a
n
?(n?1)
2
a
n?1 从而有
a
n
?
n?1
a
n?1

∵
a?1
,∴
a
1213214321
1
2
?3
,
a
3
?
4
?
3
,
a4
?
5
?
4
?
3
,
a
5< br>?
6
?
5
?
4
?
3
,
∴
a
(n?1)(n?2)???3?2?12
2
n
?
(n? 1)n(n?1)???4?3
?
n(n?1)
,∴
S
n
n
?n
2
a
n
?
n?1
.
例4.解：a
1
1?2?3???n
?
2
n(n?1)
?2(1
n
?
1
n
?
n?1
)
∴
S
?
11111
?
12n
n
?2
?
?
(1?
2
)?(
2
?
3
)???(
n
?
n?1
)
?

?
?2(1?
n?1
)?
n?1
例5.A
例6. 解:
S
2
n
?1?2x?3x?4x
3
? ???nx
n?1
①
xS
n
?x?2x
2
?3x< br>3
????
?
n?1
?
x
n?1
?nxn
②
①?②
?
1?x
?
S
n?1
n
?1?x?x
2
????x?nx
n
，
1?x
n
1?x
n
?nx
n
?nx
n?1
1?
?
1?n
?
x
n
?nx
n?1
1?
?1?n
?
x
n
?nx
n?1
当
x?1
时,
?
1?x
?
S
n
?
1?x
?nx< br>n
?
1?x
?
1?x
∴
S
n
??
1?x
?
2
;
当
x?1
时，
S< br>n
?
1?n
?
n
?1?2?3?4???n?
2
例7.C 例8.192 例9.C
例10. 解：
aa
a
5
54
8
?< br>5
q
3
?a
5
?
a
?54???1458< br>
2
?2
另解：∵
a
5
是
a
2
与
a
8
的等比中项，∴
54
2
?a
8< br>??2
∴
a
8
??1458

例11.D 例12.C
例13.解：
a
1
?S
1
?3?2?1
,
当
n≥2
时,
a
2
n
?S
n
?S
n?1
?3n?2n?[3(n?1)
2
?2(n?1)]?6n?5
,< br>n?1
时亦满足
∴
a
n
?6n?5
, ∴首项
a
1
?1
且
a
n
?a
n?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数)

∴
?
a
n< br>?
成等差数列且公差为6、首项
a
1
?1
、通项公式为
a
n
?6n?5

?
?
12a
1
?12?11
d?354
例14. 解一：设首项为
a
1
，公差为
d
则
?
?
?
6(a
6
2
?5
1
?d)?
2
?2d
32

?d?5

?
?
?5
?
?
?
6a
1
?
6
17
2
?2d
?< br>S
奇
?S
偶
?354
解二：
?
?
S
?
S
偶
?192
偶
32

?
?
?
?
由
S
偶
?S
奇
?6d
?d?5
?
S
?
S

奇
?162
奇
27
例15. 解：∵
a
a
10
1
a
18
?a
9
a
10
，∴
a
18
?
a
9
a
?
100
?20

1
5
例16. 解题思路分析：
法一：利用基本元素分析法
?< br>设{a
?
S?7a
7
1
?
?6
d?7
n
}首项为a
1
，公差为d，则
?
7
?
2
∴
?
a
1
??2
?
?
?
S
15
?15a
1
?
15?14

?
2
d?75
?
d?1

∴
S
n(n?1)
S
n?1n5
n
??2?
2
∴
n< br>n
??2?
2
?
2
?
2
此式为n的一次函数
∴ {
S
n
n
}为等差数列∴
T
19
n
?
4
n
2
?
4
n

法二：{a< br>?
S?A?
2
n
}为等差数列，设S
n
=An
2
+Bn∴
?
?
7
7?7B?7
?
?
S
2
15B?75

15
?A?15?
?
A?1
解之得：
?
?
?
2
∴
S
1
2
5
?
n
?n?n
，下略
B??
5
22
?
?2
注：法二利用了等差数列前n项和的性质
例17.
解：
设原来三个数为
a,aq,aq
2
则必有
2aq?a?(aq
2
?32)
①,
(aq?4)
2
?a(aq
2
?32)
②
由①：
q?
4a?2
a
代入②得：
a?2
或
a?
5
9
从而
q?5
或13
∴原来三个数为2,10,50或
226338
9
,
9
,
9

例18.70
例19. 解题思路分析：
∵ {a
n
}为等差数列∴ {b
n
}为等比数列
?
b?b?
17
?
b
1
?2
?
1
∴ b=b
?
1
b
32
2
,
∴ b
2
3
=
1
1
?
13
8
??
b< br>1
?
8
,∴ b
2
=
2
,∴
?
?
1
,∴
?
b
1
或
?
8

?
?
b
1
b
2
?
4
?
?
3
?
8
?
?
b
2
?2
∴
b?2(
1
)
n?1
?2
3?2n
或
b
1
n?5
n
4
n
?
8
?4
n? 1
?2
2

∵
b
1
n
?(
2
)
a
n
,∴
a
n
?log
1
b
n
,∴ a
n
=2n-3 或 a
n
=-2n+5
2
例20.
3n
2
?9n
2