高中数学数列知识点解析

v1.0 可编辑可修改
高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概 念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并
能根据递推公式写出数列的前几项 ．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实
际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实< br>际问题．

§03. 数 列 知识要点





数列








等差数列







数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
项
项数
通项
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
1

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定义
递推公
式
通项公
式
中项
等差数列
a
n?1
?a
n
?d

a
n
?a
n?1
?d
；
a
n
?a
m?n
?md
等比数列
a
n?1
?q(q?0)

a
n
a
n
?a
n?1
q
；
a
n
?a< br>m
q
n?m

a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
1
q
n?1
（
a
1
,q?0
） < br>A?
a
n?k
?a
n?k
2
G??a
n?k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)
（< br>n
,
k?N
*
,
n?k?
0
）
前
n
项
和
重要性
质
S
n
?< br>n
(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)
d

2
（
n
,
k ?N
*
,
n?k?
0
）
?
na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
1?qn

a
1
?a
n
q
?(q?2)
?< br>1?q
?
1?q
??
S
n
?na
1
?


*
a?a?a?a(m,n,p,q?N,
mnpq


m?n?p?q)

a
m
?a
n
?a< br>p
?a
q
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)
1. ⑴等差、等比数列：

定义
等差数列 等比数列
{a
n
}为A?P?a
n?1
?a
n
?d(常数）

{a
n
}为G?P?
a
n?1
a
n

?q(常数）
通项公
式
求和公
式
a
n
=
a
1
+（n-1）d=
a
k
+（n-k）
d=< br>dn
+
a
1
-d
a
n
?a
1q
n?1
?a
k
q
n?k


n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d< br>22

d
2
d
?n?(a
1
?)n
22
s
n
?

(q?1)
?
na
1
?
s
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q

(q?1)
?
1?q
?
1?q
?
中项公
式
A=
a?b
2
推广：2
a
n
=
a
n?m
?a
n?m
< br>G
2
?ab
。推广：
a
n
?a
n?m
?a
n?m

2
2

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性
质
1
若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

2
若
{k
n
}
成（其中
k
n
? N
）则
{a
k
}
也
n
为。
若m+n=p +q，则
a
m
a
n
?a
p
a
q
。
若
{k
n
}
成等比数列 （其中
k
n
?N
），则

{a
k
n
}
成等比数列。
3
．
sn
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
成等差数列。
s
n
,s
2n
?s
n
, s
3n
?s
2n
成等比数列。
4
d?
a
n
?a
1
a
m
?a
n
?(m?n)

n?1m?n
q
n?1
?

a
n
a
，
q
n?m
?
n

(m?n)

a
1
a
m
5





⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
a
n
?a
n ?1
q(n?2,q为常数,且?0)

2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)②
a
n
①


注①：i.
b?ac
，是
a、b、c
成等比的双非条件，即
b?ac
ii.
b?ac
（
ac
＞0）→为
a、b、c
等比数列的充分不必要.
iii.
b??ac
→为
a、b、c
等比数列的必要不充分.
iv.
b??ac
且
ac?0
→为
a、b、c
等比数列的充要.
a、b、c
等比数列.
注意：任意两数
a、c
不一定有等比中项， 除非有
ac
＞0，则等比中项一定有两个.
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
xa
n
}（
x?1
）成等比数列.
3

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?
s
1
?a
1< br>(n?1)
a?
⑷数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n
?

s?s(n?2)
n?1
?
n
[注]： ①
a
n< br>?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（ 即常
数列也是等差数列）→若
d
不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差 {
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?< br>?
n
→
?
?
d
?
?
2
?
?
d
?
2
?
d
可以为零也可不为零→为等差2
的充要条件→若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为 零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
2. ①等差数列依次每
k
项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k
倍
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
...
；
2
②若等差数列的项数为2nn?N
?
?
?
，则
S
偶
?S
奇?nd，
S
?
S
奇
偶
?
a
n
a
n?1
；
?
n

n?1
③若等差数列的项数为
2n?1n?N
?
，则
S
2n?1
?
?
2 n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
? a
n
，
S
奇

?代入n到2n?1得到所求项数
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+
n
=
②
1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?
n
?
n?1
?

2
?
S
偶
n
?
n?1
??
2n?1
?

6
2
③
1
3
?2
3
?3
3
?n
3
?
?
?
n
?
n?1
?
?
?

?
2
?
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…
?a
n
?10
n
?1
； 5，55，555，…
?a
n
?
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题：
5
n
10?1
.
9
??
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，则每年的产
量成等比数列，公比为
1?r
. 其 中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1
，且过
n
年后 总产量为：
2n?1
a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)
a[ a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存
a元，利息为
r
，每月利息按
复利计算，则每月的
a
元过
n
个月后便成为
a(1?r)
n
元. 因此，第二年年初可存款：
4

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a(1?r)
12
? a(1?r)?a(1?r)
1110
a(1?r)[1?(1?r)
12
]
?...?a(1?r)
=.
1?(1?r)
⑶分期付款应用题：
a
为分期付款方式贷款为
a
元；
m
为
m
个月将款全 部付清；
r
为年利率.
a
?
1?r
?
?x
?
1?r
?
mm?1
?x
?
1?r
?
m ?2
?......x
?
1?r
?
?x?a
?
1? r
?
m
x
?
1?r
?
m
?1ar
?
1?r
?
m
??x?

r
?
1?r
?
m
?1
5. 数列常见的几种形式：
⑴
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
（p、q
为二阶常数）
?
用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程
x
2
?Px?q
（
x
2
对应
a
n ?2
，
x
对应
a
n?1
），并设二根
x
1
,x
2
②若
x
1
?x
2
n
n可设
a
n.
?c
1
x
n
1
?c
2
x
2
，若
x
1
?x
2
可设
a
n
?(c
1
?c
2
n)x
1
；③由初始值
a
1
,a
2
确定
c
1
,c
2.
⑵
a
n
?Pa
n?1
?r
（
P、 r
为常数）
?
用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数
n
转化为
a
n?2
?Pa
n?1
?qa
n
的形式，再 用特征根方法求
a
n
；④
a
n
?c
1
?c
2
P
n?1
（公式法），
c
1
,c
2由
a
1
,a
2
确定.
①转化等差，等比：
a
n?1
?x?P(a
n
?x)?a
n?1
?Pa
n
?Px?x?x?
②选代法：
a
n
?Pa
n?1
? r?P(Pa
n?2
?r)?r?
??a
n
?(a
1
?
?P
n?1
a
1
?P
n?2
?r?
?
?Pr?r
.
a
n?1
?Pa
n
?r
?
?
a
n?1
?a
n
?Pa
n
?Pa
n?1
?a
n?1
?（P?1）a
n
?Pa
n?1
.
?
相减，
a
n
?Pa
n?1
?r
?
rrrr
，c
2
?a
1
?，a
n
?c2
P
n?1
?c
1
?（a
1
?）P
n ?1
?
.
1?PP?1P?11?P
r
.
P?1
rr
)P
n?1
??(a
1
?x)P
n?1
?x

P?1P?1
③用特征方程求解：
④由选代法推导结果：
c
1
?

6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n< br>项和为
S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有
两种方法：
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?
0
，成立的n
值；二是由
S
n
?
的值.
⑵如果数列可以看作是一 个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依
111
照等 比数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求< br>n
22
5

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⑶两个等差数列 的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项，公差是两个数列 公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.


2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,< br>验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2 a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
? a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
?
a
m
?0
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
的项数
a?0
?
m? 1
m使得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d >0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解
?
a
m?1
?0
含绝对值的数列最值问 题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{
a< br>n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部
aa
?
nn?1
?
分无理数列、含阶乘的数列等。
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。 3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列，
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n(n?1)

2
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n

?
1
?
3）
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n( n?1)
?

?
2
?
4）
1?2?3???n?
5）
6
2222
2
1
n(n?1)(2n?1)

6
1111111
???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2

v1.0 可编辑可修改
6）

1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
7