高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结
数列基础知识点
《考纲》要求：
1、 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据
递推公式写 出数列的前几项；
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
数列的概念

基础过关
*
1．数列的概念：数列是按一定的顺 序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N或
其子集{1，2，3，……n}的函数f( n)．数列的一般形式为a
1
，a
2
，…，…，简记为{}，其中是数
列{}的第 项．
2．数列的通项公式
一个数列{}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式＝f(n)来表示，我们就把
这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{}中，前n项和与通项的关系为：
?
?
?

a
a
?
?
n
n
?
?
n?1
n? 2

4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素 随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取
n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法 对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的 数列普遍的递推关系，
再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

典型例题

例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．
⑴ －
2
4816
，，－，…；
3?55?77?9
1?3
⑵ 1，2，6，13，23，36，…；
⑶ 1，1，2，2，3，3，
解： ⑴ ＝(－1)
1
2
n
2n?1

(2n?1)(2n?1)
⑵ ＝
(3n
2
?7n?6)

（提示：a
2
－a
1
＝1，a
3
－a
2< br>＝4，a
4
－a
3
＝7，a
5
－a
4
＝10，…，－
－1
＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加
得
0 17

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a
n
?1?[1?4?7? 10?
?
?(3n?5)]
?1?
?
1
(n?1)(3n? 4)
2

1
(3n
2
?7n?6)
2
1? 12?03?1
,,,

222
⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为< br>4?05?16?0
,,,
?
,

222
1?(?1 )
n?1
n?
2
∴
a
n
?
2
2n ?1?(?1)
n?1

?
4
变式训练1.某数列{}的前四项为0 ，
2
，0，
2
，则以下各式：
① ＝
2
n
[1＋(－1)] ② ＝
1?(?1)
n

2
?
0(n为奇数)
?
2(n为偶数)
③ ＝
?
其中可作为{}的通项公式的是 （ ）
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解：D
例2. 已知数列{}的前n项和，求通项．
n
⑴ ＝3－2
2
⑵ ＝n＋3n＋1
解 ⑴ ＝－
－1
(n≥2) a
1
＝S
1

解得：＝
?
2?3
?
1
?
n?1
(n?2)

(n?1)
⑵ ＝
?
(n?1)
?
5

?
2n?2(n?2)*
变式训练2：已知数列{}的前n项的和满足关系式(－1)＝n，(n∈N)，则数列{}的通 项公式
为 ．
解：
lg(S
n
?1)?n ?S
n
?1?10
n
?S
n
?10
n
?1 ,
当n＝1时，a
1
＝S
1
＝11；当n≥2时，＝－
－1
＝10－10
＝9·10
n－1
nn－1
．故＝
?
?
?
11(n?1)
n?1
?
(n?2)
?
9? 10

例3. 根据下面数列{}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a
1
＝1，＝2
－1
＋1 (n≥2)
⑵ a
1
＝1，＝
a
n?1
?3
n?1
(n≥2)
⑶ a
1
＝1，＝
n?1
a
n?1
(n≥2)
n
nn
解：⑴ ＝2
－1
＋1
?
(＋ 1)＝2(
－1
＋1)(n≥2)，a
1
＋1＝2．故：a
1
＋1＝2，∴＝2－1．
⑵＝（－
－1
）＋（
－1
－
－ 2
）＋…＋（a
3
－a
2
）＋（a
2
－a
1
）＋a
1
＝3
(3)∵
a
n
n?1
?< br>
a
n?1
n
n－1
＋3
n－2
＋…＋3＋ 3＋1＝
(3
n
?1)
．
3
1
2
1 17

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∴＝
a
n
a
n?1
a
n?2
a
n?1n?2
???
?
?2
?a
1
???

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
nn?1
n?311
?
?< br>??1?

n?22n
变式训练3.已知数列{}中，a
1
＝ 1，
＋1
＝
解：方法一：由
＋1
＝
1
a
n ?1
?
2a
n
得
a
n
?2
2a
n
*
(n∈N)，求该数列的通项公式．
a
n
?2
111 1
1
?
，∴{}是以
?1
为首项，为公差的等差数列．
a
n
2a
n
a
1
2
∴
1
12
＝1＋(n－1)·,即＝
a
n
2n?1
方法二：求出前5项，归纳猜想 出＝
x－x
2
，然后用数学归纳证明．
n?1
例4. 已知函数< br>f(x)
＝2－2，数列{}满足
f(log
2
a
n
)
＝－2n，求数列{}通项公式．
解：
f(log
2
a
n
)?2
log
2
a
n
?2
?log
2< br>a
n
??2n

a
n
?
1
??2n
得
a
n
?n
2
?1?n

a
n< br>*
变式训练4.知数列{}的首项a
1
＝5．前n项和为且
＋1
＝2＋n＋5（n∈N）．
(1) 证明数列{＋1}是等比数列；
21
(2) 令f (x)＝a
1
x＋a
2
x＋…＋，求函数f (x)在点x＝1处导数f (1)．
解：(1) 由已知
＋1
＝2＋n＋5，∴ n≥2时，＝2
－1
＋n＋4，两式相减，得：
＋1
－＝2(－
－1
)＋1，即
＋1
＝2＋1
从而
＋1
＋1＝2(＋1)
当n＝1时，S
2
＝2S
1
＋1＋5，∴ a
1
＋a
2
＝2a
1
＋6,
又a
1
＝5，∴ a
2
＝11
∴
a
n ?1
?1
＝2，即{＋1}是以a
1
＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.
a
n
?1
n
(2) 由(1)知＝3×2－1
2
∵
f(x)
＝a
1
x＋a
2
x＋…＋
－1
∴
f'(x)
＝a
1
＋2a
2
x＋…＋
从而
f'(1)
＝a
1
＋2a
2
＋…＋
＝(3×2－1)＋2(3×2－1)＋…＋n(3×2－1)
2n
＝3(2＋2×2＋…＋n×2)－(1＋2＋…＋n)
＝3[n×2
n＋1
2n
－(2＋…＋2)]－
n＋1
n
n(n?1)

2
＝3(n－1)·2－
n(n?1)
＋6
2

归纳小结

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与 项数之间的关系，常用的
方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.
2．由求时，用公式 ＝－
－1
要注意n≥2这个条件，a
1
应由a
1
＝S
1
来确定，最后看二者能否统一．
2 17

高中数学数列知识点总结
3．由递推公式求通项公式的常见形式有：
＋1
－＝f(n)，
乘法、迭代法（或换元法）．
数列的概念与简单表示法
●三维目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列 的递推公式写
出数列的前几项；理解数列的前n项和与
a
n
的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
1、 通项公式法
如果数列
?
a
n
?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列
的通项公式。
如数列

的通项公式为

的通项公式为

；
；
a
n?1
＝f(n)，
＋ 1
＝＋q，分别用累加法、累
a
n


的通项公式为

；
2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的项

为
纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，
做出一个数列 的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都
在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到
大变化而变 化的趋势．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
3 17

高中数学数列知识点总结
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快 捷
地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项）， 且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前n项）
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表
法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的表示法：用

用

表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为
表示第一项，
4、列表法
．简记为

[范例讲解]
．
a
1
?1
?
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
解：分析：题中已给出
?
a
n
?
的第1项即
a
1< br>?1
，递推公式：
a
n
?1?
1
a
n?1< br>
解：据题意可知：
a
1
?1,a
2
?1?
[补充例题]
112158
?,a
5
?

?2,a
3
?1??
，
a
4
?1?
a
3
35a
1
a
2
3
4 17

高中数学数列知识点总结
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
n
23
2
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2

a
3
?2?2?2
，观察可得
a
n
?2

法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
∴
a< br>n
aa
a
?
n?1
?
n?2
?
??
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n ?2
a
n?3
a
1
n?1n
∴
a
n
?a
1
?2?2

[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－1)
2
;
(2)
a
1< br>＝1,
a
2
＝
1212
222
,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝;
35
2436n?1
0
1
(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
,
a
2
＝7＝1+2
?3
,
a
3
＝19＝1+2
?3
,
2
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数 之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或
n
项）之间
的关系。
等差数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?a
n
? d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和
S
n
a
1
?a
n
?
n
?
??na
2
n
?
n?1
?
d

1
?
2
性质：
?
a
n
?
是等差数 列
5 17

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（1）若
m?n ?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
；

（2）数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n?1
?< br>仍为等差数列，
S
n
，S
2n
?S
n
，S< br>3n
?S
2n
……
仍为等差数列，
公差为
nd
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
2
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn< br>（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
S< br>n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，
?
a
n
?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a ?0
?
n?1
当
a
1
?0，d?0
，由
?
?
a
n
?0
可得
S
n
达到最小值时的n
值.
?
a
n?1
?0
，
有 (6)项数 为偶数
2n
的等差数列
?
a
n
?
S
2n< br>?n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n ?1
)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a< br>n?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd< br>，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
，
有 （7）项数为奇数
2n?1
的等差数列?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n(a
n
为中间项)
，

S
奇
?S偶
?a
n
，
S
奇
S
偶
?
n< br>.
n?1
等比数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?q
（
q
为常数，
q?0
），
a
n
?a< br>1
q
n?1

.
a
n
2
等比中项：
x、G、y
成等比数列
?G?xy
，或
G??xy

.
?
na
1
(q?1)
?
前
n
项和：< br>S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
（要注意！）
(q?1)
?
?
1?q
6 17

高中数学数列知识点总结
性质：
?
a
n
?
是等比数列
·a
n
?a
p
·a
q
（1）若
m?n? p?q
，则
a
m
（2）
S
n
，S
2n?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列, 公比为
q
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n ?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
.

求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列
?
a
n
?
，
解
n?1
时，
111
a
1
?
2
a
2
?……?
n
a
n
?2n?5
，求
a
n

222< br>1
a
1
?2?1?5
，∴
a
1
?14
①
2
111
n?2
时，
a
1
?
2
a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
②
222
?
14(n?1)
1
n?1
①—②得：
n
a
n
?2
，∴
a
n
?2
，∴
a
n
?
?
n?1

2
?
2(n?2)
［练习］数列
?
a
n
?
满足
S
n
?S< br>n?1
?
5
a
n?1
，a
1
?4
， 求
a
n

3
S
n?1
?4
S
n< br>又
S
1
?4
，∴
?
S
n
?
是等比数列，
S
n
?4
n

；
注意到
a< br>n?1
?S
n?1
?S
n
，代入得
·4
n? 1

n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3
（2）叠乘法
如：数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
n?1
?
a
a
n
n
，求
a
n

n?1
解
a
a
2
a
3
12n?1
3
a
1
·……
n
?·……
，∴
n
?
又
a
1
?3
，∴
a
n
?
a
1
a
2
a
n?1
23n
n
.
a
1
n
（3）等差型递推公式 由
a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a0
，求
a
n
，用迭加法
7 17

高中数学数列知识点总结
?
a
3
?a
2< br>?f(3)
?
?
n?2
时，
?
两边相加得
a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

……… …
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?∴
a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1，a
n
?3
n?1
?a
n?1
?
n?2
?
，求
a
n

a
2
?a
1
?f(2)
答案 ：
a
n
?
1
n
3?1
??
2

（4）等比型递推公式
a
n
?ca
n?1
?d
（
c、d
为常数，
c?0，c?1，d?0
）
可转化为等比数列，设
a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?
?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x
令
(c?1)x?d
，∴
x?
d
?
d
d
?
，c
为公比的等比数列 ，∴
?
a
n
??
是首项为
a
1
?
c?1
?
c?1
c ?1
?
∴
a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n?1
d
??
?
?
a
1
?·c
a?a?c?
，∴
n
??
1
?
c?1
?
c?1
?
c?1c?1
??
（5）倒数法
如：
a
1
?1，a
n?1
?
2a
n
，求
a
n

a
n
?2
由已知得：
a?2
11
1 11
1
??

?
n
??
，∴
a
n ?1
a
n
2
a
n?1
2a
n
2a
n
∴
?
?
1
?
111
1
1
?1? n?1·
为等差数列，，公差为，∴
?1
??
?
?
n?1< br>?
，
?
a
n
22
2
a
1
?
a
n
?
2
n?1

∴
a
n
?
(附：
公式法、利用
a
n?
?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n?1
?pan
?q
或

a
n?1
?pa
n
?f( n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
4. 求数列前n项和的常用方法
8 17

高中数学数列知识点总结
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，求
?
aa
k?1
n
1

kk?1
解：由
1 11
?
11
?
??
?
?
?
?
d? 0
?

a
k
·a
k?1
a
k
?< br>a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k ?1
?
n
?
111
?
11
?
1
?
?
11
?
?
11
?
1
?
?
∴
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?

aadaadaaaaaa
k?1
kk?1
k?1k?1
?
2
?
?
23
?
n?1
??
?
k
?
n
?
?
1
n
?1
?
11
?
?
??

d
?
a
1
a
n?1
?
［练习］求和：
1?
111

??……?
1?21?2?31?2?3?……?n
1

a
n
?……?……，S
n
?2?
n?1
（2）错位相减法
若
?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比 数列）前
n
项和，可由
S
n
?qS
n
，
求
S
n
，其中
q
为
?
b
n
?
的公比.
23n?1
如：
S
n
?1?2x?3x?4x?……?nx
①
②
x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?< br>x
n?1
?nx
n

①—②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x?……?x
2n?1
?nx
n

n
?
n?1
?

2
x?1
时，
S
n
?
1?x
?
?
nx
?
n
n
?
1?x
?
2
1?x
，
x?1
时，
S
n
?1?2?3?……?n?
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?相加
2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?…?
?
a
1
?a
n
?
…

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
x
2
［练习］已知
f(x)?
，则
1?x
2
9 17

高中数学数列知识点总结
?
1
?
f(1)?f(2)?f
??
?f(3)?
?
2
?
?
1
?
f
??
?f(4)?
?
3
?
2
?
1
?
f
??
?

?
4
?
?
1
?
??
x
2
x
2
1
x
?
?
1
?
?
由
f(x)?f
??
?????1
2
222
?
x
?< br>1?x
?
1
?
1?x1?x
1?
??
?x
?

∴原式
?f(1)?
?
f(2)?f
? ?
?
?
?
f(3)?f
??
?
?
?
f(4)?f
??
?
?
?
?
?
1
???
?
2
?
??
?
1
?
??
?
3
?
??
?
1
?
?
?
4
?
?
11
?1?1?1?3

22
(附：
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{}，与首末项等距的两项之和等于首末两 项之和，可采用把正着写与倒着写的两
个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加 法。我们在学知识时，不但要知
其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识 的工具，例如：等差数列
前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和可直接用等差、等比数列 的前n项和公式进行求解。运用
公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个 数列之后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两 项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列
的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列 与等差数列相乘的形式。即若在数列
{·}中，{}成等差数列，{}成等比数列，在和式的两边同乘以 公比，再与原式错位相减整理后即可
以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{}满足
1
(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下， 可把这个式子
变成
1
(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经 过整理，可求出 ，从而求出。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对 一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，
可分为几个等差、等比或常见的 数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据 数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知
的基本数列的通项的特征形式，从 而求出数列的前n项和。)
数列的综合应用
高考要求
(1)理解数列的概念， 了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据
递推公式写出数列的前几项
10 17

高中数学数列知识点总结
(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题
知识点归纳
?
a
1
,(n?1)
1.通项与前n项和的关 系：
S
n
?a
n
?
?

S?S,(n?2)
n?1
?
n
2.迭加累加法：
若a
n
?a
n?1
?f(n),(n?2)
，
则a
2
?a
1
?f(2)
，
a
3
?a
2
?f(3)
，………，
a
n
?a
n?1
?f(n)


?a
n
?a
1
?f(2)?f(3)??f(n)

3.迭乘累乘法：
若
a
n
aa
a
?g(n)，
则
2
?g(2)
，
3
?g(3)
，………，
n
?g(n)

a
2
a
n?1
a
1
a
n?1
a
n
?g(2)?g(n)

a
1
?
4.裂项相消法：
a
n
?
5.错位相减法：
1111
?(?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?Ca
n
?b
n
?c
n
,
?
b
n
?
是公差d≠0等差数列，
?
c
n
?
是公比q ≠1等比数列
S
n
?b
1
c
1
?b
2< br>c
2
???b
n?1
c
n?1
?b
n
c
n

则qS
n
?b
1
c
2
? ???b
n?1
c
n
?b
n
c
n?1
< br>所以有
(1?q)S
n
?b
1
c
1
?(c< br>2
?c
3
???c
n
)d?b
n
c
n?1

6.通项分解法：
a
n
?b
n
?c
n

7.等差与等比的互变关系：
?
a
n
?
成等差数列??
b
a
?
(b>0,b?1)成等比数列

n
?
a
n
?
成等差数列?
?
ca
n
?d?
(c?0)成等差数列

?
a
n
?
成等比数 列
?
?
log
b
a
n
?
成等差数列

a
n
?0
?
a
n
?
成等比数列??
a
n
k
?
成等比数列

11 17

高中数学数列知识点总结
8.等比、等差数列和的形式：
?
a
n
?
成等差数列?a
n
?An?B?S
n
?A n
2
?Bn

?
a
n
?
(q?1)成等比 数列?S
n
?A(q
n
?1)(A?0)

9.无穷递缩等比数列的所有项和：
?
a
n
?
(|q|< 1)成等比数列?S?limS
n
?
n??
a
1

1?q
题型讲解
例1 等差数列{}的首项a
1
>0,前n项和为,若(m≠k),问n为何值时，最大？
解：根据
?
a
n
?
成等差数列?a
n
?An?B? S
n
?An
2
?Bn
，首项a
1
>0,若为偶数, 则当()2
时，最大；
若为奇数，当(─1)2或(1)2时，最大
例2 已知关于n的不等式1(1)+1(2)+…+1(2n)>
都成立，求a的取值范围
解：把 1(1)+1(2)+…+1(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式
∵f(n)＝1(1)+1(2)+…+1(2n)
∴f(1)－ f(n)＝〔1(2)+1(3)+…+1(22) 〕
－〔1(1)+1(2)+…+1(2n)〕
＝1(22) +1(21) －1(1)
＝1(21) －1(22) >0
∴f(1)> f(n)
∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=712,
∴ 712>
12
log
a
(a?1)?
对于一切大于1的 自然数n
123
12
log
a
(a?1)?
,
123
解得：15
+1)2
例3 已知数列{},{}都是由正数组成的等比数列，公比分别为,其中p>q且q≠1, p≠1, 设为数列
{}的前n项和，求
lim
S
n

n??
S
n?1
S
n
a
1
(q?1)(p
n
?1 )?b
1
(p?1)(q
n
?1)
解：,以下分两种情况讨论： < br>?
n?1n?1
S
n?1
a
1
(q?1)(p?1) ?b
1
(p?1)(q?1)
(1)当p>1时,
12 17

高中数学数列知识点总结
∵ p>q>0,∴ 0<<1?
lim()
=0
lim()
0,
n??n??
q
p
n
1
p
n
两边同除以,得：
lim
( 2)当p<1时,
S
n
;
n??
S
n?1
∵ p>q>o,∴ 0limp
=0
limq
0, ∴
lim
n??n??
2
nn
S
n
=1
n??
S
n?1
例4 如图所示：已知抛物线,点的坐标为(1,0),将 分为n等分，分点为A
12
,…
─1
, 过A
12
,…─1
分
别作y轴的平行线，分别交抛物线于B
123
, …
─1
,再分别以
1
, A
1
A
22
A
3
, …
─1
为宽作n个小 矩形求n个
小矩形的面积之和；求
解：
limS
n
(即曲边梯形的面积)
n??
1112
2
13
2
1n?
2
??()??()????()
2

nnnnnnnn
2
=(1)(21)(6n);
limS
n
=13
n??
本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想
例5 等差数列{}中，已知公差d≠0≠0,设方程+2
12
=0 (r∈N)是关于x的一组方程
①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；
②设方程+2
12
=0的另一根记为,证明：数列{1(1)}是等差数列
解：①依题意，由{}是等差数列，有
2
=2
1
(r∈N),即─1时，方程成立，因此方程恒有实数根─1;
②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根─
2
,
∴ 1(1)(─
2
)=─(2d),
∴ 1(
1
+1)─1(1)= 〔─
1
(2d)〕─〔─(2d)〕=─12,
∴ {1(1)}是等差数列
例6 数列{}的前n项和(n─1),(1,2,…)是常数，且b≠0,
①求证{}是等差数列；
②求证以(─1)为坐标的点都落在同一直线上，并求出直线方程；
③设112是以()为圆 心，r为半径的圆(r>0),求使得点P
123
都落在圆外的r 的取值范围
证明 ：①根据
S
n
?a
n
?
?
2
2
?
a
1
,(n?1)
?
S
n
?S
n?1,(n?2)
得(n─1)? 2b,
∴{}是等差数列，首项为a,公比为2b
②由(n─1)?2b, ─1(n─1)b
两式中消去n,得：x─2─2=0,
13 17

高中数学数列知识点总结
（另外算斜率也是一种办法）
(3)P
1
(1,0)
2
( 2,12)
3
(3,1),它们都落在圆外的条件是：
(r─1)>r; (r─2)+(r─12)>r; (r─3)+(r─1)>r
∴ r的取值范围是(1,52─
2
)∪(0,1)∪(4
6
∞)
例7 已知数列{}满足条件a
1
=1
2
(r>0),且{
1
}是 公比为q (q>0)的等比数列，设
2n─12n
(1,2,3,…)
①求出使不等式
112
>
23
(n∈N) 成立的q 的取值范围；
②求和
lim
222222222
1
,其中为数列的前n项的和；
n??
S
n
③设2─105,求数列{
192
log
2
b
n?1
}的最大项和最小项的值
log
2
b
n
─11
解：①>, q>0 ?05
)2;
②
ba?a
2n?2
a
2n?1
q?a
2n
q
a
n?1
a
n?2
a
n?2
?
≠0
??q
?
n?1
?
2 n?1
b
n
a
2n?1
?a
2n
a
2n? 1
?a
2n
a
n
a
n?1
a
n
─ 1
∴ {}是首项为1,公比为q的等比数列，从而(1),
当1时，(1),
lim
1
=0;
n??
S
n
当0lim
1
=(1─q)(1);
n??
S
n
当q>1时，
lim
1
=0;
n??
S
n
③
log
2
b
n?1
19. 2?n
(n)1+1(n─202),
20.2?n
log
2
b< br>n
当n?21时，f(n)递减，∴ f(n)?f(21)?1当n?20时，f(n)递减，∴ f(n)?f(20)?1>f(n)?─4;
∴ 当2 1时，
log
2
b
n?1
log
2
b
n? 1
有最大值225;当20时，有最小值─4
log
2
b
n
log
2
b
n
例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，
如果开始时 全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，
而且关闭最后一个 水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个
水龙头放水多少时间？
解：设每个水龙头放水时间依次为x
12
,…,
14 17

高中数学数列知识点总结
由已知x
2
─x
13─x
24
─x
3
=…─
─1
,
∴ {}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1(24n),
∴
1
(x
1
?x
2
?
?
?x
n
)?1
?x
12
+…24n;
24n
即n(x
1
)2=24n ?x
1
48, 又5x
1
,
∴ 40即最后一个水龙头放水时间是40分钟
例9 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增 长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,
为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取 2=0.3)
解：用归纳法求解，
第一年存量：1.25a─x;
第二年存量：1.25(1.25a─x)─?1.25─x(1+1.25);
第三年存量 ：1.25?[a?1.25─x(1+1.25)]─?1.25─x(1+1.25+1.25);
……
第20年末存量：a?1.25─x(1+1.25+1.25+…+1.25)?1. 25─4x(1─1.25)
依题意：a?1.25─4x(1─1.25)=4a,
又设1.25?201.25=20(1─32)=2
∴ 100,即1.25=100?833
答：每年的最大砍伐量为833
例10 某地区现有 耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比
现在提高10% ,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)
解法一：以 粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量
为b吨，平均每 年减少耕地x公顷，由题意可知：
20
20
2020
202192020< br>232
2
A(1?0.01)
10
b(1?0.1)
Ab?
4
(1?0.22)

4
10?10x
10
10
4
(1?0.22)?10
4
(1?0.01)
10
( 1?0.1)
解得：
x?
,
10?1.22
再用二项式定理进行计算可得：x?4
解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨公顷，
可得：
a(1?0.22)(10
4
?10x)
a?10
4
(1?10%)
?x?4 (公顷) ?
10
A
A(1?0.01)
例10 某城市2001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并
且每年新增汽车数量相同.为了保护城市环 境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新
增汽车数量不应超过多少辆？
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高中数学数列知识点总结
解：设2001年末的汽车保有量为
a
1
，以后每年末的汽车保有量依次为
a
2
,a
3
....
，每年新增汽车
x
万
辆
由题意得
a
n< br>?1
?0.94a
n
?x即a
n?1
?
xx
?0.94(a
n
?)

0.060.06
xx
)0.94
n?1
?
0.060.06
30
令a?60,解得x?(30?)? 0.06
n

1?0.94
n?1
上式右端是关于n的减函 数,且当n??时,上式趋于3.6
a
n
?(30?
故要对一切自然数n满足 a
n
?60,应有x?3.6,即每年新增汽车不应超过3.6万辆








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