高中数学和高中物理-高中数学一共出现几次e
数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系:
,(n?1)
?
S
1
注意通项能否合并。
a
n<
br>?
?
S?S,(n?2).
n?1
?
n
2、等差数列
:
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即
a
n
-
a
n?1
=d ,(n≥2,n∈N),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数
a、A、b
成等差数列
?A?
⑶通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d?
a
m
?(n?m)d
或
a
n
?pn?q
(
p、q是常数).
⑷前
n
项和公式:
?
a?b
2
Sn
?na
1
?
n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
d?
22
⑸常用性质:
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p
,q?N
?
?
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
②下标为等差数列的项
?
a
k,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
,仍组成等差数列;
③数列
?
?
a
n
?b
?
(
?,b
为常数)仍为等差数列;
④若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列,则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、
,…也成等差数列。
{a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
⑤单调性:
?
a
n
?
的公差为
d
,则:
ⅰ)
d?0?
?
a
n
?
为递增数列;
ⅱ)
d?0?
?
a
n
?
为递减数列;
ⅲ)
d?0?
?
a
n
?
为常数列;
⑥数
列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
(p,q
是常数)
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S
2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,
那么这个数
列就叫做等比数列。
G、b
成等比数列
?G?ab,
(
ab
同号)⑵等比中项:若三数
a、
。反之不一定成立。
2
n?1n?m
⑶通项公式:
a
n
?a
1
q
?a
m
q
⑷前
n
项和公式:
S
n
?
⑸常用性质
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a
1<
br>?a
n
q
1?q
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
②
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为等比数列,公比为
q
(
下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列
?
?
a
n
?
(
?
为不等于零的常数)仍是公比为
q
的等比数列;正项等比数
列
?
a
n
?
;则
k
?
lga
n<
br>?
是公差为
lgq
的等差数列;
④若
?
a
n
?
是等比数列,则
?
ca
n
?
,
?
a
n
,
2
??
?
1
?
?
,
a
?
n
?
2
1
r
q
,q,,q
r
.
是等比数列,公比依次是
a(r?Z)
?
n
?
q
⑤单调性:
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q?1
?
?<
br>a
n
?
为递增数列;
a
1
?0,0?q?1或a1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列;
q?1?
?
a
n
?
为常数列;
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,则
S
k<
br>、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ
观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,
寻找规律,从而根据规律写
出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系,求数列
?
a
n
?的通项
a
n
可用
,(n?1)
?
S
1
公式
a
n
?
?
构造两式作差求解。
S?S,(n?2)
n?1
?
n
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另
一种是“合二
为一”,即
a
1
和
a
n
合为一个表达
,(要先分
n?1
和
n?2
两种情况分别进行运算,然后验
证能否统
一)。
类型Ⅲ 累加法:
形如
a
n?1
?a
n?f(n)
型的递推数列(其中
f(n)
是关于
n
的函数)可<
br>构造:
?
a
n
?a
n?1
?f(n
?1)
?
a?a?f(n?2)
?
n?1n?2
?
?
...
?
?
a
2
?a
1
?f(1)<
br>将上述
n?1
个式子两边分别相加,可得:
a
n
?f(n?1
)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a
1
,(n?2)
①若
f(n)
是关于
n
的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②
若
f(n)
是关于
n
的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数,累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数,累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法:
形如
a
n?1
?a
n
?f
(n)
?
?
a
n?1
?
?f(n)
?
型的
递推数列(其中
f(n)
是关于
n
的函数)
可构
?
a
n
?
?
a
n
?
a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2)
?
造:
?<
br>a
n?2
?
...
?
?
a
2<
br>?
a
?f(1)
?
1
将上述
n?1
个式子两
边分别相乘,可得:
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)
a
1
,(n?2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法:
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
(其中
p,
q
均为常数且
p?0
)型的递推式:
(1)若
p?1
时,数列{
a
n
}为等差数列;
(2)若
q?0
时,数列{
a
n
}为等比数列;
(3)若
p?1
且
q?0
时,数列{
a
n
}为线性
递推数列,其通项可通过待定系数法构造等
比数列来求.方法有如下两种:
法
一:
设
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
,展开移项整理得
a
n?1
?pa
n
?(p
?1)
?
,与题设
a
n?1
?pa
n
?q
比较系数(待定系数法)得
?
?
qqqqq
,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)?a
n
??p(a
n?1
?)
,即
p?1p?1p?1p?1p?1
q
?
q
?
a?
构成以为首项,以
p
为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公a?
?
n
?
1
p?1
p?1
??
式求
出
?
a
n
?
?
?
q
?
?
的通项整理可得
a
n
.
p?1
?
a
n?
1
?a
n
?p,
即
a
n
?a
n?1
法二:
由
a
n?1
?pa
n
?q
得
a<
br>n
?pa
n?1
?q(n?2)
两式相减并整理得
?
a
n?1
?a
n
?
构成以
a
2
?a
1
为首项,以
p
为公比的等比数列.求出
?
a
n?1?a
n
?
的通项再转化
为类型Ⅲ(累加法)便可求出
a
n
.
㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n
)
(p?1)
型的递推式:
⑴当
f(n)
为一次函数类型(即等差数列)时:
B
的值,转法一:
设
a
n
?An?B?p
?
a
n?1?A(n?1)?B
?
,通过待定系数法确定
A、
化成以
a1
?A?B
为首项,以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?An?B
?
,再利用等比数列的通项
公式求出
?
a<
br>n
?An?B
?
的通项整理可得
a
n
.
<
br>法二:
当
f(n)
的公差为
d
时,由递推式得:
a<
br>n?1
?pa
n
?f(n)
,
a
n
?pa<
br>n?1
?f(n?1)
两式相减得:
a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n?1
)?d
,令
b
n<
br>?a
n?1
?a
n
得:
b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b
n
,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出
a
n
.
⑵当
f(n)
为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:
设
a
n
?
?
f(n)?p
?
a
n?1
?<
br>?
f(n?1)
?
,通过待定系数法确定
?
的值,转化成以<
br>a
1
?
?
f(1)
为首项,以
p
为公比的等
比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?
,再利用等
比数列的通项公式求
出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理可得
a
n
.
法二:
当
f
(n)
的公比为
q
时,由递推式得:
a
n?1
?pa
n
?f(n)
——①,
a
n
?pa
n?1
?f(
n?1)
,两边同时乘以
q
得
a
n
q?pqa
n?
1
?qf(n?1)
——②,由①②两式相
减得
a
n
?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1
)
,即
a
n?1
?qa
n
?p
,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出<
br>a
n
.
a
n
?qa
n?1
法三:
递推公式为
a
n?1
?pa
n
?q
n
(其
中p,q均为常数)或
a
n?1
?pa
n
?rq
n
(其中
p,q, r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以
q
n?1
,得:
a
n?1
p
a
n
1
??
n
?
,
n?1
q
q
q
q
引入辅助数列
?<
br>b
n
?
(其中
b
n
?
a
n
p1
b?b?
),得:再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
n?1n
qq
q
n
⑶当
f(n)
为任意数列时,可用通法:
在
a
n?1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p
n?1
可得到
a
n?1
a
n
f(n)
a
n
???b
n
,则,令
n?1nn?1n
pppp
b
n?1
?b
n
?
f(n)
n
,在转化为类型Ⅲ(累加法),求出<
br>b
n
之后得
a
n
?pb
n
.
n?1
p
类型Ⅵ 对数变换法:
q
形如
a
n?1
?pa(p?0,a
n
?0)
型的递推式:
q在原递推式
a
n?1
?pa
两边取对数得
lga
n?1
?qlga
n
?lgp
,令
b
n
?lga
n
得:
b
n?1
?qb
n
?lgp
,化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型,求出
b
n
之
后得
a
n
?10
b
n
.
(注意:底数不一
定要取10,可根据题意选择)。
类型Ⅶ 倒数变换法:
形如
a
n?
1
?a
n
?pa
n?1
a
n
(
p
为常数且
p?0
)的递推式:两边同除于
a
n?1
a
n,转化为
11
??p
形式,化归为
a
n?1
?pan
?q
型求出
1
的表达式,再求
a
n
; a
n
a
n?1
a
n
还有形如
a
n?1
?
ma
n
的递推式,也可采用取倒数方法转化成
1
?
m1
?
m
形式,化归
pa
n
?qa
n?1
qa
n
p
为
a
n?1
?pa
n
?q型求出
1
的表达式,再求
a
n
.
a
n
类型Ⅷ
形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式:
用待定系数法,化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式求解。方法为:设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a
n
?1
?ka
n
)
,比较系数得
h?k?p,?hk?q
,可
解得
h、k
,于是
{a
n?1
?ka
n}
是公比为
h
的等比数列,这样就化归为
a
n?1
?p
a
n
?q
型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解
,对不能转化为以上方
法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n
.
5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列
?
a
n
?
为等差数列,数
列
?
b
n
?
为等比数列,则数列
?
a
n<
br>?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
an
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比,然后在错位相减,进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项和.
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法
.
⑵裂项相消法
一般地,当数列的通项
a
n
?
c
(a,b
1
,b
2
,c为常数)
时,往往可将
(a
n?b
1
)(an?b
2
)
a
n
变成两项的差,采
用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:
设
a
n
?
?
an?b
1
?
?
an?b
2
,通分整理后与原
式相比较,根据对应项系数相等得
?
?
c
,从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).
(an
?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
)
an?b
1
an?b
2
常见的拆项公式有:
①
111
??;
n(n?1)nn?1
②
1111
?(?);
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11
?(a?b);
a?b
a?b
m?1mm
?C
n?1
?C
n
;<
br>
③
④
C
n
⑤
n?n!?(n?1)
!?n!.
⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数
列,若将这类数列适当拆开,可分为几
个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一
般分两步:①找通向项公
式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列
?
a
n
?
,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之
和,则可用把正着写与
倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法
。特
征:
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...
⑸记住常见数列的前
n
项和:
①
1?2?3?...?n?
n(n?1)
;
2
2
②
1?3?5?...?(2n?1)?n;
③
1?2?3?...?n?
2222
1
n(n?1)(2n?1).
6
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