高中数学数列知识点精华总结

数 列 专 题
? 考点一：求数列的通项公式
1. 由a
n
与S
n
的关系求通项公式
由S
n
与a
n
的递推关系求a
n
的常用思路有：
①利用S
n
－S
n－1
＝a
n
(n≥2)转化为a
n
的递推关系，再求其通项公式；
?
?
S
1
，n ＝1，
数列的通项a
n
与前n项和S
n
的关系是a
n
＝
?
?
S
n
－S
n－1
，n≥2.
?< br>
当n＝1时，a
1
若适合S
n
－S
n－1
，则n＝1的情况可
并入n≥2时的通项a
n
；当n＝1时，a
1
若不适合S
n
－S
n－1
，则用分段函数的形式表示．
②转化为S
n
的递推关系，先求出S
n
与n的关系，再求a
n
.
2.由递推关系式求数列的通项公式
由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系 ，求数列的通项公式时，通常
用累加、累乘、构造法求解．
? 累加法：递推关系形如a
n＋1
－a
n
＝f(n)，常用累加法求通项；
a
n＋1
? 累乘法：递推关系形如
＝f(n)，常用累乘法求通项；
a
n
? 构造法：1）递推关系形如“a
n＋1
＝pa
n< br>＋q(p、q是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通
项，此类通项问题，常用待定系数法．可 设a
n＋1
＋λ＝p(a
n
＋λ)，经过比较，求得λ，
则数列{a
n
＋λ}是一个等比数列；
2）递推关系形如“a
n＋1
＝pa< br>n
＋q(q，p为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类
型可以将关系式两边 同除以q转化为类型(4)，或同除以p
3）
nn＋1
n
转为用迭加法求解．

? 倒数变形
1 7

3.数列函数性质的应用
数列与函数的关系
数列是 一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变
量依次从小到大取值时所 对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意
函数方法的普遍性，又要考虑数列方法 的特殊性．
函数思想在数列中的应用
(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．
(2 )数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均
可借助数列的单调性 来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．
（3)数列{a
n
}的最大(小)项的求法
?
?
a
n－1
≤a
n
，
可以利用不等式组
?
?
a
n
≥a
n＋1
，
?

2
?
?
a
n－1
≥a
n
，
找到数列的最大项；利用不等式组
?
?
a
n
≤a
n＋1
，
?

找到
数列的最小项.
[例3] 已知数列{a
n
}．(1)若a
n
＝n－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，a
n
有最小值 ？并求出最小值．
(2)若a
n
＝n＋kn＋4且对于n∈N，都有a
n＋ 1
>a
n
成立．求实数k的取值范围．
2*
? 考点二：等差数列和等比数列

定义
通项公式
等差数列
a
n
－a
n－1
＝常数(n≥2)
a
n
＝a
1
＋(n－1)d
等比数列
a
n
＝常数(n≥2)
a
n－1
a
n
＝ a
1
q
n－1
(q≠0)
2 7

(1)定义法
(2)中项公式法：2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n≥1)
?{a
n
}为等差数列
判定方法
(3)通项公式法：a
n
＝pn＋q(p、q为常数)
?{a
n
}为等差数列
(4)前n项和公式法：S
n
＝A n＋Bn(A、B为常数)
?{a
n
}为等差数列
(5){a
n< br>}为等比数列，a
n
>0?{log
a
a
n
}为等差 数列
(1)若m、n、p、q∈N，且m＋n＝p＋q，
则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
性质
特别：若m＋n＝2p，则a
m
＋a
n
＝2a
p
.

(2)a
n
＝a
m
＋(n－m)d
(3) 数列S
m
，S
2m
－S
m
，S
3 m
－S
2m
，…也是等差数列，
即2(S
2m
－S
m
)＝S
m
+(S
3m
－S
2m
)
*
2
(1)定义法
(2)中项公式法：a
n＋1
＝an
·a
n＋2
(n≥1)(a
n
≠0)
?{a
n
}为等比数列
(3)通项公式法：a
n
＝c·q (c、q均是不为0的
常数，n∈N)?{a
n
}为等比数列
(4){a
n
}为等差数列?{a}为等比数列(a>0且
a≠1)
(1)若m、n、p、q∈N，且m＋n＝p＋q，
则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
特别地，若m＋n＝2p，则a
m
·a
n
＝a
p
.
(2)a
n
＝a
m
q
n－m
2
*
an
*
n
2
(3) 若等比数列前n项和为S
n
则S
m
，S
2m
－S
m
，
S< br>3m
－S
2m
仍成等比数列，即(S
2m
－S
m)＝S
m
(S
3m
－
S
2m
)(m∈N，公比 q≠－1)．

a
1
1－q
(1)q≠1，S
n
＝
1－q
(2)q＝1，S
n
＝na
1

n
*
2
前n项和
n
S
n
＝
a< br>1
＋a
n
nn－1
＝na
1
＋d
22
a
1
－a
n
q
＝
1－q
1 .在等差(比)数列中，a
1
，d(q)，n，a
n
，S
n
五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两
个．解这类问题时，一般是转化为首项a
1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．
2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的 深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快
捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意 性质的前提条件，有时需
要进行适当变形．
3.用函数的观点理解等差数列、等比数列 （1）对于等差数列a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝dn＋(a
1
－d)，当d≠0时，a
n
是关于n的一次函
数，对应的点(n，a
n
)是位于直线上的若干个离散的点；
当d＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，S
n
有最小值； 当d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，S
n
=na
1
；
当d＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，S
n
有最大值．
若等差数列的前n项和为S
n
，则S
n
＝pn＋qn(p，q∈R)．当p＝ 0时，{a
n
}为常数列；当
p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题． < br>（2）对于等比数列a
n
＝a
1
q
n－1
2
，可用指数函数的性质来理解．
当a
1
＞0，q＞1或a
1
＜0, 0＜q＜1时，等比数列{a
n
}是单调递增数列；
当a
1
＞0, 0＜q＜1或a
1
＜0，q＞1时，等比数列{a
n
}是单调递减数列；
3 7

当q＝1时，是一个常数列；当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
4.常用结论
S
n
(1)若{a
n
}，{b
n< br>}均是等差数列，S
n
是{a
n
}的前n项和，则{ma
n< br>＋kb
n
}，{}仍为等差数列，
n
其中m，k为常数．
( 2)若{a
n
},{b
n
}均是等比数列，则{ca
n
}( c≠0)，{|a
n
|}，{a
n
·b
n
}，{ma
n
b
n
}(m为常数)，
1
2
{a
n
} ，{}等也是等比数列．
a
n
(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次 成等比数列，且公比不变，即a
2
－
a
3
－a
2
a
2
－a
1
q
a
1
，a
3
－a2
，a
4
－a
3
，…成等比数列，且公比为＝＝q.
a
2
－a
1
a
2
－a
1
(4)等比数列( q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即S
k
，S
2k
－S
k，S
3k
－S
2k
，…成等比
数列，其公比为q.
等 差数列中连续k项的和成等差数列，即S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k
－S
2k
，…成等差数列，公差为
kd.
2
k

5）

5.易错提醒
?
S1
，n＝1，
?
(1)应用关系式a
n
＝
?
?
?
S
n
－S
n－1
，n≥2

时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求
4 7

出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．
a＋c
(2)三个数a ，b，c成等差数列的充要条件是b＝，但三个数a，b，c成等比数列
2
的必要条件是b＝a c.
6.等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a
n
－a
n－1
为同一常数；
(2)等差中项法：验证2a
n－1＝a
n
＋a
n－2
(n≥3，n∈N)成立；
(3)通项公式法：验证a
n
＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证S
n
＝An＋Bn.
注意：在解答题中常应用 定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适
用于选择题、填空题中的简单判断．
7.等比数列的判定方法
a
n＋1
a
n
**
(1 )定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N)，
a
n
a
n－1
则{a
n
}是等比数列．
(2)等比中项公式法 ：若数列{a
n
}中，a
n
≠0且a
n＋1
＝a
n
·a
n＋2
(n∈N)，则数列{a
n
}是等比
数列． < br>(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a
n
＝c·q(c，q均是不为0的常数，n ∈N)，
则{a
n
}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an
}的前n项和S
n
＝k·q－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，
则{a
n
}是等比数列．
注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
n
n*
2*
2
*
2
? 考点三：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：
1.公式法——直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
n
(1)等差数列 的前n项和公式：S
n
＝
a
1
＋a
n
nn－1＝na
1
＋d；
22
na
1
，q＝1，
?< br>?
(2)等比数列的前n项和公式：S
n
＝
?
a
1< br>－a
n
qa
1
1－q
n
＝，q≠1.
?1－q
?
1－q
2.倒序相加法


如果一个数列{ a
n
}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常
数，那么求这个 数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法
推导的．
3.错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
5 7

{a
n
·b
n
}的前n项和，其中{a
n
}，{b
n
}分别是等差数列和等比数列．求a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋…＋a
n
b
n
的和就适用此法． 做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后
将两式相减，相减后以“q”为同类 项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两
项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．
4.裂项相消法(注重积累！！！)
利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加 过程中的相互抵消，最后只剩
下有限项的和．这种方法，适用于求通项为
1
?
11
?
1
数列，则＝
?
－
?
.
a
n
a
n＋1
d
?
a
n
a
n＋1
?
利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)在正负项抵消后，是否只剩下 了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下
两项．常见的拆项公式
(1)
n
(3)
1
1
?
1
?
1 1
?
1
11
?
1
－
－
＝
??； (2)
?2n－1??2n＋1?
＝
2
?
2n－ 12n＋1
?
；
n＋kk
?
nn＋k
?
111
＝－； (4)
n
n?n＋1?n＋1
1
n＋n＋1
＝n＋1－n;
1
的数列的前n项和，其中{a
n
}若为等差
a
n
a
n＋1
n
(5)
1
＝(n＋k－n).
n＋n＋k
k

5.分组求和法:
一个数列的通项公式是由若干个 等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可
用分组求和法，分别求和后再相加减．
6.并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a
n
＝(－1)f(n)类型，
可采用两项合并求解．
例如，S
n
＝ 100－99＋98－97＋…＋2－1＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5
050.
7.放缩法
是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的注意问题以及解题策略
6 7 < br>222222
n

(1)明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结 论，是小于某项，则放大，是大于某
个项，则缩小。
(2)放缩的项数：有时从第一项开始， 有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全
部项进行放缩。
(3)放缩法的常见技巧及常见的放缩式：
（1）根式的放缩：
111
；
??
k?k?12kk?k?1
（2）在分式中放大或缩小分子或分母：
11 1
?
2
?(k?2)
；
k(k?1)kk(k?1)
n< br>真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，
n
?
n?1
；假分数分子 分母同时减一个正数，
n?1
则变小，如
2n?1
?
2n
；
2n2n?1
（3）应用基本不等式放缩：
n
?
n?2
?2
n?2n
nn?2
??2
；
n?2n

7 7