高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解

高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解
1.已知数列
,
(Ⅰ)求数列
是公差为正数的等差数列,其前n项和为

的通项公式;
,且?
(Ⅱ)数列
①求数列
满足,
的通项公式;
,使 得,,成等差数列?若存在,求出②是否存在正整数m,
m,n的值;若不存在,请说明理由.

解:(I)设数列的公差为d,则
由?,,得,
计算得出
;
或(舍去).
(Ⅱ)①,
,
,
,
即,,,
,

累加得:,

也符合上式.
故,.
,使得,,成等差数列, ②假设存在正整数m、
则
又,,,
,即,
化简得:
当
当
,即
,即
存在正整数
解析
,
时,
时,

,(舍去);
,符合题意.
,使得,,成等差数列.
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和 公差,代入
等差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列
即可求得数列
的通项公式代入
的通项公式;
,然后裂项,累加后

②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则
.由此列关于m的方程,求计算得出答案.
2.在数列
(1)求证:数列
(2)记
中的最小项,求
解:(1)证 明:

又,
,,
中,已知,
为等比数列;
,且数列
的取值范围.
,
的前n项和为,若为数列

故,
是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道

若为数列
,,
中的最小项,则对有
恒成立,
即对恒成立
当
当
当
时,有
时,有
时,
?
;
;
恒成立,

对恒成立.
令
对恒成立,
,则
在
,即
综上,
解析
(1)由


时为单调递增数列.
,整理得:.由,
, 可以知道
(2)由(1)求得数列
是以3为首项,公比为3的等比数列;
,由为数 列中的通项公式及前n项和为
最小项,则对
当时和当
有
的取值范围,
恒成立,分类分别求得
当时,
的取值范围.
,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得
3.在数列
设 为
中,已知
的前n项和.
, , ,
(1)求证:数列
(2)求
是等差数列;

(3)是否存在正整数p,q, ,使 , , 成等差数列?
若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.
(1)证明:由
得到
则
,

,,
又,
,
数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
, (2)由(1)可以推知:
所以,,
所以,①
,②
①-②,得
,
,
,
所以

(3)假设存在正整数p,q,
则,
,使,,成等差数列.
即
因为当
所以数列
又
所以
时,
单调递减.
,
,
且q至少为2,
所以,
①当时,,
又,
所以
②当时,
,等式不成立.
,
所以
所以
所以
,
,(数列单调递减,解唯一确定).
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析

(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列
,该数列是以1为 首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;
(3)根据等差数列的性质得到
4.已知n为正整数,数列 满足
,从而推知p,q,r的值.
, ,
设数列 满足
(1)求证:数列
(2)若数列
(3)若数列
在
数
为等比数列;
是等差数列,求实数t的值;
是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存
,使得
的值.
数列满足,
成立,求满足条件的所有整
(1)证明:,
?,?,
数列为等比数列,其首项为,公比为2;
(2)解:由(1)可得:?,
,
数列是等差数列,

,
,

计算得出或12.
时,
数列.
,是关于n的一次函数,因此数列是等差
时,
因此数 列
综上可得
,
不是等差数列.
;
,不是关于n的一次函数,
(3)解:由(2)得
对任意的,均存在
,
,使得成立,
即有??,
化简可得,
当
当
,
,
,
,当时,
,对任意的,符合题意;
,
对任意的
综上可得,当
使得
解析
,不符合题意.
,,对任意的
成立.
,均存在,

(1)根据题意整理可得,
证;
?,再由等比数列的定义即可得
(2)运 用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得
方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值;
,解
(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得
成立,即有
论
? ?,讨
为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.
,数列
,
,
的值;
的前n项和
中存在三项
;
, , 依次
,
满

5.已知常数
足
(1)若
①求
②求数列
(2)若数列
成等差数列,求
解:(1)①
的取值范围.
,
,
,
,
②
当
,
时,,
,

当时,,即从第二项起,数列是以1
为首项,以3为公比的等比数列,
数列
显然当
的前n项和,,
时,上式也成立,
;
(2),
,即单调递增.
(i)当
,
若数列
则有
即
时,有

中存在三项
,
,于是,
,,依次成等差数列,

,
时数列
列.
中不存在三项,,
.因此不成立.因此此
依次成等差数
当
于是当
若数列
则有
同(i)可以知道:
时,
时,有
.从而
,,

.此时
中存在三项
,
依次成等差数列,
.于是有

,

,
与
故此时数列
数列.
是整数,
矛盾.
中不存在三项,,
.于是,即.
依次成等差
当
于是

此时数列

时,有
中存在三项,,依次成等差数列.
综上可得:
解析
(1)①
同理可得
②,
,

,可得

,当时,,当时,
,
,即从第二项起,数列
3为公 比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出
(2),可得,即单调递增.
是以1为首项,以

(i)当时,有,于是,可得,.利用反证
法即可得出不存在.
当时,有.此时.于是当时,

.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出
矛盾,因此不存在.
当时,有
和
,

的通项公式;
为等差数列,对任意的
;
为等比数列, ,
.于是
的前n项和分别
,对任意的
.即可得出结论.
6.已知两个无穷数列
为
有
(1)求数列
(2)若
明:
(3)若
, , ,都
,都有 .证
,求满
足 < br>解:(1)由
即
由
所以数列
故
,
,所以
的n 值.
,得


,
,可以知道
是以1为首项,2为公差的等差数列.
,
的公差为d,
的通项公式为
(2)证法一:设数列
则,
由(1)知,

因为
即
,所以
恒成立,
,
所以
又由
所以
,得
,即
,
,

所以
证法二:设
则
因为,所以
,得证.
的公差为d,假设存在自然数
,即
,使得
,
,
所以,
因为
这与“对任意的
所以
(3)由(1)知,
且
所以
,
,所以存在
,都有
,当时,恒成立.
”矛盾!
,得证.
.因为
,
为等比数列,
是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以,

则,
因为,所以,所以
而
当
当
则
,所以
,2时,
时,设
式成立;
,即
,
,

所以
故满足条件的n的值为1和2.
解析
(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)方法一、设数列
求出
的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,
,
,判断符号即可得证;
的公差为d,假设存在自然数
,推出大于0,即可得证;
,使得方法二、运用反证法证明,设
,推理可得,作差
(3)运用等差数列和等比数列 的求和公式,求得,,化简,推出
小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.
7.已知数列 , 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小
到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列

(1)设数列
若
(2)设
数列,求数列
(3)设
列
数总是
说明理由.
解:(1)设等差数列
,
,
分别为等差、等比数列,
, ,求
,若新数列 是等差的首项为1,各项为正整数,
的前n项和
是不小于2的正整数),
,使得对任意的 ,在 与
,是否存在等差数
之间数列 的项
若存在,请给出一个满足题意的等差数列 ;若不存在,请
的公差为d,等比数列的公比为q,
根据题意得,
递增,
所以
所以
所以
因为
,
,
,
,

(2)设等差数列
所以
因为
,所以
是
,
,
,
,计算得出或3,因数列,单调

,
的公差为d,又

中的项,所以设
,且,
,即
当时,计算得出,不满足各项为正整数;

当时,,此 时,只需取,而等比数列的项
都是等差数列
当时,
,中的项,所以
,此时;
,只需取

,
由
解,
所以等比数列
,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数
的项都是等差数列中的项,所以
综上所述,数列
(3)存在等差数列
下证与
的前n项和
,只需首项< br>的项数为
,或
,公差


之间数列.即证对任意正整数n,都有
,
即
由
成立.
,

所以首项
解析
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,
,公差的等差数列符合题意
,计算得出或3,因数列

,单调递增,,

,可得
(2)设等差数列
,
的公差为d,又
.因为是
,利用通项公式即可得 出.
,且,所以,所以
,即中的项,所以设
.当
时,当
(3)存 在等差数列
之间数列
时,计算得出
时,即可得出.
,只需首项,公差,不满足各项为正整数当
.下证与
的项数为.即证对任意正整数n,都有
,作差利 用通项公式即可得出.
8.对于数列
(其中,
,都有
,称
为数列的 前k项“波动均值”.若对任意的
,则称数列为“趋稳数列”.
,
(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列
列”;
(3)已知数列
,,都有
的首项为1,各项均为整数,前k项的和为
,试计算:
.
.且对任意
的公比 ,求证:是“趋稳数
解:(1)根据题意可得
即,两边平方可得
,
,

计算得出;
,
,
,,都有,
(2)证明:由已知,设
因且
故对任意的

,
因
,,
,
,,
,
,
,
,
,

即对任意的
(3)当时,
,,都有,故是“趋稳数列”;

当时,

,
同理,
因,
,
,
即
所以
,
或
所以
因为
所以
,且
或
,所以

,从而,
,

.
解析
(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即
可得证;
(3)由任意,,都有,可得

,由等比数列的通项公式,可得
,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.

9.已知首项为1的正项数列{a
n
}满足+＜a
n+1
a
n
，n∈N.
*
（1）若a
2
=，a
3
=x，a
4
=4，求x的取值范围；
（2）设数列{a
n
}是公 比为q的等比数列，S
n
为数列{a
n
}前n项的和，若
＜S
n+1
＜2S
n
，n∈N，求q的取值范围；
*
S
n< br>（3）若a
1
，a
2
，…，a
k
（k≥3）成等差数 列，且a
1
+a
2
+…+a
k
=120，求正整数
k的最小值，以及k取最小值时相应数列a
1
，a
2
，…，a
k（k≥3）的公差.
解：（1）由题意，a
n
＜a
n+1
＜2a
n
，
∴＜x＜3,
＜x＜2x，
∴x∈（2，3）.
（2）∵a
n
＜a
n+1
＜2a
n
，且数列{a
n
}是公比为q 的等比数列，a
1
=1，
∴q＜q＜2q，
n-1nn-1
∴q(q-
n-1
)＞0，q(q-2)＜0，
n-1
∴q∈（，1）.

∵S
n＜S
n
+1＜2S
n
，当q=1时，S
2
=2S
1
，不满足题意，
当q≠1时，＜＜2?，
∴①当q∈（，1）时，
，即，
∴q∈（，1）.
②当q∈（1，2）时，，即
∴q∈（，1）.
（3）设数列a
1
，a
2
，…，a
k
（k≥3）的 公差为d.
∵a
n
＜a
n
+1＜2a
n
，且数列 a
1
，a
2
，…，a
n
成等差数列，
∴a
1
=1，
∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d ]，n=1，2，…，k-1，
∴，
∴d∈（-，1）.
∵a
1
+a
2
+…+a
k
=120，

，无解，

∴S
k
=k+(a
1
-
2
)k=k+(1-
2
)k=120，
∴d=，
∴∈（-，1），
∴k∈（15，239），k∈N*，
∴k的最小值为16，此时公差d=
解析
【解题方法提示】
.
分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得a
n
＜a
n+1
＜2a
n
，由此
可得到关于a
2
，a
3
，a
4< br>的大小关系，据此列式可解得x的取值范围；
根据a
n
＜a
n+1< br>＜2a
n
，以及等比数列的通项公式可得q∈（，1），再结合
S
n< br>＜S
n+1
＜2S
n
以及等比数列的前n项和公式分类讨论可得q的取 值范围；
设公差为d，根据a
n
＜a
n+1
＜2a
n，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，
1），然后根据等差数列的前n项和公式结合题意可得d =
解得k的取值范围，进而得到k的最小值和d的值.

，由此可