高中数学-数列的基本概念-教师-(一)

高中数学备课组 教师
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题：数列的基本概念
教学目标：
1.通过教与学的互动，使学 生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，
并解决这些问题；
2.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.



教学重点：
1.
数列的概念及通项公式的推导。
2.
对公式的灵活运用





教学难点：
1.
数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。






考点及考试要求：
1.数列的通向公式运用于递推公式运用
2.数列性质运用

数列的基本概念

【知识精要】
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列 的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序
不同，那么它们就是不同的数列 ；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项
（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊ 数列的一般形 式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n< br>是数列的第n项
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?< br>的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式
a
n
? f(n)
来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列1，1.4，1.41，1.414，….
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通
1?(? 1)
n?1
n?1
项公式可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|cos
?
|
.
2
2
⑶ 数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一
项.
(4)从函 数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限
子集{1，2，3，…，n}） 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数
列的通项公式就是相应函数的解析式.
5. 数列的分类：①有穷数列：项数有限的数列；无穷数列：项数无限的数列.
*

②有界数列：若存在正数M，对任意
n?N
*
，都有
a
n< br>?M

无界数列：不存在正数M，对任意
n?N
，都有
a
n
?M

*
③常数数列：对任意
n?N
，都有
a
n
?a
n?1

*
6. 数列的性质
*
（1）单调性：①若对任意
n?N
，都有
a
n
?a
n?1
，则称数列
?
a
n
?
为单调递增数列
*
②若对任意
n? N
，都有
a
n
?a
n?1
，则称数列
?
a
n
?
为单调递减数列
单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列；有些项 大于它的前一项，有些项小于它
的前一项的数列称为摆动数列
**
（2）周期性：若 对任意
n?N
，存在常数
T?N
，使
a
n?T
?a
n
成立，则称数列
?
a
n
?
为
周期数列， 常数T称为数列
?
a
n
?
的周期

**
（3）最值性：若存在常数
N?N
，使得对任意
n?N
，都有
a
n
?a
N
，则称
a
N
为数列
?
a
n
?
的最大项；若存在常数
N?N
*
，使得对任 意
n?N
*
，都有
a
n
?a
N
，则称a
N
为数
列
?
a
n
?
的最小项；
7. 递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几 项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前n项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公
式
注意：递推公式也是给出数列的一种方法 常见的递推公式有：
?
a
n?1
?ba
n
?c
?
a
n?1
?x(n)a
n
?y(n)
?
a
n?2
?x(n)a
n?1
?ya
n
?z

;
?
;
??
?
a
1
?a
?
a
1
?a
?
a
1
?a ,a
2
?b


热身练习:
1.数列
?
a
n
?
，
a
n
?f(n)
是一个函数，则它的定义 域为 （ D ）
A. 非负整数集
B. 正整数集
C. 正整数集或其子集
D. 正整数集或
?
1,2,3,4,L,n
?

2. 下列说法正确的是（ C ）
A 数列都有通项公式 B有通项公式的数列都是无穷数列
C数列的通项公式确定，数列就确定了 D 给出数列的若干项，它的通项公式也就确定了
3.-1，0，
,,...
11
98
n?2
...
中，0.08是它的 第（ C ）项
n
2
A 100 B 12 C 10 D 8

4.下列解析式中不是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ A ）
．
nn?1
A.
a
n
?(?1)
B.
a
n
?(?1)

n?1
1，n为奇数
C.
a
n
?(?1)
D.
a
n
?
?
?1，n为偶数





5. 数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（ B ）

?
a
1
?1
A.
?
< br>a?a?n,n?N*`
n
?
n?1
B.
?
?
a
1
?1

?
a
n
?a
n?1
?n,n?N*,n?2
?
a
1
?1
C.
?
a?a?(n?1),n?N*,n?2
n
?
n?1
D.
?
*
6. 已知
a
1
?2,a
n?1
?2a< br>n
?3(n?N)
，则
a
5
?_____
（77）
?
a
1
?1

?
a
n
?a
n?1
?(n?1),n?N*
7. 已知
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
－2n
2
+29n+3，则它的最大项的值是____108____
*
8. 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
??a
n
(n?N)< br>，则
a
2011
?_____
（-1）
9. 有下列四个命题：
*
1）数列1,3，，5,7,9的一个通项公式是：
a
n
?2n?1,n?N
；
2）
b,b,b,b
（
b
为常数）是一个常数列；
3）集合{xx?2n,n?N
*
}
可以表示由正偶数按从小到大的次序排列所得的数列；
4）已知数列
{a
n
}
，
a
n
?2n? 10
从第6项起各项都是正数.
其中真命题的的序号是________（4）_______.

10. 写出数列的通项公式
1）5, 9, 13, 17, 21,… ,
a
n
?4n?1

n
2) 3, 5, 9, 17, 33, …,
a
n
?2?1

n
3) 9, 99, 999, 9999, 99999, …,
a
n
?10?1




【精解名题】

1.数列的概念性问题

nn*
例1 在数列< br>{a
n
}
中，已知
a
n
?4?13?2?2,n?N

（1）写出
a
3
,a
n?1

（2）50是否为数列
{a
n
}
中的项？若是，则为第几项？ n?1n?1
解：（1）
a
3
??38,a
n?1
?4 ?13?2?2

（2）50是数列
{a
n
}
中的第4项

2．观察法求数列的通项公式
例2 (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
2
4
6810
, , , , , ……；
3
15
356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. （6）9，99，999，9999，……

n
解：（1）
a
n
?2?1

（2）
a
n
?
n
?
n
?
2n
（3）
a
n
?cos
（4）
a
n
?n?cos

22
(2n?1)(2n?1)
n?1n
（5）
a
n
?(?1)?n(n?1)
（6）
a
n
?10?1

例3 写出下列点数的一个通项公式
(1)
(2)

2
（1）
a
n
?1?4(n?1)?4n?3
（2）
a
n
?1?n(n?1)?n?n?1



3.归纳猜想求数列的通项公式
例4 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式

?
a
1
?1
?
（1）
a
1
?3,a
n?1< br>?2a
n
?1
（2）
?
a
n

a?
?
n?1
2a?1
n
?
n?1
解：（1）a
1
?3,a
2
?7,a
3
?15,a
4?31,a
n
?2?1

（2）
a
1
?1,a
2
?
4.数列的性质
1111

,a
3
?,a
4
?,a
n?
3572n?1
n
2
?n?4
例5 设数列
{an
}
的通项公式为
a
n
?
，则此数列哪一项的值最小， 并求出此最
n
小值
解：
a
2
=5是最小值

*
例6 数列
{a
n
}
满足
a
n?2?a
n?1
?a
n
(n?N)
，
a
1
?a,a
2
?b
，求
a
2011

解：T=6,
a
2011
=
a
1
?a


例7 已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
（ 1） 求证：数列
{a
n
}
是递增数列
（2） 若对一切大于1的自然数n，不等式
a
n
?
取值范围
111
??...?(n?N)

n?1n?22n
12
l og
a
(a?1)?
恒成立，求实数a的
123
11
??0

2n?12n?2
12
（2）原问题
?(a
n)
min
?log
a
(a?1)?
，因为
{a
n
}
递增
123
712
所以
?(a
n
)
min
?a
2
??log
a
(a?1)??log
a
(a?1)??1

12123
解：（1）
a
n?1?a
n
?
5?1
?a?1

2
备选例题： < br>1.列错误!未找到引用源。的前8项的值各异，且错误!未找到引用源。,对任意正整数都
成立 ，则下列数列中可取遍数列错误!未找到引用源。的前8项值的数列为（ B ）

（A）{错误!未找到引用源。} （B）{错误!未找到引用源。} （C）{错误!未找到引
用源。} （D）{错误!未找到引用源。}
2. 如图,一粒 子在区域
?
(x,y)|x?0,y?0
?
上运动,在第一秒内它从原点运动 到点
B
1
(0,1)
,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上 运动，且每秒移动一个单
位长度
（1）求粒子从原点运动到点
P(16,44)
时所需的时间；
（2）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标
解：（1）2008秒
（2）（20,44）


【巩固练习】
1 在数列< br>1,1,2,3,5,8,x,21,34,55
中，
x
等于
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
（ C ）
A
11
B
12
C
13
D
14

2
2、56是数列{n+3n+2}的第 ( A ) 项
A．6 B．7 C．8 D．9
3、有穷数列11，13，15…，（2n+1）的项数是（ C ）
A n B n-3 C n-4 D n-5


4. 若
a
n
?
n
，则
a
n
与< br>a
n?1
的大小关系为（ B ）
n?2
A
a
n
?a
n?1
B
a
n
?a
n?1
C
a
n
?a
n?1
D 无法确定
5. 若
a< br>n
?1?
11
?...?
，则数列
{a
n
}
为（ B ）
2n
A 单调递减数列 B单调递增数列 C 非单调数列 D 单调性不能确定
6. 已知
a
n?1
?
1?a
n
1
，
a
1
?2
，则
a
2011
=___< br>?
____
1?a
n
2
7.
(
设
f
?
n
?
?
1111
???...
?
n ?N
?
，那么
n?1n?2n?32n
f
?
n?1
?
?f
?
n
?
?

11
?
)
2n?12n?2
?
8. 已知数列{
a
n
}满足
a
n?2
??a
n
n?N
，且
a
1
?1,a
2
?2
，则该数列前2007项的和
??

为 2
9. 已知数列{
a
n}的通项公式
a
n
?
3?5
n?1
，则{
a< br>n
}的最大项为_______
2
n?5
a
n
，写 出数列{
a
n
}前五项，并归纳猜想出它的通项
a
n
?1< br>10. 已知数列{
a
n
}中，
a
1
?1,a
n?1
?
公式
解：
a
1
?1,a
2
?

11111,a
3
?,a
4
?,a
5
?...a
n
?

2345n
2
11.已知数列{
a
n
}的通 项公式
a
n
?n?kn?2
，若数列{
a
n
}是单 调递增数列，求实数k的
取值范围
解：
k??3


12.将正偶数按下表排成5列：

第1行
第2行
第3行
…
第1列

16

…
第2列
2
14
18
…
第3列
4
12
20
28
第4列
6
10
22
26
第5列
8

24

求2006所在的行数和列数
解：第251行，第4列


【自我测试】
1.数列
1 3572n?1
,?,,?,...
的一个通项公式为____
?(?1)
n ?1
____
2
41636644n
79112n?1
2. 数列
2,2,2,...2
中，项数为___n-3___
3.若数列的通项公式为 ：
a
n
?cos
?
，则
a
2011
=__ _0___
4.已知数列的通项公式为：
a
n
?
n
21
1
，则是它的第__9__项
n(n?1)
90

?
1
,(n?2k?1,k?N
*
)
?
5. 已知 数列的通项公式满足：
a
n
?
?
n?1
，则它的前5项的和 为
?
2
n
,(n?2k,k?N
*
)
?
_
251
___
12
6
(n?N
*
)
，则 当
a
n
取最小值时，n=___2or3____
n
6. 若
a
n
?n?
7. 下面结论中正确的有（ C ）
①数列的通 项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正
整数集上的一个函数；④在直 角坐标系中，画出表示数列的图像，它是一群孤立的点。
A ①②③④ B ③ C ④ D ③④
8. 若一数列为：
2,5,22,11,...,
则
25
是这个数列的第（ B ）项
A 6 B 7 C 8 D 9
9. 数列{
an
}中，
a
1
?a,a
n?1
??
A 14 B 15 C 16 D 17
10. 已知数列{
a
n
}满足a
1
?1,a
n?1
?2a
n
a
n?1
?a
n
?0

（1）写出数列的前5项 （2）归纳猜想数列的一个通项公式
1
，则n取下列哪个值时，
a
n
?a
（ C ）
a
n
?1
1
是不是这个数列中的项？若是，那么是第几项？
99
11111
解：（1）
a
1
?1,a
2
?, a
3
?,a
4
?,a
5
?
（2）
a
n
?

35792n?1
（3）
（3）是该数列的第50项

11. 写出下列数列的一个通项公式
2468
,,?,,...
（2）
0,0.3,0.33,0.333,0.3333,...

3579
1317
（3）
,?,,?,...
（4）1, 0，-1, 0, 1, 0, -1, 0，
...

38324
2n11
n
解：（1）
a
n
?(?1)
（2）
a
n
?(1?
n?1
)

2n?1310< br>（1）
?
（3）
a
n
?(?1)

n?1
2n?1
n
?
（4）
a
n
?sin

n(n?2)
2

12.已知数列{
a
n< br>}通项公式
a
n
?
n?13
n?14

?
n?N
?
，求它的前20项中的最大项和最小项。
?
解：第三项最小，第四项最大


13. 已知数列{
a
n
}通项公式为：
a
n
?
其最值 < br>n
*
（
n?N
），讨论这个数列的单调性并求
2
n? 156
解：（1）数列
a
n
?
(a
n
)
m ax
?a
12
?a
13
?
n
在{1,2，,12} 上单调递增，在{13,14,15…}单调递减
2
n?156
1

25