高中数学数列知识点与例题教学内容

高中数学数列
数列基础知识点和方法归纳
知识点：
(一)数列的该概念和表示法、
（1）数列定义：按一定次序排列的一 列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记
作
a
n
，在数列第一个位 置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号
为
n
的项叫第
n
项（也叫通项）记作
a
n
；
数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，a
n
，……，简记作
?
a
n
?
。
（2）通项公式的定义：如果数列
{a
n
}
的第n项与n之间的关系可以用一 个公式表示，那
么这个公式就叫这个数列的通项公式。
说明：①
?
a
n
?
表示数列，
a
n
表示数列中的第
n
项，a
n
=
f
?
n
?
表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函
数观点看，数列实质上 是定义域为正整数集
N
?
（或它的有限子集）的函数
f(n)
当自变 量
n
从1开始依次取值时对应的一系列函数值
f(1),f(2),f(3),
……，
f(n)
，……．通常用
a
n
来代替
f
?
n
?
，其图象是一群孤立的点
（4）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；
②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动
数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项） ，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关 系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公
式。
（6）数列通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系
?
S
1
a?
1．
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
?
?
a
i
2．
n
?
i?1
?
S
n
?S
n?1
n
n?1

n?2

1

高中数学数列
?
S
1
题型一 应用
an
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?1)
求数列通项
(n?2)
【例1】已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3
n
?2
， 求其通项公式.
解析：当
n?1时,a
1
?S
1?3
1
?2?1
，
当
n?2时,a
n
?S< br>n
?S
n?1
?(3
n
?2)?(3
n?1
?2)
?2?3
n?1

?
1
又
a
1?1
不适合上式，故
a
n
?
?
n?1
?
2?3
题型二、利用递推关系求数列的通项
【例2】根据数列
?
a
n
?
的首项和递推关系，
a
1
?
求其通项公式
解析：因为
a
n?1
?a
n
?
1
4n
2< br>?1
111
所以
a
2
?a
1
?(?)

213
111
a
3
?a
2
?(?)

235
111
a
4
?a
3
?(?)

257
…，…，
111
a
n
?a
n?1
?(?)

22n ?32n?1
(n?1)
(n?2)
1
,
2
1
4n
2
?1

a
n?1
?a
n
?
1
4n
2
?1

，所以
a
n?1
?a
n
??
111
(?)

22n?12n?1
以上
(n?1)
个式相加得
11
(1?
)

22n?1
14n?3
即：
a
n
?1?

?
4n?24n?2

a
n
?a
1
?【点拨】：在递推关系中若
a
n?1
?a
n
?f(n),
求
a
n
用累加法，若
累乘法，若
a
n?1
?pa
n
?q
，求
a
n
用待定系数法或迭代法。
课外练习
1、设
a
n
?
a
n?1
?f( n),
求
a
n
用
a
n
111
，(
n?N
?
)，则
a
n?1
与a
n
的大小关系是( C )
????
n?1n?22n?1
A．
a
n?1
? a
n
B．
a
n?1
?a
n

C．
a
n?1
?a
n
D．不能确定
2

高中数学数列
解：因为
111
??
2n?22n?3n?1

11
???0
2n?32n?2
a
n?1
?a
n
?
所以
an?1
?a
n
，选Ｃ．
?
?2,(n?1)
2．已 知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n?4n?1，
则
a
n
?
?

2n?5 ,(n?2)
?
2
3．已知数列
?
a
n
?
的通项
小项分别是
a
10
，a
9

解：构造函数< br>y?
n?98
n?99
（
n?N
?
），则数列
?
a
n
?
的前30项中最大项和最
x?98
x?99?1?
99?98
x?99

由函数性质可知，函数在
(??， 99)
上递减，且
y?1
；函数在
(99，＋?）
上递增
且
y?1

又99?(9，10）
?a
10
?a
11
?a
12
???a
30
?1?a
1
?a
2
??
?a
9
?a
10
最大，a
9
最小
（二）数列
1. 等差数列的定义与性质

定义：
an?1
?a
n
?d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和
S
n
a
1
?a
n
?
n
?
??na
2
n
?
n?1
?
d

1
?
2
性质：
?
a
n
?
是等差数 列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n?a
p
?a
q
；

（2）数列
?
a< br>2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?a
2n?1
?
仍为等差数列，
S
n
，S
2n< br>?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等差3

高中数学数列
数列，公差为
n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
2
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an?bn
（
a，b< br>为常数，是关于
n
的常数项为0的
二次函数）
2
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an?bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项，
?
a
n< br>?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a?0
?< br>n?1
?
a
n
?0
当
a
1
?0，d ?0
，由
?
可得
S
n
达到最小值时的
n
值 .
a?0
?
n?1
(6)项数为偶数
2n
的等差数列< br>?
a
n
?
，
有
S
2n
?n(a< br>1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1
)? ??n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n?1为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1< br>（7）项数为奇数
2n?1
的等差数列
?
a
n
?，
有
S
奇
S
偶
?
n
.
n ?1
S
2n?1
?(2n?1)a
n
(a
n
为中间 项)
，
S
奇
?S
偶
?a
n
，
1< br>1．等差数列
?
a
n
?
中，
a
4
? a
6
?a
8
?a
10
?a
12
?120,
则a
9
?a
11
的值为(C)

3
A．14 B．15 C．16 D．17
11222120
解：
a
9
?a
11
?a
9
?(a
9
? 2d)?(a
9
?d)?a
8
???16

333335< br>2．等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
? 0，S
9
?S
12
，则前 项的和最大。
解：
? S
9
?S
12
，S
12
?S
9
?0

?a
10
?a
11
?a
12
?0，?3a11
?0，

?a
11
?0，又a
1
?0∴
?
a
n
?
为递减等差数列∴
S
10
?S
11
为最大。
4

高中数学数列
3．已知等差数列
?
a
n
?
的前10项和为100，前100项和为 10，则前110项和为
?，S
110
?S
100
，?成等差数列，公差为D其首项为 解：∵
S
10
，S
20
?S< br>10
，S
30
?S
20
，
S
10
? 100
，前10项的和为
S
100
?10

?100?10?
10?9
?D?10，?D??22

2
又S
110
?S
100
?S
10
?10D?S
11 0
?100?10?10（??22）??110

n(n?1)
??
y?50n?98?
?
12n??4
?
??2n
2
?40 n?98
??2(n?10)
2
?102

2
??
所以当n?10时，y
max
?102

4 ．设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S< br>n
，已知
a
3
?12，S
12
?0，S
13
?0

①求出公差
d
的范围，
?，S
12
中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出
S
1
， S
2
，
d
a
n
?f(n)
n
a
n
S
n
?
a
n
?
n?2

解：①< br>S
12
?6(a
1
?a
12
)?6(a
3< br>?a
10
)?6(2a
3
?7d)?0

?24?7d?0?d??
24

7
又S
13
?< br>13(a
1
?a
13
)
13
13
?(a3
?a
11
)
?(2a
3
?8d)?0

22
2
?24?8d?0?d??3

24
从而??d?? 3
7
②
?S
12
?6(a
6
?a
7
)?0S
13
?13a
7
?0?a
7
?0，a
6
?0?S
6
最大。

5.已知
?
a
n?
数列是等差数列，
a
10
?10
，其前10项的和
S
10
?70
，则其公差
d
等
于( D )
A ．?
1
C．
3
2
3
B．?
1
3

2
D．
3

5

高中数学数列
6.已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
7?a
9
??16，a
4
?1，则a
12
等于（ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
解：?a
7
? a
9
?a
4
?a
12
?a
12
?15
7.设
S
n
为等差数列
?
a
n
?< br>的前
n
项和，
S
4
?14，S
10
?S7
?30，则S
9
=54
8.等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
10
?30，a
20
?50

①求通项
a
n
；②若
S
n
=242，求
n

解：
a
n
?a
1
?(n?1)d

a10
?30，a
20
?50
?
a?9d?30

解方程组
?
1
?
a
1
?19d?50
?
a
1
?12
?
?
?a
n
?2n?10
d? 2
?
由
S
n
?na
1
?
?12n?
n(n?1)d
，
S
n
=242
2
n(n?1)
?2?242

2
解得n?11或n??2 2(舍去）
1
(n?1)(a
n
?1)?1

2
9 ．已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，前
n
和
S
n
?
①求证：数列
?
an
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
?
1?
③设数列
??
的前
n
项和为
T
n
， 是否存在实数
M
，使得
T
n
?M
对一切正
?
a
n
a
n?1
?
整数
n
都成立？若存在，求M
的最小值，若不存在，试说明理由。
1
解：①∵
S
n
?(n?1)(a
n
?1)?1

2
6

高中数学数列
?S
n?1
?
?a
n?1< br>?
1
(n?2)(a
n?1
?1)?1
2
?S
n?1
?S
n

1
?
(n?2)(a
n?1?1)?(n?1)(a
n
?1)
?
2
整理得，na
n ?1
?(n?1)a
n
?1
?(n?1)a
n?2
?(n? 2)a
n?1
?1
?(n?1)a
n?2
?na
n?1?(n?2)a
n?1
?(n?1)a
n
?2(n?1)a
n? 1
?(n?1)(a
n?2
?a
n
)
?2a
n?1
?a
n?2
?a
n
∴数列
?
a
n
?
为等差数列。
②
a
1
?3，na
n?1
?(n ?1)a
n
?1

?a
2
?2a
1
?1? 5
?a
2
?a
1
?2
即等差数列
?
an
?
的公差为2


?a
n
?a
1< br>?(n?1)d?3?(n?1)?2
?2n?1
11
?

a
n
a
n?1
(2n?1)(2n?3)
③
?
1?
11
?
?
??
2
?
2n?12n?3
?
1111111
?T
n
?(???????)
235572n? 12n?3

111
?(?)
232n?3
1
又当n?N< br>?
时，T
n
?
6
?
要使得
T
n?M
对一切正整数
n
恒成立，只要
M
≥
T
n< br>?M
对一切正整数
n

1
，所以存在实数
M
使得
6
都成立，
M
的最小值为

1
。
6

7

高中数学数列
2. 等比数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?q
（
q
为常数，
q?0
），
a
n
?a
1
q
n?1

.
a
n
等比中项：
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy
，或
G??xy
.

?
n a
1
(q?1)
?
前
n
项和：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
（要注意！）
(q?1)
?
?
1?q
性质：
?
a
n?
是等比数列
·a
n
?a
p
·a
q
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
（2）
S
n，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
… …
仍为等比数列,公比为
q
n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1

.
例：⑴在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
? a
6
?33，a
3
a
4
?32，a
n
?a
n?1

①求
a
n
，
②若
T
n
?lga
1
?lga
2
???lga
n
,求Tn

⑵在等比数列
?
a
n
?
中，若
a
15
?0
，则有等式
a
1
?a
2
? ??a
n
?a
1
?a
2
???a
29?n
(n?29，n?N
?
)
成立，类比上述性质，相应
的在等比数列
?
b
n
?
中，若
b
19
?1
则有等式 成立。
解：⑴①由等比数列的性质可知：
a
1
?a
6
?a
3
?a
4
?32
又a
1
?a
6
?33，a
1
?a
6

解得a?32，a?1

16
a
111
所以
6
?，即q
5
?，?q ?
a
1
32322
1
所以a
n
?32?()
n?1
?2
6?n
2
②由等比数列的性质可知，
?
lga
n
?
是等差数列，因为
8

高中数学数列
lga
n
?lg2< br>6?n
?(6?n)lg2，lga
1
?5lg2

(lga
1
?lga
n
)n
n(11?n)
所以T
n
??lg2
22
⑵由题设可知，如果
a
m
?0
在等差数列 中有
a
1
?a
2
???a
n
?a
1
?a
2
???a
2m?1?n

(n?2m?1，n?N
?
)
成立，我们知道，如果
若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，
而对于等比数列
?
b< br>n
?
，则有
若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
所以可以得出结论，
若
b
m?1，则有b
1
b
2
?b
n
?b
1
b
2
?b
2m?1?n
(n?2m?1，n?N
?
)
成立，在本题中
则有b
1
b
2
?b
n
?b
1
b
2
?b
37?n
(n?37，n?N
?
)< br>
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
111
例1 ：数列
?
a
n
?
，
a
1
?
2a
2
?……?
n
a
n
?2n?5
，求
a
n

222
1
解：
n?1
时，
a1
?2?1?5
，∴
a
1
?14

2

①
111
n?2
时，
a
1
?
2
a
2
?……?
n? 1
a
n?1
?2n?1?5

222
②
?
14(n?1)
1
n?1
①—②得：
n
a
n
?2
，∴
a
n
?2
，∴< br>a
n
?
?
n?1

2
?
2(n?2 )
5
［练习］数列
?
a
n
?
满足
S
n
?S
n?1
?a
n?1
，a
1
?4
， 求
a
n

3
解：注意到
a
n?1
?Sn?1
?S
n
，代入得
S
n?1
?4
又
S
1
?4
，
S
n
?4
n
∴
?
S
n
?
是等比数列，
S
n
；
·4
n?1

n?2
时，
a
n
?S
n
?Sn?1
?……?3
（2）叠乘法
a
n
例2：数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?3，
n?1
?< br>，求
a
n

a
n
n?1
9

高中数学数列
解:
a
a
2
a
3
12n?1
3
a
1
·……
n
?·……
，∴
n
?
又
a
1
?3
，∴
a
n
?
a
1
a
2
a
n?1
23n
n
.
a
1
n
（3）等差型递推公式
例3：由
a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求
a
n
（用迭加法）
?
a
3
?a
2
?f( 3)
?
?
n?2
时，
?
两边相加得
a
n< br>?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

解：
……… …
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?∴
a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

a
2
?a
1
?f(2)
，a
n
?3
［练习］数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1< br>（4）等比型递推公式

例4：
n?1
?a
n?1
?
n?2
?
，求
a
n
（
a
n
?1
n
?
3?1
?
2
）
a
n
?ca
n?1
?d
（
c、d
为常数，
c?0，c?1，d? 0
）
解：可转化为等比数列，设
a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?
?a
n
?ca
n?1
?< br>?
c?1
?
x

令
(c?1)x?d
，∴
x?
列
∴
a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n?1
d
? ?
?
?
a
1
?·ca?a?c?
，∴
n
??
1
?
c?1
?
c?1
?
c?1
?c?1
?
d
?
d
d
?
a?，c
为公比 的等比数，∴
?
a
n
?
是首项为
?
1
c? 1
c?1
c?1
??
（5）倒数法
例5：
a
1< br>?1，a
n?1
?
2a
n
，求
a
n

a
n
?2
解：由已知得：
a?2
111111
?< br>n
??
，∴
??

a
n?1
2a
n
2a
n
a
n?1
a
n
2
?
1?
111
1
1
·?
?
n?1
?
， ∴
??
为等差数列，
?1
，公差为，∴
?1?
?
n? 1
?
a
n
22
2
a
1
?
a
n
?
∴
a
n
?
2
n?1

(附 ：公式法、利用
a
n
?
?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比10

高中数学数列
a
n?1
?pa
n
?q
或
a
n?1
?pa
n
?f(n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳
法、换元法)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
例6：
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，求
?
1

aa
k?1
kk?1
n
解：由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?< br>
a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
?
111
?
11
?
1
?
?11
?
?
11
?
1
?
?
?????? ?……??
∴
?
?
?
?????
?

?< br>?
?
aadaadaaaaaa
k?1
kk?1
k?1
k?1
?
2
?
?
23
?
n?1
?
?
?
k
?
n
?
?
1
?
1
?
11
?
?
??

d
?
a
1< br>a
n?1
?
111
??……?

1?21?2?31?2?3?……?n
1

n?1
［练习］求和：
1?
a
n
?……?……，S
n
?2?
（2）错位相 减法
若
?
a
n
?
为等差数列，
?
bn
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前
n
项和，
可由
S
n
?qS
n
，求
S
n
，其中
q
为
?
b
n
?
的公比.
23n?1
例7：
S
n
?1?2x ?3x?4x?……?nx


①
解：
②
x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1< br>?nx
n

2n?1n
①—②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x?……?x?nx

x?1
时，
S
n
1?x
?
nx
?
??n
n
?
1?x
?
2
1?x
，
x?1< br>时，
S
n
?1?2?3?……?n?
n
?
n?1?

2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?相加
2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?…?
?
a
1
?a
n
?
…

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
11

高中数学数列
x
2
［练习］已 知
f(x)?
，则
f(1)?f(2)?
2
1?x
2
?
1
??
1
??
1
?
f
??
? f(3)?f
??
?f(4)?f
??
?

?
2
??
3
??
4
?
?
1
?
??
x
2
x
2
1
x
?
?
1?
?
????1
解：由
f(x)?f
??
?
2
222
x1?x1?x1?x
??
?
1
?
1???
?
x
?

?
∴原式
?f(1)?
?
f(2)?
?
(附： < br>?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(3)?
?
2
?
??
?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(4)?
?
3
?
??
1
?
1
?
?1
f
??
?
? ?1?1?1?3

2
?
4
?
?
2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{a
n
}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把
正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒
序相加法。我们在学知 识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知
识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如： 等差数列前n项和公式的推导，
用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和S
n
可直接用等差、等比数列的前n项和
公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公
式适用于这个数列之后， 再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 使得前后项相抵消，留下有限
项，从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列 与等差数列相乘的
形式。即若在数列{a
n
·b
n
}中，{a
n
}成等差数列，{b
n
}成等比数列，在和式的两边
同乘以公比，再与原 式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于 数列{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+f(n)，其中f(n )是等差数列或等比数
列的条件下，可把这个式子变成a
n+1
-a
n
=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所
有的式子加到一起，经过整理，可求出a
n< br> ，从而求出S
n
。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组 求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将
这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将
其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，
构造出我们熟知的基本数列 的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
12