高中数学数列知识点总结及题型归纳-高中数学数列知识点归纳

数列

(n?1)
?
S
1
（5 ）数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项< br>a
n
的关系：
a
n
?
?

S?S( n≥2)
?
nn?1
例：已知数列
{a
n
}
的前n 项和
s
n
?2n
2
?3
，求数列
{a
n< br>}
的通项公式
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记 作
a
n
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个
位置的叫第2 项，……，序号为
n
的项叫第
n
项（也叫通项）记作
a
n
；
数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，a
n
，……，简记作
?
a
n
?
。
例：判断下列各组元素能否构成数列
（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;
(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果 数列
{a
n
}
的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式< br>就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：
1，，，，
…
数列①的通项公式是
a
n
=
n
（
n
?
7，
n?N
?
），
数列②的通项公式是
a
n
=
说明：
①
?
a
n
?
表示数列，
a
n
表示数列中的第
n
项，
a
n
=
f
?
n
?
表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，
a
n
=
(?1)
=
?
n
二、等差数列
题型一、等差数列定义：一 般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个 数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。用递推公式表示为
a
n
?a
n?1
?d(n?2)
或
a
n? 1
?a
n
?d(n?1)
。
例：等差数列
a
n< br>?2n?1
，
a
n
?a
n?1
?

题型二、等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
；
说明：等差数列（通常可称为
AP
数列）的单调性：
d
?0
为递增数列，
d?0
为常数列，
d?0
为递减数
列。
例：1.已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
7
?a
9
?16，a
4
?1，则a
12
等于（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
2.
{a
n< br>}
是首项
a
1
?1
，公差
d?3
的等差数列 ，如果
a
n
?2005
，则序号
n
等于
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
3.等差数列
a
n
?2n?1,b
n
??2n?1
，则a
n
为
b
n
为 （填“递增数列”
或“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其中
A?

a
，
A< br>，
b
成等差数列
?
A?
1111
2345
1
（
n?N
?
）。
n
?
?1,n?2k?1
(k?Z)
；
?1,n?2k
?
a?b

2
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这 一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数
列实质上是定义域为正整 数集
N
?
（或它的有限子集）的函数
f(n)
当自变量
n< br>从1开始依次取值时对应的一
系列函数值
f(1),f(2),f(3),
…… ，
f(n)
，……．通常用
a
n
来代替
f
?
n
?
，其图象是一群孤立点。
例：画出数列
a
n
?2n?1
的图像.

（4） 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小
关系分： 单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

a?b
即：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
（
2a
n
?a
n?m
?a
n?m
）
2< br>例：1．（06全国I）设
?
a
n
?
是公差为正数的等差数列 ，若
a
1
?a
2
?a
3
?15
，
a
1
a
2
a
3
?80
，则
a
11
?a
12
?a
13
?

（ ）
A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

2.设数列
{a
n
}
是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首 项是（ ）
A．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列
?
a
n
?< br>中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列
?
a< br>n
?
中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列?
a
n
?
中，对任意
m
，
n?N
?< br>，
a
n
?a
m
?(n?m)d
，
d?
a
n
?a
m
(m?n)
；
n?m
（4）在等差 数列
?
a
n
?
中，若
m
，
n
，< br>p
，
q?N
?
且
m?n?p?q
，则
am
?a
n
?a
p
?a
q
；
1

题型五、等差数列的前
n
和的求和公式：
S
n
?
(
S
n
?An
2
?Bn
n(a1
?a
n
)
1d
n(n?1)
（a
1
?）n
。
?na
1
?d
?n
2
?
2222

12.等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
10
?30，a
20
?50

①求通项
a
n
；②若
S
n
=242，求
n

13.在等差数列
{a
n
}
中，（1）已知
S
8< br>?48,S
12
?168,求a
1
和d
；（2）已知
a
6
?10,S
5
?5,求a
8
和S
8
； (3)
已知
a
3
?a
15
?40,求S
17



题型六.对于一个等差数列：
(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列 ) < br>(a
1
?a
n
)n
(a
m
?a
n? (m?1)
)n
?

22
递推公式：
S
n
?
例：1.如果等差数列?
a
n
?
中，
a
3
?a
4
? a
5
?12
，那么
a
1
?a
2
?...? a
7
?

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
2.（2009湖南卷文）设
S< br>n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，已知
a
2
?3
，
a
6
?11
，则
S
7< br>等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3.（2009全国卷Ⅰ理） 设 等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
?72
,则
a
2
?a
4
?a
9
=
4.（2010重庆文）（2）在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
9
?1 0
，则
a
5
的值为（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10

5.若一个等差数 列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
6.已知等差数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
12
?21，则a
2
?a
5
?a
8
?a
11
?

7.（2009全国卷 Ⅱ理）设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
a
5
?5a
3
则
8．（98全国 ）已知数列｛
b
n
｝是等差数列，
b
1
=1，
b< br>1
+
b
2
+…+
b
10
=100.
（Ⅰ）求数列｛
b
n
｝的通项
b
n
；

9.已知
?
a
n
?
数列是等差数列，
a
1 0
?10
，其前10项的和
S
10
?70
，则其公差
d
等于( )
S
奇
a
?
n
；
S
偶
a
n?1
S
n
（2）若项数为奇数，设共有
2 n?1
项，则①
S
奇
?
S
偶
?a
n
?a
中
；②
奇
?
。
S
偶
n?1（1）若项数为偶数，设共有
2n
项，则①
S
偶
?
S< br>奇
?nd
； ②

题型七.对与一个等差数列，
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n仍成等差数列。
例：1.等差数列{
a
n
}的前
m
项 和为30，前2
m
项和为100，则它的前3
m
项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前
n
项的和为48，前2
n
项的和为60，则前3
n
项的和为 。
3．已知等差数列
?
a
n
?
的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
4.设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
S
4
?14，S
10
?S
7
?30，则S
9
=
5．（06全国II）设
S
n
是等差数列｛
a
n
｝的前
n
项和，若
S
9
?

S
5
S
3
1
S
＝，则
6
＝
S
6
3
S
12
D．A．
11
3
B． C．
38
10
1

9
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
a
n?1
?a
n
?d(常数）（n?N
?
）
?
?< br>a
n
?
是等差数列
②中项法：
A．?
2
3
B．?
1
12
C. D.
3
3
3
10.（2009陕西卷文）设等差数列

?
a
n
?
的前n项和为
s
n
,若
a
6
?s
3
?12
,则
a
n
?

S
n
｝
n
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
③通项公式法：
（n?N
?
)
?
?
a
n
?
是等差数列
a
n
?kn?b(k,b为常数)< br>?
?
a
n
?
是等差数列
11．（00全国）设｛< br>a
n
｝为等差数列，
S
n
为数列｛
a
n｝的前
n
项和，已知
S
7
＝7，
S
15
＝75，
T
n
为数列｛
的前
n
项和，求
T
n
。
④前
n
项和公式法：
S
n
?An
2
?Bn
2
(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列

例：1.已知数列
{a
n
}
满 足
a
n
?a
n?1
?2
，则数列
{a
n< br>}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

2.已知数列
{a
n
}
的通项为
a
n
?2n?5
，则数列
{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n?4
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
4.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5.已知一个数列
{a
n
}
满足
a
n?2
?2a
n?1
?a
n?0
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
6.数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8，
a
4?2，且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
（
n?N
）
?
A.d＜0 B.a
7
＝0 C.S
9
＞S
5
4．已知数列
?
a
n
?
的通项


D.S
6
与S
7
均为S
n
的最大值
n? 98
n?99
（
n?N
?
），则数列
?
a
n
?
的前30项中最大项和最小项分别是
2
5.已知
{a
n
}
是等差数列，其中
a
1
?31
，公差< br>d??8
。
（1）数列
{a
n
}
从哪一项开始小于0？
（2）求数列
{a
n
}
前
n
项和的最大值，并求出对应
n
的值．

6.已知
{a
n
}
是各项不为零的等差数列， 其中
a
1
?0
，公差
d?0
，若
S
10< br>?0
,求数列
{a
n
}
前
n
项和的最
大值．
7.在等差数列
{a
n
}
中，
a
1?25
，
S
17
?S
9
，求
S
n的最大值．

2
①求数列
?
a
n
?
的通项公式；

2
7 ．（01天津理，2）设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，且
S
n
=
n
，则{
a
n
}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
（1）
a
1
?0
，
d?0时，
S
n
有最大值；
a
1
?0
，
d? 0
时，
S
n
有最小值；
（2）
S
n
最值 的求法：①若已知
S
n
，
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值；
可用二次函数最值的求法（
n?N
?
）；②或者求出
?
a
n
?
中的正 、负分界项，即：
若已知
a
n
，则
S
n
最值时< br>n
的值（
n?N
?
）可如下确定
?
(n?1)
?
S
1
题型十.利用
a
n
?
?
求通项．
S?S(n?2)
n?1
?
n
1.数列
{a
n}
的前
n
项和
S
n
?n
2
?1
．（1）试写出数列的前5项；（2）数列
{a
n
}
是等差数列吗？（3） 你能写出
数列
{a
n
}
的通项公式吗？

2．已 知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n
2
?4n?1
则
，
3.设数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
=2n，求数列
{a
n
}
的通项公式；
2
?
a< br>n
?0
?
a
n
?0
或
?
。
?
a
n?1
?0
?
a
n?1
?0
例：1．等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0 ，S
9
?S
12
，则前 项的和最大。
2．设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知

a
3
?12，S
12
?0，S
13
?0

①求出公差
d
的范围，

4.已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
前
n
和S
n
?
①求证：数列
?
a
n
?
是等差 数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
5.（20 10安徽文）设数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?n
，则
a
8
的值为（ ）
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
3
2
1
(n?1)(a
n
?1)?1

2
?，S
12
中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出
S
1
，S
2
，


*
3． （02上海）设｛
a
n
｝（
n
∈N）是等差数列，
S
n
是其前
n
项的和，且
S
5
＜
S
6，
S
6
＝
S
7
＞
S
8
，则下 列结论错误
．．
的是（ ）

等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比
．．．．．．
数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母< br>q
表示
(q?0)
，即：
a
n?1
：
an
?q(q?0)
。

一、递推关系与通项公式
（2）q
n?m
?
a
n
2
，a
n
?a
n?m
?a
n?m
(n?N
?
)

a
m
（3）
?
a
n
?
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成 等比数列.
（4）
?
a
n
?
既是等差数列又是等比数列< br>?
?
a
n
?
是各项不为零的常数列.
例：1．在等 比数列
?
a
n
?
中,
a
1
和
a< br>10
是方程
2x?5x?1?0
的两个根,则
a
4
? a
7
?
( )
2
递推关系：a
n?1
? a
n
q
通项公式：a
n
?a
1
?q
n?1

推广：a
n
?a
m
?q
n?m
1． 在 等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?4,q?2
，则
a
n
?

2． 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
7
?12,q?2
,则< br>a
19
?_____.

3
511
2
(A)?

(B)

(C)?

(D)

222
2
2. 在等比数列
?
a
n
?
，已 知
a
1
?5
，
a
9
a
10
?10 0
，则
a
18
=
3.在等比数列?
a
n
?
中，
a
1
?a
6
? 33，a
3
a
4
?32，a
n
?a
n?1

①求
a
n

②若
T
n
?lga
1
?lga
2
???lga
n
,求T
n

4 .等比数列
{a
n
}
的各项为正数，且
a
5
a6
?a
4
a
7
?18,则log
3
a
1
?log
3
a
2
?
A．12 B．10 C．8 D．2+
log
3
5

23.（07重庆文）在等比数列{
a
n
}中，
a
2
＝8 ，
a
1
＝64，，则公比q为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
4.在等比数列
?
a
n
?
中，< br>a
2
??2
，
a
5
?54
，则
a< br>8
=

5.在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中，首项
a
1
?3
，前三项和为21，则
a< br>3
?a
4
?a
5
?
（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189

二、等比中项：若三个数a,b,c
成等比数列，则称
b
为
a与c
的等比中项，且为b??ac，注：b?ac
是成
等比数列的必要而不充分条件.
例：1.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )
时，
?log
3
a
10
?
（ ）
{a}
a?0,n?1,2,
5.（2009广东卷理）已知等比数列
n
满足
n
2n
a?a?2(n?3)
，则当
n?1
，且
52n?5
log
2
a
1
?log
2
a
3
??log
2
a
2n?1
?
（ ）
(A)1

(B)?1

(C)?1

(D)2

2.（2009重 庆卷文）设
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列，
a
1
?2
且
a
1
,a
3
,a
6
成等 比数列，则
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
=（ ）
22
2
n(2n?1)
(n?1)(n?1)
n
A. B. C. D.
四、等比数列的前n项和，
(q?1)
?
na
1
?
n
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q
?
?
1?q
?
1?q
(q?1)

n
2
7nn
2
5nn
2
3n
??
C．
?
A． B．
443324
三、等比数列的基本性质，
D．
n?n

2
例：1.已知等比数列
{a
n}
的首相
a
1
?5
，公比
q?2
，则其前n项 和
S
n
?

2.已知等比数列
{a< br>n
}
的首相
a
1
?5
，公比
q?
1
，当项数n趋近与无穷大时，其前n项
2
1.（1）
若m?n?p?q，则 a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(其中m,n, p,q?N)

?
和
S
n
?

3.设等比数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，已
a
2
?6,
6a
1
?a
3
?30< br>，求
a
n
和
S
n

4．（2006年北京卷）设
f(n)?2?2?2?2?
4 < br>4710
?2
3n?10
(n?N)
，则
f(n)
等 于（ ）

A．
2
(8
n
?1)
B．
2
7
(8
n?1
7
?1)
C．
2
n?3
2
n?4
7
(8?1)
D．
7
(8?1)

5．（1996全国文，21）设等比数列｛
a
n
｝的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＋
S
6
＝2
S
9
，求数列的公比
q
；


6．设等比数列
{a
n
}
的公比为q， 前n项和为S
n
，若S
n+1
,S
n
，S
n+2< br>成等差数列，则q
的值为 .


五. 等比数列的前n项和的性质
若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3 k
?S
2k
成等比数列.
S
6
S
9
例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{
a
n
}的前n 项和为
S
n
，若
S
3
=3 ，则
S
6
=
78
A. 2 B.
3
C.
3
D.3
2.一个等比数列前
n
项的和为48， 前2
n
项的和为60，则前3
n
项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
3.已知数列
?
a
n
?
是等比数列，且
S
m
?10，S
2m
?30，则 S
3m
?


4.等比数列的判定法
（1）定义法：
a
n?1
a
?q（常数）?
?
a
n
?
为等比数列；
n
（2）中项法：
a
2
n?1< br>?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)?
?
a
n
?
为等比数列；
（3）通项公式法：
a
n
?k?q
n
(k,q为常数）?
?
a
n
?
为等比 数列；
（4）前
n
项和法：
S
n
?k(1?q
n
)（k,q为常数）?
?
a
n
?
为等比数列。
S
n
?k?kq
n
（k,q为常数）?
?
a
n< br>?
为等比数列。
例：1.已知数列
{a
n
n
}的通项为
a
n
?2
，则数列
{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列
{a
2
n
}
满足
a< br>n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)，则数列
{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列< br>{a
n?1
n
}
的前n项和
s
n
?2?2< br>，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断



5.利用
a
?
S
1
(n?1)
n
?
?
S
求通项．
?
n
?S
n?1
(n?2)

例：1.（2005 北京卷）数列{
a
1
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
=1，
a
n?1
?
3
S
n
，
n
=1，2，3，……，求
a
2
，
a
3
，
a
4
的值及数列{
a
n
}的通项公 式．

2.（2005山东卷）已知数列
?
a
n
?< br>的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n?1
?S
n
?n?5(n?N
*
)
，证明
数列
?
a
n
?1
?
是等比数列．

四、求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：1已知等差数列
{a
n
}
满足：
a
3
?7,a
5
?a< br>7
?26
， 求
a
n
；

2.已知数列< br>{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?a
n?1
?1(n?1)
，求数列
{a
n
}
的通项公 式；


3.数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8，
a
4
?2，且a
n?2
?2a
?
n?1
?a
n
?0
（
n?N
），求数列
?
a
n
?
的通项公式；

4. 已知数列
{a
1
n
}
满足
a1
?2,
a
?
1
a
?2
，求数列
?< br>a
n
?
的通项公式；
n?1n

5. 设数列{a
n
}
满足
a
1
1
?0
且
1?a
?
1
1?a
?1
，求
{a
n
}的通项公式
n?1n

6. 已知数列
{a
2a
n< br>n
}
满足
a
n?1
?
a
,a
1?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
?2

5

7. 等比数列
{a
n
}
的各项均为正数，且
2a
1
?3 a
2
?1
，
a
3
?9a
2
a
6< br>，求数列
{a
n
}
的通项公式

8. 已知数列< br>{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?3 a
n?1
(n?1)
，求数列
{a
n
}
的通项公式 ；

9. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2，a
2
?4且a
n?2
?a
n
?a
n ?1
（
n?N
?
），求数列
?
a
n
?< br>的通项公式；
2
2
4. 设数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?3?2
2n?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式

（3）累乘法
适用于：
a
n?1
?f(n)a
n


10. 已知数列< br>{a
n
}
满足
a
1
?2，
且
an?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
（
n?N
?
），求数列
?
a
n
?
的通项 公式；

?
11. 已知数列
{a
n
}
满足a
1
?2，
且
a
n?1
?5?2
n?1
?2?3(a
n
?5?2
n
?2)
（
n?N
）， 求数列
?
a
n
?
的通项
若
a
n?1
a
a
?f(n)
，则
2
?f(1)，
3
?f(2 )，
a
n
a
1
a
2
a
，
n?1< br>?f(n)

a
n
n
a
n?1
两边分别相乘 得，
?a
1
?
?
f(k)

a
1
k?1
公式；

12.数列已知数列
?a
n
?
满足
a
1
?

（2）累加法
1、累加法 适用于：
a
n?1
?a
n
?f(n)

例：1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2(n?1)5
n
?a
n
，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
1
,a
n
?4a
n?1?1(n?1).
则数列
?
a
n
?
的通项公式=
2

2.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?

3.已知
a
1
?3
，
a
n?1
?

2n
a
n
，求
a
n
。 ，
a
n? 1
?
3
n?1
3n?1
a
n

(n?1)
，求
a
n
。
3n?2
a
2< br>?a
1
?f(1)
若
a
n?1
?a
n
?f(n)
(n?2)
，则
（4）待定系数法

适用于
a
n?1
?qa
n
?f(n)

解题基本步骤：
1、确定
f(n)

a
3
?a
2
?f(2)

a
n?1
?a
n
?f(n)
两边分别相加得 a
n?1
?a
1
?
例：1.已知数列
{a
n< br>}
满足
a
1
?

?
f(n)
k?1
n
1
,
2
a
n?1
?a
n?
1
4n
2
?1
，求数列
{a
n
}< br>的通项公式。
2、设等比数列
?
a
n
?
?
1
f(n)
?
，公比为
3、列出关系式
a
n?1
?
?
1
f(n?1)?
?
2
[a
n
??
2
f(n)]

2. 已知数列
{a
n
}< br>满足
a
n?1
?a
n
?2n?1，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

3. 已知数 列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2?3?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项 公式。
n
4、比较系数求
?
1
，
?
2

5、解得数列
?
a
n
?
?
1
f(n)?
的通项公式
6

6、解得数列
?
a
n
?
的通项公式
例：1. 已 知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
n?2a
n?1
?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
2.（2006，重庆,文,14）在数列
?
a
n
?
中，若
a
1
?1,a
n?1
?2a
n< br>?3(n?1)
，则该数列的通项

9. 已知数列
{a
n< br>}
满足
a
n?2
?5a
n?1
?6a
n,a
1
??1,a
2
?2
，求数列
{a
n}
的通项公式。
（5）递推公式中既有
S
n

a
n
?
_______________
3.（2006.

福建.理22.本小题满分14分）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a< br>n
?1(n?N
*
).
求数列
?
a
n
?
的
通项公式；

4.已知数列
{a
n
}满足
a
n?1
?2a
n
?3?5，a
1
?6< br>，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
n
分 析：把已知关系通过
a
n
?
?
?
S
1
,n ?1
转化为数列
?
a
n
?
或
S
n
的递推关系，然后采用相应的方法求解。
?
S
n
?S
n?1
,n?2
1
S
n
，
n
=1，2，3，……，求
a
2
，
a
3
，
a
4
的
3
1 .（2005北京卷）数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
=1，
a
n?1
?
值及数列 {
a
n
}的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列?
a
n
?
的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n?1
?S
n?n?5(n?N
*
)
，证明数列
解：设
a
n?1?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)

5. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
?5?2
n
?4，a
1
?1
，求数列{a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n?1
?x ?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)


6.已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?

7. 已知数列
{a
n
}
满足
a< br>n?1
?2a
n
?3n
2
?4n?5，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：设
a< br>n?1
?x(n?1)
2
?y(n?1)?z?2(a
n
?x n
2
?yn?z)


8. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?4?3，a
1
?1
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
n?1
?
a
n
?1
?
是等比数列．
< br>3．已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
? 3，
前
n
和
S
n
?
①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
4. 已知数列
{a
n
}
的各项均为正数，且前n项和
S
n
满足< br>S
n
?
数列
{a
n
}
的通项公式。


（6）根据条件找
n?1
与
n
项关系
例1.已知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,an?1
?C?
1
(n?1)(a
n
?1)?1

2
511
n?1
,
a
n?1
?a
n
?( )
，求
a
n

6
32
1
(a
n< br>?1)(a
n
?2)
，且
a
2
,a
4
,a
9
成等比数列，求
6
151
，若
C?,b
n
?
，求数列
{b
n
}
的通项公式
a
n< br>2a
n
?2
递推公式为
a
n?2
?pa
n? 1
?qa
n
（其中p，q均为常数）。
先把原递推公式转化为
a< br>n?2
?sa
n?1
?t(a
n?1
?sa
n
)

1n?1
a
1
?1,a
n?1
?(1?)a
n
?
n
{a}
n2
2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列< br>n
中，
b
n
?
a
n
n
，求数列{b
n
}
的通项公式
?
s?t?p
其中s，t满足
?

?
st??q
（I）设
7

（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例：1. 已知数列
{a
2a
n
n
}
满足
a
n?1
?
a2
,a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通 项公式。
n
?


（8）对无穷递推数列
消项得到第
n?1
与
n
项的关系
例：1. （2004年 全国I第15题，原题是填空题）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1，a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3< br>??(n?1)a
n?1
(n?2)
，求
{a
n
}< br>的通项公式。

2.设数列
?
a
满足
a
2
3
n?1
a
n
n
?
1
?3a
2< br>?3a
3
?…?
n
?
3
，
a?N
*
．求数列
?
a
n
?
的通项；


（9）、迭代法
例：1.已知数列
{a
3(n?1)2
n
n
}
满足
a
n?1
?a
n
，a
1
?5
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
3(n?1)2
n
n?1
?a
n
，所以
a
?2
n?1
n?1)?2
n?2
3n?2
n?1
3
2
(n?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
n
?a
3n
n?1
?[a
3(
n?2
]?a
n?2
?[a3(n?2)?2
n?3
]
3
2
(n?1)?n?2
( n?2)?(n?1)
n?3
?a
3
3
(n?2)(n?1) n?2
(n?3)?(n?2)?(n?1)
n?3
?

?a
3
n?1
?2?3(n?2)?(n?1)?n?2
1?2??(n?3 )?(n?2)?(n?1)
1
n(n?1)
?a
3
n?1< br>?n!?2
2
1
n(n?1)
又
a
1
?5< br>，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
3
n? 1
?n!?2
2
n
?5
。

（10）、变性转化法
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
例： 已知 数列
{a
a
5
n
}
满足
a
n?1
?2?3
n
?
n
，
a
1
?7
，求数列{a
n
}
的通项公式。
解：因为
aa
5
n? 1
?2?3
n
?
n
，a
1
?7
，所以a
n
?0，a
n?1
?0
。
两边取常用对数得
lga
n?1
?5lga
n
?nlg3?lg2

2、换元法 适用于含根式的递推关系
例： 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
n?1
?
16
(1?4a
n?1?24a
n
)，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：令
b
a
1
n
?1? 24a
n
，则
n
?
24
(b
2
n
?1)


五、数列求和
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 < br>S
n(a
(n?1)
?
na
1
(q?1)
1
?a
n
)
n
22
d

S
?< br>n
??na
1
?
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
?
1?q
(q?1)
公比含字 母时一定要讨论
(理)无穷递缩等比数列时，
S?
a
1
1?q

例：1.已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1?1,a
2
?3
，求前
n
项和
{S
n
}

2. 等差数列{
a
n
}中，
a
1
= 1,
a
3
+
a
5
=14，其前
n
项和S
n
=100,则
n
=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3.已知等比数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2
?3
，求前
n
项和
{S
n
}


4.设
f(n)?2?2
4
?2
7
?2
10
??2
3n?10
(n?N)
， 则
f(n)
等于（ ）
A.
2
(8
n
?1)
B.
2
(8
n?1
?1)
C.
2
(8
n?3
?1)
D.
2
n?
7777
(8
4
?1)





8

2．错位相减法求和：如：
?
a
n
?等差,
?
b
n
?
等比,求a
1
b
1< br>?a
2
b
2
???a
n
b
n
的和.

例：1．求和
S
n
?1?2x?3x
2
??nx
n?1


2.求和：
S
12
n
?a
?
3n
a
2
?
a
3
???
a
n


3.设
{a
n
}
是等差数列，< br>{b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
?b< br>1
?1
，
a
3
?b
5
?21
，a
5
?b
3
?13
求
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；（Ⅱ）求数列
?
?
a< br>n
?
?
的前
n
项和
S
n
．
?
b
n
?



3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：< br>11
n(n?1)
?
n
?
1
n?1

1
(2n?1)(2n?1)
?
1
2
(
1
2n?1
?
1
2n?1
)

11111111
n( n?2)
?
2
(
n
?
n?2
)
1)(n? 2)
?
2
[
n(n?1)
?
(n?1)(n?2)
]


n(n?

n?n!?(n?1)!?n!

n
(n?1)!
?1
n!
?
1
(n?1)!
C
i?1
C
ii
n?1
?
n
?C
n?1

数列
?
a
?
1
?
n
?
是等差数列，数列< br>??
的前
n
项和
?
a
n
a
n?1
?
例：1.数列
{a
n
}
的前
n
项和为< br>S
1
n
，若
a
n
?
n(n?1)
， 则
S
5
等于（ ）
A．1 B．
5
6
C．
1
6
D．
1
30

2.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
1
n(n?1)
，求前
n
项的和；
3.已知数列
{a
1n
}
的通项公式为
a
n
?
n?n?1
，求前< br>n
项的和．

4.已知数列
{a
n?1
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
，设
T
11n
?
a
?
a
??
1
aa
，求
T
n
．
1
?a
32
?a
4n
?
n?2

5．求
1?
1
1?2
?
1
1?2?3
?
1
1?2?3?4
?
?
?
1
1?2?3?
?
?n
,(n?N
*
)
。

6．已知
a?0,a? 1
，数列
?
a
n
?
是首项为a，公比也为a的等比数列，令
b
n
?a
n
?lga
n
(n?N)
，求数 列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n。

4．倒序相加法求和
综合练习：
1.设数列
{a1
n
}
满足
a
1
?0
且
1?a
?
1
?1

n?1
1?a
n
（1）求
{ a
n
}
的通项公式
（2）设
b
1?a
n?1n
n
?
n
,
记
S
n
?
?b
k
，证明：
S
n
?1

k?1


2.等比数列
{a
2
n
}
的各项均为正数，且< br>2a
1
?3a
2
?1
，
a
3
?9a
2
a
6

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）设
b< br>aa
a
1
n
?log
3
1
?log
3
2
?...?log
3
n
，求数列
{
b
}
的前n项和
n




3.已知等差数列{a
n
}
满足
a
2
?0
,
a
6
?a
8
??10
.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式及
S
n

（2）求数列
{
a
n
2
n?1
}
的前n项 和
9
（Ⅰ）

4.已知 两个等比数列
{a
n
}
，
{b
n
}
，满足
a
1
?a(a?0)
，
b
1
?a
1
?1
，
b
2
?a
2
?2
，
b
3
?a
3
?3

（1）若
a?1,
求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）若数列
{a
n
}
唯一，求
a
的值





5.设数列
{a
n
}
满 足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
? 3?2
2n?1

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）令
b< br>n
?na
n
，求数列
{b
n
}
的前n项和< br>S
n







6. 已知
a
，点(
ax
)=
x
2
1
=2
n
,a
n+1
)在函数
f
(+2
x
的图象上，其 中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+
a
n
)｝是等比数列；
（2） 设
T
n
=(1+
a
1
) (1+
a
2
) …(1+
a
n
)，求
T
n
及数列｛
a
n
｝的通项；
（3） 记
b
11n
=
a
?
，求｛
b
，并证明
S
2n
｝数列的前项和
S
nn
+
n
a
n
? 2
3T1
=1.
n
?




7.已知等差数列
{a
n
}
满足：
a
3
?7,a< br>5
?a
7
?26
，
{a
n
}
的前n 项和
S
n

（1）求
a
n
及
S
n

（2）令
b
1
?
n
?
a
2
n
?1
（
n?N
），求数列
{b
n
}
前n项和
T
n

8．已知数列
?
a
1
n
?
中，
a1
?3，
前
n
和
S
n
?
2
( n?1)(a
n
?1)?1

①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
③设数列
?
?
1
?
a
?
的前
n
项和为
T< br>n
，是否存在实数
M
，使得
T
n
?M
对一切 正整数
n
都成立？若存在，求
?
n
a
n?1
?M
的最小值，若不存在，试说明理由。




< br>9.数列
?
a
?
n
?
满足
a
1=8，
a
4
?2，且a
n?2
?2a
n?1
? a
n
?0
（
n?N
），
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）设< br>b
n
?
1
n(12?a
(n?N
*
)，S< br>m
n
?b
1
?b
2
????b
n
， 是否存在最大的整数
m
，使得任意的
n
均有
S
n
?
n
)
32
总成立？若存在，求出
m
；若不存在，请说明理由 ．

10