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高中数学数列知识点总结(经典)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 15:40
tags:高中数学数列

高中数学教师招聘笔试试卷-杭州学而思高中数学老师哪个好

2020年9月20日发(作者:诸葛瞻)


高一数学期末复习专题
解三角形
1.正弦定理:
abc
???2R

sinAsinBsinC
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
2 22
2.余弦定理:
?
?
b?a?c?2accosB
?
c
2
?b
2
?a
2
?2bacosC
?
?
b
2
?c
2
?a
2
?
co sA?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
?
cosB?
2ac
?
?
b
2
?a< br>2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
.
3.正、余玄定理的解题类型:
(1)两类正弦定理解三角形的问题:
①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
①已知三边求三角.
②已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形
式或角的形式.
5.解题中利用
?ABC
中:
A?B?C?
?
,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

sin
A?B
?cos
C
,cos< br>A?B
?sin
C
,tan
A?B
?cot
C
.
222222
6、三角公式:
(1)倍角公式:
(2)两角和、差公式:
1


数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
(1)定义:
a
n?1
?a
n
?d

d
为常数),
通项公式:
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

(2)等差中项:
x,A,y
成等差数列
?2A?x?y

(3)前
n
项和:
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?< br>n?1
?
d

2
(4)性质:
?
a
n
?
是等差数列
①任意两项间的关系式; a
n
=a
m
+(n-m)d (m、n∈N
?

②若
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q


S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S< br>2n
……
仍为等差数列,公差为
n
2
d

④若三个成等差数列,可设为
a?d,a,a?d

⑤若
a
n
,b
n
是等差数列,且前
n
项和分别为
S
n,T
n
,则
a
m
S
2m?1

?b
m
T
2m?1

?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn

a,b
为常数,是关于
n
的常数项为0的二次函数)
S
n
的最值可求二 次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值;或者求出
?< br>a
n
?
中的正、负分界项,
?
a
n
?0< br>即:当
a
1
?0,d?0
,解不等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a?0
?
n?1
?
a?0

a
1
?0,d?0
,由
?n
可得
S
n
达到最小值时的
n
值.
?a
n?1
?0
⑦项数为偶数
2n
的等差数列
?
a
n
?


S
2n
?n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1
)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n?1
为中间两项)

S

?S

?nd

S
S

?
a
n
.
a
n?1

有: ⑧项数为奇数
2n?1
的等差数列
?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n
(a
n
为中间项)

S

?S

?a
n

S

S

?
n
.
n?1
2


2. 等比数列的定义与性质
(1)定义:
a
n?1
a
?q

q
为常数,
q?0
),
n
通 项公式:
a
n
?a
1
q
n?1
.

(2)等比中项:
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy
, 或
G??xy
.

?
na
1
(q?1)
( 3)前
n
项和:
S
?
n
?
?
?
a
n
1
?
1?q
?
?
1?q
(q?1)(要注意!)
(4)性质:
?
a
n
?
是等比数列
①任意两项间的关系:a
m
=a
n
. q
m

n
(m、n∈N
?
).
②若
m ?n?p?q
,则
a
m
·a
n
?a
p
·a
q


S
n
,S
2n
?S
n,S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列,公比为
q
n
.
注意:由
S
n

a
n
时应注意什么?
n?1
时,
a
1
?S
1

n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
.

3.求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
如:数列
?
a
111
n
?

2
a
1
?
22
a
2
?……?
2
n
a
n
?2n?5
,求
a
n

解 :
n?1
时,
1
2
a
1
?2?1?5
,∴
a
1
?14

n?2
时,
1
2
a?
11
1
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n? 1?5

①—②得:
1
2< br>n
a
n?1
?
14(n?1)
n
?2
,∴< br>a
n
?2
,∴
a
n
?
?
?
2
n?1
(n?2)

[练习]数列
?
a
5
n
?
满足
S
n
?S
n?1
?
3
a
n?1
,a
1
?4
,求
a
n

注意到
a
S
n?1
n?1
?S
n?1
?S
n
,代入得
S
?4

S
1
?4
,∴
?
S
n
?
是等比数列,
n

n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n ?1





S
n
?4
n


(2)叠乘法
a
n
如:数列
?
a
n
?
中,
a
1
?3,
n?1
?
,求
a
n

a
n
n?1
解:
3
a
a
1
a< br>2
a
3
12n?1
,∴
n
?

a< br>1
?3
,∴
a
n
?
·……
n
?·… …
n
.
a
1
n
a
1
a
2
a
n?1
23n
(3)等差型递推公式

a
n
?a
n?1
?f(n),a
1
?a
0
,求
a
n
,用迭加法
?
a
3
?a
2
?f(3)
?
?
n?2
时,
?
两边相加得
a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?
a
2
?a
1
?f(2)

a
n
?a
0
?f( 2)?f(3)?……?f(n)

[练习]数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,a
n
?3
(4)等比型递推公式
n?1
?a
n?1
?
n?2
?
,求
an

a
n
?
1
n
?
3?1
?
2

a
n
?ca
n?1
?d

c、d
为常数,
c?0,c?1,d?0

可转化为等比数列,设
a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?
?an
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x
< br>令
(c?1)x?d
,∴
x?
d
d
d
??< br>a?,c
为公比的等比数列 ,∴
?
a
n
?
是首项为
?
1
c?1
c?1
c?1
??

a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n?1
d
??
,∴
?
?
a
1
?·ca?a?c?
n??
1
?
c?1
?
c?1
?
c?1c?1??
(5)倒数法
如:
a
1
?1,a
n?1
?
2a
n
,求
a
n

a
n
?2< br>由已知得:
a?2
111111
?
n
??
,∴
??

a
n?1
2a
n
2a
n
a
n?1
a
n
2
?
1
?
1
1
11 1
·?
?
n?1
?
, ∴
??
为等差数列,
?1
,公差为,∴
?1?
?
n?1
?
2
a
1
a
n
22
?
a
n
?

an
?
2
n?1

(附:公式法、利用
a
n?
?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n?1
?pan
?q

a
n?1
?pa
n
?f(n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、


换元法)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1)公式法

(2)裂项相消法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列,求
?
1

aa
k?1
kk?1
n
解:由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?< br>
a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
?
111
?
11
?
1
?
?11
?
?
11
?
1
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?
aadaadaaaaaa
k?1
kk?1
k?1
k?1?
2
?
3
?
n?1
?
?
?
k
?
2
?
n
?
?
1
1
?
1 1
?
?
?
?
?

d
?
a
1
a
n?1
?
[练习]求和:
1?
111
??…… ?

1?21?2?31?2?3?……?n
1
a
n
?…… ?……,S
n
?2?

n?1
(3)错位相减法

?
a
n
?
为等差数列,
?
b
n
?
为等比数列,求数列
?
a
n
b
n
?
(差比数列) 前
n
项和,可

S
n
?qS
n
,求
S
n
,其中
q

?
b
n
?
的公 比.
如:
S
n
?1?2x?3x
2
?4x
3< br>?……?nx
n?1



x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1
?nx
n< br>
①—②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x< br>2
?……?x
n?1
?nx
n

x?1
时,
S
n

1?x
?
nx
?
??
n
?
1?x
?
2< br>n
?
n?1
?

x?1
时,
S
n< br>?1?2?3?……?n?

2
1?x
n
(4)分组求和法
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类
数列 适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
(5)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

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