高中数学数列知识点整理

数列
1
、数列中



n
a
n
与

S
n
之间的关系：
, (n 1)
n 1

1
a
S
S
n
注意通项能否合并。
S ,( n 2).
2、等差数列：
⑴定义： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 即
a
－
a
n 1

n
=d ，（n≥ 2，n∈N ），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
⑶通项公式：

a
n
a、 A、 b
成等差数列

a b

A
2
a
1
(n 1)d a
m
(n m)d
或
a
n
⑷
前

n
项和公式：
pn q ( p、q是常数） .

n a a
1 n
n n 1
S
n
na
1
d
2 2
⑸常用性质：
①
若

m n p q m, n, p,q N
，则

a
m
a
,
a
k
a
,
a
,
a
p
a
；
q n
②下标为等差数列的项
，仍组成等差数列；
k m k 2m
③数列
a
n
b
（
,b
为常数）仍为等差数列；
④
若

{a }
、

{b
n
}
是等差数列，则
n
*
{ ka
n
}
、
{ ka
n
pb
n
}
(
k
、

p
是非零常数

)、
{a
p nq
}( p,q N )
、，? 也成等差数列。
⑤单调性：

a
的公差为
d
，则：
n



ⅰ）
d
ⅱ）
d
ⅲ）
d
0
0
0
a
为递增数列；

n
a
为递减数列；

n
a
为常数列；

n
a
n
pn q
（ p,q 是常数）
，则 、 、
⑥数列 {
a
n
} 为等差数列
⑦若等差数列

a
n
的前

n
项和

S
n
S
k
S
2k
S
k
S
3k
?
S
2k

是等差数列。
3、等比数列
⑴定义： 如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数

列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数
a、G、b
成等比数列
G
2
ab,
（
ab
同号）。 反之不一定成立。

⑶通项公式：

n 1 n m
a
n
a q
1
a q
m

n
⑷
前

n
项和公式：


S
n
a
1
1 q
1 q
a
1
a q
n
1 q
⑸常用性质
①
若

m n p q m, n, p,q N
，则

a a
,
为等比数列，公比为

m
k
a a
；
p q n
②
k
,a ,a
k m
a
k 2m
q
(下标成等差数列 ,则对应的项成等比数列 )
③数列

a
（
n
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的等比数列；正项等比数列


a
；则
n
lg a
n
是公差为
lg q
的等差 数列；
④若

a
是等比数列，则
n

2
n n

1
n

ca ，a ，
a

2
，

a
r
(r Z)
是等比数列，公比依次是
n
.

r
q q q
， ， ，
q
1
⑤单调性：
a
1
0,q 1或a
1
0,0 q 1
为递减数列；
a
n
为递增数列；
a
1
0,0 q 1或a
1
0,q 1 a
n

q 1
q 0
a
n
为常数列；
a
n
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列

a
n
的前

n
项和

S
n
，则
S
k
、
S
2k
S
k
、
S
3k
S
2k
? 是等比数列 .
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项， 求该数列的通项时， 一般对所给的项观察分析，
寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

n
类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前
公式


n

项和 与
S
n
a
的关系，求数列

a
n
n
的通项

a
n
可用
a
S
1
, (n 1)

S ,(n 2)
n 1
构造两式作差求解。
S
n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二
为一”，即

a
和

a
合为一个表达， （要先分
n 1
和
n
1 n
2
两种情况分别进行运算，然后验证
能否统一）。
类型Ⅲ累加法：
形如

a
n 1
a
n
f (n)
型的递推数列

（其中

f (n)
是关于

n
的函数）可

构造：

a
n
a
n 1
f (n 1)
f (n 2)
n 2
a
n 1
a
...
a

a
2 1
f

(1)
将上述
n 1
个式子两边分别相加，可得：
a
n
f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1) a ,( n 2)
1
①若
f (n)
是关于

n
② 若
f (n)
是关于
③若
f (n)
是关于

n
④若
f (n)
是关于

n
类型Ⅳ累乘法：
形如
a
n
;
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和
n
的指数函数，累加后可转化 为等比数列求和;
;
的二次函数，累加后可分组求和
.
的分式函数，累加后可裂项求和

1
a f (n)
n

a
n
1

型的递推数列 （其中
f (n)
是关于

n
的函数）

可构造：
( )
f n
a
n

a

n

f (n 1)
a
n
1


a
n
1
f (n 2)
a
n
2
...

a
2
a
1

f (1)
将上述
n 1
个式子两边分别相乘，可得：
a
n
f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1)a ,( n 2)
1
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如

a
n 1
pa
n
q
（其中

p,q
均为常数且

p 0
） 型的递推式：

（1）若
p 1
时，数列 {
a
}为等差数列

n

（2）若
q 0
时，数列 {

a
} 为等比数列
n

（3）若
p 1
且
q 0
时，数列 {
a
} 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比

n
数列来求 . 方法有如下两种：

法一：
a
设

1
p(a
n n
)
,
展开移项整理得
a
n 1
pa
n
( p 1)
, 与题设

q
a
n 1
q
,( p 0) a
n
1

q
p(a
n
pa
n
q
比较系数（待定系数法） 得
)
p 1 p 1

a
n
p 1
q

1
p
为首项，

以

q
p(a
n 1
q


, 即
a
n
)



q

构成以
a
p
1
1

p
为公比的等

p 1 p 1

比数列 . 再利用等比数列的通项公式求出

a
n
q

的通项整理可得

a .
p
1
a
1
n
n
a
n

p,
即
法二：
由

a
n

1

pa
n

q
得

a
n

pa
n

1

q(n 2)
两式相减并整理得
a
n
a
n 1

a
n 1
a
构成以

a
n
2
a
为首项，以

p
为公比的等比数列

. 求出
1

a
n 1
a
的通项再转化为
n
类型Ⅲ（累加法）
㈡形如

a
n
1

便可求出

a .
n
pa
n
f (n)
( p 1)
型的递推式 ：
⑴当
f (n)
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：
设
a An B p a
n
1

A(n 1) B
，通过待定系数法确定
n
A 、B
的值，转化
成以

a
1
A B
为首项，以

p
为公比的等比数列

a
n

An B
，再利用等比数列的通项公
式求出

a
n

An B
的通项整理可得
a
n
.
1

法二：
当
f (n)
的公差为
d
时，由递推式得：

a
n
pa
n
f (n)
，
a
n

pb
pa
n

1

f (n 1)
两式相减得：

a
1
n
a
n
p a
(
n
a
1

d
，令

b
)
n
a
n 1
a
得：

b
n n
d
转化为 类型
n 1
n
Ⅴ㈠ 求出

b
，再用 类型Ⅲ（累加法） 便可求出
n
a
n

.
⑵当
f (n)
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：
设
a
n
f (n) p a
n 1
f (n 1)
，通过待定系数法确定
a
n

的值，转化成以
a
1
f
为首项，以

p
为公比的等比数列

(1)
a
a
n
n
f (n)
，再利用等比数列的通项公式求
出

f (n)
的通项整理可得

.

法二：
当
f (n)
的公比为

q
时，由递推式得：

a
1


n
pa
n
f (n)
— —
①，
a
n
pa
n
1

f (n 1)
，两以

q

边同时乘
得

a
n

q pqa
n

1

qf (n 1)
— — ② ，由①②两式相

减得
a
n


1

a q p(a
n n
qa
1
)
，即
n
a
n 1

qa
qa
n
n

1

a
n

p
，在转化为

类型
Ⅴ
㈠

便可求出

a .
n

法三：
递推公式为

n n
1
a
n 1
pa
n
q
（其中 p，q 均为常数） 或
a
n
pa
n
rq
（其中 p，
n
n
q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以

n 1
q
1

a
n
，得：
n
1
1
p a

1

，引入
q

q

q

q
辅助数列

b
n
（其中

a
n
n
n

），得：
b
q
b
n
1
p
b
n

q
再应用 类型Ⅴ㈠ 的方法解决。
q
⑶当
f (n)
为任意数列时，可用 通法：

在
a
n

1
pa
n
f (n)
两边同时除以
p
可得到
n 1

a
n 1
n 1
a
n
n

f (n)

a
，令
n
n 1 n

b
，则
n

p

p p
n
p
p b
.
n
b
n 1
b
n
f (n)

，在转化为 类型Ⅲ（累加法） ，求出
b
n
之后得

a
n 1
n
p
类型Ⅵ
形如


对数变换法：
q
a
n
1
pa ( p 0,a
n
q
0)
型的递推式：
两边取对数得

lg a
n 1
在原递推式

a
n 1
pa
qlg a
n
lg p
，令

b
n
lg a
n
得：

b

b
n
1
qb
n
lg p
，化归为
a
n 1
pa
n
q
型，求出


b
之后得
a
n n
10 .
（注意：底数不一定
n
要取 10，可根据题意选择） 。
类型Ⅶ
形如

a
n 1

倒数变换法：
a
n

pa a
（

p
为常数且
p 0
）

的递推式：

两边同除于

a
n 1
a
n
，转化为
n 1 n

1
a
n
1

a
n
1

形式，化归为
a
n 1
p


pa
n
q
型求出

1
a
n
的表达式，再求

1
a
n 1

a
；
n
还有形如

a
n
ma
n
n

1
的递推式， 也可采用取倒数方法转化成
m 1
q a
n
m

形式， 化归为
p
pa q
n

a
n 1
n
型求出
1

的表达式，再求

a
.
pa q
a
n
类型Ⅷ
a
n
2
形如

pa
n 1
qa
n
型的递推式：
{a
n
a }
的形式求解。方法为：设

n 1
用待定系数法，化为特殊数列
a
n
2
ka
n 1
h(a
n
1
ka )
，比较系数得

h k
n
p, hk q
，可解得
h 、k
，于是

{a
n
1
ka
n
}
是公比为
h
的等比数列，这样就化归为
a
n 1
pa
n
q
型。

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解， 对不能转化为以上方法
求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a .
n
5、非等差、等比数列前
⑴错位相减法
n
项和公式的求法


①若数列

a
为等差数列， 数列
n
b
n
为等比数列， 则数列
a
n
b
n
的求和就要采用此法 .
b
n
的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
②将数列
a
n
b
n
的每一项分别乘以
a b
n n
n
项和
.
的前

此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法
.
⑵裂项相消法

一般地，当数列的通项
a
n


( a,b ,b ,c为常数）
时，往往可将
(an b )( an b )
a
n

1 2
1 2
c

变成两项的差，采用裂项相消法求和
可用待定系数法进行裂项：

设

a
n

.
an b
1
an b
2

，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
c
b
2
，从而可得
b
1
c
=
(an b )( an b ) (b
1 2 2
c 1
(
b ) an b
1 1
1
).
an b
2
常见的拆项公式有：

①
；
n(n 1) n n 1
1
1 1 1

②
1 1 1
( );
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1

③
1
b
m
a
m 1
n
1

( a
a b
m
1
b);

④
C C
n
C
n
⑤
n n! (n 1)! n!.

⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开， 可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
②由通项公式确定如何分组
⑷倒序相加法

如果一个数列

a
，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒
.一般分两步：①找通向项公式
.
n
着写的两个和式相加，就得到了一 个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
a
1
a
n
a
2
a
n 1
...
⑸记住常见数列的前
n
项和：

①

n(n 1)
1 2 3 ... n
2
②

2
1 3 5 ... (2n 1) n
③

2 2 2 2
1
1 2 3 ... n n(n 1)(2 n 1).
6