2019_2020学年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修2_3

3．2 独立性检验的基本思想及其初步应用
1.了解分类变量的意义． 2.了解2×2列联表的意义． 3.了解随机变量
K
的意义．
4．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．

2
,

1．分类变量和列联表
(1)分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表
①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．
②2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量
X
和
Y
，它们的取值分别为{
x
1
，
x
2
}和{
y
1
，
y2
}，其样本频数列
联表(也称为2×2列联表)为下表．


x
1

x
2

总计



(1)列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，现阶段我们仅限于研究两个分类变量
的 列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2×2列联表．
(2)列联表有助于直观地观测数据之间的关系．
2．等高条形图
(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影 响，常用等高条
形图展示列联表数据的频率特征．
(2)观察等高条形图发现
3．独立性检验
(1)定义
利用随机变量
K
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
2
y
1

a
c
a
＋
c
y
2

b
d
b
＋
d
总计
a
＋
b

c
＋
d

a
＋
b
＋
c
＋
d

a
a
＋
bc
＋
d
和
c
相差很大，就判断两个分类变量之 间有关系．

1

n
（
ad
－
b c
）
2
(2)
K
＝，
（
a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a
＋
c
）（b
＋
d
）
2
其中
n
＝
a
＋< br>b
＋
c
＋
d
为样本容量．
(3)独立性检验的具体做法
①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯 错误概率的上界α，然后
查表确定临界值
k
0
.
②利用公式计算随机变量
K
的观测值
k
.
③如果
k
≥
k
0
，就推断“
X
与
Y
有关系”，这 种推断犯错误的概率不超过α，否则，就认为
在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“
X< br>与
Y
有关系”，或者在样本数据中没有发
现足够证据支持结论“
X与
Y
有关系”．

独立性检验的基本思想与反证法的思想的相似之处

反证法

要证明结论
A
在
A
不成立的前提下进行推理

独立性检验
要确认“两个分类变量有关系”
假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”< br>成立，在该假设下计算
K

2
2


判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)列联表中的数据是两个分类变量的频数．( )
(2)对事件
A
与
B
的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( )
(3)
K
的大小是判断事件
A
与
B
是否相关的 统计量．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
某校为了检验高中数学新课程改 革的成果，在两个班进行教学方式对比试验，两个月后
进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2× 2列联表所示(单位：人)，则其中
m
＝
________，
n
＝_ _______．
2



试验班

对照班

总计

答案：26 100

2
80分及80分以上

32

24

56

80分以下

18

总计
50
50
m
44
n

若两个分类变量
X
和
Y
的2×2列联表为：


x
1

x
2

y
1

5

40

y
2

15
10
则
X
与
Y
之间有关系的可信度为________．
解析：
K
2
的观测值
k
≈18.8>10.828.
故有99.9%的把握认为
X
与
Y
有关系．
答案：99.9%

3

探究点1 等高条形图的应用
为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作
尿棕色素定性检查，结果如下：
组别

铅中毒病人

对照组

总计

阳性数

29

9

38

阴性数

7

28

35

总计
36
37
73
试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒
病人 与尿棕色素为阳性是否有关系？
【解】 等高条形图如图所示：

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．
由图可以直 观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中
毒病人与尿棕色素为阳性 有关系．

(1)判断两个分类变量是否有关系的两种常用方法
①利用数形结合思 想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见
方法．
②一般地，在 等高条形图中，
a
a
＋
bc
＋
d
与
c相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．
(2)利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤

研究人员选取17 0名青年男女大学生，对他们进行一种心理测验．发现60
名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应 是：作肯定的有18名，否定的有42名.110
名男生在相同的题目上作肯定的有22名，否定的有8 8名．试判断性别与态度之间是否有关
系．

4

解：根据题目所给数据建立如下列联表：


女生

男生

总计

相应的等高条形图如图所示．
肯定

18

22

40

否定

42

88

130

总计
60
110
170

比较来看，女生中肯定的人数比要高于男生中肯定的人数 比，因此可以在某种程度上认为性
别与态度之间有关．
探究点2 独立性检验
某 新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机
调查了观看该节目的观众 110名，得到如下的列联表：


喜爱

不喜爱

总计

女

40

20

60

男

20

30

50

总计
60
50
110
试根据样本估 计总体的思想，估计约有多大的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”，并
说明理由．
参考附表：

P
(
K
2
≥
k
)

k
2
0.050

3.841

0.010

6.635

0.001
10.828
n
（
a d
－
bc
）
2
(参考公式：
K
＝，其中
n
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
)
（
a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a＋
c
）（
b
＋
d
）
【解】 假设喜爱《开门大吉》节目与否和性别无关．

5

110×（40 ×30－20×20）
2
K
的观测值
k
＝≈7.8>6.635，< br>P
(
K
≥6.635)≈0.01，
60×50×60×50
2
2
所以有99%以上的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．

解决独立性检验问题的基本步骤
(1)根据已知的数据作出列联表．
(2)作出相应的等高条形图，可以利用图形做出相应判断．
(3)求
K
的观测值．
(4)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小．
为了研究学生选报文 、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名
高一在校生，调查结果如下：理科对外语有兴趣 的有138人，无兴趣的有98人，文科对外
语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报 文、理科与对外语的兴趣是否有关？
解：问题是判断学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关．列出2×2列联表如下：
2


有兴趣

无兴趣

总计

2
理

138

98

236

文

73

52

125

2
总计
211
150
361
361×（138×5 2－73×98）
－4
由公式得
K
的观测值
k
＝≈1.87 1×10.
236×125×211×150
因为1.871×10<2.706，故可以认 为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．
探究点3 独立性检验的综合应用
(2017 ·高考全国卷Ⅱ节选)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量
对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布
直方图如下：
－4

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记
A
表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新
养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计
A
的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：


6

旧养殖法

新养殖法

附：

箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg




P
(
K
2
≥
k
)

k
2
0.050

3.841

0.010

6.635

0.001
10.828
n
（
ad
－
bc
）
2
K
＝. < br>（
a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a
＋
c
）（
b
＋
d
）
【解】 (1)记
B
表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，
C
表示事件“新养殖法的箱产
量不低于50 kg”．
由题意知< br>P
(
A
)＝
P
(
BC
)＝
P
(
B
)
P
(
C
)．
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故
P
(
B
)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为
(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故
P
(
C
)的估计值为0.66.
因此，事件
A
的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表


旧养殖法

新养殖法

2
2
箱产量<50 kg

62

34

箱产量≥50 kg
38
66
200×（62×66－34×38）
K
＝≈15.705.
100×10 0×96×104
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

两个分类变量相关关系的判断
(1)等高条形图法：在等高条形图中，可以估计满 足条件
X
＝
x
1
的个体中具有
Y
＝
y1
的个体所
占的比例
a
a
＋
b
，也可以估计满 足条件
X
＝
x
2
的个体中具有
Y
＝
y1
的个体所占的比例
c
c
＋
d
.两个
比例的值 相差越大，
X
与
Y
有关系成立的可能性就越大．
(2)观测值法： 通过2×2列联表，先计算
K
的观测值
k
，然后借助
k
的含 义判断“两个分类
变量有关系”这一结论成立的可信程度．

7
2

某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测
等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为
A
模式，少 数学生
参与的为
B
模式，多数学生参与的为
C
模式，
A，
B
，
C
三类课的节数比例为3∶2∶1.
(1)为便于研究 分析，教育专家将
A
模式称为传统课堂模式，
B
，
C
统称为 新课堂模式，根据
随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2 列联
表(单位：节)


新课堂模式

传统课堂模式

总计

高效

60

40

100

非高效

30

50

80

总计
90
90
180
请根据统计数据回答：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为课堂教学效率与教学
模 式有关？并说明理由．
(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为 样本进行研究，并
从样本中的
B
模式和
C
模式课堂中随机抽取2节课 ，求至少有一节课为
C
模式课堂的概率．
参考临界值有：

P
(
K
2
≥
k
0
)

k
0

2
0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001
10.828 < br>n
（
ad
－
bc
）
2
参考公式：
K
＝，
（
a
＋
b
）（
c
＋
d）（
a
＋
c
）（
b
＋
d
）
其 中
n
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
.
180×（60×50－40×30）
解：(1)由列联表中的统计数据计算随机变量K
的观测值
k
＝＝9
100×80×90×90
2
2< br>＞6.635，
由临界值表
P
(
K
≥6.635)≈0.010，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为课堂效率与教学模式有关．
(2)样本中的
B
模式课堂和
C
模式课堂分别是4节和2节． 从中任取两节有C
6
＝15种取法，其中至少有一节课为
C
模式课堂取法 有C
6
－C
4
＝9种，
93
所以至少有一节课为
C
模式课堂的概率为＝.
155


1．对于分类变量
X
与
Y
的随机变量
K
的观测值
k
，下列说法正确的是( )
2
222
2

8

A．
k
越大，“
X
与
Y
有关系”的可信程度越小
B．
k
越小，“
X
与
Y
有关系”的可信程度越小
C．
k
越接近于0，“
X
与
Y
没有关系”的可信程 度越小
D．
k
越大，“
X
与
Y
没有关系”的可信程度越大
解析：选B.
k
越大，“
X
与
Y
没有关系”的可信 程度越小，则“
X
与
Y
有关系”的可信程度
越大；
k
越小，“
X
与
Y
有关系”的可信程度越小．
2．下面是调查某地 区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，
从图中可以看出( )

A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
解析：选 C.由图知女生中喜欢理科的比为20%，男生不喜欢理科的比为40%，故B、D不正
确．由图知，男 生比女生喜欢理科的可能性大些．
3．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好” ．下表是一次针对高三
文科学生的调查所得的数据．


数学成绩好

数学成绩不好

总计

(1)计算
a
，
b
，
c
的值；
(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
解：(1)由478＋
a
＝490，得
a
＝12.
由
a
＋24＝
c
，得
c
＝12＋24＝36. < br>由
b
＋
c
＝913，得
b
＝913－36＝877.
(2)计算随机变量
K
的观测值
913×（478×24－399×12）
k
＝≈6.233＞5.024，
490×423×877×36
2
2
总成绩好

478

399

总成绩不好

总计
490
423
913
a
24

b c

9

因为
P
(
K
≥5.024)≈0.025，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关
系．





知识结构

深化拓展
1.独立性检验基本思想的理解
(1)“
P
(
K
≥6.635)≈0.01”成立的前提是
H
0
成立．
(2)< br>P
(
K
≥6.635)近似为0.01，当样本容量
n
越大时 ，其近似程
度越大．
(3)
K
与
k
的关系并不是
k
＝
K
，
K
是一个随机变量，在
a
，
b< br>，
222
2
2
2

c
，
d
取不同的值时，
K
2
可能不同，而
k
是取定一组数
a，
b
，
c
，
d
后的一个值．
2．假设检验与反证法的关系
反证法

独立性检验
提出假设
H
0

在
H
0
成立的条件下进行推理
推出有利于
H
0< br>成立的小概率
事件发生，意味着
H
0
成立的
可能性小
推出有利于
H
0
成立的小概率

要证明结论
A
在
A
不成立的前提下进行

推出矛盾，意味着结论
A
成
立

没有找到矛盾，不能对
A
下
任何结论，即反证法不成立

事件不发生，接受原假设



10

,
[A 基础达标]
1．观察下列各图，其中两个分类变量
x
，
y
之间关系最强的是( )

解析：选D.在四幅图中，D图中两个深色条高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．
2．经过对
K
的统计量的研究，得到了若干个临界值，当
K
≤2.706时 ，我们认为事件
A
与
22
B
( )
A．有95%的把握认为
A
与
B
有关系
B．有99%的把握认为
A
与
B
有关系
C．没有充分理由说明事件
A
与
B
有关系
D．不能确定
解析：选C.当
K
>2.706时，有90%以上的把握说明
A
与< br>B
有关系，但当
K
≤2.706时，只能
说明
A
与< br>B
是否有关系的理由不够充分，故选C.
3．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间 的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，
通过问卷调查，得到以下数据：
22


课外阅读量较大

课外阅读量一般

总计

2
作文成绩优秀

22

8

30

作文成绩一般

10

20

30

总计
32
28
60
由以上数据，计 算得到
K
的观测值
k
≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
解析： 选D.根据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为
课外 阅读量大与作文成绩优秀有关．

11

4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查，所得数据如下表所示：


男生

女生

总计

认为作业量大

18

8

26

认为作业量不大

9

15

24

总计
27
23
50
则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过( )
A．0.01 B．0.025
C．0.10 D．无充分证据
50×（18×15－9×8）
解析：选B.因为
K
的观测值为
k
＝≈5.059＞5.024，所以认为作 业
27×23×26×24
2
2
量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不 超过0.025.
5．独立性检验所采用的思路是：要研究
X
，
Y
两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类
变量彼此________，在此假设下构造随机变量K
.如果
K
的观测值较大，那么在一定程度上
说明假设________ ．
解析：独立性检验的前提是假设两个分类变量无关系，然后通过随机变量
K
的观测 值来判
断假设是否成立．
答案：无关系 不成立
6．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若
K
的观测值< br>k
＞6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有
关系 ，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.0 1的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，
若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从 独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，
是指有5%的可 能性使得推断错误．
其中说法正确的是________．
解析：
K
是检 验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和
无关的概率，故说法①不正 确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；
说法③正确．
答案：③
7．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
2
2
2
22


男性患者


无效

15

有效

35

总计
50
12

女性患者

总计

6

21

2
44

79

50
100
设
H
0
：服用此药的效果与患者的性别无关 ，则
K
的观测值
k
≈________，从而得出结论：服
用此药的 效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
解析：由公式计算得
K
的观测值
k
≈4.882.
因为< br>k
>3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的< br>可能性为5%.
答案：4.882 5%
8．在调查的480名男性中有38名患有 色盲，520名女性中有6名患有色盲，请列出2×2
列联表，并估计色盲与性别是否有关系．
解：性别与色盲列联表
2


男

女

合计

色盲

38

6

44

不色盲

442

514

956

合计
480
520
1 000
3819
因为在调查的480名男性中，色盲占 ＝，
38＋442240
63
在调查的520名女性中，色盲占＝，
6＋514260
193
>，且两个比例的值相差较大，
240260
故估计色盲与性别有关系．
9．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩 是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生
一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在 30分以下的学生后，共有男生300
名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名 学生，按性别分为两组，并将
两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．

分数段

[40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
男

女

3

6

9

4

18

5

15

10

6

13

[90，
100]
9
2
(1)估计男、女生各自的平均分(同 一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数
学成绩与性别是否有关；
(2)规定 80分以上为优秀(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否在犯

13

错误的概率不超过0.1的前提下认为数学成绩与性别有关．


男生
女生
总计

优秀



非优秀



总计


100

解：(1)
x
男
＝45×0.05＋55×0.15＋65×0 .3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，
x
女
＝45× 0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5 ，
因为
x
男
＝
x
女
，所以从男、女生各自的平均 分来看，并不能判断数学成绩与性别是否有关．
(2)由频数分布表可知，在抽取的100名学生中， “男生组”中数学成绩优秀的有15人，“女
生组”中数学成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表 如下：


男生

女生

总计

可得
K
的观测值为
100×（15×25－15×45）25
k
＝＝≈1.79，
60×40 ×30×7014
因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超0.1的前提下不能认为数学成 绩与性别有关．
[B 能力提升]
10．某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成 绩优秀和非优秀的学生中，物理、化
学、总成绩优秀的人数如下表所示，能否在犯错误的概率不超过0. 001的前提下认为数学成
绩优秀与物理、化学、总成绩优秀有关系？
2
2
优秀

15

15

30

非优秀

45

25

70

总计
60
40
100


数学优秀

数学非优秀

物理优秀

228

143

化学优秀

225

156

总成绩优秀
267
99
注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．
解：列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下：


数学优秀

数学非优秀


物理优秀

228

143

物理非优秀

132

737

总计
360
880
14

总计

2
371

869

1 240
将表中数据代入公式，得
K
1
的观测值为
1 240×（228×737－132×143）
k
1
＝≈270.1>10.828.
360×880×371×869
列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下：
2


数学优秀

数学非优秀

总计

2
化学优秀

225

156

381

化学非优秀

135

724

859

总计
360
880
1 240
将表中数据代入公式，得
K
2
的观测值为
1 240×（225×724－156×135）
k
2
＝≈240.6>10.828.
360×880×381×859
列出数学成绩与总成绩的2×2列联表如下：
2


数学优秀

数学非优秀

总计

2
总成绩优秀

267

99

366

总成绩非优秀

93

781

874

总计
360
880
1 240
将表中数据代入公式，得
K
3
的观测值为
1 240×（267×781－93×99）
k
3
＝≈486.1>10.828. < br>360×880×366×874
由上面的分析知，
K
的观测值都大于10.8 28，说明在犯错误的概率不超过0.001的前提下
认为数学成绩优秀与物理、化学、总成绩优秀都有 关系．
11．(选做题)2018年春节，“抢红包”成为社会热议的话题之一．某机构对春节期间用 户
利用手机“抢红包”的情况进行调查，如果一天内抢红包的总次数超过10次为“关注点高”，
否则为“关注点低”，调查情况如下表所示：
2
2


男性用户

女性用户

总计

关注点高

关注点低

5
总计

8
16

7

10



(1)把上表补充完整，并判断能 否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高
低有关？

15 < /p>

(2)现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动，以
X
表示选中 的同学中抢红包总次
数超过10次的人数，求随机变量
X
的分布列及数学期望
E
(
X
)．
下面的临界值表供参考：

P
(
K
2
≥
k
0
)

k
0

0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001
10.828


K
2
＝
n
（
ad
－
bc
）
2
独立性检验统计量
（
a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a
＋
c
）（
b
＋
d
）
，其中
n
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d< br>.
解：(1)根据题意得2×2列联表如下：


关注点高

关注点低

总计
男性用户

3

5

8
女性用户

7

1

8
总计

10

6

16
2
K
2
的观测值为
k
＝
16×（3 ×1－7×5）
10×6×8×8
≈4.27>3.841.
所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关．
(2)随机变量
X
的所有可能取值为0，1，2，3.
0312
P
(
X
＝0)＝
C
3
C
5
5C
3< br>C
5
15
C
3
＝，
P
(
X
＝1)＝
3
＝
28
，
8
28C
8
213 0
P
(
X
＝2)＝
C
3
C
5
15 C
3
C
5
1
C
3
＝，
P
(
X
＝3)＝
C
3
＝.
8
56
8
56
得
X
的分布列为

X
0

1

2

3
P
515151
28

28

56

56

E
(
X
)＝0×
5
＋1×
15
＋2×
15
＋3×
1
＝
9
282856568
.





16

17