上海市华东师范大学第二附属中学2020届高三数学考试试题Word版含解析

上海市华东师范大学第二附属中学
2020
届

高三数学考试试题

一、填空题
1.设函数f（x）是奇函数，当x＜0时 ，f（x）=3
x
+x，则当x＞0时，f（x）=______
【答案】
【解析】
【分析】
设时，则，根据题意利用函数的奇偶性求得函数的解析式
时，则
，

函数
则

故答案为
是奇函数

，

【详解】设
当时，
【点睛】本题主要考查了解析式法表示函数，函数的奇偶性知识，转 化的解题方法，属于基础题。
2.已知函数
【答案】1
【解析】
【分析】
由反函数知识代入点坐标计算结果
【详解】
函数

解得
其反函数
经过点
图像经过点
，
，
，其反函数图像经过点（3,1），则实数m的值为______
故答案为
【点睛】本题主要考查的知识点是反函数，只需代入点坐标即可求出结果，属于基础题。
3. 设集合A=，B=，则“AB=R”是“a=1”的______条件（填写：充要条件、充分不必
要条 件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）

【答案】必要不充分条件
【解析】
【分析】
做出两个集合的并集是全体实数时，看出与之间的关系，得到的 取值范围，比较两个条件对应的范围，
看出两个范围的大小，得到
【详解】
当时，不一定得到
当



，
不能推出
，
，但可以推出
时一定可以得到
是“”的必要不充分条件
【点睛】本题主要 考查了集合关系中的参数取值问题以及必要条件，充分条件和充要条件的判断，熟练掌
握各自的定义是解 题的关键，属于基础题。
4.若关于
【答案】2
【解析】
关于
所以
的二元一次方程组
，解得
有无穷多组解，所以直线
，即的取值为，故答案为.
与直线重合，
的二元一次方程组有无穷多组解，则的取值为__________．
5.如图，在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中， ∠
ACB
＝90°，
AA
1
＝2，
AC
＝
BC
＝1，则异面直线
A
1
B
与
AC
所成角的余弦
值是________．

【答案】
【解析】
以
C
为坐标原点，

CA
，
CB
，
CC
1
所在直线分别为
x
轴、
y
轴、< br>z
轴建立空间直角坐标系，
A
1
(1,0,2)，
B
(0,1,0)，
A
(1,0,0)，
C
(0,0,0)，
则＝(－ 1,1，－2)，＝(－1,0,0)，cos〈，〉＝＝＝.
6.方程
【答案】
【解析】
【分析】

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______
焦点在轴上的椭圆的标准方程为
取值范围
【详解】方程
，其中，由此可得，解出即可得到实数的
表示焦点在轴上的椭圆，
满足， 该椭圆的标准方程为
解得
则的取值范围为
故答案为
【 点睛】本题已知椭圆是焦点在轴上椭圆，求参数的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，
属 于基础题。
7.如果数列
【答案】
【解析】
【分析】
由数列为递增数列，列出表达式求出取值范围
为递增数列，且

，则实数的取值范围______

【详解】数列
小值，故
为递增数列，则，即，当时取到最
【点睛】本题考查了数列的单调性，只要比较与的大小关系即可算出结 果，较为基础。
8.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的 选法共有
_____________种．（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】
分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3 人总共有多少种选法，
之后应用减法运算，求得结果.
详解：根据题意，没有女生入选有
从6名学生中任意选3人有
种选法，
种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共
有种，故答案是16.
点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是
得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出
有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
9.已知F是椭圆C：
其面积为______
【答案】4
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义，确定周长最小时的坐标，即可求出周长最小时该三角形的面积。
的右焦点，P是C上一点，A（-2，1），当△APF周长最小时，
【详解】
椭圆：，

设左交点为
周长为
，右焦点为


当且仅当
此时直线
故
故答案为
三点共线，即位于轴上方时，
的方程为代入

周长最小
中，可得
【点睛】本题主要考查的知识点是椭圆焦点三角形面积的求解，解答本题的关键是确定三角形面积最小时
点的坐标，进而求出直线方程，属于中档题。
10.在
【答案】3
【解析】
∵中，





中，角所对的边分别是，且，则的值为__________．
∴由正弦定理可得
∴
∴
∴
∴
故答案为3
11.若 二次函数f（x）=ax
2
+bx+c（a>0）在区间
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得，，，

上有两个不同的零点，则的取值范围为______
，化简整理，设，，可得，的不等式组，
作出可行域，根据平移法，可得所求范围
【详解】在区间上有两个不同的零点，

，即
设，，
即有，画出上式表示的可行域，由组成的图形，（包括线段，，不包括曲线）

由
当
即
故答案为
经过点

可得
，可得
的最小值为0

【点睛】本题主要考查了二次函数的性 质，运用数形结合，找出限制条件，将其转换为线性规划问题，然
后求出取值范围，有一定难度。 12.已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M
1
，M
2
，, M
15
，设m
1
，m
2
，，m
15
分别是 上述每
一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m
1
+m
2
++m
15
=_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项式定理的推导过程构造出函数
乘积。
【详解】集合的所有非空子集的乘积之和为函数
令，
展开式中所有项数之和
，当时，函数的值就是所有子集的

故答案为
【 点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思
想 的应用，属于难题。
二、选择题
13.函数的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：∵当
当
时，∴
时，∴
，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点， 所以排除A，
，所以排除B，
，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
视频

14.等差数列{}的前n项和为Sn，若公差d>0，（ -）（-）<0，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由分析可得
，又由
即可得到答案
【详解】根据题意，等差数列
即
为等差数列，
则有，

与
，
必有
故选
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，根据题意进行化简，注意化简过程中的计算问题。
15.已知D为三角形ABC的边AB上的一点，且
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用
【详解】
三点共线，可得
三点共线，
，
，经过比较即可得到答案

，则实数的值为（ ）
，，且，
异号
中，
，

的公差
，结合等差数列的性质可得
，分析可得，，且，

，解得
故选

【点睛】本题主要考查 的知识点是向量共线定理，平面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于
基础题。
16.已知函数
范围是（ ）
A. B. C. D.
，设aR，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值
【答案】A
【解析】
【分析】
画出分段函数的图像，然后讨论的取值范围
【详解】由已给的函数
可得
函数
的图象在直线
的解析式，
的左侧是抛物线
的图象向左平移
的图象，如图所示
，在直线的右侧是对勾函数的图象
个单位得到的 的图象是由函数
和
个单位或向右平移
在平面直角坐标系中画出

，
结合图象可知，关于的不等式在上恒成立

等价于⑴若，则，
由①可得
⑵若
⑶若
，由②可得，取交集可得
，可得

，只需
，由图象易知符合题意
综上，则的取值范围为
故选
【点睛】本题是一道关于分段函数和不等式的综合题目，在求解过程中先画出分段函数的图像，结合图像
讨论的取值，然后求解不等式，有一定难度。
三、解答题
17.如图所示，在边长为5＋的 长方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K
为切点，以扇形为圆锥的 侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

【答案】
【解析】

解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
由已知条件
解得r＝，l＝4，S
全面积
＝πrl＋πr
2
＝10π，h＝

18.已知函数.
＝，V＝πr
2
h＝．
(1)当
a
=0时,求不等式
f
(
x
)<1的解集

(2)若
f
(
x
)的的图象与
x
轴 围成的三角形面积大于,求
a
的取值范围
【答案】（1）
【解析】
试题分析：（1）代入
（2）由题设可得
的取值范围.
试题解析：
（1）当
当
当
当
时，化为.
时，不等式化为，分类讨论，即可求得不等式的解集；
，列出不是，即可求解实数
；（2）
的解析式，求解三角形顶点坐标，得到三角形的 面积
时，不等式化为
时，不等式化为
时，不等式化为
的解集为
，无解 ；
，解得
，解得
.
；
；
综上，
（2）由题设可得
所以
由题设
的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为
，且，解得
.

，，，该三角形的面积为
所以的取值范围是

19.已知函数
且y=g（x）在区间
（1）求m的值；
，将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，
内的最小值为
（2）在锐角三角形ABC中，若g（）=
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】

，求sinA+cosB的取值范围.

⑴根据二倍角公式化简，利用平移规律得出的解析式，根据最小值列方程求出
得出关于的函数，根据的范围，正弦函数的性质得出⑵根据条件求出，用表示出，化简
的范围
【详解】⑴


，
则
当
解得
⑵

时，

取得最小值，

,
，则
，即


是锐角三角形，

则，解得
，

即
的取值范围是
【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解以及解三角形中的取值范围问题 ，运用辅助角公式、两角
和的正弦公式进行化简，需要注意角的取值范围，有一定的计算量，属于中档题 。

20.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x =2py（p＞ 0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的
任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛 物线C的准线的距离为，过定点D（0，p）作直线
与抛物线C相交于A，B两点。
2
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点N是点D关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（3）是否存在垂 直于y轴的直线l，使得l被以AD为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；
若不存在， 说明理由.
【答案】（1）
【解析】
【分析】
⑴依题意可知，根据题意可知
，
，即可求出抛物线的方程
，设出直线的方程，与抛物线联立消去，根据韦达定理
时，面积有最小值，并且求出最小值
，
，由此可以求
（2） （3）
⑵依题意可知点的坐标，设求出和的表达式，代入三角形面积公式，可得当
，则以⑶假设满足条件的直线存在，其方程为
将直线方程
得答案
【详解】⑴抛物线：
圆心在线段的垂直平分线

的焦点
，
代入可得
为直径的圆的方程为
，则
，
抛物线的准线方程为
，即
抛物线的方程为
⑵依题意可知点的坐标为
设，，设直线

的方程为，

直线方程与联立去可得：
，
，

由韦达定理可得
当时，

面积有最小值
⑶假设满足条件的直线存在，其方程为
则以为直径的圆的方程为
，代入可得
，
，
，
，
将直线方程
设直线与以
则有
令，即
为直径的圆的交点为，

时，

为定值
则直线方程为
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的 求法，考查了满足条件的点是否存在的判断和求解，考查了综合运
用数学知识进行推理运算的能力和解决 问题的能力，一定要掌握解题方法。

21.设数列{an}的前n项和为Sn．若，则称{an}是“紧密数列”
（1）已知数列 {an}是“紧密数列”，其前5项依次为1、
（2）若数列{an}的前n项和Sn=
，求x 的取值范围
，判断{an}是否是“紧密数列”；并说明理由
（3）设数列{an}是公比 为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围.
【答案】（1）
【解析】
【分析】
⑴由数列新定义求出范围
（2）是 （3）

⑵由数列的与的关系式求出，代入
可得证
⑶ 先设公比是并判断出
化简后由的取值求出的范围，根据“紧密数列”的定义即
，由等比数列的通 项公式，前项和公式化简，，根据“紧密数列”的
定义列出不等式组，再求出公比的取值范围
【详解】⑴因为数列是“紧密数列”，则由题意得解得
⑵由可得：
，
两式相减可得
当时，取到最大值。
则，则成立
⑶由题意可得，等比数列的公比为
当时，，，
则
，
数列与都是“紧密数列”

，解得
当
则
时，
，
，

，满足“紧密数列”的条件，
故的取值范围为
【点睛】本题是新定义题，考查了数列的与的关系式，等比数列的通项公式， 前项和公式，解题的关
键是正确理解新定义并会应用，有一定难度。