高中数学基础知识大全(全国新课标版)

S?
1111
absinC?bcsinA?casinB
.③
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
2222
⑵切圆半径r=
2S
?ABC
； 外接圆直径2R=
sinA
a?b?c


a
?
bc
?
;

sinBsinC
第四部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式:
d
A,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
? y
1
)
，其中A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
.
2.向量的平行与垂直： 设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
①
a
∥
b
?
b
=λ
a
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0；
②
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a
·
b
=0
?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
.
3.a·b=|a||b|cos =x
1
x
2
+y
1
y
2
；
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的 投影；
②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
=
22
a?b
|a||b|
；
5.三点共线的 充要条件：P，A，B三点共线
?
OP?xOA?yOB且x?y?1
。

第五部分 数列
1．定义：
(1)等差数列｛a
n
｝?a
n?1
?a
n
?d(d为常数,n?N
?
）?a
n
?a
n?1
?d(n?2)
?2a
n
?a
n?1< br>?a
n?1
(n?2,n?N*)?a
n
?kn?b?S
n< br>?An
2
?Bn
⑵等比数列
｛a
n
}
?

a
n?1
2
?q< br>(
q?
0)
?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n
?
2,n
?
N
?
)

a
n
2．等差、等比数列性质：
等差数列 等比数列
n?1
通项公式
a
n
?
a
1
?(
n
?1)
d

a
n
?a
1
q

前n项和
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
n?na
1
?
d

2.q?1时，S?
a
1
(1?q)

n
221?q
?
a
1
?a
n
q
1?q
1.q ?1时，S
n
?na
1
;
性质 ①a
n
=a
m
+ (n－m)d, ①a
n
=a
m
q
n-m
;

②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q

③
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成GP
m
④a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m
,?< br>成AP,
d'?md
④
a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m
,?
成GP,
q'?q

3．常见数列通项的求法：
⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（
an
?1
?a
n
?c
n
型）；⑶公式法：
S
1
(n=1)

a
n
=
S
n
－S
n-1
(n≥2)
a
n?1?c
n
型）⑷累乘法（；⑸待定系数法（
a
n?1
?
k a
n
?
b
型）转化为
a
n?1
?x?k
(
a
n
?x
)

a
n
（6）间接法（例如：
a
n?1
?a
n
?4a
n
a
n?1
?
11
??
4
）；（7）（理科）数学归纳法。
a
n< br>a
n?1
4．前
n
项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项 法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴
S
n
最大值
?
?
a
n
?0
?
?
a?0
?
?< br>或S
n
最小值
?
n
?
；⑵利用二次函数的图象与性质。
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
第六部分 不等式
a?ba
2
?b
2
1．均值不等式：
ab??
(
a
,
b?
0)

22
a?b< br>2
a
2
?b
2
)?
(
a
,
b?R
)
。
注意：①一正二定三相等；②变形：
ab?(
222．极值定理：已知
x,y
都是正数，则有：
(1)如果积
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时和
x?y
有最小值
2 p
；
(2)如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x? y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
4
3.解一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
:若
a?0
,则对于解集不是全集或空集时,对应的
解集为“大两边，小中间”.如:当
x
1
?x
2
,
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x
1
?x?x
2
；
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x?x
2
或x? x
1
.
4.含有绝对值的不等式：当
a?0
时，有：①
x ?a?x?a??a?x?a
；
22
22
②
x?a?x?a?x?a
或
x??a
.
5*.分式不等式： < br>（1）
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
； （2）
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
；
g
?
x
?
g
?
x< br>?
（3）
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
?
f
?
x
?
?g
?< br>x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
； （4）.
?0?
?
?0?
?
????
gx?0gx?0
??
g
?
x
?
gx
??
6*.指数不等式与对数不等式

(1)当
a?1
时,a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?0
?
? f(x)?g(x)
；
log
a
f(x)?log
a
g(x )?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
；
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f( x)
?a
g(x)
3．不等式的性质：
⑴
a?b?b?a
；⑵
a?b,b?c?a?c
；⑶
a?b?a?c?b?c
；
a?b ,c?d

?a?c?b?d
；⑷
a?b,c?0?ac?bd
；< br>a?b,c?0?ac?bc
；
a?b?0,
c?d?0

? ac?bd
;⑸
a?b?0?a
n
?b
n
?0(n?N?
)
;⑹
a?b?0?
n
a?
n
b
(
n?N
?
)


第七部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
A?B
；
⑵事件A与事件B相等：若
A?B,B?A
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
A?B
（或
A ?B
）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
A?B
（或
AB
） ；
⑸事件A与事件B互斥：若
A?B
为不 可能事件（
A?B?
?
），则事件A与互斥；
⑹对立事件：
A?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑵古典概型：
P(A)?
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
构成事件A的区域长度（面积或体积等）
；
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

⑶几何概型：
P(A)?
第八部分 统计与统计案例
1．抽样方法：
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步 骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
n

N
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频 率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两
位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，< br>它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3．总体特征数的估计：
n
⑴样本平均数
x?
1
(x1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
；
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x )
2
?????(x
n
?x)
2
]
?
1< br>?
(x
i
?x)
2
；
n
n
i? 1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)2
]
=
1
(x?x)
2

?
i
n
n
i?1

第九部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止框）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r =0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质数 n是质数 i=i+1
i=2
i
?
n或r=0? 否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：
⑴输入语句 INPUT “提示容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语
句：① ②
IF 条件THEN IF条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件


新课标数学部分公式及结论
n
2.从集合
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
?
到集 合
B?
?
b
1
,b
2
,b
3
,? ??,b
m
?
的映射有
m
个.
3.函数的的单调性：
(1)设
x
1
,x
2
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0< br>?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)
为减函数.
4*.函数
y?f(x)
的图象的对称性:
①
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f( x)
；
②
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?x)?f(b?x)
?f(a?b?x)?f(x)
；
2
③
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?f
?
x
?
??f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?0
，

y?f(x)
的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
x
?
?2b?f
?
2a?x
?
?f
?< br>a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原
点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
nn?1
7．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x ??a
0
的奇偶性：
多项式函数
P(x)
是奇函数
?P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是 偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8. 若将函数< br>y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；
9. 几个常见的函数方程：
(1)正比例 函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f
(
x
)
?a
,
f(x? y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
x
(3)对数函数
f
(
x
)
?
log
a
x
,
f(xy)?f (x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
?
(4)幂函数
f (x)
?
x
,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
'
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)? sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，f(0)=1.
10*.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a； （2）
f(x?a)??f(x)
，或
f(x?a)?
则
f(x )
的周期T=2a；
11.①等差数列
?
a
n
?
的通项公式:
a
n
?a
1
?
?
n?1
?< br>d
,或
a
n
?a
m
?(n?m)d
?d?< br>②前n项和公式:
s
n
?
1
1
(
f
(
x
)
?
0)
，或
f(x?a)??
(f(x) ?0)
,
f(x)
f(x)
a
n
?a
m
.
n?m
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222< br>12.设数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
奇< br>是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的 和，则
①前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
； ②当n为偶数时，
S
偶
?S
奇
?
n
d
，其中d为公差；
2
③当n为奇数时，则
S
奇
?S
偶?a
中
，
S
奇
?

S
n?1n?1< br>n?1
a
中
，
S
偶
?a
中
，
奇
?
，
22
S
偶
n?1
S?S
偶S
n
?
奇
?n
（其中
a
中
是等差数列 的中间一项）
S
奇
?S
偶
S
奇
?S
偶< br>13.若等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和分别为
S
2n?1
和 < br>T
2n?1
，则
a
n
S
2n?1
?
.
b
n
T
2n?1
2
14.数列
?
a< br>n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N*
，那么（
S
2k
?S
k
）=
S
k< br>·
S
3k
?S
2k
.

15.分期付款(按揭贷款)：
ab(1?b)
n
每次还 款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b< br>).
(1?b)
n
?1
16.裂项法：①
11
?< br>11
?
111
??
?
?
??
； ②
?
；
?
2n?1
??
2n?1
?
2< br>?
2n?12n?1
?
n
?
n?1
?
nn? 1
③
1
a?b
?
1
a?b
?
a?b

；④
?
n11
??
.
?
n?1
?
!n !
?
n?1
?
!
17*．常见三角不等式:
（1）若
x?
(0,
(2) 若x?
(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
?
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
18.正弦、余弦的诱导公式：
nn
??
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,n为偶数
?
( ?1)
2
cos
?
,n为偶数
sin(?
?
)?< br>?
?
?
)?
?
；
cos(
.
n? 1n?1
22
?
(?1)
2
cos
?
,n为奇数< br>?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数
??
即: “奇变偶不变,符号看象限”.如
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
??
?
?
??cos
?
.
2
?
1?t an
2
?
2tan
?
2tan
?
cos2
?
?
19*.万能公式:
sin2
?
?
；；（正切倍角公式 ）.
tan2
?
?
2
22
1?tan
?
1?tan
?
1?tan
?
20*.半角公式:
tan
?< br>2
?
sin
?
1?cos
?
.
?
1?cos
?
sin
?
21.三角函数变换:
①相位变换:
y?sinx
的图象
???????????
y?sin
?
x?
?
?
的图象；
向左
?
?
?0< br>?
或向右
?
?
?0
?
平移
?
个单位
???
y?sin
?
x
的图象；
②周期变换:
y ?sinx
的图象
???????????
?
③振幅变换:
y?si nx
的图象
?????????????
y?Asinx
的图象.
22.在△ABC中，有
①
A?B?C?
?
?C?
??
(
A?B
)
?
纵坐标伸长
?
A?1
?
或缩短
?
0?A?1
?
到原来的A倍
1
横坐标伸 长
?
0?
?
?1
?
或缩短
?
?
? 1
?
到原来的倍
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
；
??
222
②
a?b?sinA?sinB（注意是在
?ABC
中）.
24.若
OA?xOB?yOB
， 则
A
、
B
、
C
共线的等价条件是
x?y?1
.
25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则其重心的坐标是G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33

28*. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则：
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的心
?a OA?bOB?cOC?0
.
29.常用不等式：
222
a
2< br>?b
2
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
?ab?
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
22
a?b
?
a? b
?
(2)
a,b
?
R
?
?ab
?ab?
??
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
?
2
?
?
2
a?ba
2
?b
2
?ab??(a?0,b?0)< br>. (5)
11
22
?
ab
1
（6）柯西不等式：
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

22222