高一数学上册基础知识点总结

数学必修一基础要点归纳
第一章 集合与函数的概念

一、集合的概念与运算：
1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性 、无序性；集合的表示法
有：列举法、描述法、文氏图等。
2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。
②数集：
yy?x?2
点集：?
2
?
?
?
x,y
?
x?y?1
?< br>
3、子集与真子集：若
x?A
则
x?B
?
A?B
若
A?B
但A
?
B
?
AB
若
A?
?
a
1
，a
2
，a
3
,< br> 4、集合的运算：①
A
②
A
a
n
?
，则它的子集个数为
2
n
个
B?
?
xx?A且x?B
?
，若
AB?A
则
A?B

B?
?
xx?A或x?B
?
，若
AB? A
则
B?A

③
C
U
A?xx?U但x?A

5、映射：对于集合A中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B中都有唯一的元素b与之
对应， 则称
f:A?B为A到的映射
，其中a叫做b的原象，b叫a的象。
??
二、函数的概念及函数的性质：
1、函数的概念：对于非空的数集A与B，我 们称映射
f:A?B
为函数，记作
y?f
?
x
?
，
其中
x?A,y?B
,集合A即是函数的定义域，值域是B的子集。定义域、值域、对 应法
则称为函数的三要素。
2、 函数的性质：
⑴ 定义域：
1
简单函数的定义域：使函数有意义的x的取值范围，例：
0
?
2x?5?0
5
lg(3?x)
y?
的定义域为：
?
??x?3

3?x?0
2
2x?5
?

2
复合函数的定义域：若
y?f
?
x
?
的定义域 为
x?
?
a,b
?
，则复合函数
0

y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
的定义域为不等式
a?g
?
x
?
?b
的解集。

3
实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
0

⑵ 值域：
1
0
利用函数的单调性：
y?x?
p
(p?o)

y?2x
2
?ax?3
?
x?
?
?2,3
?
?

x

2
0
利用换元法：
y?2x?1?3x

y?3x?1?x
2
?2


3
数形结合法
y?x?2?x?5

⑶ 单调性：
1
0
明确基本初等函数的单调性：
y?ax?b

y?ax?bx?c

y?
（
k?0
）

y?a
x
?
a?0且a?1
?

y?log
a
x
?
a?0且a?1
?

y?x
n
?
n?R
?


2
0
定义：对
?x
1
?D,x
2
?D< br>且
x
1
?x
2

若满足
f
?< br>x
1
?
?f
?
x
2
?
，则
f
?
x
?
在D上单调递增
若满足
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，则
f
?
x
?
在D上单调递减。
⑷ 奇偶性：
1
0
定义：
f
?
x
?
的定义域关于原点对称，若满足
f
?
?x
?
＝－
f
?
x
?
――奇函数
若满足
f
?
?x
?
＝
f
?
x
?< br>――偶函数。

2
0
特点: 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
若
f
?
x
?
为奇函数且定义域包括0，则
f
?0
?
?0

若
f< br>?
x
?
为偶函数，则有
f
?
x
?
? f
0
（5）对称性：
1

y?ax?bx?c
的图像关于直 线
x??
0
2
2
0
k
x
?
x?

b
对称；
2a

2
若
f
?
x
?
满足
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
x?
?f
?
2a?x
?
，则
f
?
x?
的图像
关于直线
x?a
对称。

3
函数
y?
f
0
?
x?a
?
的图像关于直线
x?a
对称。

第二章 基本初等函数
一、指数及指数函数：
1、指数：
a
m
?a
n
?a
m?n

a
m

a
n
＝
a
m?n

?
a
m
?
?a
mn

n

n
a?a

a
0
?1
?
a?0
?

m
x
m
n
2、指数函数：①定义：
y?a(a0,a?1)

②图象和性质：a＞1时，
x?R,y?(0,??)
，在R上递增，过定点（0，1）
0＜a＜1时，
x?R,y?(0,??)
，在R上递减，过定点（0，1）
例如：
y?3
x?2
?3
的图像过定点（2，4）
二、对数及对数函数：
b

1、对数及运算：
a?N?log
a
N?b

log
a
1?0,log
a
a?1

a
log
a
N
?N


l og
a
?
mn
?
?log
a
m?log
a
n

log
a
m
?log
a
m?lo g
a
n

log
a
m
n
?nlog
a
m

n

log
a
b?
log
c
a

log
a
b
＞0 (0＜a，b＜1或a,b＞1)
log
c
b

log
a
b
＜0 (0＜a＜1, b＞1,或a＞1，0＜b＜1)
2、对数函数：
①定义：
y?log
a
x
?
a?0且a?1
?
与
y?a(a?0,a?1)
互为反函数。
x
②图像和性质：
1
a＞1时，
x?
?
0,??
?
，
y?R
，在
?
0,??
?
递 增，过定点（1，0）
0

2
0＜a ＜1时，
x?
?
0,??
?
，
y?R
，在
?
0,??
?
递减，过定点（1，0）。
0
三、幂函数：
①定义：
y?x
n
?
n?R
?

0
②图像和性质：
1
n＞0时，过定点（0，0）和（1，1）,在
x?
?
0,??
?
上单调递增。

2
n＜0时，过定点（1，1）,在
x?
?
0,??
?
上单调递减。
0

第三章 函数的应用
一、函数的零点及性质：
1、定义：对于 函数
y?f
?
x
?
，若
?x
0
使得
f
?
x
0
?
?0
，则称
x
0
为
y?f
?
x
?
的零点。
2、性质：
1
0
若
f
?
a
?
?f
?
b
?＜0，则函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上至少存在一个零点。

2
0
函数y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上存在零 点，不一定有
f
?
a
?
?f
?
b
?
＜0

3
在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
二、二分法求方程
f
?
x
?
?0
的近似解
1、原理与步骤：①确定一闭区间
?
a,b
?
，使
f< br>?
a
?
?f
?
b
?
＜0，给定精确度
?
；
②令
x
1
?
0
a?b
，并计算< br>f
?
x
1
?
；
2
③若
f
?
x
1
?
=0则
x
1
为函数的零点，若
f
?
a
?
?f
?
x
1
?
＜0，则< br>x
0
?
?
a,x
1
?
，令b=
x< br>1
;
若
f
?
x
1
?
?f< br>?
b
?
＜0 则
x
0
?
?
x
1
,b
?
，令a=
x
1

④直到
a ?b
＜
?
时，我们把a或b称为
f
?
x
?
?0
的近似解。
三、函数模型及应用：
常见的函数模型有：①直线上升型：
y?kx?b
; ②对数增长型：
x
y?log
a
x

③指数爆炸型：
y?n(1?p)
，n为基础数值，p为增长率。

训练题
一、 选择题
1，2，3，4
?
，A＝< br>?
1，2
?
，B＝
?
2，3
?
，则
A?(CuB)
等于( ) 1．已知全集
U?
?
A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{1) D．{4}
2
2.已知函数
f(x)?a
在(0，2)内的值域是
(a,1)< br>，则函数
y?f(x)
的图象是( )
x

3.下列函数中，有相同图象的一组是（ ）
A y = x－1, y =
(x?1)
2
B y=
x?1
·
x?1
, y=
x
2
?1

C y = lgx－2, y = lg
x
D y = 4lgx, y = 2lgx
2

100
4.已知奇函数 f(x)在[a,b]上减函 数，偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，则在[-b,-a]（b>a>0）上，
f(x)与g( x)分别是（ ）
B．f(x)和g(x)都是减函数 A．f(x)和g(x)都是增函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数 D．f(x)是减函数，g(x)是增函数。
5.方程
lnx
2
必有一个根所在的区间是（ ）
x
D．(e, +∞) A．（1，2） B．(2，3) C．(e，3)
6.下列关系式中，成立的是（ ）
A．
log
3
4
1< br>()
0
5
log
1
10
3
log
1
10

3
B．
log
1
10
3< br>1
()
0
5
log
3
4
log
3< br>4

1
()
0

5
C．
log
3
4
1
()
0

5
D．
log
1
10
3
7．已知函数
f (x)
的定义域为
R,f(x)
在
R
上是减函数，若
f(x )
的一个零点为1，则不等式
f(2x?1)?0
的解集为( )
A．
(,??)
B．
(??,)
C．
(1,??)
D．
(??,1)

x
8.设f(
log
2
x
)=
2
(x>0)则f(3)的值为 （
1
2
1
2
）
D．8 A．128 B．256 C．512

9.已知a>0,a≠1则在同一直角坐标系中，函数 y=
a
3
x
和y=
log
a
(x)
的图象 可能是（ ）
3
3
22
2
11
1
-224- 2
-1
24-2
-1
24
-2
-1
24

A
10.若
log
a

-2

B
）
-2

C
-2

D
2
3
1
,则实数a的取值范围是（
2

3
2

3
2
3
A．
0a
B．< br>a
C．
a1
D．
0a
2
或a>1
3
11. 已知
f(x)?
?
?
(3?a)x?4a(x? 1)
是(??,??)
上的增函数，那么a值范围是
?
log
a
x(x?1)
3
5
A．
(1,??)
B．
[,??)

C．
[,3)
D．(1，3)
二、 填空题
3
5
12.已知函数f (x)在（0，+∞）上为减函数，且在R上满足f (-x)=f (x)，则f (-2)、f (-5)、f (π)
三个数的按从小到大依次排列为______________________
13.函数y=(x-1)
0
+log
(x-1)
(|x|+x)的 定义域是
1
e
?
x
2< br>?2,(x?2)
(x)?
?
14.设函数
f
若f(x
0
)=8则x
0
=
?
2 x,(x?2)
m
15.若幂函数
y?x
2
?4m?5

(m?Z)的图像与x,y轴无交点，且图像关于原点对称，则m=_______，

三、 解答题：（本题共6小题，满分74分）
16.计算求值：
(lg8









lg1000 )lg53(lg2)
2
lg6
1
lg0.006

17.已知
f(x)







x
2
2(1a)x2
在区间(-∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围。
18.已知函数
f(x)?3,f(a?2)?18,g(x)?
?
?3?4 定义域[0,1]
；
（1）求
a
的值；
（2） 若函数
g(x)
在
[0,1]
上是单调递减函数，求实数
?
的取值范围；











19.已知函数
f(x
2
xaxx
3)lg
a
x
2
6x
2
（a>1,且a≠1）
1) 求函数f(x)的解析式及其定义域
2) 判断函数f(x)的奇偶性