2016年四川高考高中数学基础知识归纳

祝都中16届学子们高考成功，金榜题名
2016年四川高考高中数学基础知识归纳

四川省都江堰中学
第一部分：集合与简易逻辑
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.
2.对集合
A、B
，AB??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??
或
B??
；求 集合的子集
时是否注意到
?
是任何集合的子集、
?
是任何非空集合的 真子集.
nn
2
n
?1，
3.含有
n
个元素的有 限集合
M
,其子集、真子集、非空真子集的个数依次为
2，

2?2.

4.
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
5.
A?B?A?B?A?A?B?B;
注意：讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况。
?x?M,?p(x)
；
6.四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若
?
p则
?
q； ⑷逆否命题：若
?
q则
?
p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
7.充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理
注意区分：“甲是乙的充分条件（甲
?
乙）”与“甲的充分条件是乙（乙
?
甲）”
（2）利用集合间的包含关系：例如： 若
A?B
，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要条件 。
8．逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p
?
q； p q p
?
q p
?
q
?
p
⑵或（or）：命题形式 p
?
q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式
?
p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真

9．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用
?
表示；
全称命题p：
?x?M,p(x)
； 全称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用
?
表示；
特称命题p：
?x?M,p(x)
； 特称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
；

第二部分 函数与导数
1.函数的单调性:
⑴单调性的定义：
①f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2)
；
⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子
f(x
1
)? f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形式，以
利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
2.函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
．．．．
⑵
f( x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
；
f(x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义，则
f(0)?0


⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性


1

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3．函数的周期性：
(1 )周期性的定义：对定义域内的任意
x
，若有
f(x?T)?f(x)
（其 中
T
为非零常数），则
称函数
f(x)
为周期函数，
T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周
期。如没有特别说明，遇到的周期都指最 小正周期。
4. 函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
，
(a?0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“－”；
② 对称变换：ⅰ
y?f(x)
????
y??f(?x)
；ⅱ
y?f( x)
???
y??f(x)
；
ⅲ
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ
y?f(x)
????
x?f(y)
；
③ 翻转变换：
ⅰ)
y?f(x)?y?f(|x|)
———右不动，右向左翻（
f(x)
在
y
左侧图象去掉）；
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
—— —上不动，下向上翻（|
f(x)
|在
x
下面无图象）；
5.复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若
f(x)
的定义域为
[a,b]
,则复合函数
f[g(x)]
的定义域由不等 式
a?g(x)?b
解出
② 若
f[g(x)]
的定义域为
[a,b]
,求
f(x)
的定义域，相当于
x?[a,b]
时，求
g(x)
的值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为基本函数：内函数
u?g(x)
与外函数
y?f (u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
6.函数的对称性和周期性的经典结论（见下面两个表格）
(1).关于对称性.

函 数 满 足 的 条 件
满足
f
?
a?x?
?f
?
a?x
?
的函数
y?f
?
x
?
的图象
[或
f
?
x
?
?f
?
2a?x
?
,f
?
?x
?
?f
?
2a?x
?
]
满足
f
?
a?x
?
?f< br>?
b?x
?
的函数
y?f
?
x
?
的 图象
满足
f
?
x
?
?f
?
?x
?
的函数
y?f
?
x
?
的图象(偶函数)
满足< br>f
?
x
?
??f
?
?x
?
的函数< br>y?f
?
x
?
的图象(奇函数)
(2)..关于周期性.
函数关系(
x?R
)

f
?
x?T
?
?f
?
x
?


f
?
x?T
?
??f
?
x
?


x?
对称轴(中心)

x?a

x?0y?x
(0,0)y?0
a?b

2
x?0

?
0,0
?

周期

T


2T


1

f
?
x
?

f
?
x?T
?
?f
?
x?T
?


y?f(x)有两条对称轴x?a,x?b

若
y?f(x)
图像有两个对称中心
A(a,0),B(b,0)(a?b)


f
?
x?T
?
??
函数
y?f (x)
的图像有一个对称中心
A(a,0)
和一
条对称轴
x?b(a ?b)


2
2T


2T


2|a?b|


T?2|a?b|


T?4|a?b|

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7.基本初等函数的图像与性质：（心中有图）
㈠.⑴指数函数：
y?a(a?0, a?1)
；⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
；
⑶幂函数：
y?x
（
?
?R)
；⑷正弦函数:
y?sinx
；⑸余弦函数：
y?cosx
；
（ 6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0
（a≠ 0）；
㈡.⑴分数指数幂：
a
m
n
x
?
2
?a
；
a
n
m
?
m
n
?
1a
m
n
（以上
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
b
⑵.①
a?N?log
a
N?b
； ②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo g
a
N
；
Mn
?log
a
M?log
a
N
； ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log< br>a
N?
. 对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
8.函数零点的求法：
⑴直接法（求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点存在 定理：若
y?f(x)
在区间
[a,b]
上满足
f(a)?f(b) ?0
, 则
y?f(x)
在
(a,b)
内至少有一个零点。
9.导数：
f(x
0
??x)?f(x
0
)

x?x
0
?x?0
?x
⑵.函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)

在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0< br>)(x?x
0
)

⑴.导数定义：f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?lim
'
(3).常见函数的导数公式: ①
C
?0
；②
(x)?nx< br>x'x
n'n?1
；③
(sinx)?cosx
；
'
'x'x
'
④
(cosx)??sinx
；⑤
(a)?alna；⑥
(e)?e
；⑦
(log
a
x)?
1
；< br>xlna
⑧
(lnx)?
'
1
。
x
'''
⑶导数的四则运算法则：
''

[f(x)?g(x)]?f(x)?g(x)
,
[cf(x)]?cf(x)

f(x)
'
f
'
( x)g(x)?f(x)g
'
(x)

[f(x)?g(x)]?f(x)g(x)?f(x)g(x)

[

]?
2
g(x)
[g(x)]
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
'''
1.⑴角度制与弧度制的互化：
?弧度
?180
?
，
1
?
?
?
180< br>弧度，
1
弧度
?(
180
?
)
?
? 57
?
18
'

11
lR?
?
R
2
。(其中
?
为扇形圆心角的弧度数)
22
2．三角函数定义:角
?
终边上任一点（非原点）P
(x,y)
,设
|OP|?r

则：
y
yx
sin
?
?,cos
?
?,< br>tan
?
?

x
rr
⑵弧长公式：
l??
R
；扇形面积公式：
S?
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三 正切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5.同角三角函数 的基本关系式
sin??cos??1
，
tan??
22
sin?< br>
cos?

3

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变形:
sin???1?c os
2
?
;
cos???1?sin
2
?
;
sin??cos??tan?

6.两角和与差的正、余弦公式:
cos?
?
?
?
?
?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
；
sin
?
?
?
?
?< br>?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>；
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
7.两角和与差的正切公式:

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
变形:（tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1 ?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
变形:（
ta n
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式： 2
2?c
2
o
?
s?
2
s
?
in?2c
?
o?s??11
2
?

2sin
si n2
?
?2sin
?
cos
?
．
cos
?
2tan
?
tan2
?
?
． < br>2
1?tan
?
11?cos2
?
1?cos2
?< br>22
?
9.降幂公式:sin
?
·cos
?
=
sin2
?
, sin
?
?
cos
?
,
2
22
10.辅助角公式：
b
tan??)

a sin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
si n(
?
?
?
)

(?是辅助角，
a
11.正、余弦函数图象和性质表
函数







正弦函数
y?sinx,x?R






余弦函数
y?cosx,x?R

图 象
定义域
值 域
(??,??)

[-1，1]
(??,??)

[-1，1]
最 值
奇偶性

?
?2k?,k?z时,y
max
?1

当x?2k?,k?z时,y
max
?1

2
?
当x???2k?,k?z时,y
min
??1

当x???2k?,k?z时,y
min
??1

2

奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于
y
轴对称
当x?
单调性
??
单调增区间[??2k?,?2k?],k?z

单调增区间[???2k?,2k?],k?z

22
单调减区间[2k?,??2k?],k?z

?3?
单调减区间[?2k?,?2k?],k?z

22

对称轴
x?k
?
?
?
2
,(k?Z)

x?k
?
,(k?Z)


4

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对称
中心
(k
?
,0) (k?Z)

(k
?
?
?
2
,0) (k?Z)


abc
外接圆半径 ）
???2R
（
R
是
? ABC
sinAsinBsinC
变形:(1).
a?2RsinA,b?2Rsin B,c?2RsinC
；
abc
(2).
sinA?
; (3).
a:b:c?sinA:sinB:sinC

,sinB?,sinC?
2R2R2R
abca?b?c
(4).。 ???
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
b
2
? c
2
?a
2
222
13.余弦定理：
a?b?c?2bcc osA
等三个；
cosA?
等三个。
2bc

2S
?ABC
111
14.三角形面积公式：
S?absinC?bcsinA?casinB
, 内切圆半径
r?

a?b?c
222
15.三角形中的常用结论:
?ABC
中,易得：
A?B?C?
?
,
12.正弦定理：
①
sinA?siBn?(C
,
cosA? ?cos(B?C)
,
tanA??tan(B?C)
.
②
sin
A
2
?cos
B?C
2
,
cos
A
2
?sin
?
2
B?C
2
,. ③
a?b?A?B?sinA?sinB

④锐角
?ABC
中 ,
A?B?
,
sinA?cosB,cosA?cosB
,
a
2
?b
2
?c
2
,类比得钝角
?ABC
结论.

第四部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式:
d
A ,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1< br>)
，其中A
(x
1
,y
1
)
，B
( x
2
,y
2
)
.
2.向量的模：设
a?(x,y )
，则
|a|?
22
x
2
?y
2

3.向量的平行与垂直： 设
a?(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b< br>?
0
，则：
①
a
∥
b
?
b??
a
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
；
②
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a?b?0

4.平面向量 的数量积：
a?b?|a||b|cos?a,b??x
1
x
2
?y
1
y
2

注：
a
在
b
方向上 的投影为：
|a|cos
?
?
a?b
|b|

5.向量
a
与
b
的夹角公式:
cos
?
=
6.与
AB
共线的单位向量是
?
a?b
|a||b|
；
AB
|AB|
7.三点
A、B、C
共线
?
AB,AC
共线
注意：
?a,b?
为锐角
?
a ?b?0
且
a,b
不同向；
?a,b?
为直角
?
a?b?0
且
a,b
均不为
0
；

?a,b?
为钝角
?
a?b?0
且
a,b
不反向
a?b?0
是
?a,b?
为钝角的必要非充分条件.
8.三点共线 的充要条件：
P,A,B
三点共线
?
OP?xOA?yOB
(x?y ?1)


5

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9.三角形四“心”向量形式的充要条件： < br>设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对 边长分别为
a,b,c
，则：
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
a OA?bOB?cOC?0
.
222


第五四部分 数 列
1.等差、等比数列考点归纳

定义
等差数列 等比数列
a
n?1
?a
n
?d(常数
）

a
n
?a
1
?(n?1)d;a
n
?a
m
?(n? m)d

(
1).定义法:
a
n?1
a
n?1?q
（常数），（
q
与
a
n
都不能为0）
a
n
通项公
式


判
断
方
法
a
n
?a
1
q
n?1
;a
n
?a
m
q
n?m

(1)
.定义法:
?
a
n
?
d
(常数
）
,则
{a
n< br>}
为等差数列
(2).通项公式法:a
n
＝kn＋b(k，b是常< br>数)(n∈N
*
)
?
{
a
n
}
是等 差数列．
(3).前n项和公式法:S
n
＝An
2
＋Bn(A，B 是
常数)(n∈N
*
)
?
{
a
n
}
是等差数列．

a
n?1
?q
?{a
n
}是公比为
q
的
a
n
等比数列

(2).等比中项法:
a
n
?a
n?1
?a
n? 1
(n?2)?{a
n
}是等比数列


2

求
和
公
式

脚码和
性质
n(a
1
?a
n
)
s
n
?
2
n(n?1 )

?na
1
?d
2
若
m?n?p?q
(
m
,
n
,
p
,
q?N
)
， *
?
na
1
(q?1)
?
s
n
??
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)

?(q?1)
?
1?q1?q
?
若
m?n?p?q
(
m
,
n
,
p
,
q?N
)

*
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

特别地,若
m?n?2p,
则
am
?a
n
?2a
p

a,b,c成等差数列
?2b?a?c

则
a
m
? a
n
?a
p
?a
q

特别地,若
m?n? 2p,
则
a
m
?a
n
?a
p

2
中项性
质
片断和
性质


a,b,c成等比数列
?b?ac
(
ac?
0)

2
s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
???成等差数列

s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
???成等比数列

6

祝都中16届学子们高考成功，金榜题名





2.求通项公式的常用方法：
(1).公式法: 若
{a
n
}
为等差或等比数列，直接用公式
(n?1)
?
S
1
(2).利用
a
n
与
s
n
的 关系：
a
n
?
?

S?S(n?2)
n ?1
?
n
(3).累加法：
a
n
?a
n?1
?f
?
n
?
(
n?
2)
型
a
(4).累乘法：
n
?f
?
n
?
(
n?
2 )
型
a
n?1
(5).构造法：
①.形如
a
n?1
?pa
n
?q
(
p
,
q为常数，且p?0)
型:构造等比数列
?
a
n
?
?
?
，其中
?
?
q

p?1
n
n?1n?1
② .形如
a
n?1
?pa
n
?q
(
p
,q为常数，且q?
0)
型:同除以
p或q
，转化为(1)或用累加法 < br>③.形如
a
n?1
?
a
n
(
p
,< br>q
是不为0的常数）
:两边同时取倒数。
pa
n
?q
3.数列求和的常用方法：
(1).公式法：用等差，等比数列的求和公式求；
2
(2).错位相减法：这种方 法主要用于求数列
?
a
n
?b
n
?
的前n项和，其 中
?
a
n
?
,
?
b
n
?
分别是等差数列和
等比数列. 例如：求和：
s
n
?1?2?2?2?3?2???n?2

(3) .裂项相消法：将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求
和的目的 . 结构特点是通项为分式结构，可拆成两项相减的形式；
常用裂项公式：

3n
11111
?(?)
；
?n?1?n

n(n?d)dnn?d
n?1?n
第六部分 概 率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
A?B
；
⑵事件A与事件B相等：若
A?B,B?A
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
A?B
（或
A ?B
）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
A?B
（或
AB
） ；
⑸事件A与事件B互斥：若
A?B
为不 可能事件（
A?B?
?
），则事件A与互斥；
⑹对立事件：
A?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：
P(A)?
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
7

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⑶几何概型：
P(A)?




构成事件A的区域长度（面积或体积等）
；
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
第七部分 统计与统计案例
1．抽样方法：
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预
先制定的规则抽取样本。
注意：系统抽样就是等距抽样，抽出的样本编号成等差数列。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
n

N
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频 率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布
直方图。⑵当数据是 两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两
边的数字表示个位数，即第二个有效 数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长
出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3．总体特征数的估计：
n
⑴样本平均数
x?
1
(x1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
；
nn
i?1

n
⑵样本方差
S2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2< br>?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
?< br>1
?
(x
i
?x)
2
；
n
n
i?1

n
⑶样本标准差
S?
1[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
=
1
(x?x)2

?
i
n
n
i?1

4． 回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nx y
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2

y?a?bx
，其中
?
x?xx
i
2
?nx
2
??
??
i
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx


8

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第八部分 立体几何
1．三视图的特点：正、俯视图等长；正、侧视图等高；侧、俯视图等宽，前后对应。
2.空间几何体的直观图的画法：斜二测画法
注：原图形与直观图面积之比为
22:1
。
3.旋转体的表（侧）面积与体积公式：
⑴圆柱：①侧面积：S
侧
=
2
?
rh
；②体积：V=S
底
h
1
S
底
h：
3
1
'
⑶圆台：①侧面积： S
侧
=
?
(r?r)l
; ②体积：V=（S+
SS
'
?S
'
）h
3
43
2
⑷球体：①表面积：S=
4
?
R
； ②体积：V=
?
R
。
3
⑵圆锥：①侧面积：S
侧=
?
rl
；②体积：V=
4.平面的基本性质
公理1: 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
．．．．
符号语言：
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线
符号语言：若
P?
?
,P?
?
,则
?
?< br>?
?l
且
P?l

公理3: 经过不在一条直线上的三点有且只有一个平面．
推论: 一条直线和直线外一点，两条平行直线，两条相交 直线都可分别确定一个平面．

5.直线和平面平行的判定和性质定理：
判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．


lm
?
l

?
m?
?
)
?
?l
?
(线线平行，线面平行

m

α
l?
?
?
?


性质定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．


l

?
l
?
?

?

l?
?
?
?lm(线面平行，线线平行）

m
?
?
?
?
?m
?

?


6.直线和平面垂直的判定和性质定理：
判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.


l
l?AC

α
A
C
B
?
9 < br>?
l?AB
?
)
?
?l?
?
(线线垂直，线 面垂直
AC?AB?A
?
AC,AB?
?
?
?

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性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言: 若
a??,b??
，则
ab
。
7.两个平面平行的判定和性质定理：
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．


l

l
?
?
m
β

?
m
?
)
?
?
?

?
(线面平行，则面面平行< br>

l,m?
?
且相交
?
α
?




性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．


?

?
?
l

?
β
?
?
?
?l
?
?lm


γ
?
?
?
?m
?
?
m

α


8.两个平面垂直的判定和性质定理：
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直


β
l

l?
?
?

）
?
?
?
?
?
(线面垂直，则面面垂直

l?
?
?

α


性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直


β
l

?
?
?
?

?
?
?
?
?m直）
?
?l?
?
（面面垂直，则线面垂< br>m

?

l?m,l?
?
?
α


9.夹角
(1)两条异面直线的夹角:过空间任一点作两条直线分别和两条异面直线平行，这两条直线所
成的锐角或直角就是两条异面直线的夹角． 范围:
(0,]

?
2

10

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(2)直线和平面的夹角是直线和其在平面内的 射影 的夹角． 范围:
[0,]

(3)二面角的度数等于二面角的 平面角的度数． 范围:
[0,?]

10.常用结论：
(1).正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。正棱锥 的性质：各侧棱相等，各侧
面都是全等的等腰三角形。
(2).正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
(3).长方体从一个顶点出发的三条棱长分别 为
a,b,c
则体对角线长为
a
2
?b
2
?c2
正方体的棱长为
a
,则体对角线长为
3a

(4).球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的外接球的直径是正
方体的体对角线长.
(5).正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
① 高：
h?

?
2
6266
a
;②对棱间距离:< br>a
;③内切球半径:
a
;④外接球半径:
a
。
32124
第九部分 直线与圆
1．斜率公式：
k?
y
2
?y
1
，其中
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)< br>.
x
2
?x
1
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
(2)斜截式：
y?kx?b
(
b
为直线
l
在
y
轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
).
y
2
?y
1
x
2
?x
1< br>xy
(4)截距式：
??1
(其中
a
、
b
分 别为直线在
x
轴、
y
轴上的截距，且
a?0,b?0
).
ab
(5)一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
(3)两点式：
3．两条直线的位置关系：
（1）若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2< br>x?b
2
,则：
①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,
b
1
?b
2；

②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
（2）若
l
1
:A
1x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A< br>2
x?B
2
y?C
2
?0
,则：
① l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
A
1
C
2
?A
2
C
1
?0
；②
l
1
?l
2
? A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
5．两个公式:
Ax
0
?By
0
?C
⑴点
p(x
0
,y
0
)
到直线Ax+By+C=0的距离：
d ?
；
22
A?B
⑵两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离
d?
6．圆的方程：

11
C
1
?C
2
A?B
22

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222
⑴标准方程：①
(x?a)?(y?b)?r
；②
x?y?r
。
222
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0)

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
d?R?点在圆上；②
d?R?
点在圆内；③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）
①
d?R?
相切；②
d?R?
相交；③
d?R?
相离。
⑶圆与圆的位 置关系：（
d
表示圆心距，
R,r
表示两圆半径，且
R?r
）
①
d?R?r?
相离；②
d?R?r?
外切；③
R?r ?d?R?r?
相交；
④
d?R?r?
内切；⑤
0?d?R?r?
内含。
9．直线与圆相交所得弦长
|AB|?2r
2
?d
2


2222
第十部分 圆锥曲线
1. 椭圆
定义：平面内与两 个定点
F
1
，
F
2
的距离的和等于定长（定长大于两定点间 的距离）
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。

?
MMF

1
?MF
2
?2a?
?
2a?F
1
F
2
?
定
义

M

y

F
2

y
M
F
1

O

F
2

x

O
F
1

x

标准
方程





性
质





（焦点在
x
轴）
（焦点在
y
轴）
x
2
y
2
??1(a?b?0)

a
2
b
2
范 围
顶点坐标
对 称 轴
对称中心

F
1
(c,0)

F
2
(?c,0)

焦点坐标
2
y
2
x
2
??1(a?b?0)

a
2
b
2
x?a
,
y?b

(?a,0)

(0,?b)

x?b
,
y?a

(0,?a)

(?b,0)

x
轴，
y
轴；长轴长为
2a
，短轴长为
2b

原点
O(0,0)

F
1
(0,c)

F
2
(0,?c)

22
焦点在长轴上，
a?b?c
； 焦距：
F
1
F
2
?2c


12

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离 心 率
cb
2
c
e?
(
0?e?1
) ,
e??1?
2
，
a
aa
e
越大椭圆越扁，
e
越小椭圆越圆。

椭圆上的
最大距离为：
a?c
最小距离为：
a?c

点到焦点

的最大
（小）距离


2.双曲线
定义：平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离的差的绝对值是常数（小
于
F
1
F2
）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点的距离叫焦距。
?
MMF

1
?MF
2
?2a
?
?
2a?F
1
F
2
?
定义
P

y
y

x
y
y
x
F
2
x

F
1


（焦点在
x
轴）
标准方程
F
2

x
P

F
1

（焦点在
y
轴）
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)

a
2
b
2
y
2
x
2
??1(a?0,b?0)

a
2
b
2
范围
对称轴
对称中心
x?a
，
y?R

y?a
，
x?R

x
轴 ，
y
轴；实轴长为
2a
,虚轴长为
2b

原点
O(0,0)

性质
F
1
(?c,0)

F
2
(c,0)

焦点坐标
222
F
1
(0,?c)

F
2
(0,c)

焦点在实轴上，
c?a?b
；焦 距：
F
1
F
2
?2c

顶点坐标
离心率
渐近线
方程

（
?a
,0） (
a
,0) (0,
?a
,) (0，
a
)
e?
y??
b
x

a
13
c
(e
?
1)
a
y??
a
x

b

祝都中16届学子们高考成功，金榜题名
共渐近线
的双曲线
系方程







3. 抛物线
x
2
y
2
??< br>?
（
?
?0
）
a
2
b
2
y
2
x
2
??
?
（
?
?0
）
a
2
b
2
定义
平面内与一个定点
F
和一 条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛
物线，点
F
叫做抛物线的焦 点，直线
l
叫做抛物线的准线。
{
MMF
=点M到直线
l
的距离}
l
y
y
l


x

F
x
O







y
F
O




x

l




y
l
O
F
x
O
F
标
准
方
程



y?2px
(p?0)

范围
对称性
焦点
离心率
性质
准线
方程
焦准距
通径
焦半径
(
2
y
2
??2px
(p?0)


x
2
?2py
(p?0)

x
2
??2py
(p?0)


x?0,y?R

x?0,y?R

x?R,y?0

x?R,y?0

关于
x
轴对称
关于
y
轴对称
(0,
p
,0)
2
p

2
(
?
x??
p
,0)
2
e
=1
p
x?

2
p
)
2
p

2
(0,
?
p
)
2
p

2
y??y?
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p

2p

p
?x

2
p
?x

2
p
?y

2
p
?y

2
4、常用结论
(1).直线与椭圆、双曲线与抛物线相交:

14

祝都中16届学子们高考成功，金榜题名
①弦长公式: < br>AB?1?K
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
或
AB?1?
1
2
?(y ?y)?4y
1
y
2

12
2
k
②设而不求（点差法----- 代点作差法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x
1
，y< br>1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得
k
AB
?




(2).焦点三角形的面积公式：
y
1
?y
2
???
；③解决问题
x
1< br>?x
2
x
2
y
2
①.若P是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它 的两个焦点,
?F
1
PF
2
?
?
,
ab
2
x
2
y
2
②.若P是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它的两 个焦点,
?F
1
PF
2
?
?
,
ab< br>b
2
则
S
?PF
1
F
2
?

?
tan
2


则
S
?PF
1< br>F
2
?btan
2
?

注意：排列组合没有整理（看30天练习笔记）；空间向量立体几何

附：常用的一些结论



1.函数的的单调性：
( 1)设
x
1
,x
2
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0? f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)< br>在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)
为减函数.
2.函数
y?f(x)
的图象的对称性:
①
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x )
；
a?b
②
y?f(x)
的图象关于直线
x?
对称
?f(a?x)?f(b?x)
?f(a?b?x)?f(x)
；
2< br>③
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?f
?
x
?
??f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?0
，
(x< br>1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
y?f(x)
的图象关于点
(a,b )
对称
?
f
?
x
?
?2b?f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
3.两个函数的图象的对称性:

15

祝都中16届学子们高考成功，金榜题名
①函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴) 对称；
②函数
y?f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关 于直线
x?a
对称；
③函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称的解析式为
y?f(2a?x)
；
④函数
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称的解析式为
y??f(2a?x)
；
⑤函数
y?f(x)
和函数
y?f

4.若等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前2n?1
项的和分别为
S
2n?1
和
T
2n?1
，则



5.常用不等式：
?1
(x)
的图象关于直线
y?x
对称.
a
n
S
2n?1
?

b
n
T2n?1
a
2
?b
2
(1)
a,b?R
?a?b?2ab
?ab?
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
22< br>a?b
?
a?b
?
?
(2)
a,b?R
?< br>?ab
?ab?
??
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
2
??


6.正弦、余弦的诱导公式：
nn
??
n
?
n
?
?
(?1)
2
si n
?
,n为偶数
?
(?1)
2
cos
?
, n为偶数
sin(?
?
)?
?
?
?
)?
?
；
cos(
.
n?1n?1
22
?
(?1)2
cos
?
,n为奇数
?
(?1)
2
sin< br>?
,n为奇数
??
2
即:“奇变偶不变,符号看象限”.如
c os
?
?
?
?
?
?
?
?
??si n
?
,
cos
?
?
?
?
?
??c os
?
.
2
?

7.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3< br>)
,
则其重心的坐标是
G(

x
1
?x< br>2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)

33

16