高考重点高中数学基础知识归纳及常用公式和结论

高考重点高中数学基础知识归
纳及常用公式和结论

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2

高考高中数学基础知识归纳
第一部分 集合 < br>1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还
．．．． ．
是因变量的取值？还是曲线上的点？…
2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时 要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩
．．．．
图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化 、直观化，然后利用数形结合的思想方
法解决
3.(1) 元素与集合的关系：
x? A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
（2）德摩根公式：
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
（3）
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A?AIC
U
B??
?C
U
AUB?R

注意：讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况.
（4）集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；
非空真子集有
2
–2个.
4．
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
第二部分 函数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
n
a?b
⑥利用均值不等式
ab??
2
a
2
?b
2
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、
2
x
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界 性（
a
、
sinx
、
cosx
等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的
值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为 基本函数：内函数
u?g(x)
与外函数
y?f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:

3

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
．．．．
⑵
f( x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
；
f(x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义，则
f(0)?0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑴单调性的定义：
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x< br>1
)?f(x
2
)
；
⑵单调性的判定：①定义法：一般要将 式子
f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形 式，以
利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义 ：对定义域内的任意
x
，若有
f(x?T)?f(x)
（其中
T< br>为非零常数），
则称函数
f(x)
为周期函数，
T
为它的一个 周期。所有正周期中最小的称为函数的最
小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：①
y?sinx:T?2
?
；②
y?cosx:T?2
?
；
③
y?tanx:T?
?
；
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?< br>(3)与周期有关的结论：
?
2
?
；⑤
y?tan
?
x:T?

|
?
|
|< br>?
|
f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a? 0)

?
f(x)
的周期为
2a

8．基本初等函数的图像与性质：
x
㈠.⑴指数函数：
y?a(a?0,a ?1)
；⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
；
⑶幂函数：
y?x
（
?
?R)
；⑷正弦函数:
y?sinx
；⑸余弦函数：
y?cosx
；
（ 6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0
（a≠ 0）；⑻其它常用函数：
① 正比例函数：
y?kx(k?0)
；②反比例函数：< br>y?
2
?
ka
(k?0)
；③函数
y?x?(a?0 )

xx

4

m
n
㈡ .⑴分数指数幂：
a?a
；
a
n
m
?
m
n
?
1
a
m
n
（以上
a?0,m,n?N
， 且
n?1
）.
?
b
⑵.①
a?N?log
a
N?b
； ②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo g
a
N
；
Mn
?log
a
M?log
a
N
； ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log< br>a
N?
.对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
9．二次函数：
⑴解析式：①一般式：
f(x)?ax?bx?c
；②顶点式：
f(x)?a(x?h )?k
，
(h,k)
为顶点；
③零点式：
f(x)?a(x?x< br>1
)(x?x
2
)
（a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
22
?
b4ac?b
2
?
b
二次函数
y?ax?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
，顶点坐标是
?
?
?
2a< br>，
4a
?
?
。
2a
??
2
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ )
y?f(x)?y?f(x?a)
，
(a?0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)

———上“+”下“－”；
??
y??f(?x)
；ⅱ)
y?f( x)
???
y??f(x)
； ② 对称变换：ⅰ)
y?f(x)
??
?
x?f(y)
； ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ)
y?f(x)
???
③ 翻折变换：
ⅰ)
y?f(x)?y? f(|x|)
———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（
f(x)
在
y左侧图象去
掉）；
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———（留上 翻下）x轴上不动，下向上翻（|
f(x)
|在
x
下面无图
象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函数
y?f(x)
图像 的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的
对称点仍在图像上；
（2）证明函 数
y?f(x)
与
y?g(x)
图象的对称性，即证明
y?f(x)
图象上任意点关于
对称中心（对称轴）的对称点在
y?g(x)
的图象上，反 之亦然。
x?0y?x
(0,0)
y?0

5

注：①曲线C
1
:f(x,y)=0关于原点（0,0）的 对称曲线C
2
方程为：f(－x,－y)=0;
曲线C
1
:f(x ,y)=0关于直线x=0的对称曲线C
2
方程为：f(－x, y)=0;
曲线 C
1
:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C
2
方程为：f(x, －y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=
a?b
对称；
2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
y?f(x)的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
特别地：
y? f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f
?
a? x
?
??f
?
a?x
?
.
④函数
y?f (x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象 关于直线
x?0
对称。
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一
个零点。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：
?
弧度
?180
，
1?
⑵弧长公式：
l?
?
R
；扇形面积 公式：
S?
?
?
?
180
弧度，
1
弧度< br>?(
180
?
)
?
?57
?
18
'

11
lR?
?
R
2
。
22
2 ．三角函数定义:角
?
终边上任一点（非原点）P
(x,y)
,设
| OP|?r

则：
sin
?
?
yx
y
,c os
?
?,
tan
?
?

rr
x
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴
y?Asin(
?
x?
?
)

对称 轴：令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
， 得
x??;
对称中心：
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；
?
⑵
y?Acos(
?
x?
?
)

对称轴：令
?
x?
?
?k
?
，得
x?
k
?
?
k
?
?
?
?
；对称中心：
?
2
?
?
(
?
,0)(k?Z)
；
⑶周 期公式:①函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及
y? Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
数，
且A≠0).②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的 周期
T?
2
?
?
(A、ω、
?
为常
?
(A、ω、
?
为常数，且A≠0).
?

6

6．同角三角函数的基本关系：
sin
2
x?cos
2
x?1;
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴
y?sinx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
sinx
?tanx

cosx
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?
k?Z< br>,单调递减区间为
?
3
?
?
?
?
2k?
?,2k
?
?k?Z
，对称轴为
x?k
?
? (k?Z)
,对称中心为
?
k
?
,0
?
(k?Z)
.
??
22
2
??
⑵
y?cosx
的单 调递增区间为
?
2k
?
?
?
,2k
?
?< br>k?Z
?
?
,0
?
(k?Z)
.
2
?
,单调递减区间为
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
k?Z
，
对称轴为
x?k
?
(k?Z)< br>,对称中心为
?
k
?
?
⑶
y?tanx
的单 调递增区间为
?
k
?
?
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
k?Z
，对 称中心为
2
?
?
k
?
?
,0
?
?
k?Z
?
.
?
2
??
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
? cos
?
sin
?
；
cos(
?
?
?)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?< br>；
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan
?< br>2222
②
sin(
?
?
?
)sin(
?< br>?
?
)?sin
?
?sin
?
；
cos(< br>?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
?
?sin
?
.
③
asin
?
?bcos?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象 限
决定,
tan
?
?
b
).
a
2< br>9．二倍角公式：①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
(sin
?
?cos
?
)?1?2sin
?< br>cos
?
?1?sin2
?

②
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2 sin
?
（升幂公式）.
2222
cos
2
?
?
10．正、余弦定理：
⑴ 正弦定理：
1?cos2
?
1?cos2
?
（降幂公式）.
,sin
2
?
?
22
abc
）
???2R
（
2R
是
?ABC
外接圆直径
s inAsinBsinC
注：①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
；
③
abca?b?c
???
。
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理：
a?b? c?2bccosA
等三个；
cosA?
等三个。
2bc

11.几个公式:⑴三角形面积公式：①
S?
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h< br>c
分别表示a、
222

7

b、 c边上的高）；②
S?
S
?OAB
111
absinC?bcsin A?casinB
.③
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)

2
a?b?c
⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
； 外接圆直径2R=
abc
??;

sinAsinBsinC




第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：⑴画三视图 要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图
与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体： ①表面积：S=S
侧
+2S
底
；②侧面积：S
侧
=
2
?
rh
；③体积：V=S
底
h
⑵锥体：①表面积：S =S
侧
+S
底
；②侧面积：S
侧
=
?
rl
；③体积：V=
'
1
S
底
h：
3
13
⑶台体：①表面积：S=S
侧
+
S
上底
?
S
下底
;②侧面积：S
侧
=
?
(r?r)l
;③体积 ：V=（S+
SS
'
?S
'
）
h；
⑷球体：①表 面积：S=
4
?
R
；②体积：V=
?
R
.
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：以上理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法
5.求距离：（步骤-------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法
6．结论：
⑴棱锥的平行截面的性质如 果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面
面积与底面面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例
的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等 于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的
侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． < br>⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为
a
2
? b
2
?c
2
，全
2
4
3
3

8

面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。
2
3
⑶正方体的棱长为a，则体对角线长为
3a
，全面积为
6a，体积V=
a
。
⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是
正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
⑷正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
① 高：
h?< br>6266
a
；②对棱间距离：
a
；③内切球半径：
a
；④外接球半径：
a
。
32124

第五部分 直线与圆 < br>1．斜率公式：
k?
y
2
?y
1
，其中
P< br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
.
x
2
?x
1
直线的方向向量
v?
?
a,b
?
，则直线的斜率为
k
=
2.直线方程的五种形式：
b
(a?0)
.
a(1)点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线< br>l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
(2)斜截式：
y?kx?b
(
b< br>为直线
l
在
y
轴上的截距).
(3)两点式：
(4 )截距式：
y?y
1
x?x
1
?
(
P
1< br>(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)

x
1
?x
2
，< br>y
1
?y
2
).
y
2
?y
1x
2
?x
1
xy
??1
(其中
a
、< br>b
分别为直线在
x
轴、
y
轴上的截距，且
a?0,b ?0
).
ab
(5)一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3．两条直线的位置关系：
（1）若
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,则：
①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,
b
1
?b
2
；
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
? ?1
.
（2）若
l
1
:A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,则：
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1< br>?0
且
A
1
C
2
?A
2
C
1
?0
；②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
5．两个公式:
⑴点P（x
0，
y
0
）到直线Ax+By +C=0的距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
；
A
2
?B
2
⑵两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离
d?
6．圆的方程：
C
1
?C
2
A?B
22

⑴标准方程：①
(x?a)?(y?b)?r
；②
x?y?r
。
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0)

2222
222222

9

注：Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A =C≠0且B=0且D+E－4AF>0
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
d?R?点在圆上；②
d?R?
点在圆内；③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）
①
d?R?
相切；②
d?R?
相交；③
d?R?
相离。
2222⑶圆与圆的位置关系：（
d
表示圆心距，
R,r
表示两圆半径，且
R?r
）
①
d?R?r?
相离；②
d?R?r?
外切； ③
R?r?d?R?r?
相交；
④
d?R?r?
内切；⑤
0?d?R?r?
内含。
9．直线与圆相交所得弦长
|AB|?2r
2
?d
2

第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
；
⑵双曲线：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F< br>1
F
2
|)
； ⑶抛物线：|MF|=d
2．结论 ：⑴直 线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
,或
AB?x
1
?x
2
1?k
2
, 或
AB?y
1
?y
2
1?
2b
2
注：①抛物 线：
AB
＝x
1
+x
2
+p；②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆 、双曲线：；ⅱ）抛
a
物线：2p.
⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：
mx?ny?1
（
m,n
同时大于0时表示
椭圆；
；当点
P
与椭圆短轴顶 点重合时
?F
1
PF
2
最大；
mn?0
时表示双曲线）
⑶双曲线中的结论：
22
y
2< br>y
2
xx
①双曲线
?
2
?1
（a>0,b> 0）的渐近线：
2
?
2
?0
；
2
abab
1
.
k
2
22
2
b
y
2
x
②共渐进线
y??x
的双曲线标准方程可设为；
?
2
?
?
(
?
为参数，
?
≠ 0 ）
2
a
ab
③双曲线为等轴双曲线
?
e?2?
渐近 线互相垂直；
⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：①联 立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程？②直线斜率不
存在 时
考虑了吗？③判别式验证了吗？

10

⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题
步骤如下： ①设点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得
k
AB
?
y
1
?y
2
?? ?
；③解决问题。
x
1
?x
2
4．求轨迹的常用方法：（ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；
（3）代入法（又称相关点法或坐标转 移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；
（7）几何法。
第七部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式:
d
A,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
，其中A
( x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
.
2.向量的平行与垂直： 设
a
=
(x
1< br>,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
①
a
∥
b
?
b
=λ
a
?x
1
y
2?x
2
y
1
?0
；
②
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1< br>y
2
?0
.
3.a·b=|a||b|cos=x
1
x
2
+y
1
y
2
；
注：①|a| cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；
②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
=
22
a?b
|a||b|
；
uuuruuu ruuur
5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线
?
OP?xOA?yOB且 x?y?1
。
第八部分 数列
1．定义：
(1)等差数列｛a
n
｝?a
n?1
? a
n
?d(d为常数,n?N
?
）?a
n
?a
n? 1
?d(n?2)
?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2,n?N*)?a
n
?kn?b?S
n
?An
2< br>?Bn
｛a
n
}?
⑵等比数列
a
n?1
2
?q(q?0)?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n ?2,n?N
?
)

a
n

2．等差、等比数列性质：
等差数列 等比数列
n?1
通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
1
q

前n项和
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
n?na
1
?d

2.q?1时，S?
a
1
(1?q)

n
221?q
?
a
1
?a
n
q
1?q
n-m
1.q?1时，S
n
?na
1
;
性质 ①a
n
=a
m
+ (n－m)d, ①a
n
=a
m
q;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q

11

③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
? S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成GP
m
④
a
k
,a
k?m
,ak?2m
,?
成AP,
d'?md
④
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
成GP,
q'?q

3．常见数列通项的求法：
⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（
an
?1
?a
n
?c
n
型）；⑶公式法：
⑷ 累乘法（
a
n?1
?c
n
型）；⑸待定系数法（
a
n?1
?ka
n
?b
型）转化为
a
n
a
n
S
1

(n=1)
a
n?1
?x?k(a
n
?x)
（6）间接法（例如：
a
n?1
?a
n
?4a
n
a
n?1
?
11
??4
）；（7）（理科）数学归纳法。
a
n
a
n?1
4．前
n
项和的求法：⑴分组求和法；⑵错 位相减法；⑶裂项法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
?
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
??
；⑵利用二次函数的图象与性质。 ⑴
S
n
最大值
?
或S
n
最小值
?
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
第九部分 不等式
a?ba
2
?b
2
1．均值不等式：
ab??(a,b?0)

22
a?b
2
a
2
?b
2
)?(a,b?R)
。 注意：①一正二定三相等；②变形：
ab?(22
2．极值定理：已知
x,y
都是正数，则有：
(1)如果积
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时和
x?y
有最小 值
2p
；
(2)如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x?y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
4
3.解一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
:若
a?0
,则对于解集不是全集或空集时,对应的
解集为“大两边，小中间”.如:当
x
1
?x
2
,
?
x?x
1
??
x ?x
2
?
?0?x
1
?x?x
2
；
?< br>x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x?x
2< br>或x?x
1
.
4.含有绝对值的不等式：当
a?0
时，有： ①
x?a?x?a??a?x?a
；
22
②
x?a?x?a?x?a
或
x??a
.
22
5.分式不等式：
（1）
（3）
f
?
x?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
； （2）
?0?f
?x
?
?g
?
x
?
?0
；
g
?
x
?
g
?
x
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
?
f
?x
?
?g
?
x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
； （4）.
?0?
?
?0?
?
g
?
x
?
g
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
g
?x
?
?0

12

6.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f (x)
?a
g(x)
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x )
；
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?< br>g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g( x)
；
?
f(x)?0
?

log
a
f( x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g (x)
?
3．不等式的性质：
⑴
a?b?b?a
；⑵
a? b,b?c?a?c
；⑶
a?b?a?c?b?c
；
a?b,c?d

?a?c?b?d
；⑷
a?b,c?0?ac?bd
；
a?b,c? 0?ac?bc
；
a?b?0,
c?d?0

?ac?bd
;⑸
a?b?0?a
n
?b
n
?0(n?N
?
)< br>;⑹
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N
?
)

第十部分 复数
1．概念：
2
⑴z=a+bi∈R
?
b=0 (a,b∈R)
?
z=
z
?
z≥ 0；⑵z=a+bi是虚数
?
b≠ 0(a,b∈R)；
2
⑶z=a+bi是纯虚数
?
a=0且b≠ 0(a,b∈R)
?
z＋
z
＝0（z≠ 0）
?
z<0；
⑷a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z z
2
= (a + b) ± (c + d)i；⑵ z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
1
±
⑶
z
1
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z≠ 0)
?

ac
=
2
?
2
i
222
z
2
(c?di)(c?di)
c?dc?d
1?i 1?i
?i;??i;

1?i1?i
3．几个重要的结论：
22 2222
2
(1)z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?2(z
1
?z
2
);(2)z?z?z?z
； ⑶
(1?i)??2i
；⑷
⑸
i
性质：T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n? 3
??i
；
i
4n
?i
4n?1
?i
4? 2
?i
4n?3
?0;

4．模的性质：⑴
|z
1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
；⑵
|
2
z
1
|z|
|?
1
；⑶
|z
n
|?|z|
n
。
z
2
|z
2
|
5.实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
的解：
?b?b
2?4ac
b
2
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
2a
2
③若
??b?4a c?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共 轭复数
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
根
x? (b?4ac?0)
.
2a

13

第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
A?B
；
⑵事件A与事件B相等：若
A?B,B?A
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
A?B
（或
A ?B
）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
A?B
（或
AB
） ；
⑸事件A与事件B互斥：若
A?B
为不 可能事件（
A?B?
?
），则事件A与互斥；
⑹对立事件：
A?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：
P(A)?
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
构成事件A的区域长度（面积或体积等）
；
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
第十二部分 统计与统计案例
⑶几何概型：
P(A)?
1．抽样方法：
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按
预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
n

N
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频 率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分
布直方图。
3．总体特征数的估计：
n
⑴样本平均数
x?
1
(x1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
；
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x )
2
?????(x
n
?x)
2
]
?
1< br>?
(x
i
?x)
2
；
n
n
i?1

14

n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]=
1
(x?x)
2

?
i
n
n
i?1

第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止框）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r =0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质数 n是质数 i=i+1
i=2
i
?
n或r=0? 否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：
⑶循环语句：
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理
注意区分：“甲是乙 的充分条件（甲
?
乙）”与“甲的充分条件是乙（乙
?
甲）”
（2 ）利用集合间的包含关系：例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B是A的必要
条件 ；若A=B，则A是B的充要条件。
3．四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

4。四种命题：

15

⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若
?
p则
?
q； ⑷逆否命题：若
?
q则
?
p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
6.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有
n
个
至多有（
n?1
）个
小于 不小于 至多有
n
个
至少有（
n?1
）个
对所有
x
， 存在某
x
，
成立 不成立
p
或
q

?p
且
?q

对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
成立
p
且
q


?p
或
?q

第十五部分 推理与证明
1．推理： < br>⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归
纳 、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为 归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理： 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有
这些特征的推理，称为类比 推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前提
---------所研究的特殊情况； ⑶结论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
2．证明：
⑴直接证明 ①综 合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的
推理论证，最后推导出所要 证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或
由因导果法。
②分析法：一 般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证
明的结论归结为判定一个 明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法
叫分析法。分析法又叫逆推证法或 执果索因法。
（2）间接证明（反证法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此
说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论

1.容斥原理：
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)

card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card(AIB)

?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBI
.
n
2.从集合
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
?
到集合
B?
?
b
1
,b
2
,b
3
,???,b
m
?
的映射有
m
个.
3.函数的的单调性：

16

(1)设
x
1
,x
2
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x
1< br>)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)? f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)
为减函数.
4.函数
y?f(x)
的图象的对称性:
①
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x )
；
a?b
②
y?f(x)
的图象关于直线
x?
对称
?f(a?x)?f(b?x)
?f(a?b?x)?f(x)
；
2< br>③
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?f
?
x
?
??f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?0
，
的图象 关于点对称
y?f(x)(a,b)
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?< br>?
f
?
x
?
?2b?f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
5.两个函数的图象的对称性:
①函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对 称；
②函数
y?f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于 直线
x?a
对称；
③函数
y?f(x)
的图象关于直线
x ?a
对称的解析式为
y?f(2a?x)
；
④函数
y?f(x)< br>的图象关于点
(a,0)
对称的解析式为
y??f(2a?x)
； < br>⑤函数
y?f(x)
和函数
y?f
?1
(x)
的图象 关于直线
y?x
对称.
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
于原
点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶
函数．
nn?1
7．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1x?L?a
0
的奇偶性：
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)< br>是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8. 若 将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函 数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图 象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0的图象.
9. 几个常见的函数方程：
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数< br>f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
. (3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x) ?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
(5)余弦函数f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f (x)f(y)?g(x)g(y)
，f(0)=1.
10.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a； （2）
f(x?a)??f(x)
，或
f(x?a)?
则
f(x )
的周期T=2a；
?
'
x
1
1
(f(x)?0 )
，或
f(x?a)??
(f(x)?0)
,
f(x)
f(x)

17

11.①等差 数列
?
a
n
?
的通项公式:
a
n
?a1
?
?
n?1
?
d
,或
a
n
?a
m
?(n?m)d
?d?
②前n项和公式:
s
n
?
a
n
?a
m
.
n?m< br>n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
222212.设数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
奇是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的和 ，则
①前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
；
②当n为偶数时，
S
偶
?S
奇
?
③当n为奇数时， 则
S
奇

n
d
，其中d为公差；
2
S< br>n?1n?1
n?1
a
中
，
S
偶
?a
中
，
奇
?
，
?S
偶
?a
中
，
S
奇
?
22
S
偶
n?1
S?S
偶
S
n
?
奇
?n
（其中
a
中
是等差 数列的中间一项）
S
奇
?S
偶
S
奇
?S
偶
13.若等差数列
?
a
n
?
和
?
bn
?
的前
2n?1
项的和分别为
S
2n?1
和
T
2n?1
，则
a
n
S
2n?1
?
.
b
n
T
2n?1
14.数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*< br>，那么（
S
2k
?S
k
）
2
=
S< br>k
·
S
3k
?S
2k
.
15.分期付款(按揭贷款)：
ab(1?b)
n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
). < br>n
(1?b)?1
11
?
11
?
111
??
?
?
??
16.裂项法：①； ②
?
；
?2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1
?
n
?
n?1
?
nn?1
11n11
?a?b
；④
??
③.
????
a?bn?1 !n !n?1 !
a?b
??
17．常见三角不等式:
（1）若
x?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
nn
??
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,n为偶数
?
(?1)
2
cos
?
,n为偶数sin(?
?
)?
?
?
?
)?
?
；< br>cos(
.
n?1n?1
22
?
(?1)
2
cos
?
,n为奇数
?
(?1)
2
sin
?,n为奇数
??
?
18.正弦、余弦的诱导公式：
即:“奇变偶不变, 符号看象限”.如
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
.
2
?
1?tan
2
?
2tan
?
2tan
?
cos2
?
?< br>tan2
?
?
19.万能公式:
sin2
?
?
；；（正切倍角公式）.
2
22
1?tan
?
1?tan
?
1?tan
?
?
sin
?
1?cos
?
20.半角公式:
tan?
.
?
21?cos
?
sin
?
21.三角函数变换:
①相位变换:
y?sinx
的图象
???????????
y?sin?
x?
?
?
的图象；
向左
?
?
?0
?
或向右
?
?
?0
?
平移
?
个单 位

18

1
横坐标伸长
?
0?
?
?1
?
或缩短
?
?
?1
?
到原 来的倍
???
y?sin
?
x
的图象； ②周期变换:
y? sinx
的图象
???????????
?
③振幅变换:
y?sin x
的图象
?????????????
y?Asinx
的图象.
22.在△ABC中，有
纵坐标伸长
?
A?1
?
或缩短< br>?
0?A?1
?
到原来的A倍
C
?
A?B
? ?
?2C?2
?
?2(A?B)
；
222
②
a? b?sinA?sinB
（注意是在
?ABC
中）.
23.线段的定比分点 公式：设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)是线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，
①
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)?
x
1
?
?
x
2
?
uuuruuur
x?
uuu r
uuuruuuruuuruuuruuur
?
OP
?
1?
?
1
?
?
OP
2
且
PP
?
OP ?
?
OP?tOP
1
?
?
PP
2
，则?
1
?(1?t)OP
2

y?
?
y
1?
?
2
?
y?
1
?
1?
?
?< br>1
）.
1?
?
uuuruuuruuur
24.若
OA?xOB?yOB
，则
A
、
B
、
C
共线的充要 条件是
x?y?1
.
25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别 为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
（其中
t?
则其重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
, )
.
33
26.②函数
y?f
?
x
?
按 向量
a?
?
h,k
?
平移后的解析式为
y?k?f
?
x?h
?
.
27.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)< br>.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量a=< br>(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y?f (x)
,则
C
的函数解析
式
为
y?f(x?h)?k
.
(4) 曲线
C
:
f (x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
''
''
''
'
f(x?h,y?k)?0< br>.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移 后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
28. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
?ABC
所在平面上 一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则：
uuur< br>2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuurr（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
? ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuuruuur uuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB? cOC?0
.
22
29.常用不等式：
a
2
?b
2
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
?ab?
(当且仅 当a＝b时取“=”号)．
2
a?b
?
a?b
?
?ab< br>?ab?
?
(2)
a,b?R
?
?
(当且仅当a＝b 时取“=”号)．
2
?
2
?
?
2
333
(3)
a ?b?c?3abc
?
a?b?c?3
3
abc
(当且仅当
a?b?c
时取“=”号)．

19

(4) 绝对值不等式：
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(注意等号成立的条件).
a?ba
2
?b
2
?ab??(a?0,b?0)
. (5 )
11
22
?
ab
22222
（6）柯西不等式：
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

1
30.最大值最 小值定理:如果
f
?
x
?
是闭区间
?
a,b
?
上的连续函数,那么
f
?
x
?
在闭区间
?a,b
?
上有最
大值
和最小值.
40.复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
41. 复数
z?a?bi
的模（或绝对值）：
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
42.复数的四则运算法则：
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;(2)
(a?b i)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
.
222
c?dc?d
43.复数的乘法的运算律：对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
，有：交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z
1?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
. 分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z
1
?z
2
?z
1
?z3
.
(4)
(a?bi)?(c?di)?
44.复平面上的两点间的距离公式 ： d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
（
z< br>1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
45.向量的垂直：
u uuuruuuur
非零复数
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1
，
OZ
2< br>，则
uuuuruuuur
z
222

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
2
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|

z
1
?
|z< br>1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
46.对虚数单位
i
,有
i
4n?1
?i,i
4n?2< br>??1, i
4n?3
??i, i
4n
?1
.
47.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如
a?bi

与
a?bi
?
a,b?R
?
互为共轭复数.
32
48.
?
?1?
?
?
?1
?
?
?
?
?1?0?
?
?1
或
?
??
??
13
?i
.
22
49.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域：
设直线
l:Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域是：
若
B?0
，当
B
与
A x?By?C
同号时，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
A x?By?C
异号时，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. < br>若
B?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
50. 圆的方程的四种形式：

20

（1）圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程 :
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4 F
＞0).
22
222
?
x?a?rcos
?
（ 3）圆的参数方程:
?
.
y?b?rsin
?
?
（4）圆 的直径式方程:
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1< br>)(y?y
2
)?0

(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)< br>).
51.圆中有关重要结论:
2
222
(1)若P(
x
0
,
y
0
)是圆
x?y?r
上的点,则过点P(< br>x
0
,
y
0
)的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
.
(2)若P(
x
0
,
y
0
)是圆
(x?a)?(y?b)?r
上的点,则过点P(
x
0
,
y
0
)的切线方程为
222
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2
.
(3)若P (
x
0
,
y
0
)是圆
x?y?r
外一点, 由P(
x
0
,
y
0
)向圆引两条切线, 切点分别为A、B ，
2
则直线AB的方程为
xx
0
?yy
0
?r.
222
(4)若P(
x
0
,
y
0
)是圆
(x?a)?(y?b)?r
外一点, 由P(
x
0
,
y
0
)向圆引两条切线, 切点
分别为
2
A、B，则直线AB的方程为
(x
0
?a) (x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
.
222
52.圆的切线方程：
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x< br>0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条，其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0< br>y???F?0
表示过两个切点的切点
22

x
0
x?y
0
y?
弦方程．
②过圆外一点的切线 方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求 k，这时必有
两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
2
222
(2)已知圆
x?y?r
，过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0x?y
0
y?r
.
?
x?acos
?
x2
y
2
53.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
55. 椭圆的切线方程 ：
x< br>2
y
2
xxyy
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的 切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
abab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y2
22222
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)< br>与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
56.

21

x
2y
2
b
57.(1)双曲线
2
?
2
?1(a? 0,b?0)
的渐近线方程为
y??x
；
ab
a
x
2
y
2
a
(2)双曲线
2
?
2
?1(a ?0,b?0)
的渐近线方程为
y??x
.
ba
b
58. 双曲线的切线方程：
x
2
y
2
xxyy
(1)双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2< br>?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（ 2过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x< br>0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x< br>0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
22222
（3）双 曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C ?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
x
2
y
2
59.(1)P是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它的两个焦点,∠F
1
P F
2
=θ，则
ab
△P F
1
F
2
的面积=
btan
2
?
2
.
x2
y
2
(2)P是双曲线
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它的两个焦点,∠F
1< br>P F
2
=θ，则
ab
△P F
1
F
2
的面积=
bcot
2
?
2
.
2y
22
60.抛物线
y?2px
上的动点
P
?
x
0
,y
0
?
可设为P
(
0
,y
0
)
或
P(2pt,2pt)
.
2p
p
2
61.(1)P(
x
0
,
y
0
)是抛物线
y?2 px
上的一点,
F
是它的焦点,则
PF?x
0
?
；
2
2p
2
(2)抛物线
y?2px
的焦点弦长
l?
,其中
?
是焦点弦与x轴的夹角；
sin
2
?
2
(3) 抛物线
y?2px
的通径长为
2p
.
62. 抛物线的切线方程：
2
(1) 抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y ?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
63.圆 锥曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0< br>.
64.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关 于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2 x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F( x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是：
22
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
222
65.“四线”一方程：
2
对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy?Dx? Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
，用
y0
y
代
y
，

22

用
x
0
y?xy
0
x?xy?y
代
xy
，用
0
代
x
，用
0
代
y
即得方程 222
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0，曲线的切线，切点弦，中
222
uuuruuuruuuruuur
66.对空 间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
，
则四点P、A、B、C共面
?
x?y?z?1
．
67.空间两个向量的夹角公式:
cosa,b?
点弦，
弦中点方程均是此方程得到.
a
1
b
1
?a
2< br>b
2
?a
3
b
3
a
1
?a
2
?a
3
?b
1
?b
2
?b
3
2 22222
，其中
a?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
，
b?
?
b
1
,b
2
,b
3
?
. 异面直线所成角
?
的求法：
?
?
cos
?
?cos?a,b?

68.直线
AB
与平面
?
所成角
?
满足:
sin
?
? cosAB,m?
AB?m
AB?m
,其中
m
为面
?
的法向量.
69.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
满足: cos
?
?cosm,n
,其中
m
、
n
为平面
?
、
?
的法向量.
70.空间两点间的距离公式:若
A
?
x
1
,y
1
,z
1
?
B
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,则
d
A,B
?
?
x
2
?x
1
?2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?< br>?
z
2
?z
1
?
2
.
1
a
71.点Q到直线
l
的距离:
h?
向量
b?PQ
.
72.点B到平面
?
的距离:
d?
?
a?b
?
?
?
a?b
?
,点P在直线
l
上,直线
l
的方向向量
a?PA
,
2
2
AB?n
n
,
n
为平面
?
的法向量,
AB
是面
?
的一条 斜线,
A?
?
.
73.(1)设直线
OA
为平面
?
的斜线,其在平面内的射影为
OB
,
OA
与
OB
所成的角为
?
1
,
OC
在
平面
?
内,且 与
OB
所成的角为
?
2
,与
OA
所成的角为
?
,则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.
(2)若经过
?BOC
的顶点的直线
OA
与
?BOC
的两边
OB
、
OC
所在的角相等，则
OA
在
?BOC
所在平面上的射影为
?BOC
的角平分线；反之也成 立.
S
'
'
74. 面积射影定理:
S?
(平面多边形及 其射影的面积分别是
S
、
S
，所在平面成锐二面角
cos
?
?
).
75.分类计数原理:
N?m
1
?m
2< br>?L?m
n
.分步计数原理:
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
mm?1
m
76.排列恒等式:①
An
?(n?m?1)A
n
； ②
A
n
?
nmm?1
m
A
n?1
； ③
A
n
?nA
n?1
；
n?m

23

nn?1nmmm?1
④
nA
n
?An?1
?A
n
； ⑤
A
n?1
?A
n
?mA
n
.
77.常见组合恒等式:
⑴
C
n
?
⑸
m
n?m?1
m?1
nn
m?1
?1
mmm
; ⑶
C
n
;⑵
C
n
?C
n
C?C
n?1
; ⑷
kC
n
k
?nC
n
k
?1
?1n
mn?mm
rr?1
C
r
r
?C
rr
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?C
n?1
.
012rnn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
?2
.
135024n?1
(7)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
??? 2
.
123nn?1
(8)
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n?2

mm
！?C< br>n
78．排列数与组合数的关系是：
A
n
?m

79 ．单条件排列：以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列. mm?1
m?1
（1）“在位”与“不在位”：①某（特）元必在某位有
A
n?1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1
< br>1m?1m1m?1
（补集思想）
?A
n?1
A
n?1
（着眼位置）
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：
k(k?m?n)< br>个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k
种.
n?k? 1k
km?k
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k ?1
A
k
种.此类问题常用捆绑法；②浮动紧贴：
③插空：两组元素分别有 k、h个（
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组
hk
互不 能挨近的所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空 ：
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n
A
m
n
?1
当
n?m?1
时，无解；当
n ?m?1
时，有
n
?C
m?1
种排法.
A
n（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为
C
m? n
.
80．分配问题：
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
mn个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配方法数共有
nnnnn
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2n
???C
2n
?C
n
?
n
(mn)!
.
m
(n!)
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
mn
个物体等分为无记号或无顺序 的
m
堆，其分配方法数
nnnnn
C
mn
?C
mn
(mn)!
?n
?C
mn?2n
...?C
2n
? C
n
?
共有
N?
.
m!m!(n!)
m
⑶(非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+L+n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分
完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m个数彼此不相等，则其分配方
n
m
n
1
n
2
法 数共有
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!?
p!m!
.
n
1
!n
2
!. ..n
m
!
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+L+n
m
)
个物体分给
m
个 人，物件必须
被分完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，< br>n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…
p!m!
.
a!b!c!...
n
1
!n
2
!...n
m!(a!b!c!...)
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+L+n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，…，
n
m
个相等，则其分配方法数有
N?

?
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等 ，则其分配方法数有
n
m
n
1
n
2
C
p< br>?C
p?n
1
...C
n
m
?m!

24

N?
p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
n0n1n?12n?22rn?rrnn
81．二项式定理:
(a?b)?C
n
a?C
n
ab?C< br>n
ab???C
n
ab???C
n
b
；
rn?rr
二项展开式的通项公式：
T
r?1
?C
n
ab< br>(r?0，1，2?，n)
.
82．等可能性事件的概率：
P(A)?
m个结果）
m
.（一次试 验共有n个结果等可能的出现，事件A包含其中
n
83．①互斥事件
A
、B
有一个发生的概率：
P
?
A?B
?
?P
?< br>A
?
?P
?
B
?
；
n
个互斥事件中 有一个发
生的概率：
P
?
A
1
?A
2
?? ???A
n
?
?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?????P
?
A
n
?
；
②
A
、
B
是两个任意事件，则
P
?
A ?B
?
?1?PA?B?1?PA?B
.
84．相互独立事件
A< br>、
B
同时发生的概率：
P
?
A?B
?
?P< br>?
A
?
?P
?
B
?
；
n
个 相互独立事件同时发
生的概率：
P
?
A
1
?A
2< br>?????A
n
?
?P
?
A
1
?
? P
?
A
2
?
?????P
?
A
n
?
．
（上接第8页） 第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理：
⑴排列数公式:
A
n
=n(n-1)(n-2) …(n-m＋1)=
n
m
????
n!
(n?m)!
(m≤ n, m、n∈N*),
当m=n时为全排列
A
n
=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
n！
A
n
m
n(n?1)?(n?m?1)
*
⑵组合数公式：
C
=
m
==(
n
，
m
∈ N，且
m?n
)
m！?(n?m)！
1?2???m
A
m
m
n
⑶组合数性质：
C
n
m
?C
n
n?m
;C
n
m
?C
n
m?1
?C
n< br>m
?1

n0n1n?11kn?kknn?
⑷二项式定理：
(a?b)?C
n
a?C
n
ab???C
n
ab???C< br>n
b(n?N)

rn?rr
①通项：
T
r?1?C
n
ab(r?0,1,2,...,n);
②注意二项式系数与系数的区别
⑸二项式系数的性质：（展开时有
n?1
项）
①与首末两端等距离的二项式 系数相等；②若n为偶数，中间一项（第
式系数最大；若n为奇数，中间两项（第
n
＋ 1项）二项
2
n?1n?1
和＋1项）二项式系数最大；
22
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计：
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p
i
≥ 0, i=1,2,3，…； p
1
+p
2
+…=1;
②离散型随机变量：
X
1
x

P
1
2
X

P
2
…

n

…

X…
P

P…


25

n
均值（又称期望）：EX＝ x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
+ …
222
方差：DX＝
(x
1
?EX)p
1
?(x
2
?EX)p
2
?????(x
n
?EX)p
n
????

注：
E(aX?b)?aEX?b;D(aX?b)?aDX
；
⑵条件概率 ：称
P(B|A)?
2
P(AB)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的概 率。注：0
?
P（B|A）
P(A)
?
1
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数
n
有关的一个命题，可按以下步骤进行：
?
⑴证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；⑵假设 当
n?k(k?n
0
,k?N)
命题成立，证明当
n?k?1
时命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从
n
0
开始所有的正整数都成立。此证 明
方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
②
n
0
的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。


26