高中数学基础知识要点一览表

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-01）
（1） 集合与函数
* 集合与元素的关系：a
?
A，b
?
A。
* 集合与集合的关系：子集A
?
B,（真子集A
?
B、相等A=B）。；
* 集合与集合的运算：交集A
?
B、并集A
?
B、补集C
U
A。
* n元集的子集有2
n
个，其中真子集有2
n
- 1个，非空子集有2
n
-1个。
* 涉及A
?
B的问题，要考虑A=
?
的情况.
* card(A?
B)=card(A)+card(B)-card(A
?
B)
* 从m元集A到n元集B的映射有n
m
个。
* 求函数定义域，主要考虑：（1） y=g(x)f(x)，(f(x)
?
0)；
（2）y=
f(x)
，(f(x)
?
0)； （3）y=log
a
f(x)，(f(x)>0).
* 求函数最值和值域：配方法、求导法、均值不等式法、利用已知函数的单调
性等，(注意比较闭区间上的极值和端点值)。
* 函数的奇偶性：（1）定义域关于原点对称，
(2）f(-x)=f(x)
?
f(x)为偶函数
?
图像关于y轴对称；
f(-x)=-f(x)
?
f(x)为奇函数
?
图像关于原点对称。
(3) 对于奇函数f(x)：f(0)=0或f(0)无意义。
* 在关于原点的对称区间上：奇函数的增减性相同，偶函数的增减性相反。
* 函数的单调性：(1) 单调性一定要落实在“区间”上；
(2)在给定的区间内任取x
1
、x
2< br>且x
1
2
,
若都有f(x
1
)2
),则f(x)在该区间内为增函数；
若都有f(x
1
)>f(x
2
),则f(x)在该区间内为减函数。
* 单调性相同的函数f与g复合，则复合函数f(g(x))为增函数；
单调性相反的函数f与g复合，则复合函数f(g(x))为减函数。

* 函数的周期性：,
定义：存在非零常数T，对定义域内任意x都有f(x+T)=f(x)。（T为周期）。
说明：（1）周期函数的定义域无限；
（2）周期函数的图像在每一个周期内重复出现
（3）T中若有最小正值，叫“最小正周期”，三角函数的周期是指最小
正周期
* 连续函数f(x)在区间[a,b]上有f(a).f(b)<0,则y =f(x)在[a,b]上有零点。
（二分法求方程近似解的理论依据）

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-02）

（2） 基本初等函数
* 指数运算法则 ：a
m
a
n
=a
m+n
,(a
m
)
n
=a
mn
, (ab)
n
=a
n
b
n
,(a>0,b>0,m、n
?
R)
* 对数运算法则：log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N,
log
a
(MN)=log
a
M-log
a
N, log
a
M
n
=nlog
a
M.
* 对数换底公式：log
a
N=log
b
Nlog
b
a. (a、b>0且a、b
?
1,M、N>0，n
?
R)
* 指数函数：y=a
x
(x
?
R,y>0)
（1）a>1时递增 （2）0y y





1
O
x
O
1
x

* 对数函数：y=log
a
x (x>0,y
?
R)
（1）a>1时递增 （2）0






*
幂函数：y=x















y y
O
1
x
O
1
x
?
, (只研究
?
=1、2、3、12、-1的情况)
y y
y
（1）y=x （2）y=x
2
（3）y=x
3


1
O
1
x
1 1
O
1 -1
x
1
-1
O
-1
1
x
（4）y=x
12
（5）y=x
-1

y
y
1
O
1
x
1
-1
O
-1
1
x

长沙县一中高中数学基础知识要点 （W-03）

(3) 导数
* 导数公式：（1）C

=0, （2）(x
n
)

=nx
n-1
, （3）(sinx)

=cosx,
（4）(cosx)

=-s inx,（5）(e
x
)

=e
x
, （6）(a
x
)

=a
x
lna(a>0),
（7）(lnx)

=1x, （8）(log
a
x)

=1(xlna).
* 导数运算法则：（ 1）[f(x)
?
g(x)]

=f

(x)
?
g

(x)
（2）[f(x) g(x)]

=f

(x)g(x)+f(x)g

(x), < br>f(x)

f

(x)g(x)?f(x)g

(x)（3）[]=
2
g(x)
g(x)
* 导数的应用：
（1） 在点(x
0
,f(x
0
))处的切线斜率k=f

(x),
切线方程为：y-f(x
0
)=f(x
0
)(x-x
0)；
（2）讨论函数单调性：在某区间上，若f

(x)>0,则f(x)递增；
若f

(x)<0,则f(x)递减。
（3）求函数的极值和在闭区间上的最大值或最小值（比较极值和端点值）。
* {特例1}：三次函数：f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d.
f

(x)=3ax
2
+2bx+c , (
?
=4(b
2
-3ac))
（1）当
?
>0时, f(x)=3a(x-x
1
)（x-x
2
），f(x)=0有两解（x
1
2
）。
f(x) 有两个极值点x
1
、x
2
；三个单调区间：（-
?
，x1
）、（x
1
,x
2
）、（x
2
,+
?
）。



X
1

X
2



y=f(x)

y=f(x)
X
1


X
2

x
x
在R上： a>0时,增、减、增； a<0

时，减、增、减。
（2）当
?
=0时, f

(x)=3a(x-x
1
)
2
，f

(x)=0有一解，f(x)无极值点。



X
1


y=f(x)
x
y=f(x
)
X
1

x

f(x)单调递增， a<0时，f(x)

单调递减。 在R上： a> 0时，
（3）当
?
<0时,f

(x)=3a(x-x
1)
2
+D,(aD>0)；f(x)无极值点。


y=f(x)
y=f(x)
X
1

x

X
1

x
在R上：

a>0时，f(x)单调递增， a<0时，f(x)单调递减

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-04）
* {特例2}：“勾”函数：f(x)=x+
11
, f

(x)=1-
2
=0有两解x=
?1
。
x
x
y
f(x)有极大值f(-1)=-2，极小值f(1)=2。
递增区间：（-
?
，-1）、(0,1)；
递减区间：（-1，0）、(1，+
?
)。
渐近线：直线x=0和直线y=x。

2
-1
O
1
-2
x
（4） 不等式
* 不等式公理：（实数大小比较法则）
（1）a-b>0
?
a>b , （2）a-b=0
?
a=b , （3）a-b<0
?
a* 不等式基本性质：
（1）a >b,b>c
?
a>c；(传递性)。（2）a>b
?
a+c>b+c；(加 法单调性)。
（3）a>b,c>0
?
ac>bc； （4）a>b,c<0
?
ac* 一元一次不等式：ax>b,
解法：(1)若a>0,则解为x>
bb
； (2)若a<0,则解为x<；
aa
（3）若a=0,则当b<0时，解为x
?R；当b
?
0时，解为x
?
?
。
*解一元二次不等式，首先确定二次项系数a>0,再看二次三项式能否分解因式：
(1)
?
>0时：① ax
2
+bx+c>0, 化为a(x-x
1
)(x-x
2
)>0,
解为x1
或x>x
2
， (大于0，两头分)。
②ax
2
+bx+c<0, 化为a(x-x
1
)(x-x
2
)<0,
解为 x
1
2
， (小于0，取中间)。
(2)
?
=0时： ①ax
2
+bx+c>0, 化为a(x-x
1
)
2
>0,
解为 x
?
R ,且x
?
x
1
，(x
1
=-b2a)。
②ax
2
+bx+c<0, 化为a(x-x
1
)
2
<0, 无解。
（3）
?
<0时：①ax
2
+bx+c>0, 解为x
?
R ；
②ax
2
+bx+c<0, 无解。
* 当
?
<0时，y=ax
2
+bx+c与a同号
* 二元一次不等式的几何意义：
（1）A>0时：（1） Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的右侧的平面区域；
（2） Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的左侧的平面区域。
（2）A=0,B>0时：（！）By+C>0表示直线By+C=0的上方的平面区域；
（2）By+C<0表示直线By+C=0的下方的平面区域。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-05）
*
二元线性规划问题：
（1）确定“可行域”：由线性约束条件（二元一次不等式组）中各不等式
确定的平面区域的公 共部分。
（2）确定目标函数z=Ax+By,将直线L
0
:Ax+By=0平移到 可行域的顶点
（最优解），确定z的最值。
当B>0时，上移值大，下移值小；当B<0时，上移值小，下移值大。
a?b
* 基本不等式：）。
?ab
（a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”
2
a?b
2
* 利用a+b
?
2
ab
和ab
?
()求函数最 值，注意“一正二定三相等”。
2
(5) 三角函数
?
* 弧度与角度的换算：
?
rad=180,
???
1rad=(180
?
)=(57.3), 1=(
?
180)rad=0.01745rad.
* 弧长公式：L=
?
r. 扇形面积公式：S=Lr2=
?
2
r2.（
?
为圆心角的弧度数）
*三角函数的定义：
(1)坐标定义：在∠
?
终边上任取一点P(x,y), 设
OP
=r,
yxy
, cos
?
?
, tan
?
=(x
?
0)。
rx
r
说明：记忆三角函数正值对应象限的口诀：
则sin
?
=
一全正、二正弦、三正切、四余弦。
(2)几何定义：单位圆中三角函数线。（正弦线、余弦线、正切线）。
说明：1、可利用三角函数线判断三角函数符号、值的变化和单调性；
2、可利用单位圆中三角函数线解简单三角不等式。
3、可利用三角函数线判断sin
?
+cos
?
、sin
?
-cos
?
的符号；
①t=sinα+cosα（图1） ② u=sinα-cosα（图2） *（图3）
y
y t >0
t =1

t =0
y
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
x
Ⅳ
Ⅱ Ⅲ
u>0
t =
2



t = -1
t =

x
x
u<0
Ⅳ
Ⅰ
?2


t =0
t = -1
t <0

* 利用（图3），可由
?
所在的象限推知所在的位置：图中数字I、II、III、
?
IV表示
?
所在的象限，图中各扇形表示所在的位置
2

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-06）
* 同角三角函数的基本关系式： （1）sin
2
?
+cos
2
?
=1, （2）
sin
?
=tan
?
.
cos
?
说明：由一个角
?
的正（余）弦值求余（正）弦值时，涉及开平方，
符号由角
?
所在象限确定)。
* 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
（1）sin(2k
?
+
?
)=sin
?
, cos(2k
?
+
?
)=cos
?
, tan(2k
?
+
?
)=tan
?
.
（2）sin(
?
-
?
)=sin
?
, cos(
?
-
?
)=-cos
?
, tan(
?
-
?
)=-tan
?
.
（3）sin(
?
+
?
)=-sin
?
, cos(
?
+
?
)=-cos
?
, tan(
?
+
?
)=tan
?
.
（4）sin(-
?
)=-sin
?
, cos(-
?
)=cos
?
, tan(-
?
)=-tan
?
.
??
（5）sin(-
?
)=con
?
, cos(-
?
)=sin
?
.
22
??
（6）sin(+
?
)=con
?
, cos(+
?
)=-sin
?
.
22
*
三角函数的性质：
（1）正弦函数：y=sinx,
定义域： x
?
R；值域： y
?
[-1,1]； 周期：T=2
?
； 奇函数。
??
递增区间：[2k
?
-, 2k
?
+],（k
?
Z）； （图4）
22
?
3
?
递减区间：[2k
?
+, 2k
?
+],（k
?
Z）。
2
2
减
增
?
图像对称轴：直线x=k
?
+,（k
?
Z）；
2
对称中心：点（k
?
，0）,（k
?
Z）。
（2）余弦函数：y=cosx ,
定义域：x
?
R；值域：y
?
[-1,1]；周期：T=2
?
；偶函数。.
递增区间：[2k
?
-
?
,2k
?
+
?
]，（k
?
Z）； （图5）
递减区间：[2k
?
,2k
?
+
?
]，（k
?
Z）。
减
图像对称轴：直线x=k
?
,（k
?
Z）；

增
?
对称中心：点（k
?
+，0）,（k
?
Z）。
2
（3）正切函数：y=tanx,
??
定义域：x
?
(k
?
-,k
?
+),（k
?
Z）； 值域：y
?
R；
22
周期T=
?
； 奇函数。 ??
递增区间:(k
?
-,k
?
+)，（k
?
Z）. （图6）
22
增
增
k
?
对称中心：点（，0）（k
?
Z）
2

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-07）

* 三角函数的图像：
(1)y=sin x,x
?
[0,2
?
].(2)y=cosx,x
?
[0, 2
?
].(3)y=tanx,x
?
(-






1
-1
O
y
y
y
?
?
,)
22

3
?

π
2
2π
1
-1
O
?

2
x
?

2
π

3
?
2π
x

2
?
-
2
O
?
2

x
*
函数y=Asin(
?
x+
?
),(A>0,
?
>0): 振幅A, 周期T=2
?

?
, 初相
?
.
?3
?
2
?
求出相应的x值作图像：（1）“五点法”作图：由
?
x?
?
=0、
、
?
、、
22
和y=0、A 、0、-A、0对应，确定五点。
（2）“变换法”作图： y=sinx的图像
???????????

1
?
倍
y= sin(x+
?
)的图像
?
各点横坐标变为
???????
y=sin(
?
x+
?
)的图像
倍
?
各点纵坐标 变为
????
A
??
y=Asin(
?
x+
?)的图像。
?
?0向左，
?
《0向右，平移
?
个单位
(6) 三角恒等变换
*
和差角公式
：sin(
?
?
?
)=sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
,
cos(
?
?
?
)=cos
?
co s
?
?
sin
?
sin
?
,
tan (
?
?
?
)=
tan
?
?tan
?

1
?
tan
?
tan
?
* 倍角公式
：
sin2
?
=2sin
?
cos
?
，
< br>cos2
?
=cos
2
?
-sin
2
?=2cos
2
?
-1=1-2sin
2
?

2tan
?
tan2
?
=
1?tan
2
?
??
22
*
推出升幂降次公式：

1+cos
?
=2cos
2
，
1-cos
?
=2sin
2
；
cos
2
?
=

1?cos2
?
1?cos2
?
， sin
2
?
=
.
22
*
要求会推导积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆。
* 三角变换常用技巧：“正切化两弦，平方和化1；复角化单角，二次先降幂。”

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-08）
* 三角函数式求最值常见类型与处理方法：（a、b、c、d为常数）
（1）
利用-1
?
sinx
?
1,-1
?
cosx
?
1的：
asinx?basinx?b
， y=等形式。
csinx?dccosx?d< br>2
（2）
配方法
：如①
y=acosx+bsinx+c或y=aco s2x+bsinx+c等形式，
如y=asinx+b,y=acosx+b, y=
可化为sinx的二次式
,
然后配方。

②
y=asinx+bcosx+c或y=acos2x+bcosx+c等形式，
2
可化为cosx的二次式,然后配方
。
③
y=asinxcosx+b(sinx+cosx)+c,
可设
sin x+cosx=t
,则
sinxcosx=(t-1)2化为t的二次式
,
2
配方后利用
?2?t?2
确定最值。
(3)可化为y=Asin(2x+
?
)+C形式的：
如y=asin
2< br>x+bsinxcosx,y=acos
2
x+bsinxcosx等。
b
)。
a
* 较复杂三角函数式化简终极目标一般是先化“三个一”（一名一角一次），
（4）利用y=asinx +bcosx=
a
2
?b
2
sin(x+
?
),(
?
为辅助角，tan
?
=
即化为y=Asin(
?
x+
?
)+k的形式，再确定周期、最值、单调区间等。
(7) 解三角形
111111
absinC =bcsinA =casinB =ah
a
=bh
b
=ch
c
.
222222
* 正弦定理：asinA= bsinB= csinC= 2R
* 面积公式：S =
* 余弦定理： a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA, b
2
=c
2
+a
2
-2cacosB, c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC,
推论：( 1)cosA=(b
2
+c
2
-a
2
)2bc, cosB=(c
2
+a
2
-b
2
)2ca,
cosC=(a
2
+b
2
-c
2
)2ab,
(2)a
2
2
+c
2
?
C<90, a
2
=b
2
+c
2
?
C<90, a
2
>b
2
+c
2
?
C>90,
* 解三角形注意:
(1)条件中有对边对角，则用正弦定理；无对边对角，则用余弦定理。
(2)用正弦定理求得某角正弦值时，应考虑可能有锐角或钝角两解。
ab
?
* 直角三角形： C=90, 勾股定理a
2
+b
2
=c
2
, 面积公式S=,
2
外接圆半径R=

ca?b?c
,内切圆半径r=。
22
???

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-09）

(8) 平面向量
??
*
平行向量不包括
0
，向量平行包括
0

?
?
* 平 面向量基本定理：在一平面内，若向量
e
1
、
e
2
不共线， 则对这一平面内任
??
?
?
一向量
a
，存在唯一对实数?
1
、
?
2
，使
a
=
?
1< br>e
1
+
?
2
e
2
。
（向量正交分解和坐标表示的理论依据）。
* 平面向量的三个运算：设
a
=（x
1
,y
1
）,
b
=（x
2
,y2
）
1.向量的加减法:
（1）向量法：①三角形法则。②平行四边形法则。 （图7）
（2）坐标法：
a?b
=(x
1
?
x
2
,y
1
?
y
2
)。
2.向量的数乘法：
（1）几何意义：向量同向或反向的伸长或缩短。
（2）坐标运算：
?
a< br>=(
?
x
1
,
?
y
1
)。
3.向量的数量积：
?
?
（1）定义和坐标运算：
a?b
=
O
C B
b

a?b

a?b

a

A
?
?
a
b
cos
?
=x
1
x2
+y
1
y
2
.
（2）几何意义
：
a
的长度
a
与
b
在
a
方向上的投影
bc os
?
的乘积。
*
平面向量的三个重要结论：
?
?< br>2
?
2
?
??
2
?
?
?
?
?
2
?
2
?
2
?
2
（
1 ）
a
=
a
,（2）(
a
+
b
)=
a
+
2a?b
+
b
,（3）(
a
+
b)
?
(
a
-
b
)=
a
-
b< br>
*
平面向量的两个重要关系：
?
?
?
?
??
（1）平行：
a

b
(
a
?
0)?
a
=
?
b
（
?
?R
）
?< br>x
1
y
2
-x
2
y
1
=0 ?
?
?
?
（2）垂直：
a
?
b
?a?b
=0
?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
*平面向量的三个重要公式：
?
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
?
（1）两向量夹角公式：cos
?
=cos<
a
,
b>=
?
?
=。
2222
ab
x
1
? y
1
x
2
?y
2
?
（2）向量的模（长度）公式：
a
=
x
2
?y
2
。
（3）两点间距离公式：
P
1
P
2
=
(x< br>1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2)
2
。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-10）
(9) 空间几何体
* 棱柱、棱锥、棱台的表面积是各个面的面积之和。
* 圆柱的侧面展开图是矩形，表面积S= 2πr
2
+2πrl=2πr(r+l)。
* 圆锥的侧面展开图是扇形，表面积S=πr
2
+πrl=πr(r+l)。.
* 圆 台的侧面展开图是扇环，表面积S=πr
2
+πr
2
+πl(r
+r)= π(r
2
+r
2
+lr

+lr)。
11
* 柱体体积V=Sh, 锥体体积V=Sh, 台体体积V=(S

+
S

S
+S)h。
33
4
* 球的表面积S=4πR
2
； 球的体积V=
?
R
3
。
3
* 空间两点间距离公式：P
1
P
2
=
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
。
* 长方体对角线L,L
2
=a
2
+b
2
+c
2
。正方体外接球直径2R=
3
a；内切球直径2r=a。
* 正四面体棱长为a，高h=
31
6
a； 外接球半径R=h； 内切球半径r=h。
44
3
(10) 空间直线与平面
* 公理1：A、B
?
a, A、B
?
?
?
a
?
?
。(判断直线在平面内)。
* 公理2：A、B、C不共线
?
过A、B、C有且只有一个平面（确定平面位置）。
* 公理3：A
?
?
,A
?
?
?
?
?
?
=l,且A
?
l（确定两平面交线位置）。
* 公理4：ac,bc
?
ab。(判断两直线平行)。
* 等角定理：OAO

A

,OBO

B

?
?
AOB与?
A

O

B

相等或互补。
* (1).线面平行判定定理：a
?
?
, b
?
?
,且ab
?
a
?
.
(2).面面 平行判定定理：a、b
?
?
,a
?
b=P,且a、b
??
?

?
.
(3).线面垂直判定定理：b、c
?
?
, b
?
c=P, 且a
?
b,a
?
c
?
a
?
?
.
(4).面面垂直判定定理：a
?
?
,a
?
?
?< br>?
?
?
.
* (1).线面平行性质定理：a
?
, a
?
?
,且
?
?
?
=b
?
ab.
(2).面面平行性质定理：
?

?
,
?
?
?
=a,
?
?
?
=b
?
ab
(3). 线面垂直性质定理：a
?
?
,b
?
?
?
ab
(4).面面垂直性质定理：
?
?
?
于b, a
?
?
,且a
?
b
?
a
?
?
.
* 求异面直线夹角，关键是“平移”；
* 求直线与平面所成的角，关键是“作垂线、连射影”；
* 求二面角，关键是“作平面角”；

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-11）

（11） 直线与方程
* 直线倾斜角
?
?
[0,180
?
)， 直线斜率k=tan
?
,(
?
?90
?
).
*
过两点的直线的斜率公式
：k=
y
2
?y
1
,(x
1
?
x
2
).
x
2
?x
1
*
直线方程： (1.)点斜式：y-y
0
=k(x-x
0
)，（直线不与y轴平行）
(2).斜截式：y=kx+b，（直线不与y轴平行）
(3).两点式：
(4). 截距式：
y?y
1
x?x
1
=，（直线不与两轴平行）
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
+=1 ， （直线不与两轴平行且不过原点）
a
b
(5).一般式：Ax+By+C=0， （A、B不同时为零）
（当B
?
0时，直线斜率k= -AB,纵截距b=-CB）
* 两直线位 置关系：(1).平行
?
k
1=
k
2
且b
1
?
b
2
或A
1
B
2
-A
2
B
1
=0且A
2
C
1
-A
1
C
2
?
0(或B
1
C
2
-B
2
C
1< br>?
0)；
(2).相交
?
A
1
B
2
-A
2
B
1
?
0； （解方程组求两直线交点坐标）
(3).垂直
?
k
1
k
2
= -1或A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
* 三个距离公式：(1).两点间距离：
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2< br>)
2
；
(2).点到直线距离：d=
Ax
0
?By
0
?C
A?B
C
1
?C
2
A?B
22
22
；
(3).两平行直线距离d=。
* 与两平行直线等距离的 直线方程：Ax+By+
x
1
?x
2
y?y
2
，< br>1
）
22
C
1
?C
2
=0。
2
* 线段中点坐标：（
* 三角形中：求中线（两点式）；求高线（点斜式）；求中垂线（点斜式）。
* 特殊对称点：（1）点P(x,y)关于原点O（0,0）的对称点为P

(-x, -y)；
点P(x,y)关于中心点M（a,b）的对称点为P

(2a-x,2b-y)。
(2) 点P(x,y)关于X轴的对称点为P

(x, -y)；
关于Y轴的对称点为P

(-x, y)。
(3) 点P(x,y)关于直线
y?x
的对称点为P

(y,x)
；
点P(x,y)关于直线
y??x
的对称点为P

(?y,?x)
。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-12）

（12） 圆与方程
* 圆的方程：（1）标准方程：
①圆心C（a,b），半 径为r：x
2
+y
2
=r
2
；
②圆心C（a,b），半径为r：（x-a）
2
+（y-b）
2
= r
2
。
（2）一般方程： x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0 (D
2
+E
2
-4F>0)
D
E
1
圆心 C（-,-）,半径为r=
D
2
?E
2
?4F
。
2
2
2
*. 求圆的方程，用待定系数法：（1）已知圆心或半径或切线，设标准方程；
（2）已知圆上三点或两点坐标，设一般方程。
* 点P与圆的位置关系：比较点P到圆心C的距离
PC
与半径r的大小。
* 直线L与圆的位置关系：
比较圆心C到直线L的距离d与半径r的大小。（图8）
* 有关圆的切线问题，
考虑“圆心到切线的距离d等于半径r”。
* 圆与圆的位置关系：
比较两个圆心距
O
1
O
2
与两个半径R、r的和或差的大小 。
* 直线L与圆C相交所得弦长： （图9）
C
r
d

2

?

d

2
.（d为弦心距）。
AB
=2
r
A
* 两相交圆公共弦所在直线的方程：
（x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
）—（x2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2< br>）=0
即(D
1
—D
2
)x+(E
1
—E
2
)y+(F
1
—F
2
)=0。

C
d>r
d=r
dB
（13） 圆锥曲线与方程
* 椭圆：平面内到两定点F
1
、
、
、
F
2
距离之和为常数（2a>
F
1
F
2
）的点的轨迹。
x< br>2
y
2
（1）.标准方程：①焦点在x轴上：
2
+
2
=1；
ab
x
2
y
2
②焦点在y轴上：
2
+
2
=1。
ba
（2）.对称轴：X 轴、Y轴；长轴长2a，短轴长2b，焦距2c，c
2
= a
2
- b
2
。
（3）.离心率：e = ca (0长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-13）

* 双曲线：到两定点F< br>1
、
F
2
距离之差的绝对值为常数（2a<
F
1F
2
）的点的轨迹。
xy
x
2
y
2
（1）.标准方程：①焦点在x轴上：
2
-
2
=1， 渐近线
?
=0。
ab
ab
xy
x
2
y< br>2
②焦点在y轴上：
2
-
2
=1， 渐近线
??0
。
ba
ba
（2）.对称轴：X轴、Y轴；实轴长2 a，虚轴长2b，焦距2c，c
2
= a
2
+b
2
。
（3）.离心率：e = ca (e>1)
* 等轴双曲线：x
2
-y
2
=a
2
或y
2
-x
2
=a
2
, 渐近线y=
?
x, .离心率：e =
2
。
* 抛物线：平面内与一个定点F和定直线L的距离相等的点的轨迹。
1.标准方程:（1）开口向右： y
2
=2px ； 焦点（p2,0）； 准线x= -p2。
（2）开口向左： y
2
= -2px ；焦点（-p2,0）； 准线x= p2。
（3）开口向上： x
2
=2py ； 焦点（0，p2）； 准线y= -p2。
（4）开口向下： x
2
= -2py ；焦点（0，-p2）； 准线y= p2。
2. 离心率：e=1。
* 求圆锥曲线方程的常用解法：
（1）待定系数法：由已知条件确定a、b或p，直接写出标准方程；
（2）定义法：由已知几何条件，依据三种曲线的定义，确定曲线类型，
再求出方程；
x
2
y
2
x
2
y
2
* 求与双曲 线
2
?
2
=1共渐近线的双曲线，可设其方程为
2
?
2
=k,
abab
再由条件求k。
* 直线y=kx+m与圆锥曲线相交所截弦长公式：
AB?(1?k
2
)(x
1
?x
2
)
2
=
(1?
1
2

）（y?y）
12
2
k
（14） 极坐标
*

坐标系： 1.直线（一维）坐标系：（1）数轴,(x)。
2.平面（二维）坐标系：（1 ）平面直角坐标系,(x,y)；（2）极坐标系,(
?
，
?
)。
3.空间（三维）坐标系：（1）空间直角坐标系,(x,y,z)；
（2）柱坐标系,(< br>?
，
?
,z)；（3）球坐标系,(r,
?
，
?)

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-14）
,
?
?0）
x

?
?
x
（
* 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：在变换φ：｛

y?
?
y
,(< br>?
?0)
的作用下，点P(x，y)对应到点P

(x

，y

)。
、
（说明）x

=
?
x表示 点的横坐标伸长（0<
?
<1）或缩短(
?
>1)为原来的1
?倍；
Y

=
?
y表示点的纵坐标伸长（
?
>1 ）或缩短(0<
?
<1)为原来的
?
倍。

x
?
?
x
特例：（1）经过伸缩变换｛

，曲线y=sinx变为y

=Asin
?
x

。
y?Ay
x
2
y
2
(2)经过伸缩变换｛

,圆x+y=r变为椭圆
2
?
2
=1。
ab
y?by
222
x

?ax
*
极坐标和直角坐标的互化：
(1)x=
?
cos
?
,y=
?
sin
?

(2)
?
2
=x
2
+y
2
, tan
?
=
* 圆的极坐标方程：
（1）圆心在极点O(0,0),半径为r的圆方程：
?
=r；
（2）过 极点，圆心在极轴上点C(a,0),半径为a的圆方程：
?
=2acos
?
；
（3）过极点，圆心在极轴垂线上点C(a,
y
(x
?
0)，（一般取
?
?[0,2
?
)
）。
x
?
),半径为a的圆：
?
=2asin
?
； < br>2
(4)过极点，圆心在射线
?
=
?
上，半径为a的圆的方程 ：
?
=2acos（
?
-
?
）
* 直线的极坐标方程：
(
?
?R)
. （1）过极点，倾斜角为
?< br>(
0?
?
?
?
)的直线：
?
?
?< br>，
（2）过极点，与极轴所成角为
?
（
0?
?
?2< br>?
）的射线：
?
?
?
,(
?
?0)

(3) 过点A（a,0）（a
?
0）,且垂直于极轴的直线：
?
c os
?
=a.
(4) 过点A（a,
?
2）（a
?
0）,且平行于极轴的直线：
?
sin
?
=a.
(5) 过点P （
?
1
,
?
1
）,与极轴成
?
角的直线：
?
sin(
?
?
?
)=
?
1
si n(
?
?
?
1
)

.
长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-15）
（15）参数方程
*
曲线的普通方程化参数方程，关键是：选定参 数t，求出｛
x?f(t)
y?g(t)
。
* 曲线的参数方程化普通方程，关键是：消去参数t。
x?a?rcos
?
* 圆的参数方程：｛（
?
为参数），（圆心在（a,b），半径为r）。

y?b?rsin
?
* 椭圆的参数方程：｛
x?acos
?
，（
?
为参数）（中心在原点，焦点在x轴上）。
y?bsin
?
* 抛物线的参数方程：｛
x?2pt
2
y ?2pt
，（t为参数）（顶点在原点，开口向右）。
（
说明）利用参数方程设曲线上动点的坐标，可以比较方便解下列题目：
①求曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值及对应
点的坐标；
②求与曲线上的点（主动点）相关联的动点的轨迹方程。
x?x
0
?tcos
?
* 直线的参数方程：｛（t为参数），(过 点M
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为
?
)。
y?y
0
?tsin
?
（说明）（1）参数t的几何意义：t与直线 上点M（x,y）一一对应，
t
=
M
0
M
。
t> 0时,
M
0
M
的方向向上；t<0时,
M
0
M的方向向下。t=0对应定点M
0
。
。
（2）直线的参数方程的应用：
①求两直线的交点P到定点M
0
的距离：直线L
1
用参数方程表示，代入直线L
2
的普通方程，求出t, 即可得
M
0
P?t
；
②直线L与二次曲线C相交于A、B两点的问 题：直线L用参
数方程表示，代入曲线C的普通方程，得到一个关于t的一
元二次方程，此方程 的两解t
1
和t
2
分别与点A和点B对应，
（当定点M
0< br>在曲线外时，t
1
与t
2
同号；当M
0
在曲线内时，
t
1
与t
2
异号），再结合韦达定理考虑。
i.弦AB的 中点对应的t=
t
1
?t
2
；当定点M
0
为AB中 点时，t
1
+t
2
=0。
2
ii.弦长公式：
A B
=
t
2
?t
1
=
(t
1
?t< br>2
)
2
?4t
1
t
2

* 了解圆的渐开线、平摆线的生成过程，能推导其参数方程。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-16）

（16）数列
* 等差数列的通项：an
=a
1
+(n-1)d=a
k
+(n-k)d；
前 n项和：S
n
=na
1
+
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d=
2
2
* 等比数列的通项公式：a
n
=a
1
q
n-1
=a
k
q
n-k
；
a
1
(1?q
n
)
前n项和 公式：当q=1时，S
n
=na
1
； 当q
?
1时，S
n
=
1?q
a?b
； 等比中项公式：G=
?ab
（ab>0）。
2
* 若m+n=p+k，在等 差数列中，则a
m
+a
n
=a
p
+a
k
； 在等比数列中，则a
m
·
a
n
=a
p·
a
k
。
* 等差中项公式：A=
* 若
?
a
n
?< br>为等差数列，则
c
a
n
(c>0)是等比数列。
若
?
b
n
?
(b
n
>0)为等比数列，则
?
log
c
b
n
?
(c>0,c
?
1)是等差数列
* 证等差数列：（1）a
n+1
-a
n
=d（常数）；（2）2a
n
=a
n-1
+a
n+1
（n
?
2）。
* 证等比数列：（1）a
n+1
a
n
=d（常数）；（2）an
2
=a
n-1
.a
n+1
（n
?
2 ）。
* 等差数列中，若a
1
>0,d<0，求S
n
的最大值时， 由a
n
?
0确定n。
若a
1
<0,d>0，求S
n
的最小值时，由a
n
?
0确定n。
* 数列的通项a
n
与前n项和S
n
的关系：a
n
=｛
??
S
1
(n?1)

S
n
?S
n?1
(n?2)
* 特殊数列求和法：（1）分组求和法，（2）裂项相消法，（3）错位相减法。

（17）复数
* 虚数单位i：i
2
=-1。
* i的乘方：i
4n+1
=i,i
4n+2
=-1,i
4 n+3
=-i，i
4n
=1（n
?N
）
* 复数a+bi(a、b
?
R) ｛
实数（b?0）
虚数（b?0）(当a?0时为纯虚数)

一一对应一一对应
???
复平面内点Z(a,b)
?????
向量
OZ
。 * 复数的几何意义：z=a+bi
??
* 复数代数形式的加减法：(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i；(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
* 复数代数形式的加减法的几何意义：平行四边形法则。
* 复数代数形式的乘法：(a+bi).(c+di)=（ac-bd）+（ad+bc）i。
* 复数 代数形式的除法：(a+bi)÷(c+di)=
(a?bi)(c?di)
ac?bdbc? ad
=
2
+
2
i
22
c?d
(c?di)(c?di)
c?d

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-17）
（18）统计
* 随机抽样方法：
（1）简单随机抽样（抽签法、随机数法），（适应总体中个体数不多）；
（2）系统抽样（均匀分组，每组抽样个数相同）（适应总体中个体差异不大）；
（3）分层抽样(按差异分层，各层按比例抽样)，（适应总体由差异明显的几
部分组成）。
* 用样本估计总体，了解样本数据，理解样本数据的规律的方法：
（1）图表：样本频率分布表、样本频率分布直方图、
样本频率分布折线图、茎叶图。 （说明）：①频率分布直方图中小长方形的高是“频率组距”，各小长方
形的面积表示相应各组的频 率，各小长方形的面积的总和等于1。
②连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点就得到频率布
折线图
③样本数据较少时，用茎叶图表示数据，能直观展示数据分布情
况（峰形、对 称性、中位数、稳定性）
（2）数字特征：众数、中位数、平均数、标准差、方差。
（说明）：①在样本频率分布直方图中，“众数”是最高长方形底边中点的
横坐标；
“中位数”的左边和右边的直方图面积相等；
“平均数”是频率分布直方图的“重心”，等于 图中各小长方形
的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。
②“平均数”体现水平高低，“标准差”体现稳定程度。
③计算公式：I。平均数：
x
=
x
1
?x
2
???x
n

n
II。标准差：s=
1

[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
]；
n
1
222
III。方差：s
2
=
（
[
x
1
?x
]。
）?（x
2
?x）???（x
n
?x）
n
* 变量的相关性：
（1）散点图：（要求会作两个有关联变量的数据的散点图，认识变量间的
相互关系）。 （2）回归直线：散点图中的点整体上大致在一条直线附近，则称这两个
变量间具有相关关系，称此 直线为“回归直线”，回归直线的方程简
称“回归方程”。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-18）

（3）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和
最小的方法。
?
=bx+a， 计算公式：b=（4）回归方程：
y
?
xy< br>i
i?1
n
n
i
?nxy
?nx
2
， a=
y?bx
.
?
x
i?1
2
i
* 统计案例：
（1）独立性检 验：了解独立性检验（只要求2
?
2列联表）的基本思想、方
法及应用。
（2）回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及简单应用。

（19）概率

* 事件：（1）“确定事件”：①必然事件：在条件S下一定发生的事件。
②不可能事件：在条件S下一定不发生的事件，记号：
?
。
（2）“随机事件”：在条件S下可能发生，也可能不发生的事件。
* 事件的关系与运算：
（1）事件A包含于事件B： （A
?
B）
?
(A发生B一定发生)。
（2）事件A等于事件B： （A=B）
?
(A
?
B且B
?
A)。
（3）并事件（和事件）： （A
?
B）=（A+B）={A发生或B发生}。
（4）交事件（积事件）： （A
?
B）=（AB） ={A发生且B发生}。
（5）互斥事件： （A与B互斥）
?
（A
?
B=
?
）。
（6）对立事件： （A与B对立）（P(A
?
B)=0且P(A
?
B)=1)。
?
* 概率的基本性质：
（1）任何事件的概率在0~1之间，即0
?
P(A)
?
1。
（2）不可能事件概率P(
?
)=0；随机事件概率0必然事件的概率P(A)=1
（3）概率的加法公式：①若事件A与事件B互斥，则P（A< br>?
B）=P(A)+P(B)；
②若事件A与事件B互为对立事件，则P（A
?
B）=1，P(A)=1-P(B)。
* 基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-19）

* 古典概型（古典概率模型）的特点：
（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）等可能性：每个事件出现的可能性相等。
* 古典概型的概率公式：P(A)=
A包含的基本事件的个数
。
基本事件的总数
（用列举法计算随机事件所含基本事件数）。
* 几何概型（几何概率模型）的特点：
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
* 几何概型的概率公式：
P(A)=

构成事件A的区域长度（面积或体积）
。
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
(20)常用逻辑用语
* 命题——用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。
* 原命题：若p则q；逆命题:若q 则p；否命题：若
?
p则
?
q；逆否命题：若
?
q则
?
p。
* 原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题，互相等价。
* 充要条件：顺推充分，逆推必要。
* 逻辑联接词：1.“且”：p
?
q； 2.“或”：p
?
q； 3.“非”：
?
p
* 全称量词：
?
（对所有的、对任意一个）。
存在量词：
?
（存在一个、至少有一个）。
（21）推理与证明

* 推理：I。合情推理：（1）合情推理包括：①归纳推理（特殊
?
一般）；
②类比推理（特殊
?
特殊）。
（2）合情推理的推理过程：
（具体问题）
?
（观察、分析、比较、联想）
。
?
（归 纳、类比）
?
（提出猜想）
II。演绎推理：（1）演绎推理（一般
?
特殊）。
（2）演绎推理的一般模式——“三段论”：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
* 证明：I。直接证明：综合法和分析法；
II。间接证明：反证法。

长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-20）

（22）算法与框图
* 算法的含义：算法通常指按照一定规律解决某一类问题的明确和有限的步骤
* 程序框图（流程图）：用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。
* 算法的基本逻辑结构：（1）顺序结构；（2）条件结构；（3）循环结构。
* 基本算法语句：（1）输入语句； （2）输出语句； （3）赋值语句；
（4）条件语句； （5）循环语句。
（23）优选法

* 掌握分数法、0.618法及其适用范围，能解决简单实际问题。
* 了解裴波那契数列{F
n
},通过连分数知道
F
n?1
和黄金分割的关系。
F
n
* 知道对分法、爬山法、分批试验法，了解目标函数在多峰情况下的处理方法。
* 了解多因素优选问题。
* 了解正交实验的思想和方法。






考前一览=临门一脚
熟练出速度

细心出准确
速度+准确=高分
调整心理，回归自我，自信自争，把握成功
考出自己最好水平就是
胜利
！