安徽高考高中数学基础知识归纳及常用公式及结论

2009年安徽高考高中数学基础知识归纳
第一部分 集合
1.理解集 合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还
．．．．．
是因变 量的取值？还是曲线上的点？…
2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数 轴、直角坐标系或韦
．．．．
恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利 用数形结合的思想
方法解决
3.(1) 元素与集合的关系：
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
（2）德摩根公式：
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
（3）
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A?AIC
U
B??
?C
U
AUB?R
注意：讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况.
（4）集合
{a1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1
个；
非空真子集有
2
n
–2个.
4．
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
第二部分 函数与导数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元
法 ；
a?b
⑥利用均值不等式
ab??
2
离、
a
2
?b
2
； ⑦利用 数形结合或几何意义（斜率、距
2
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（
a
、
sinx
、
cosx
等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的
值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为 基本函数：内函数
u?g(x)
与外函数
y?f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:
x

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
．．． ．
⑵
f(x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
；
f(x )
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义，则
f(0)?0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑴单调性的定义：
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x< br>1
)?f(x
2
)
；
⑵单调性的判定：①定义法：一般要将 式子
f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形 式，
以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义 ：对定义域内的任意
x
，若有
f(x?T)?f(x)
（其中
T< br>为非零常数），
则称函数
f(x)
为周期函数，
T
为它的一个 周期。所有正周期中最小的称为函数的
最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：①
y?sinx:T?2
?
；②
y?cosx:T?2
?
；
③
y?tanx:T?
?
；
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?< br>(3)与周期有关的结论：
?
2
?
；⑤
y?tan
?
x:T?

|
?
|
|< br>?
|
f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a? 0)

?
f(x)
的周期为
2a

8．基本初等函数的图像与性质：
x
㈠.⑴指数函数：
y?a(a?0,a ?1)
；⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
；
⑶幂函数：
y?x
（
?
?R)
；⑷正弦函数:
y?sinx
；⑸余弦函数：
y?cosx
；
（ 6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0
（a≠ 0）；⑻其它常用函
数：
① 正比例函数：
y?kx(k?0)
；②反比例 函数：
y?
2
?
ka
③函数
y?x?(a?0)

(k?0)
；
xx

㈡.⑴分数指数幂：
a
m
n
?a
；
a
n
m
?
m
n
?
1
a
m
n
（以上
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
b
⑵.①
a?N?log
a
N?b
； ②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo g
a
N
；
Mn
?log
a
M?log
a
N
； ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log< br>a
N?
.对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
9．二次函数：
⑴解析式：①一般式：
f(x)?ax?bx?c
；②顶点式：
f(x)?a(x?h )?k
，
(h,k)
为
顶点；
③零点式：
f(x)?a( x?x
1
)(x?x
2
)
（a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数y?ax?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
2
22
b，顶点坐标是
2a
?
b4ac?b
2
?
?
?< br>?
2a
，
4a
?
?
。
??
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ )
y?f(x)?y?f(x?a)
，
(a?0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)

———上“+”下“－”；
??
y??f(?x)
；ⅱ)
y?f( x)
???
y??f(x)
； ② 对称变换：ⅰ)
y?f(x)
??
?
x?f(y)
； ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ)
y?f(x)
???
③ 翻折变换：
ⅰ)
y?f(x)?y? f(|x|)
———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（
f(x)
在
y左侧图
象去掉）；
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———（留上 翻下）x轴上不动，下向上翻（|
f(x)
|在
x
下面
无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函数
y?f(x)
图像 的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）
的对称点仍在图像上；
x?0y?x
(0,0)
y?0

（2）证明函数
y?f(x)
与< br>y?g(x)
图象的对称性，即证明
y?f(x)
图象上任意点关
于对 称中心（对称轴）的对称点在
y?g(x)
的图象上，反之亦然。
注：①曲线C1
:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C
2
方程为：f(－x,－ y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C
2< br>方程为：f(－x, y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y =0的对称曲线C
2
方程为：f(x, －y)=0;
曲线C
1
: f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=
a?b
对称；
2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）
?
y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
y?f(x)的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
特别地：
y? f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f
?
a? x
?
??f
?
a?x
?
.
④函数
y?f (x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象 关于直线
x?0
对称。
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有
一个零点。
13．导数：
⑴导数定义：f (x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f< br>?
(x
0
)?lim
n?1
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
'
'
⑵常见函数的导数公式: ①
C
?0
；②
(x)?nx
x'x
n'
；③
(sinx)?cosx
；< br>x
'
'
④
(cosx)??sinx
；⑤
(a)?a lna
；⑥
(e)?e
；⑦
(log
a
x)?
x'
1
；
xlna
⑧
(lnx)?
'
1
。
x
u
v
u
?
v?uv
?
;
v
2
⑶导数的四则运算法则：
(u?v)
?
?u
??v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?
??
⑷
（理科）
复合函数的导数：
y
?
x
?y
u
?u
x
;

⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点
的切线？
②利用导数判断函数单调性：i）
f
?
(x)?0?f(x)
是增函 数；ii）
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数；iii）
f
?
(x)?0?f(x)
为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数
f< br>?
(x)
；ⅱ）求方程
f
?
(x)?0
的根；ⅲ）列 表得极值。
④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较
得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互 化：
?
弧度
?180
，
1?
⑵弧长公式：
l??
R
；扇形面积公式：
S?
?
?
?
180弧度，
1
弧度
?(
180
?
)
?
?5 7
?
18
'

11
lR?
?
R
2
。
22
2．三角函数 定义:角
?
终边上任一点（非原点）P
(x,y)
,设
|OP|?r

则：
sin
?
?
yx
y
,cos
?
?,
tan
?
?

rr
x
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴
y?Asin(
?
x?
?
)

对称 轴：令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
， 得
x??;
对称中心：
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；
?
⑵
y?Acos(
?
x?
?
)

对称轴：令
?
x?
?
?k
?
，得
x?
k
?
?
k
?
?
?
?
；对称中心：
?
2
?
?
(
?
,0)(k?Z)
；
⑶周 期公式:①函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及
y? Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
为常数， 且A≠0).②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的周期
T?
6．同角三角函数的基本关系：
sin
2
x?cos< br>2
x?1;
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴
y?sinx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
2
?
? (A、ω、
?
?
(A、ω、
?
为常数，且A≠0).
?
sinx
?tanx

cosx
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
k?Z
,单调递减区间 为
?
2
?
?
3
?
?
?
?
2k
?
?,2k
?
?k?Z
，对称轴为
x?k
?
?(k?Z)
,对称中心为
??
22
?
2
?
?
k
?
,0
?
(k?Z)
.
⑵
y?c osx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
?
,2k?
?
k?Z
,单调递减区间为
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
k?Z
，
对称轴为
x?k?
(k?Z)
,对称中心为
?
k
?
?
⑶
y?tanx
的单调递增区间为
?
k
?
?
?
?< br>?
?
,0
?
(k?Z)
.
2
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
k?Z
，对称中心为
2
?

?
k
?
?
,0
?
?
k?Z
?
.
?
?
2
?
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
；
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin?
；
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan?
2222
②
sin(
?
?
?
)sin(?
?
?
)?sin
?
?sin
?
；
c os(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?co s
?
?sin
?
.
③
asin
?
?bc os
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象
限
决定,
tan
?
?
b
).
a
2
9．二倍角公式：①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
(sin
?
?cos
?
)?1?2s in
?
cos
?
?1?sin2
?

②
c os2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
??1?1?2sin
?
（升幂公式）.
2222
cos
2
?
?
10．正、余弦定理：
⑴ 正弦定理：
1?cos2
?
1?cos2
?
（降幂公式）.
,sin
2
?
?
22
abc
）
???2R
（
2R
是
?ABC
外接圆直径
s inAsinBsinC
注：①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
；
③
abca?b?c
。
???
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理：
a?b? c?2bccosA
等三个；
cosA?
等三个。
2bc

111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h< br>a
、h
b
、h
c
分别表示
222
111a、b、c边上的高）；②
S?absinC?bcsinA?casinB
.③
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)

2
11.几个公式 :⑴三角形面积公式：①
S?
⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
； 外 接圆直径2R=
sinA
a?b?c
a
?
bc
?;

sinBsinC
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：⑴画三视图要求： 正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；
侧视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体： ①表面积：S=S
侧
+2S
底
；②侧面积：S
侧
=
2
?
rh
；③体积：V=S
底
h
⑵锥体：①表面积：S =S
侧
+S
底
；②侧面积：S
侧
=
?
rl
；③体积：V=
1
S
底
h：
3

⑶ 台体：①表面积：S=S
侧
+
S
上底
?
S
下底;②侧面积：S
侧
=
?
(r?r)l
;③体积：V=
（ S+
SS
'
?S
'
）h；
⑷球体：①表面积：S=
4
?
R
；②体积：V=
?
R
.
2
'
1
3
4
3
3
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：以上理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法
5.求距离：（步骤-------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法
6．结论：
⑴棱锥的平行截面的性质如 果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，
截面面积与底面面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对
应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等 于对应边的比的平方）；相应小
棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． < br>⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为
a
2
? b
2
?c
2
全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。
23
⑶正方体的棱长为a，则体对角线长为
3a
，全面积为
6a
，体 积V=
a
。
，
⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径
是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
⑷正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
① 高：
h?< br>6266
a
；
a
；
a
；
a
。②对棱 间距离：③内切球半径：④外接球半径：
32124
第五部分 直线与圆
1． 斜率公式：
k?
y
2
?y
1
，其中
P
1< br>(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
.
x
2
?x
1
直 线的方向向量
v?
?
a,b
?
，则直线的斜率为
k
=
2.直线方程的五种形式：
b
(a?0)
.
a
(1) 点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l< br>过点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率 为
k
)．

(2)斜截式：
y?kx?b
(
b
为直线
l
在
y
轴上的截距).
(3)两点式：
(4)截距式：
y?y
1
x?x
1
?
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x< br>2
,y
2
)

x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
(其中
a
、
b
分别为直线在
x
轴、
y
轴上的截距，且
a?0 ,b?0
).
ab
(5)一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3．两条直线的位置关系：
（1）若
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,则：
①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,
b
1
?b
2
；
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
? ?1
.
（2）若
l
1
:A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,则：
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1< br>?0
且
A
1
C
2
?A
2
C
1
?0
；②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
5．两个公式:
⑴点P（x
0，
y
0
）到直线Ax+By +C=0的距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
；
A
2
?B
2
⑵两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2
6．圆的方程：
⑴标准方程：①
(x?a)?(y?b)?r
；②
x?y?r
。
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0)

注：Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B=0且D+E－4AF>0
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
d?R?点在圆上；②
d?R?
点在圆内；③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）
①
d?R?
相切；②
d?R?
相交；③
d?R?
相离。
2222222222
2222
⑶圆与圆的位置关系：（
d
表示圆心距，
R,r
表示两圆半径，且
R?r
）
①
d?R?r?
相离； ②
d?R?r?
外切；③
R?r?d?R?r?
相交；
④
d?R?r?
内切；⑤
0?d?R?r?
内含。
9．直线与圆相交所得弦长
|AB|?2r
2
?d
2

第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
；
⑵双曲线：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F< br>1
F
2
|)
； ⑶抛物线：|MF|=d
2．结论 ：⑴直 线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则

AB?(x< br>1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2)
2
AB?y
1
?y
2
1?
1
. < br>k
2
,或
AB?x
1
?x
2
1?k
2
, 或
2b
2
注：①抛物线：
AB
＝x
1
+x
2
+p；②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆、双曲线：；ⅱ）
a
抛物线：2 p.
⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：
mx?ny?1
（
m,n
同时大于0时表示
椭圆；
；当点
P
与椭圆短轴顶 点重合时
?F
1
PF
2
最大；
mn?0
时表示双曲线）
⑶双曲线中的结论：
22
22
y y
xx
①双曲线
?
2
?1
（a>0,b>0）的渐近线：< br>2
?
2
?0
；
2
abab
22
2
2
b
y
x
②共渐进线
y??x
的双曲线标准方程 可设为；
?
2
?
?
(
?
为参数，
?
≠ 0 ）
2
a
ab
③双曲线为等轴双曲线
?
e?2?
渐近 线互相垂直；
⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：①联 立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程？②直线斜率不
存在 时
考虑了吗？③判别式验证了吗？
⑵设而不求（点差法----- 代点作差法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x
1
，y< br>1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得
k
AB
?
y
1
?y
2
???
；③解决问题。
x
1
?x
2
4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （ 2）直接法（列等式）；
（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法； （6）交轨
法；（7）几何法。
第七部分 平面向量
1.平面上两点间的距 离公式:
d
A,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
，其中A
(x
1
,y
1)
，B
(x
2
,y
2
)
.
2.向量的平行与垂直： 设
a
=
(x
1
,y
1< br>)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
①
a
∥
b
?
b
=λ
a
?x
1
y
2
?x
2y
1
?0
；
②
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a
·
b
=0
?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
3.a·b=|a||b|cos=x
1
x
2
+y
1< br>y
2
；
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|c os叫做b在a方向上的投影；
②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
22

=
a?b
|a||b|
；
uuuruuuruuur
5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线
?
OP?x OA?yOB且x?y?1
。
第八部分 数列
1．定义：
(1)等差数列｛a
n
｝?a
n?1
?a
n
?d(d为常数,n?N
?
）?a
n
?a
n?1
?d(n?2)
?2a
n
?a
n?1
? a
n?1
(n?2,n?N*)?a
n
?kn?b?S
n
? An
2
?Bn
｛a
n
}?
⑵等比数列
a
n?1
2
?q(q?0)?a
n
?a
n-1
?a
n ?1
(n?2,n?N
?
)

a
n

2．等差、等比数列性质：
等差数列 等比数列
n?1
通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
1
q

前n项和
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
n?na
1
?d

2.q?1时，S?
a
1
(1?q)

n
221?q
?
a
1
?a
n
q
1?q
n-m
1.q?1时，S
n
?na
1
;
性质 ①a
n
=a
m
+ (n－m)d, ①a
n
=a
m
q;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q

③
S
k
,S
2k?S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
? S
2k
,?
成GP
m
④
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
成AP,
d'?md
④
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
成GP,
q'?q

3．常见数列通项的求法：
⑴定义法（利用A P,GP的定义）；⑵累加法（
a
n
?1
?a
n
?c
n
型）；
S
1
(n=1)

a=
n
⑶公式法：
S
n
－S
n-1
(n≥2)
⑷累乘法（
a
n?1
?c
n
型）；⑸ 待定系数法（
a
n?1
?ka
n
?b
型）转化为
a
n
a
n?1
?x?k(a
n
?x)
（6）间接法（ 例如：
a
n?1
?a
n
?4a
n
a
n?1
?
11
??4
）；（7）
a
n
a
n?1< br>（理科）数学归纳法。
4．前
n
项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。
5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴
S
n
最大值
?
?
a
n
?0
?
?
a?0
??
或S
n
最小值
?
n
?
；⑵利用二次函数的图象与性质。
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
第九部分 不等式
a?ba
2
?b
2
1．均值不等式：
ab??(a,b?0)

22
a?b
2
a
2
?b
2
)?(a,b?R)
。 注意：①一正二定三相等；②变形：
ab?(22
2．极值定理：已知
x,y
都是正数，则有：
(1)如果积
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时和
x?y
有最小 值
2p
；
(2)如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x?y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
4
3.解一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
:若
a?0
,则对于解集不是全集或空集时,对
应的
解集为“大两边，小中间”.如:当
x
1
?x
2
,
?
x?x
1
??< br>x?x
2
?
?0?x
1
?x?x
2
； ?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x?x2
或x?x
1
.
4.含有绝对值的不等式：当
a?0
时，有：①
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
；
22
②
x?a?x?a?x?a
或
x??a
.
5.分式不等式：
（1）
（3）
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
； （2）
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
；
g
?
x
?
g
?
x
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
f
?
x
?< br>f
?
x
?
； （4）.
?0?
?
?0 ?
?
g
?
x
?
g
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
g
?
x
?
?0
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
；
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
6.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)< br>(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)< br>?f(x)?g(x)
；
?
f(x)?0
?

log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
3．不等式的性质：
⑴
a?b?b?a< br>；⑵
a?b,b?c?a?c
；⑶
a?b?a?c?b?c
；
a?b,c?d

?a?c?b?d
；⑷
a?b,c?0?ac?bd
；
a?b,c?0?ac?bc
；
a?b?0,
c?d?0

?ac?bd
;⑸
a?b?0?a
n
?b
n?0(n?N
?
)
;⑹
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N
?
)

第十部分 复数
1．概念：
2
⑴z=a+bi∈R
?
b=0 (a,b∈R)
?
z=
z
?
z≥ 0；⑵z=a+bi是虚数
?
b≠
0(a,b∈R)；
2
⑶z=a+bi是纯虚数
?
a=0且b≠ 0(a,b∈R)
?
z＋
z
＝0（z≠ 0）
?
z<0；
⑷a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z z
2
= (a + b) ± (c + d)i；⑵ z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
1
±
⑶
z
1
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z≠ 0)
?

ac
=
2
?i
z
2
(c?di)(c?di)
c
2
?d
2
c
2?d
2
1?i1?i
?i;??i;

1?i1?i
3．几个重要的结论：
222222
2
(1)z1
?z
2
?z
1
?z
2
?2(z
1< br>?z
2
);(2)z?z?z?z
；⑶
(1?i)??2i
； ⑷
⑸
i
性质：T=4；
i
4n
?1,i
4n?1< br>?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i
；
i< br>4n
?i
4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

4．模的性质：⑴
|z
1
z
2
|?|z< br>1
||z
2
|
；⑵
|
2
z
1
|z|
|?
1
；⑶
|z
n
|?|z|
n
。
z
2
|z
2
|
5.实系数一元二次方程
ax? bx?c?0
的解：
?b?b
2
?4ac
2
①若??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;②若
??b?4 ac?0
,则
2a
b
x
1
?x
2
??;
2a
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R< br>内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复
2
数
?b ??(b
2
?4ac)i
2
根
x?(b?4ac?0)
.
2a
第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
A?B
；
⑵事件A与事件B相等：若
A?B,B?A
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
A?B
（或
A ?B
）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
A?B
（或
AB
） ；
⑸事件A与事件B互斥：若
A?B
为不 可能事件（
A?B?
?
），则事件A与互斥；
⑹对立事件：
A?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：
P(A)?
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总 数

⑶几何概型：
P(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积等）< br> ；
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法：
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容
量
为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，
从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④
按预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情
况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
n

N
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频 率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率
分布直方图。⑵当数据是 两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效
数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效 数字，它的中间部分像植物的茎，两边
像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3．总体特征数的估计：
n
⑴样本平均数
x?
1
(x1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
；
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x )
2
?????(x
n
?x)
2
]
?
1< br>?
(x
i
?x)
2
；
n
n
i? 1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)2
]
=
1
(x?x)
2

?
in
n
i?1
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
22
(x?x)(y?y)
?
i
?
i
i?1i?1
nn
n

?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?nx
2
)(
?
y
i
2
?ny
2
)i?1i?1
nn

注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；⑵当
|r|
越接近于1，
两个变量的线性相关性越强；当
|r|
越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相

关关系。
4． 回归直线方程
?
n
?
?
n
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
$$
y?a ?bx
，其中
?
?
b?
?
i
?nxy
i? 1
n
?
i?1
2
n
?
?
?
xi
?x
?
?
x
2
i
?nx
2

?
i?1i?1
?
a?y?bx

第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止框）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r =0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质数 n是质数 i=i+1
i=2
i
?
n或r=0?
否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
条件语句：① ②
IF 条件THEN IF条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件

⑵

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1．充要条件的判断：
（1）定义法---- 正、反方向推理
注意区分：“甲是乙的充分条件（甲
?
乙）”与“甲的充分条件是乙 （乙
?
甲）”
（2）利用集合间的包含关系：例如：若
A?B
，则 A是B的充分条件或B是A的必要
条件；若A=B，则A是B的充要条件。

2．逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式 p
?
q； p q p
?
q p
?
q
?
p
⑵或（or）： 命题形式 p
?
q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式
?
p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3．四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

4。四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若
?
p则
?
q； ⑷逆否命题：若
?
q则
?
p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
5.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用
?
表示；
全称命题p：
?x?M,p(x)
； 全称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用
?
表示；
特称命题p：
?x?M,p(x)
；
6.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，
成立
对任何
x
，
不成立
特称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
；
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
，
不成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个

p
或
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

?p
且
?q

存在某
x
，
成立
p
且
q

?p
或
?q

第十五部分 推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类 比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进
行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我 们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象 都具有这些
特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其 中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具
有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前
提---------所研究的特殊情况； ⑶结论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判
断。
2．证明：
⑴直接证明 ①综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系
列的 推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫
顺推法或由因导果法 。
②分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把
要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证
明的方法叫分析 法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
（2）间接证明（反证法）：一般地，假设原命题不成立，经 过正确的推理，最后得出
矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理：
⑴排列数公式:
A
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=
n
m
n !
(n?m)!
(m≤ n, m、n∈N*),
当m=n时为全排列
A
n
=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
n！
A
n
m
n(n?1)?(n?m?1)
m
∈N
*
，
C
=
m
=⑵组合数公式：=(
n
，且
m?n
)
m！?(n?m)！
1?2???m
A
m
m
n
⑶组合数性质：
C
n
m
?C
n
n?m
;C
n
m
?C
n
m?1
?C
n< br>m
?1

n0n1n?11kn?kknn?
⑷二项式定理：
(a?b)?C
n
a?C
n
ab???C
n
ab???C< br>n
b(n?N)

rn?rr
①通项：
T
r?1?C
n
ab(r?0,1,2,...,n);
②注意二项式系数与系数的区别
⑸二项式系数的性质：（展开时有
n?1
项）
①与首末两端等距离的二项式 系数相等；②若n为偶数，中间一项（第
式系数最大；若n为奇数，中间两项（第
n
＋ 1项）二项
2
n?1n?1
和＋1项）二项式系数最大；
22

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计：
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p
i
≥ 0, i=1,2,3，…； p
1
+p
2
+…=1;
②离散型随机变量：
X
P
x
1

P
1

X
2

P
2

…
…
X
n

P n
…
…
均值（又称期望）：EX＝ x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
+ …
222
方差：DX＝
(x
1
?EX)p
1
?(x
2
?EX)p
2
?????(x
n
?EX)pn
????

注：
E(aX?b)?aEX?b;D(aX?b)?aDX
；
③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注：
kk
P(X?k)?C
n
p(1?p)
n?k
。
2
⑵条件概率：称
P(B|A)?
P(AB)
为在事件A发生的 条件下，事件B发生的概率。注：0
?
P
P(A)
（B|A）
?1
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密 度函数：
f(x)?
1
2
??
e
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?R,
式中
?
,
?
是参数，分别表示
总体的平均数（期望值）EX与标准差
DX
；
⑸正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线
x＝?
对称；③曲线在x＝
?
处达到峰值
1
?
2
?
；④曲线与x轴之间的面积为1；
① 当
?
一定时，曲线随
?
值的变化沿x轴平移；
② 当
?< br>一定时，曲线形状由
?
确定：
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布 越分
散；
?
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。
注：P
(
?
?
?
?x?
?
?
?
)
=0 .6826；P
(
?
?2
?
?x?
?
?2
?
)
=0.9544
P
(
?
?3
?
?x ?
?
?3
?
)
=0.9974
附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数
n
有关的一个命题，可按以下步骤进行：
?
⑴证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；⑵假设 当
n?k(k?n
0
,k?N)
命题成立，证明当
n?k?1
时命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从
n
0
开始所有的正整数都成立。此< br>证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

②
n
0
的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

















2009 年 安 徽 高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论

1.容斥原理：
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)

card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card(AIB)
?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)
.
n
2.从集合
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
?
到集合
B?
?
b
1
,b
2
,b
3
,???,b
m
?
的映射有
m
个.
3.函数的的单调性：
(1)设
x
1
,x
2
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x) 在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导， 如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)
为减函数.
4.函数
y?f(x)
的图象的对称性:
①
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x )
；
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?

②y?f(x)
的图象关于直线
x?
③
y?f(x)
的
a ?b
对称
?f(a?x)?f(b?x)
?f(a?b?x)?f(x)
；
2
图象关于点对称
(a,0)
点
?f
?
x
?
??f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?< br>?f
?
a?x
?
?0
，
的图象关于
y?f (x)(a,b)
对称
?
f
?
x
?
?2b?f?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
5.两个函数的图象的对称性:
①函 数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称；
②函数
y?f(x?a)
与函数
y? f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称；
③函数
y?f(x)< br>的图象关于直线
x?a
对称的解析式为
y?f(2a?x)
；
④函数
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称的解析式为
y? ?f(2a?x)
；
⑤函数
y?f(x)
和函数
y?f
? 1
(x)
的图象关于直线
y?x
对称.
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象
关于原
点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是
偶函数．
nn?1
7．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1x?L?a
0
的奇偶性：
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)< br>是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8. 若 将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函 数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图 象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0的图
象.
9. 几个常见的函数方程：
(1)正比例函数
f(x )?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指 数函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)? f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)? x
,
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
(5)余弦 函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x? y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)=1.
10.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a； （2）
f(x?a)??f(x)
，或
f(x?a)?
则
f(x )
的周期T=2a；
11.①等差数列
?
'
x
1
1
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
(f(x)?0)
, < br>f(x)
f(x)
通项公式:
?
a
n
?
的< br>a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
,或
a
n
?a
m
.
n?m
n(a
1< br>?a
n
)
n(n?1)d1
②前n项和公式:
s
n
??na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
12.设数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的和，则
a
n
?a
m
?(n?m)d
?d?
①前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
；

②当n为偶数时，
S
偶
?S
奇
?
③当n为奇数时，则
S
奇

n
d
，其中d为公差； 2
S
n?1n?1
n?1
a
中
，
S
偶
?a
中
，
奇
?
，
?S
偶
?a< br>中
，
S
奇
?
22
S
偶
n?1
S?S
偶
S
n
?
奇
?n
（其中
a
中
是等差数列的中间一项）
S
奇
?S
偶
S
奇< br>?S
偶
13.若等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和分别为
S
2n?1
和
T
2n?1
，则
a
n
S
2n ?1
?
.
b
n
T
2n?1
14.数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么（
S
2k
?S
k
）
2< br>=
S
k
·
S
3k
?S
2k
.
15.分期付款(按揭贷款)：
ab(1?b)
n
每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
). < br>n
(1?b)?1
11
?
11
?
111
??
?
?
??
16.裂项法：①； ②
?
；
?2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1
?
n
?
n?1
?
nn?1
11n11
?a?b
；④
??
③.
?
n?1
?
!n !
?
n?1
?
!
a?b
a?b
??
17．常见三角不等式:
（1）若
x ?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
?
18.正弦、余弦的诱导公式：
nn
??
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,n为偶数
?
(?1)
2
cos
?
,n为偶数
sin(?
?)?
?
?
?
)?
?
；
cos(
. < br>n?1n?1
22
?
(?1)
2
cos
?
, n为奇数
?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数
??< br>即:“奇变偶不变,符号看象限”.如
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
??
?
?
?
??cos
?
.
2
?1?tan
2
?
2tan
?
2tan
?
cos 2
?
?
19.万能公式:
sin2
?
?
；；（正切 倍角
tan2
?
?
2
22
1?tan
?
1 ?tan
?
1?tan
?
公式）.
20.半角公式:
ta n
?
2
?
sin
?
1?cos
?
. ?
1?cos
?
sin
?
向左
?
?
? 0
?
或向右
?
?
?0
?
平移
?
个 单位
21.三角函数变换:
①相位变换:
y?sinx
的图象
?? ?????????
y?sin
?
x?
?
?
的图象； 1
横坐标伸长
?
0?
?
?1
?
或缩短
?
?
?1
?
到原来的倍
???
y?sin
?
x
的图象； ②周期变换:
y?sinx
的图象
???????????< br>?
③振幅变换:
y?sinx
的图象
?????????????y?Asinx
的图象.
22.在△ABC中，有
纵坐标伸长
?A?1
?
或缩短
?
0?A?1
?
到原来的A倍
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
；
222
②
a?b?sinA?sinB
（注意是在
?ABC
中）.
①
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)?

23.线段的定比分点公式：设
P

1
(x
1,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
P
2的分点,
?
是实数，
x
1
?
?
x
2< br>?
uuuruuur
x?
uuur
uuuruuuruuuruuur uuur
?
OP
?
1?
?
1
?
?
OP
2
且
PP
?
OP?
?
OP?tOP
1
?
?
PP
2
，则
?
1
?(1?t)OP< br>2

y?
?
y
1?
?
2
?
y?
1
?
1?
?
?
1
）.
1?
?
uuuruuuruuur
24.若
OA?xOB?yOB
，则
A
、
B
、
C
共线的充要条件是
x?y?1
.
25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、< br>（其中
t?
C(x
3
,y
3
)
,
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2< br>?y
3
,)
.
33
''
uuur
uuu< br>r
r
uuu
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP?PP
?
?
26.①点的平移公式
?
'
(图形F上的任意一
'
??
?
y?y?k< br>?
y?y?k
则其重心的坐标是
G(
点
uuur
'
P(x，y)在平移后的图形
F
上的对应点为
P(x,y)
，且PP
的坐标为
(h,k)
)；
'
'''
②函数
y?f
?
x
?
按向量
a?
?
h,k
?< br>平移后的解析式为
y?k?f
?
x?h
?
.
27.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C< br>,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数
解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(4) 曲线
C
:< br>f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
, 则
C
的方程为
''
''
''
'
f(x?h,y?k )?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
28. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
?ABC
所在平面上 一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则：
uuur< br>2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuurr（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
? ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuuruuur uuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB? cOC?0
.
22
29.常用不等式：
a
2
?b
2
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
?ab?
(当且仅 当a＝b时取“=”号)．
2
a?b
?
a?b
?
?ab< br>?ab?
?
(2)
a,b?R
?
?
(当且仅当a＝b 时取“=”号)．
2
?
2
?
?
2
(3)
a?b?c?3abc
?
a?b?c?3
3
abc
(当且仅当a?b?c
时取“=”号)．
(4) 绝对值不等式：
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(注意等号成立的条件).
333

a?ba
2
?b
2
?ab??(a?0,b?0)
. (5)
11
22
?
a b
22222
（6）柯西不等式：
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b, c,d?R.

1
30.最大值最小值定理:如果
f
?
x< br>?
是闭区间
?
a,b
?
上的连续函数,那么
f
?
x
?
在闭区间
?
a,b
?
上
有最大值
和最小值.
31.
f(x)
在
x
0
处的导数（或 变化率或微商）
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
x?x
0
?x?0
?x
?x?0
? x
?ss(t??t)?s(t)
32.瞬时速度
?
?s
?
(t)?lim
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t< br>?vv(t??t)?v(t)
33.瞬时加速度
a?v
?
(t)?l im
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
dy df?yf(x??x)?f(x)
34.
f(x)
在
(a,b)
的 导数
f
?
(x)?y
?
?
.
??lim?lim
dxdx
?x?0
?x
?x?0
?x
35.函数
y ?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)

在
P (x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?< br>(x
0
)(x?x
0
)

f
?
(x
0
)?y
?
?lim
36.导数与函数的单调性的关系：
（1）
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系：
f
?
(x)?0
能推出
f(x)
为增函数，但反之不一
定 .如函数
f(x)?x
在
(??,??)
单调递增，但
f
?
(x)?0
，故
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函
数的充分不必要条件.
（2）
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系：
f(x)
为增函数，一定可以推出
f?
(x)?0
，但
反之不一定，因为
f
?
(x)?0< br>，即为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0< br>.当函数在某个区间内恒有
3
f
?
(x)?0
，则
f (x)
为常数，函数不具有单调性.∴
f
?
(x)?0
是
f (x)
为增函数的必要
不充分条件.
37.常见函数的导数:①
C
?
?0
（
C
为常数）；②
x
④
?
cosx
?
??sinx
；⑤
?
lnx
?
?
??
?
?nx
?
n?Q
?
；③
?
si nx
?
?
?cosx
；
?
?
1
，
?
logx
?
?loge
；⑥
?
e
?
?e
，
x
nn?1
xx
aa
?
?
1
x
?
a
?
?
?a
xx
lna
.
38.可导函数四则运算的求导法则:
?
?
u
?
u
?
v?uv
?
?
v?0
?
. ①
?
u? v
?
?u
?
?v
?
；②
?
uv
?
?u
?
v?uv
?
，
?
Cu
?
? Cu
?
；③
??
?
2
v
?
v
?< br>???

''
39.复合函数的求导法则： 设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
(x)
，函数
y?f(u)
在
''
点
x
处的对应 点U处有导数
y
u
?f(u)
，则复合函数
y?f(
?(x))
在点
x
处有导数，且
''''''
y
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
40.复数的相等：
a?bi? c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
41.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）：
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
42.复数的四则运算法则：
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;(2)
(a?bi)?(c? di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)
.
c
2
?d
2
c
2
?d
2
43.复数的乘法的运算律：对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
，有：交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
( 4)
(a?bi)?(c?di)?
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
. 分配律:
z
1
?(z
2
?z
3< br>)?z
1
?z
2
?z
1
?z
3
.
44.复平面上的两点间的距离公式 ：
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
45.向量的垂直：
uuuuruuuur
非零复数
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1
，
OZ
2
，则
uuuuruuuur
z
2

OZ
1
?OZ< br>2
为纯虚数
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
z
1
?
|z
1
?z
2
|
2< br>?|z
1
|
2
?|z
2
|
2
?|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
46.对虚数单位
i
,有
i
4n?1
?i,i
4n?2
??1, i
4n?3
??i, i
4n
?1
.
47.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数.如
a?bi

与
a?bi
?
a,b?R
?
互为共轭复数.
48.
?
?1?
?
?
?1
?
?
?
?
? 1?0?
?
?1
或
?
??
32
??
13< br>?i
.
22
49.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域：
设直线
l:Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域是：
若
B?0
，当
B
与
A x?By?C
同号时，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
A x?By?C
异号时，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. < br>若
B?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
50. 圆的方程的四种形式：
（1）圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2） 圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0). 22
222
（3）圆的参数方程:
?
?
x?a?rcos
?
.
y?b?rsin
?
?

（4）圆的直径式方 程:
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)( y?y
2
)?0

(圆的直径的端点是
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
51.圆中有关重要结论:
(1)若P(
x
0
,
y
0
)是圆
x?y?r
上的点,则过点P(
x
0
,
y
0
)的切线方程为
222
xx
0
?yy
0
?r
2
.
(2)若P(
x
0
,
y
0< br>)是圆
(x?a)?(y?b)?r
上的点,则过点P(
x
0
,
y
0
)的切线方程为
222
(x
0
?a)(x? a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2
.
(3)若P(
x
0
,
y
0
)是圆
x?y?r
外一点,由P(
x
0
,
y
0
)向圆引两条切线, 切点分别为A、
2B，则直线AB的方程为
xx
0
?yy
0
?r
. 222
(4)若P(
x
0
,
y
0
)是圆
(x?a)?(y?b)?r
外一点, 由P(
x
0
,
y
0
)向圆引两条切线, 切
点分别为
2
A、B，则直线AB的方程为
(x
0
?a) (x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
.
222
52.圆的切线方程：
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x< br>0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条，其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0< br>y???F?0
表示过两个切点的
22
x
0
x?y
0
y?
切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏 掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
2
222
(2)已知圆
x?y?r
，过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0x?y
0
y?r
.
?
x?acos
?
x2
y
2
53.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
x
2
y
2
a
2
54.(1)椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的准线方程为
x??
,焦半径公式
PF ?a?ex
p
；
abc
x
2
y
2
a2
(2)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的准线方程为
y??
,焦半径公式
PF?a?ey
p
.
bac
55. 椭圆的切线方程 ：
x
2
y
2
x xyy
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
a b
x
0
xy
0
y
?
2
?1
. < br>2
ab
x
2
y
2
22222
（3）椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab

x
2
y
2
a
2
56.(1)双曲线
2
?
2
?1 (a?0,b?0)
的准线方程为
x??
,焦半径公式
abc
PF? ?a?ex
p
；
x
2
y
2
a
2
(2)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的准线方程为
y??
，焦半径公式
bac
PF??a?ey
p
.
x2
y
2
b
57.(1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的渐近线方程为
y??x
；
ab
a
x
2
y
2
a
(2)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的渐近线方程为
y??x
.
ba
b
58. 双曲线的切线方程：
x
2
y
2< br>xxyy
(1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
02
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2过双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy< br>0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2
?
2
?1(a?0,b? 0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
ab
A
2a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
x
2
y
2
59.(1)P是椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它的两个焦点,∠F
1
P F
2
=θ，则
ab
△P F
1
F
2
的面积=
btan
2
?
2
.
x2
y
2
(2)P是双曲线
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它的两个焦点,∠F
1< br>P F
2
=θ，
ab
则
△P F
1
F
2
的面积=
bcot
2
?
2
.
2y
22
60.抛物线
y?2px
上的动点
P
?
x
0
,y
0
?
可设为P
(
0
,y
0
)
或
P(2pt,2pt)
.
2p
p
2
61.(1)P(
x
0
,
y
0
)是抛物线
y?2 px
上的一点,
F
是它的焦点,则
PF?x
0
?
；
2
2p
2
(2)抛物线
y?2px
的焦点弦长
l?
,其中
?
是焦点弦与x轴的夹角；
sin
2
?
2
(3) 抛物线
y?2px
的通径长为
2p
.
62. 抛物线的切线方程：
2
(1) 抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y ?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
63.圆 锥曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0< br>.
22

64.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心 对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
. （2）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲 线是：
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
2222
A?BA?B
222
65.“四线”一方程：
2< br>对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
，用
y
0
y
代
y
，
x
0
y?xy
0
x?xy?y
代
xy
，用
0
代
x
，用
0
代
y
即得方程 222
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0，曲线的切线，切点弦，
222
用
uuuruuuruuuruuur
6 6.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
，
则四点P、A、B、C共面
?
x?y?z?1
．
67.空间两个向量的夹角公式:
cosa,b?
中点弦，
弦中点方程均是此方程得到.
a
1
b
1
?a
2< br>b
2
?a
3
b
3
a
1
?a
2
?a
3
?b
1
?b
2
?b
3
2 22222
，其中
a?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
，
b?
?
b
1
,b
2
,b
3
?
. 异面直线所成角
?
的求法：
?
?
cos
?
?cos?a,b?

68.直线
AB
与平面
?
所成角
?
满足:
sin
?
? cosAB,m?
AB?m
AB?m
,其中
m
为面
?
的法向量.
69.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
满足: cos
?
?cosm,n
,其中
m
、
n
为平面
?
、
?
的法
向量.
70.空间两点间的距离公式:若< br>A
?
x
1
,y
1
,z
1
?
B
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,则
d
A,B
?
?
x
2
?x
1
?2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?< br>?
z
2
?z
1
?
2
.
1
a
71.点Q到直线
l
的距离:
h?
?
a?b
?< br>?
?
a?b
?
,点P在直线
l
上,直线
l< br>的方向向量
2
2
a?PA
,向量
b?PQ
.
72.点B到平面
?
的距离:
d?
AB?n
n
,
n
为平面
?
的法向量,
AB
是面
?
的一条斜
线,
A?
?
.
73.(1)设直线
OA
为平面
?
的斜线,其在平面内的射影为
OB
,
OA
与
OB
所成的角为
?
1
,
OC
在平面
?
内,且与
OB
所成的角为
?
2
,与
OA
所成的角为
?,则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.

(2)若经过
?BOC
的顶点的直线
OA
与
?BOC
的两边
OB
、则
OA
在
OC< br>所在的角相等，
?BOC
所在平面上的射影为
?BOC
的角平分线；反 之也成立.
S
'
'
74. 面积射影定理:
S?
(平面多 边形及其射影的面积分别是
S
、
S
，所在平面成锐二
cos
?
面角
?
).
75.分类计数原理:
N?m
1
? m
2
?L?m
n
.分步计数原理:
N?m
1
?m< br>2
?L?m
n
.
mm?1
m
76.排列恒等式:①
A
n
?(n?m?1)A
n
； ②
A
n
?
nn?1nmmm?1
④
nA
n
?A
n?1
?A< br>n
； ⑤
A
n?1
?A
n
?mA
n
.
n
mm?1
m
A?nA
； ③
A
n
nn?1
；
?1
n?m
77.常见组合恒等式:
⑴
C
n
?< br>⑸
m
n?m?1
m?1
nn
m?1
?1
mm m
; ⑶
C
n
;⑵
C
n
?C
n
C?C
n?1
; ⑷
kC
n
k
?nC
n
k
?1

? 1n
mn?mm
rrrrr?1
C
r
?C
r?1
? C
r?2
???C
n
?C
n
.
?1
135024
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1
012r nn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
???C< br>n
???C
n
?2
.
(7).
123nn?1< br>mm
！?C
n
(8)
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n?2
78．排列数与组合数的关系是：
A
n
?m

79．单条件排列：以 下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
mm?1m?1
（1）“在位”与“不在位”：①某（特）元必在某位有
A
n?1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1

1m?1m 1m?1
（补集思想）
?A
n?1
A
n?1
（着眼位置）
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：
k(k?m?n)
个元在固定位 的排列有
m?k
A
k
k
A
n?k
种.
② 浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k?1
A
k
种.此类问题常用
捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一
hk
组互不能挨近的所有排 列数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空 ：
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排
法？ < br>n
A
m
n
?1
当
n?m?1
时，无解；当< br>n?m?1
时，有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
n?k?1k
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排 列数为
C
m?n
.
80．分配问题：
（1）(平均分组有归属问 题)将相异的
mn
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配 方法数
共有
N?C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2 n
???C
2n
?C
n
?
nnnnn
n
( mn)!
.
m
(n!)
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
m n
个物体等分为无记号或无顺序的
m
堆，其分配方
nnnnn
Cmn
?C
mn
(mn)!
?n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
?
法数共有
N?
.
m!m!(n!)
m
⑶(非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1< br>+n
2
+L+n
m
)
个物体分给
m
个人，物 件必须被
分完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其
p!m!
n
nn< br>分配方法数共有
N?C
p
.
?C
p?n
...C< br>n
?m!?
n
1
!n
2
!...n
m
!
12
m
1m

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异 的
P(P=n
1
+n
2
+L+n
m
)
个物 体分给
m
个人，物件
必须被分完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数中分别有
a、b、 c、…个相等，则其分配方法数有
N?
n
m
n
1
n
2
C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!
a!b!c!...

?
p!m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
（5）( 非平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+L+nm
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
， …，
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分 配方法数有
p!
N?
.
n
1
!n
2
!. ..n
m
!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+L+n
m
)
个物体分为任意的
n1
，
n
2
，…，
n
m
件无记号的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m< br>这
m
个数中分别有a、b、c、…
p!
个相等，则其分配方法数有N?
.
n
1
!n
2
!...n
m
! (a!b!c!...)
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（
p?n
1
+n
2
+L+n
m
）个物体分给甲、乙、
丙，… …等
m
个人，物体必须被分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2
件，丙得
n
3
件，…
时，则无论
n
1
，
n
2
，…，
n
m
等
m
个数是否 全相异或不全相异其分配方法数恒有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?< br>p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
n0n1n?12n?22rn?rrnn
81．二项式定理:
(a?b)?Cn
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab? ??C
n
b
；
rn?rr
1，2?，n)
. 二项展开 式的通项公式：
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
8 2．等可能性事件的概率：
P(A)?
含其中m个结果）
m
.（一次试验共 有n个结果等可能的出现，事件A包
n
83．①互斥事件
A
、
B有一个发生的概率：
P
?
A?B
?
?P
?
A< br>?
?P
?
B
?
；
n
个互斥事件中有
一个发生的概率：
P
?
A
1
?A
2
?????A< br>n
?
?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?????P
?
A
n
?
；
②
A
、
B
是两个任意事件，则
P
?
A?B
?
?1?PA?B?1?PA?B
.
84．相互独立事件
A
、< br>B
同时发生的概率：
P
?
A?B
?
?P
?< br>A
?
?P
?
B
?
；
n
个相互独立事 件同
时发生的概率：
P
?
A
1
?A
2
?? ???A
n
?
?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?????P
?
A
n
?
．

????