人口密度计算公式碰撞速度公式

2020年9月20日发(作者：利翠英)

碰撞速度公式

由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式
又 比较繁杂不好记。因此导致这类考题的得分率
一直较低。下面探讨一下该公式的巧记方法。
一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式
问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为
m
1
的小球，以速度v
1
与原来静止的质量为m
2
的小球发生 对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自
的速度？

图1
设碰撞后它们的速度 分别为v
1
＇和v
2
＇，在弹
性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律 、机械能
（动能）守恒定律得：
m
1
v
1
=m
1
v
1
＇+m
2
v
2
＇

①

②
由①
由②
由④③
③
④
⑤

联立①⑤解得
⑥
⑦
上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来
容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球 心
相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v
共
，由
动量守恒定律得：
m
1
v
1
= （m
1
+m
2
） v
共


解出v
共
=m
1
v
1
（m
1
+m
2
） 。而两球从球心相
距最近到分开过程中，球m2
继续受到向前的弹
力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速
度恰好增大一 倍即，而这恰好是⑦式，
因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难
写出了。如果⑥式的 分子容易写成m
2
－m
1
，则
可根据质量m
1
的乒 乓球以速度v
1
去碰原来静止
的铅球m
2
，碰撞后乒乓球被反弹回， 因此v
1
＇
应当是负的（v
1
＇<0），故分子写成m
1< br>－m
2
才

行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入
射 球的质量m
1
大于被碰球的质量m
2
，也可由⑥
式解释。因为只有m
1
>m
2
，才有v
1
＇>0。
否则，若v
1
＇<0，即入射球m
1
返回，由于摩擦，
入射球m
1
再回 来时速度已经变小了，不再是原
来的v
1
＇了。
另外，若将上面的⑤式变形 可得：
后两球相互分开的相对速度
，即
碰撞前两球相互靠近的相对速度v
1< br>－0等于碰撞
。由此可轻松记
住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。
二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式
问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为
m
1
、m
2
的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度
分别为v
1
和v
2
，求两球碰撞后各自的速度？

图2
设碰撞后速 度变为v
1
＇和v
2
＇，在弹性碰撞过
程中，分别根据动量守恒定律 、机械能守恒定律
得：

m
1
v
1
+m
2
v
2
=m
1
v
1
＇+m
2
v< br>2
＇

①
②
由①
由②
由④③
③
④
⑤
由③⑤式可以解出
⑥
⑦
要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也< br>很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记
住。m
1
、m
2
两球以速度v
1
和v
2
发生的对心弹性
碰撞，可等效成m
1
以速度v
1
去碰静止的m
2
球，
再同时加上m
2
球以速度碰静止的m
1
球。因此
由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得 两
球碰撞后各自的速度
+
+；
，即可得到上面的⑥⑦式。

另外，若将上面的⑤式变形可得：
撞后两球相互分开的相对速度
，
即碰撞前两球相互 靠近的相对速度v
1
- v
2
等于碰
。由此可轻松
记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。
例 题：如图3所示，有大小两个钢球，下面一
个的质量为m
2
，上面一个的质量为m1
，m
2
=3m
1
。
它们由地平面上高h处下落。假定 大球在和小球
碰撞之前，先和地面碰撞反弹再与正下落的小球
碰撞，而且所有的碰撞均是弹性的 ，这两个球的
球心始终在一条竖直线上，则碰后上面m
1
球将
上升的最大高度 是多少？

图3
解法1：
设两球下落h后的速度大小为v
1
，则
v
1
2
=2gh ①

选向上为正方向，m
2
球与地面碰撞后以速度
v
1< br>反弹并与正在以速度－v
1
下落的m
1
球发生弹
性碰撞，设m
1
和m
2
两球碰撞后瞬间的速度分别
变为v
1
＇和 v
2
＇，在弹性碰撞过程中，分别根据
动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：
m
1
（－v
1
）+m
2
v
1
=m
1
v
1
＇+m
2
v
2
＇

②
③
将m
2
=3m
1
代入，得
2v
1
=v
1
＇+3v
2
＇ ④
⑤
由④⑤式消去v
2
＇得:

即
故解出v
1＇=v
1
（舍去，因为该解就是m
1
球碰
前瞬间的速度）
v
1
＇=2v
1
⑥
设碰后上面球m
1
上升的最大高度为h＇，则
0－v
1
＇
2
=－2gh＇ ⑦

联立①⑥⑦式解出h＇=4h。
解法2：
在解法1中，列出②③式 后，可根据前面介绍
的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公
式，求出m
1球碰撞后瞬间的速度v
1
＇。
选向上为正方向，m
1
、m2
两球分别以速度－
v
1
和v
1
发生对心弹性碰撞，可 等效成m
1
以速度
－v
1
去碰静止的m
2
球，再同 时加上m
2
球以速度
v
1
碰静止的m
1
球。因此m
1
球碰撞后的速度
+
将m
2
=3m
1
代 入得v
1
＇=2v
1
。
以下同解法1。
解法3： 在解法1中，列出②③式后，也可根据前面介
绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞
公式，求出m
2
球碰撞后瞬间的速度v
2
＇。

选向上 为正方向，m
1
、m
2
两球以速度－v
1
和
v1
发生的对心弹性碰撞，可等效成m
1
以速度－
v
1
去 碰静止的m
2
球，再同时加上m
2
球以速度v
1
碰静止的m
1
球。因此碰撞后m
2
球的速度
+
将m
2
=3m
1
代入解得v
2
＇=0。
从m
1
球开始下落到m
1
球上升的最大高度，对
m
1
、m
2
两球组成的系统，由能量守恒得：
（m
1
+m
2
）gh= m
1
gh＇
故解出h＇=4h。
解法4：
设两球下落h后的速度大小为v
1
，则
v
1
2
=2gh ①
选向上为正方向，m
2
球与地面碰撞后以速度
v
1
反弹 并与正在以速度－v
1
下落的m
1
球发生弹
性碰撞，若以m
2
球为参考系，则m
1
球以相对

m
2
球为－2v
1
的速度去碰静止的m
2
球，由“一
动碰一静”的弹性碰撞公式得：

由于碰前m
2
球对地的具有向上的速度v
1
，
故碰后m
1
球对地的速度为：
v
1
=2v
1
。
以下同解法1。
上面的解法1属于常规的数学解法，求解比较
麻烦，用时间也比较长 而且容易出错。而解法2、
3、4直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求
解，简单而不易出错 ，是比较好的选择。

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