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一、集合的含义与表示

（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
（2）元素与集合的关系有且仅有 两种：属于（用符号“
?
”表示）和不属于（用
符号“
?
”
表示）。
（3）常用数集及其表示符号
自然数集
名称 （非负整数正整数集 整数集 有理数集 实数集
集）
符号
N

N
*

Z

Q

R

（4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。

二、集合间的基本关系
表示
关系
定义 记法
相等 集合
A
与集合
B
中的所有元素都相同
A?B

集合
间的
子集 集合
A
中任意一元素都在集合
B
中
A?B
或
B?A

基本
关系
真子集合
A
中任意一元素都在集合
B
中，且集
集 合
B
中至少有一个元素不在集合
A
中

空集（没有任何
空集是任何集合的子集
??A

元素的集合）
空集是任何集合的真子集




三、集合的基本运算

集合的并集 集合的交集 集合的补集
集合
A
和集合
B
的集合
A
和集合
B
的
若全集为
U
，集合< br>A
是
U
的子
符号
所有元素，记作共同元素，记作
集， 集合
U
除去集合
A
中所有
表示
AUB

AIB

的元素，剩余的所有元素，记作
C
U
A


图形
表示
意义
AUB?
?
xx?AAI B?
?
xx?A
或
x?B
?
且
x?B
?

C
U
A?
?
xx?U
且
x?A
?

(1)
AU??A
;
(1)
AI???
;
(2)
AUA?A
;
(2)
AIA?A
;
(1)
AU
?
C
U
A
?
?U
;
(3)
AIB?BIA
(2)
AI
?
C
U
A
?
??
;
性质
(3)
AUB?BUA
;
(4)
AUB?A?

;
(3)
C
U
?
C
U
A
?
?A
;
(4)
AIB?A?

(4)
C
U
?
AIB
?< br>?
?
C
U
A
?
U
?
C
U< br>B
?

B?A

A?B

(5)
C
U
?
AUB
?
?
?
C
U
A
?
I
?
C
U
B
?


知识拓展：
设有限集合
A
中元素的个数为
n
，则（1）
（1）
A
的子集个数是
2
n
；
（2）
A
的真子集个数是
2
n
-1；
（3）
A
的非空子集个数是
2
n
-1；
（4）
A
的非空真子集个数是
2
n
-2。

一、不等式的定义
用数学符号“
?
、
?
、
?
、
?
、
?
”连接两个数或代数式以表示它们之间的不
等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。
二、不等式的基本性质
性质 性质内容 注意
对称性
a?b?b?a

?

传递性
a?b,b?c?a?c

?

可加性
a?b?a?c?b?c

?

a?b
?
c?0
?
?
?ac?bc

可乘性
a?b
?
c
的符号
c?0
?
?
?ac?bc

a?b
?
同向可加性
c?d
?
?
?a?c?b?d

?

a?b?0
?
同向同正可乘性
c?d?0
?
?
?ac?bd

?

可乘方
a?b?0?a
n
?b
n
?
n?N,n? 1
?

?

可开方
a?b?0?
n
a ?
n
b
?
n?N,n?2
?

同正
三、比较大小的基本方法
作差法：
理论依据：
a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b
。
基本步骤：
（1）作差；
（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解 、配方法、分子分母有理
化、指数对数的恒等变形）；
（3）结论（与
0
比较）。
四、不等式的解法
1、一元一次不等式组（
a?b
）：
（1）
?
?
x?a
的解集为
?
x?b
?
xx?b
?
； （2）
??
x?a
?
x?b
的解集为
?
xx?a
?；
（3）
?
?
x?a
?
x?b
的解解为?
xa?x?b
?
；（4）
?
?
x?a
?x?b
的解集为
?

2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
V?b
2
?4ac

V?0

V?0

V?0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

(a?0)
的图
像
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

有两个不相等实根
有两个相等实根
(a?0)
的根
x
没有实数根
1,x
2
?
x
1
?x
2
?

x
b
1
?x
2
??
2a

ax
2
?bx?c?0

(a?0)
的解集
?< br>?
?
b
?
xx?x
1
或
x?x
2< br>?

?
xx??
2a
?
?

R

ax
2
?bx?c?0

?
xx?x
1
或
x?x
2
?

R

?

(a?0)
的解集
ax
2
?bx?c?0

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

(a?0)
的解集
ax
2
?bx?c?0

?
b
?
(a?0)
的解集
?
xx
1
?x?x
2
?

?
?
xx??
2a
?
?

?

3、绝对值不等式
（1）当
a?0
时，有
x?a?
?
xx?a
或
x?a
?
；
x?a?
?x?a?x?a
?
；
（2）当
a?0
时，有
x?0?
?
xx?0
?
；
x?0??
；
（3）当
a?0
时，
x?a?x?R
；
x?a??
；
（4）当
a?0
时，有
cx?d?a?< br>?
xcx?d?a
或
cx?d?a
?
；
cx?d?a?
?
x?a?cx?d?a
?
.
（5）当
a?0
时，有
cx?d?0?
?
xcx?d?0
?
；
cx?d?0??
。
（6）当
a?0
时，有
cx?d?a?x?R
；
cx?d?a??
。
4、分式不等式 < br>（1）
f
?
x
?
?
g
?
x
?
?0?
?
?
f
?
x
?
*g
?< br>x
?
?0
?
?
?0
；
?
g?
x
（2）
f
?
x
?
?
?
f
?
g
?
x
?
?0?
?
x
?
*g
?
x
?
?0
?
?
g
?
x< br>?
?0

（3）
f
?
x
?
g
?
x
?
?0?f
?
x
?
*g
?
x
?
?0

（4）
f
?
x
?
g< br>?
x
?
?0?f
?
x
?
*g
?x
?
?0

一、函数的概念
1、定义
（1）两个非空的数集
A
、
B
；
（2）如果按照某种确定 关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数
x
，在集合
B
中都有
唯一确定的数
f
?
x
?
和它对应； < br>（3）称
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数 ，记作
y?f
?
x
?
,x?A
。
2、函数的定义域、值域
（1）定义域：自变量
x
的取值范围；
（2）值域：与
x
相对应
y
的取值范围。
3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
二、函数的相关结论
1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。
2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。
3、分段函数：自变量
x
的取值范围不同，需要不同的对应法则。
（1）定义域：各个部分的并集；
（2）是一个函数；
（3）求
f
?
x
?
，要判断自变量
x
在哪个范围内，在代入相应的表达式。
4、求函数定义域的方法：
（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为
R；分母
?0
；偶次根式下
?0
；
奇次根式为
R
；
0
次幂底
?0
；指数为
R
；对数
?0
。

（2）若已知函数
f
?
x
?
的定义域为
?
a,b
?
，则函数
f
?
g
?
x
?
?
的定义域由
a?g
?
x
?
?b
求出。
（3）若已 知函数
f
?
g
?
x
?
?
的定义域为
?
a,b
?
，则函数
f
?
x
?
的定义域 为
g
?
x
?
在
x?
?
a,b
?
时的值域。
5、求函数解析式的方法
（1）待定系数法：若已知
f
?
x
?
的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确
定相关系数即可；
例1、已知
f< br>?
x
?
是一次函数，且
f
?
f
?
x
?
?
?4x?3
，则
f
?
x
?
的解析式。
（2）换元法：设
t?g
?
x
?
，解出
x
，代入
f
?
g
?
x
?
?
，求
f
?
t
?
的解析式即可；
（3）解方程组 法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于
f
?
x
?
的
方程组求出
f
?
x
?
；
例2、已知函数f
?
x
?
?2f
?
?
1
?
?
x
?
?
?x
，求
f
?
x
?
的解析式。
（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。
例3、已知
f
?
0
?
?1
，对任意的实数
x,y
都有
f
?
x?y
?
?f< br>?
x
?
?y
?
2x?y?1
?
，求
f
?
x
?
的解析式。
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数
f
?
x
?
的定义域为
I
，如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的
任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，
定义
当
x
1
?x
2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，当
x
1
?x
2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，
那么就说函数
f
?x
?
在区间
D
上是增那么就说函数
f
?
x?
在区间
D
上是增
函数。 函数。
2、单调区间的定义 若函数
f
?
x
?
在区间
D
上是增函数或减函数 ，则称函数
f
?
x
?
在这一区间上具有单调
性，区间
D
叫做
f
?
x
?
的单调区间。
3、判断（证明）单调性的方法
（1）图像法：在区间
D
上，图像呈上升趋 势，则函数在区间
D
上是增函数；反
之，图像呈下降趋势，则函数在区间
D< br>上是减函数。
（2）利用定义证明函数单调性的步骤：
a. 任取
x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x
2
；
b. 作差
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
；
c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；
d. 定号（即判断
f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
的正负，和“0”比较）；
e. 下结论（即指出函数
f
?
x
?
在给定的区间上的单调性）。
4、几种初等函数单调性的判断（证明）
（1）一次函数
y?kx?b(k?0),x?R

解（证明）： 在定义域
R
上任取
x
1
,x
2
?R
,且
x
1
?x
2
，则
f
?
x
1
??f
?
x
2
?
?(kx
1
?b)?
?
kx
2
?b
?


?k(x
1
?x
2
)

Qx
1
?x
2
?x
1
?x
2
?0

当
k?0
时，有

f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?k(x
1
?x
2
)?0

即
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?

故函数
y?kx?b
在
R
上是增函数。
而当
k?0
时，有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?< br>?k(x
1
?x
2
)?0

即
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?

故函数
y?kx?b
在
R
上是减函数。
（2 ）二次函数
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?

解：单调区间为
?
?
?
??
,
?
b
?
2a
?
?
，
?
?
?
?
b< br>2a
,??
?
?
?
,当
a?0
时，函数在
?
?
?
??,?
b
?
2a
?
?< br>是减函
数；在
?
?
?
?
b
2a
,< br>??
?
?
?
上是增函数；当
a?0
时，函数在
?
?
b
?
?
??
,
?
2a
?< br>?
是增函数；在
?
?
?
?
b
2a
, ??
?
?
?
上是减函数
证明函数
y?ax
2?bx?c
?
a?0
?
在
?
?
b
??
b
?
?
??,?
2a
?
?
是减函数；在< br>?
?
?
2a
,
??
?
?
上是增函数 。
证明：a. 在
?
?
b
?
?
??
,?
2a
?
?
上任取
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2
，则
f(x?f
?
x
?
ax
22
1
)
2
?
?
1
?bx
1
?c
?
?
?
ax
2
?bx2
?c
?
?ax
2
?ax
2
12
?b x
1
?bx
2
?a
?
x
22
1
? x
2
?
?b
?
x
1
?x
2
?
?a
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
?
?b
?
x
1
?x
2< br>?
?
?
x
1
?x
2
?
?
?
a
?
x
1
?x
2
?
?b
?
?
Qx
1
?x
2
?x
1
?x
2
?0

又
Qx
b
1
??
2a
,x?
b
2
?
2a

?x??
bbb
1
?x< br>2
2a
??
2a
,x
1
?x
2
??
a

又
Qa?0,?a
?
x
1
?x
2
?
??b

?a
?
x
1
?x
2
?
?b?0

?f(x
1
)?f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x
2
?
?
?
a
?
x
1
?x
2
?
?b
?
?
?0

即
f(x
1
)?f
?
x
2
?

故函 数
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
在
?
?
b
?
?
??,?
2a
?
?
是减 函数。
b.在
?
?
?
?
b
2a
,??< br>?
?
?
上任取
x
1
,x
2
,且x
1
?x
2
，则
f(xf
?
x
2< br>1
)?
2
?
?
?
ax
2
1
?bx
1
?c
?
?
?
ax
2
?bx
2
?c
?
?ax
22
1
?ax
2
?bx
1
?bx
2
?a
?
x
22
1
?x
2
?
?b
?
x
1
?x
2
?
?a
?
x
1
?x
2
??
x
1
? x
2
?
?b
?
x
1
?x
2
??
?
x
1
?x
2
?
?
?
a< br>?
x
1
?x
2
?
?b
?
?
Qx
1
?x
2
?x
1
?x
2
?0

又
Qx
1
??
b
2a
,x??
b
2
2a

?x?x
bbb
12
??
2a
? ?
2a
,x
1
?x
2
??
a

又
Qa?0,?a
?
x
1
?x
2
?
??b< br>
?a
?
x
1
?x
2
?
?b?0

?f(x
1
)?f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x
2
?
?
?
a
?
x
1
?x
2
?
?b
?
?
?0

即
f(x
1
)?f
?
x
2
?

故函数
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
在
?
?
b
?
?
?
2a< br>,??
?
?
是减函数。
（3）反比例函数
y?
k
x
(
k?
0)

解：单调区间为
?
??,0
?
，
?
0,???
，当
k?0
时，函数在
?
??,0
?
和?
0,??
?
上都为减函
数；当
k?0
时，函数在?
??,0
?
和
?
0,??
?
上都为增函数。
证明函数
y?
k
x
(
k?
0)
在
?
??,0
?
上是减函数；在
?
0,??
?
上是减 函数。
证明：在
?
??,0
?
上任取
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2
，则
f(x< br>kk
1
)?f
?
x
2
?
?
x
?
1
x
2

?
kx
2
?kx
1
x

1
x2
?
k
?
x
2
?x
1
?
x< br>1
x
2
Qx
1
?x
2
?x
2
?x
1
?0

又
Qk?0,?k
?
x
2
?x
1
?
?0

又
Qx
1
?0, x
2
?0
，
?x
1
x
2
?0

?f(x
1
)?f
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
k
?
x
xx
?0

12
即
f(x
1
)?f
?
x
2
?

故函 数
y?
k
x
(
k?
0)
在
?
?? ,0
?
上是减函数。
（4）指数函数
y?a
x
，当
0?a?1
时，在
R
上是减函数；当
a?1
时，在< br>R
上是增
函数。
证明：a. 在定义域
R
上任取
x
1
,x
2
?R
,且
x
1
?x
2< br>，则
f(x
x
1
)
?
a
1
?x< br>2
f
?
xa
x
2
?a
x
1

2
?
Qx
1
?x
2
,?x
1
?x
2
?0

又
Q0?a?1,?a
x
1
?x
2
?1

即
f(x
1
)
f
?
x
?1

2
?
故
f(x
1
)?f
?
x
2
?

所以 函数
y?a
x
?
0
?a?
1
?
在
R
上是减函数。
b. 在定义域
R
上任取
x
1
,x
2
?R
,且
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)
f
?
x
?
a
x
1
1
?x
2
x
2
?
a
2
?a< br>x

Qx
1
?x
2
,?x
1
?x< br>2
?0

又
Qa?1,?a
x
1
?x
2
?1

即
f(x
1
)
f
?
x
?1

2
?
故
f(x
1
)?f
?
x
2
?

所以 函数
y?a
x
?
0
?a?
1
?
在
R
上是增函数。
例1 讨论函数
f
?
x
??
ax
x
2
?1
?
a?0
?
在?
?1,1
?
上的单调性。
解：任取
x
1
,x
2
?
?
?1,1
?
，且
x
1
?x
2
，则

f(x
1
)?f
?x
ax
1
ax
2
2
?
?
x
2
?1
?
1
x
2
2
?1
?
ax1
?
x
2
2
?1
?
?ax
2
?
x
2
1
?1
?
?
x
2
1
?1
??
x
2
2
?1
?
ax
2
1
x
2
?ax
1
?ax
2
?

?
2
x
1
?ax
2
x
22
1?1
??
x
2
?1
?
22
?
ax1
x
2
?ax
2
x
1
?ax
2
?ax
?
1
x
2
1
?1
??
x
2
2
?1
?
?
ax
1
x
2
??
x
2
?x
1
?
?a
?
x
2
?x
1
?
x
2
1
?1
??
x2
2
?1
?
?
a
?
x
?
2< br>?x
1
??
x
1
x
2
?1
?
x
2
1
?1
??
x
2
2
?1
?
Q?1?x
1
?x
2
?1

?x
2?x
1
?0,x
1
x
2
?1?0,
?
x
22
1
?1
??
x
2
?1
?
? 0

又
a?0,?f
?
x
1
?
?f?
x
2
?
?0

故函数
f
?
x
?
?
ax
x
2
?1
?
a?0
?
在
?
?1,1
?
上为减函数。













二、函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的概念
奇偶性 定义 图像特点
如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
偶函数
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
是关于
y
轴对称
偶函数。
如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
奇函数
x
，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
关于原点对称
是奇函数。
2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤
（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称；
（2）求
f
?
?x
?
；
（3）判断
f< br>?
?x
?
是否等于
f
?
x
?
或?f
?
x
?
：
a. 若
f
?
?x< br>?
?f
?
x
?
，则
f
?
x
?
是偶函数；
b. 若
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,则
f
?
x
?
是奇函数；
c. 若
f
?
?x
?
?f
?
x
?
且
f
?
?x
?
??f
?
x
?,则
f
?
x
?
既是偶函数又是奇函数；
d. 若f
?
?x
?
?f
?
x
?
且
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,则
f< br>?
x
?
既不是偶函数也不是奇函数；
例2 判断下列函数的奇偶性
（1）
f
?
x
?
?
?
1?x
?< br>1?x
1?x

2）
f
?
x
?
?
4?x
2
（
x?3?3

（3）
f
?x
?
?
?
?
?x
2
?2x?1(x?0),< br>?
x
2
?2x?1(x?0);

解：（1）因为要使函数有意义，要满足
1?x
1?x
?0
，即
?
?
1?x?0
?
1?x?0
?
1?x?0
或
?

?
1?x?0
解得
?1?x?1

由于定义域关于原点不对称，所以函数
f
?
x
?
既不是偶函数也不是奇函数。
（2）因为要使函数有意义，要满足
?< br>?
2
?
4?x?0
?
?
x?3?3?0

解得
?2?x?2
且
x?0

所以函数的定义域关于原点对称。
f
?
x< br>?
?
4?x
2
4?x
2
?
x?3?3
?
x

又
f
?
?x
?
?
4?
?
?x
2
?
4?x
2
?x
??
x

?f
?
?x
?
??f
?
x
?
，即函数是奇函数。
（3）函数的定义域为
?
xx?0
?
，关于原点对称，
当
x?0
时，
?x?0,f
?
?x?
?
?
?x
?
2
?2
?
?x
?
?1?x
2
?2x?1??f
?
x
?
，
当
x?0
时，
?x?0,f
?
?x
?
??
?
?x
?
2
?2
?
?x
?
?1??x< br>2
?2x?1??f
?
x
?
，
?f
?
?x
?
??f
?
x
?
，即函数是奇函数













三、二次函数
1、二次函数的定义
形如
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c(a? 0)
的函数叫做二次函数。
2、二次函数的三种表示形式
（1）一般式：
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c(a?0)
； < br>2
（2）顶点式：
f
?
x
?
?a
?
?
b
?
?
x?
4ac?b
2
2a
?
?
?
4a
(a?0)
；
（3）两根式：
f
?< br>x
?
?a
?
x?x
1
??
x?x
2
?
(a?0)
。
3、二次函数的图象和性质
解析式
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c(a?0)

f
?
x
?
?ax
2
?bx?c(a?0)


图象
定义域
R

R

2
值域
?
?
4ac?b
?
?
4a
,??
?
?

?
?
?
??,
4ac?b
2
?
4a
?

?
最值
?
x?
?
4ac?b
2
f
min
4a

?
x
?
4ac?b
2
f
max
?
4a

b
?
b
???
在
?
??,?
?
上单调递减，在在
?
??,?
?
上单调递增，在
2a
?
2a
???
单调性
?
b
??
b
?
?,???,??
上单调递增
??
上单调递减
??
?
2a
??
2a
?
奇偶性 当
b?0
时为偶函数；当
b?0
时为非奇非偶函数
?
b 4ac?b
2
?
解：设
f
?
x
?
?
x
?
，
Qf
?
4
?
?3f
?
2
?
,?4
?
?3*2
?
，
2
2?
?3*2
?
，即
2
?
?3，故
?
?log
2
3
，所以
f
?
x
?
?x
log
2
3
?
1
?
1，则
f
??
=
?
2
?
2
log
2
3
?2
?log
2
3
?
1
。
3
例2 已知幂函数
f
?
x
?
?x
?m< br>2
?2m?3
?
m?Z
?
为偶函数，且在区间
?0,??
?
上是单调增函
顶点坐标
?
?
?
2a
,
4a
?

?
对称性
图像关于直线
x??
b
2a
对称
四、幂函数
1、幂函数的定义
形如
y
?
x
?
的函数称为幂函数，其中
x
是自变量，
?
为常数。
2、幂函数的性质
（1）当
?
?0
时，幂函数
y
?
x
?
有下列性质：
a. 图像都通过点
?
0,0
?
,
?
1,1
?
；
b. 在第一象限内，函数值随
x
的增大而增大。
（2）当
?
?0
时，幂函数
y
?
x
?
有下列性质：
a. 图像都通过点
?
1,1
?
；
b. 在第一象限内，函数值随
x
的增大而减小
例1 若函数
f
?
x
?
是幂函数，且满足
f
?
4
?
?3f
?
2
?
，求（1）
f
?
x
?
的函数表达式 ；
（2）求
f
?
?
1
?
?
2
?< br>?
。
数，求
f
?
x
?
的函数表达式 解：
Qf
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是单调增函数
??m
2
?2m?3?0
，即
m
2
?2m?3?0

??1?m?3,
又
m?Z,?m?0,1,2

当
m?0,2
时，
f
?
x
?
?x
3
不是偶函数，而当
m?1
时，
?f
?
x
?
?x
4
。




f
?
x
?
?x
4
是偶函数