高中数学课程内容主线运算主线解读

高中数学课程内容主线（三）—
运算主线
知识结构框图：

对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一
个是“运算的对象” ，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对
数”、“三角函数”、“向量 ”等等都是运算对象。“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，
减一项）、“交换律”、各种“ 分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学
的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯 穿数学课程的主线，在高中数
学课程中，发挥着不可替代的作用。
1．对运算的认识
运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条
重要线索。 从小学开始，学生接触的运算在不断地扩充，从整数到分数，从正数
到负数，从有理数到实数、复数，从 数到字母、到多项式。数的运算，字母运算，
向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等，都是数学 运算。
从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体
问 题中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题。而字母运算则可以刻画
蕴涵规律的一类问题，解决 一类问题。例如，
a?(b?c)?(a?b)?c
，就刻画了
数运算的一个规律—— 结合律。同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规

律的工具。从数运算进入字母运 算，使学生数学学习的一次质变，学生对运算的
理解也会产生一个跳跃。
从数的运算，到向量 运算，是认识运算的又一次跳跃。运算是一类映射，
在代数中，最常见的运算是这样的映射
A? A?A
，它是二元映射，实数的加法
和乘法就是二元映射，但是，并不是二元映射都是运算，实 际上，大部分二元映
射不是运算，只有满足规律的二元映射才可以成为运算，即代数运算。数的运算、< br>多项式运算都是
A?A?A
型的代数运算，例如，就加法运算来说，它们满足结
合律，有零元，
a?(?a)?0
，还满足分配率。在初中阶段，所有的数学内容都
离 不开运算，例如，代数基本公式，因式分解，方程，不等式，函数等。向量是
可以“算”的，向量的加法 、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得
??
?
到第三个向量，也满足结合 律，有零元，
a?(?a)?0
，所以向量的加法、减法
运算是属于
A?A? A
型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向
量通过数乘运算得到一个向量，它满 足一系列运算规则，例如，结合律：
?
?
?
?
??
(ab)
?
?a(b)
?
，分配率：
a(
?
?
?< br>)?a
?
?a
?
，等。所以，数与向量的数乘也是
一种运算， 是属于
A?B?B
型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向量通
过数量及运算得到 一个数，同样，它也满足一系列的运算规则，例如，分配率：
?
?
?
?
?
?
?
v?(
?
?
?
)?v?
?
?v?
?
，等，所以向量的数量积也是一种运算，是属于
A?A?B
型的 代数运算。向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代
数运算。与数的运算相比，向量的运算扩 充了运算对象。向量运算更加清晰地展
示了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量 运算具有与代
数运算不同的一些运算规律，这对于学生进一步理解其他数学运算、增强学生的
运 算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量运算，是学生数学学习的又一
次质变，学生对运算的理解 也会更上一层楼。
指数运算、对数运算、三角运算、导数运算等，从形式上看，它们都是
A? A?A
型的映射，但是，它们满足一些运算规律，例如，指数满足：
a
x?y
?a
x
?a
y
等规律。通常把具有规律的映射称为“算子”，又称之为一元运 算。
例如，导数运算也是一种运算，它满足两个函数和的导函数等于先求导再求和，
这是运算规 律，当然，它还满足其他的规律。这是对运算的认识的有一次飞跃。

在以后 的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学
生今后进一步学习其它数学运算，体会 数学运算的意义以及运算在建构数学系统
中的作用，奠定了基础。
运算时贯穿于 整个数学课程的主线之一。用这种思想认识高中的数学对提
高数学素养，提高解决问题的能力是非常有用 的。
2．运算的作用
（1）运算与推理
运算本身是代数研究的重要内容，项武 义教授认为代数问题就是运用运算和
运算法则解决问题，这样概括是有道理的。某种意义上来说，在中学 阶段，解方
程问题，解不等式问题，一些函数性质的研究，等等，都是代数问题。代数问题
的基 本特点是不仅要证明在什么条件下“解”存在，而且，要把“解”具体的构
造出来，这是一种构造证明， 运算和运算规律是构成代数推理的基本要素。例如，
讨论二元一次方程组时，不仅要证明在什么条件下二 元一次方程组无解、有解，
而且，还会把“解”具体地构造出来；又如，利用向量证明问题时，可以把要 证
明的问题结果“算”出来。
在运算过程中，每一步运算都要依据运算规律，运算规律的作用 类似于几何
证明中的公理，它是代数推理的前提和基本依据。运算过程本身就是代数推理的
过程 。因此，运算与推理有着密切的联系，可以说，运算也是一种推理，运算可
以“证明问题”，这是高中数 学学习需要“留给学生”的最重要的思想，因此，
运算的学习对于学生的逻辑推理能力同样具有重要作用 。
（2）运算与算法
在一定意义下，算法是通过计算机解决问题的，算法有计算机 实现，构成算
法的基本要素是运算。计算机能完成的运算主要包括：算术运算
(?,?,?,? )
，逻辑
运算（与、或、非等），关系运算（
?,?,?,?,?,?
等）， 函数运算，等。因此，运
算时算法的基本要素，算法的设计要以运算和运算律为依据。使用各种运算和运
算规律对于理解算法、选择算法、优化算法具有重要作用。
（3）运算与恒等变形 < br>在解决数学问题的过程中，需要进行各种工各样的恒等变形，把复杂问题变
成简单问题，例如，在 解决一元二次方程时，我们通过配方法，实现了降幂的目

的，把一元二次方程变成一元一 次方程，配方法是通过恒等变形完成的，这些恒
等变形是通过反复利用运算规律实现的。又如，在三角函 数等内容的学习中，无
论是证明，还是求解，都是在运用各种三角函数基本运算法则进行恒等变形，通< br>过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。因此，运算和运算法则的
学习，对于理解恒 等变形的原理，提高恒等变形的能力是非常重要的。
3．运算内容的设计
在高中数学课程中 ，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数
运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量 和空间向量；复数运算；导数运
算；等。
高中数学课程在必修4和选修2—1中安排了平面 向量与空间向量的内容；
在选修1-2和选修2-2中安排了熟悉扩充与复数的引入的内容；在必修的指 数函
数、对数函数、三角函数中也安排了有关的运算，在选修1、选修2中安排了导
数的运算。
保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是熟悉扩充的动力之一。例如，为
了保持除法的封闭性 ，促使我们把整数拓展到分数；为了保持减法的封闭性，促
使我们把正数拓展到负数；保持开方等运算的 封闭性是促使实数系扩充到复数系
的原因之一。每进行一次数的拓展，我们都需要讨论：在新的数中，原 有的数的
运算规律在新的数中是否保持？例如，从正数拓展到负数，为了保持乘法对加法
的分配 率成立，我们需要定义：
(?1)?1??1
，
1?(?1)??1
，
(?1)?(?1)?1
。复
数保持实数的运算规律。但是，实数是有序的，复数是无序的。
在指数、对数、三角函数等内容中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这些特
殊的运算规律，是理 解相关数学概念的基础。
指数运算满足的最基本的运算规律是
a
x?y
?a
x
?a
y
，若用
f(x)
表示指数函
数，即
f(x)?a
x
，则上述性质可表示为
f(x?y)?f(x)?f(y)
。这一运算规律表
明指数运算把加法运算变为乘法运算，这正是指数函数增长快的原因。指数函数
的性质，特别是指数函数的增长性质就是由这一运算规律决定的。指数运算的运
算律还有：
( a)?a
xyx?y
a
x
a
x
；
(a?b)?a? b
；
()?
x
。（其中，
a?0,a?1)

b< br>b
xxx

对数运算满足的最基本的运算规律是
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y
。若用
g( x)
表示对数函数，即
g(x)?log
a
x
，则上述性质可表示为
g(x?y)?g(x)?g(y)
。这
一运算规律表明对数运算把乘法运算变为加法 运算，这正是指数函数增长慢的原
因。对数函数的性质，特别是对数函数的增长性质就是由这一运算规律 决定的。
指数运算的运算律还有：
x
log
a
()?log
a
x?log
a
y
；
log
a
a
x?x
，（其中，
a?0,a?1)

y
运算规律
log
a
a
x
?x
表明了对数运算与指数运算的关系，极对数运算与指数< br>运算互为逆运算。因此，指数函数与对数函数互为反函数。
三角运算，以正弦运算为例，它所满足的基本运算律是：
sin(x?y)?sinxcosy?cosxsiny
。
正弦函数的性质就是由这一运算律决定的。
导函数满足的运算律是：
(f(x)? g(x))
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
； (f(x)?g(x))
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g?
(x)
；
(
f(x)f
?
(x)?g(x)?f( x)?g
?
(x)
)
?
?
。
2
g(x)
g(x)
后两个运算是导数运算所特有的。
对于上述运算与运算律的学习有助于学生理解运算的意义以及运算律对研
究运算的重要性。