2018江苏数学高考真题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
1
参 考公式：锥体的体积
V?Sh
，其中
S
是锥体的底面积，
h
是锥体的高．
3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在 答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
1．已知集合
A?{0,1,2,8}
，
B?{?1,1,6,8}
，那么
A?B?
▲ ．
2． 若复数
z
满足
i?z?1?2i
，其中i是虚数单位，则
z
的实部为 ▲ ．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，
那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ▲ ．
5．函数
f(x)?log
2
x?1
的定义域为 ▲ ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．
???
7．已知函数
y?sin(2x?
?
)(???
?)
的图象关于直线
x?
对称，则
?
的值是 ▲ ．
223
3
x
2
y
2
c
，则其离8．在 平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
2
?
2
?1(a?0, b?0)
的右焦点
F(c,0)
到一条渐近线的距离为
2
ab
心率的值是 ▲ ．
?x
?
cos,0?x?2,
?
?2
9．函数
f(x)
满足
f(x?4)?f(x)(x?R)
， 且在区间
(?2,2]
上，
f(x)?
?

1
?
|x?|,-2?x?0,
?
?2
则
f(f(15))
的值 为 ▲ ．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数
f(x)?2x
3
?ax
2
?1( a?R)
在
(0,??)
内有且只有一个零点，则
f(x)
在
[?1,1]
上的最大值与最小值的和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系
x Oy
中，A为直线
l:y?2x
上在第一象限内的点，
B(5,0)
，以AB为直径的圆C与直线l交于另
????????
一点D．若
AB?CD?0< br>，则点A的横坐标为 ▲ ．
13．在
△ABC
中，角
A,B, C
所对的边分别为
a,b,c
，
?ABC?120?
，
?A BC
的平分线交
AC
于点D，且
BD?1
，则
4a?c的最小值为 ▲ ．
14．已知集合
A?{x|x?2n?1,n?N
*< br>}
，
B?{x|x?2
n
,n?N
*
}
．将
A?B
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
{a
n
}
．记
S
n
为数列
{a
n
}
的前n项和，则使得S
n
?12a
n?1
成立的n的最小值为 ▲ ．
二、解 答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．
．．．．．．．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA1
?AB,AB
1
?B
1
C
1
．
求 证：（1）
AB∥
平面
A
1
B
1
C
；（2 ）
平面
ABB
1
A
1
?
平面
A
1
BC
．

16．（本小题满分14分）
已知
?,
?
为锐角，
tan
?
?
5
4
，cos(
?
?
?
)??
．
5
3
（1 ）求
cos2
?
的值；（2）求
tan(
?
?
?< br>)
的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的 边界由圆O的一段圆弧
MPN
（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆
O的半径 为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩
形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
△CDP
，要求
A,B
均在线段
MN
上，
C,D
均在圆弧上．设OC与MN所成的角
为
?
．
（1）用
?
分别表示矩形
ABCD
和
△CDP
的面 积，并确定
sin
?
的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4:3
．求当
?
为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．




18．（本小题满分16分）
1
如图，在平面直角坐标系
xOy
中 ，椭圆C过点
(3,)
，焦点
2
F
1
(?3,0),F2
(3,0)
，圆O的直径为
F
1
F
2
．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于
A ,B
两点．若
△OAB
的面积为
求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记
f
?
(x),g
?
(x)
分别为函数
f(x),g(x)
的导函数．若存在
x
0?R
，满足
f(x
0
)?g(x
0
)
且
f
?
(x
0
)?g
?
(x
0
)
，则称
x
0
为函数
f(x)
与
g(x)
的一个“S 点”．
26
，
7
（1）证明：函数
f(x)?x
与< br>g(x)?x
2
?2x?2
不存在“S点”；（2）若函数
f(x)? ax
2
?1
与
g(x)?lnx
存在“S点”，
求实数a的 值；
be
x
（3）已知函数
f(x)??x?a
，
g(x )?
．对任意
a?0
，判断是否存在
b?0
，使函数
f(x )
与
g(x)
在区间
(0,??)
x
2
内存在“S 点”，并说明理由．

20．（本小题满分16分）
设
{ a
n
}
是首项为
a
1
，公差为d的等差数列，
{b
n
}
是首项为
b
1
，公比为q的等比数列．
（1 ）设
a
1
?0,b
1
?1,q?2
，若
|a
n
?b
n
|?b
1
对
n?1,2,3,4
均成立 ，求d的取值范围；
（2）若
a
1
?b
1
?0,m?N< br>*
,q?(1,
m
2]
，证明：存在
d?R
，使得< br>|a
n
?b
n
|?b
1
对
n?2,3,?, m?1
均成立，并求
d
的取
值范围（用
b
1
,m, q
表示）．

数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}







2．2
6．









3．90








4．8
8．2
12．3
5．[2，+∞）
9．
2

2
3

10
4

3
π
7．
?

6


10．11．–3
13．9 14．27
二、解答题
15．本小题 主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分
14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB∥A
1
B
1
．
因为A B
?
平面A
1
B
1
C，A
1
B
1
?
平面A
1
B
1
C，
所以AB∥平面A
1
B
1
C．
（2）在平行六面体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形AB B
1
A
1
为平行四边形．
又因为AA
1
=AB， 所以四边形ABB
1
A
1
为菱形，因此AB
1
⊥A
1
B．
又因为AB
1
⊥B
1
C
1
，BC ∥B
1
C
1
，所以AB
1
⊥BC．又因为A
1B∩BC=B，A
1
B
?
平面A
1
BC，BC
?
平面A
1
BC，
所以AB
1
⊥平面A
1
BC．因为AB
1
?
平面ABB
1
A
1
，所以平 面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．
16．本小题 主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．
4 sin
?
4
，
tan
?
?
，所以
sin< br>?
?cos
?
．
3cos
?
3
97
因为
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，所 以
cos
2
?
?
，因此，
cos2
?
?2 cos
2
?
?1??
．
2525
解：（1）因为
tan
?
?
（2）因为
?
,
?
为锐角，所以
?
?
?
?(0,π)
．
又因为
cos(
??
?
)??
525
，所以
sin(
?
?
?
)?1?cos
2
(
?
?
?
)?
，
55
42tan
?
24
??
，所以
tan2
?
?
，
2
31?tan
?
7
tan2
?
?tan(
?
?
?
)2
因此，
tan(
?
?
?
)?tan[2
?
?(
?
?
?)]???
．
1+tan2
?
tan(
?
?
?
)11
因此
tan(
?
?
?
)??2
． 因为
tan
?
?

17．本小题主要考查三角函数的应用、用导 数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解
决实际问题的能力．满分14分 ．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（ 40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为
1< br>×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
2
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ
0
，则sinθ
0
=
当θ∈[θ
0
，
1
π
，θ
0
∈（0，）．
46
π
1< br>）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．
24
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[
1
，1）．
4
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4 k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
= 8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ
0
，
ππ
）．设f（ θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ
0
，），
22
(
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
?sin
?
??(2sin
2
?
?sin
?
?1)??(2sin< br>?
?1)(sin
?
?1)
． 则
f′
令
f ′(
?
)=0
，得θ=
当θ∈（θ
0
，
当θ∈（< br>π
，
6
π
）时，
f′(
?
)>0
，所以f（θ）为增函数；
6
ππ
，）时，
f′(
?
)< 0
，所以f（θ）为减函数，
62
ππ
时，f（θ）取到最大值．答：当θ =时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
66
因此，当θ=
18．本小题主要考 查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系
等知识 ，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为
F
1
(? 3,0),F
2
(3,0)
，
x
2
y
2
1
可设椭圆C的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
．又点< br>(3,)
在椭圆C上，
2
ab
1
?
3
2< br>?
x
2
?
2
?
2
?1,
?
a?4,
4b
所以
?
a
，解得
?
2
因此， 椭圆C的方程为
?y
2
?1
．
4
?
?
a
2
?b
2
?3,
?
b?1,

?
因为圆O的直径为
F
1
F
2
，所以其方程为
x
2
?y
2
?3
．

（2）①设直线l与圆O相切于P(x
0
,y
0
)(x
0
?0,y
0
?0)
，则
x
0
2
?y
0
2
?3
，
所以直线l的方程为
y??
x
0
x
3
． (x?x
0
)?y
0
，即
y??
0
x?
y
0
y
0
y
0
?
x
2
2
?
?y?1,
?
4
由
?
，消去y，得
(4x0
2
?y
0
2
)x
2
?24x
0x?36?4y
0
2
?0
．（*）
x
3
?< br>y??
0
x?,
?
y
0
y
0
?因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以
?? (?24x
0
)
2
?4(4x
0
2
?y
0
2
)(36?4 y
0
2
)?48y
0
2
(x
0
2
?2)?0
．
因为
x
0
,y
0
?0
，所 以
x
0
?2,y
0
?1
．因此，点P的坐标为
(2 ,1)
．
②因为三角形OAB的面积为
12642
26
AB?OP ?
，所以

，从而
AB?
．
277
7
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2)
，由（*）得
x
1,2
?
24x
0
?48y
0
2
(x
0
2
?2)
2(4x
0
2
?y
0
2
)
，
x
0
2
48y
0
2
(x
0
2
?2)
所以
AB?(x1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)

?(1?
2
)?
．
y
0
(4x
0
2
?y
0
2
)
2
222
16(x
02
?2)
32
?
因为
x
0
?y
0?3
，所以
AB?
，即
2x
0
4
?45x0
2
?100?0
，
22
(x
0
?1)49
22
2
102
51
,)
． 解得
x
02
?(x
0
2
?20
舍去），则
y
0
2
?
，因此P的坐标为
(
22
22
综上，直线l的方程为< br>y??5x?32
．
19．解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x
2
+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
?
x?x
2
?2x?2
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
?
，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
?
1?2x?2
fx）?ax
2
?1
，
g(x)?lnx，则
f（
（2）函数
（
?x）?2ax，g（?x）?
1
．
x
设x
0
为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x
0）=g（x
0
）且f′（x
0
）=g′（x
0
），得
2
?
ax
0
?1?lnx
0
2
1
?
?
1e
?
1
?
ax
0
?1?lnx0
，即
?
2
，（*）得
lnx
0
??
，即
x
0
?e
2
，则
a?
．
?
1
?
1
?
2ax?
2
2
2ax?1
0?
?
?
0
2(e
2
)
2
x
0
?
?
ee
当
a?
时，
x
0
?e< br>2
满足方程组（*），即
x
0
为f（x）与g（x）的“S”点．因此 ，a的值为．
22
1
（3）对任意a>0，设
h(x)?x
3?3x
2
?ax?a
．
因为
h(0)?a?0，h(1)?1 ?3?a?a??2?0
，且h（x）的图象是不间断的，
3
2x
0
所以存在
x
0
∈（0，1），使得
h(x
0
)?0
，令
b?
x
0
，则b>0．
e(1?x
0
)< /p>

be
x
be
x
(x?1)
函数
f(x )??x?a，g(x)?
，则
f′
．
(x)??2x，g′(x)?2
xx
2
3
?
2
2x
0
e
x
?
2
be
x
?
?
?x?a?
x
0
?x?a?
?
x
e(1?x)
?
?
0
x< br>由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
?
，即（**）
?3
x
x
2x
0
e(x?1)
?
?2x?
?
?2x?
be(x?1)
?
?
?
x
2
x
2
e
x
0
(1?x
0
)
?
?< br>此时，
x
0
满足方程组（**），即
x
0
是函数f（ x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．解：（1）由条件知：
a
n
?(n?1)d,b
n
? 2
n?1
．因为
|a
n
?b
n
|?b
1< br>对n=1，2，3，4均成立，
即
|(n? 1)d?2
n?1
|? 1
对n=1，2，3，4均成立，即1
?
1，1
?
d
?3，3
?
2d
?
5，7
?
3d
?
9， 得
75
?d?
．
32
75
因此，d的取值范围为
[,]
．
32
（2）由条件知：
a
n
?b
1
?(n?1)d,b
n
?b
1
q
n?1
．若存在d，使得
|a
n
?b< br>n
|?b
1
（n=2，3，···，m+1）成立，
即
| b
1
?(n?1)d?b
1
q
因为
q?(1,
m< br>n?1
q
n?1
?2q
n?1
|?b
1
(n ?2,3,?,m?1)
，即当
n?2,3,?,m?1
时，d满足
b
1
?d?b
1
．
n?1n?1
n?1
2]
，则
1?q
q
n?1
?2
q
n?1
?q?2
， 从而
b
1
?0
，
b
1
?0
，对
n ?2,3,?,m?1
均成立．
n?1
n?1
m
因此，取d=0时 ，
|a
n
?b
n
|?b
1
对
n?2,3, ?,m?1
均成立．
q
n?1
?2
q
n?1
下面讨论数列
{
．
}
的最大值和数列
{}
的最小值（
n?2,3,?,m?1
）
n?1
n?1
q
n
?2q
n?1
?2nqn
?q
n
?nq
n?1
?2n(q
n
?qn?1
)?q
n
?2
2?n?m
①当时，，
???< br>nn?1n(n?1)n(n?1)
当
1?q?2
时，有
q
n
?q
m
?2
，从而
n(q
n
?q
n?1< br>)?q
n
? 2?0
．
1
m
q
因此，当< br>2?n?m?1
时，数列
{
n?1
?2q
n?1
?2
q
m
?2
．
}
单调递增，故数列
{}
的 最大值为
n?1n?1
m
②设
f(x)?2
x
(1?x)< br>，当x>0时，
f
?
(x)?(ln2?1?xln2)2
x
?0
，
q
n
1
q(n?1)11
n
?2
n
(1?)?f()?1
， 所以
f(x)
单调递减，从而
f(x)
2?n?m
时，
n?1
?
q
n nn
n?1
n?1n?1m
qqq
因此，当
2?n?m?1
时，数列
{}
单调递减，故数列
{}
的最小值为．
n?1n?1m
b
1
(q
m
?2)b
1
q
m
因此 ，d的取值范围为
[,]
．
mm

数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答
．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．
的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆 O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若
PC?23
，
求 BC 的长．
?
23
?
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10 分)已知矩阵
A?
??
．
12
??
（1）求
A
的逆矩阵
A
?1
；
（2）若点P在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
P
?
(3, 1)
，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) π
在极坐标系中，直线l的方程为
?
sin(?
?
)?2
，曲线C的方程为
?
?4cos
?
，求直线l被曲线C截得的弦长．
6
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且 x+2y+2z=6，求
x
2
?y
2
?z
2
的最小 值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明
．．．．．．．
过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，AB=AA
1
=2，点P，Q分别为A
1
B
1
，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；
（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．
23．(本小题满分10分)
设
n?N
*
，对1，2，···，n 的一个排列
i
1
i
2
?i
n
，如果当si
s
?i
t
，则称
(i
s
,i
t
)
是排列
i
1
i
2
?i
n
的一个 逆序，排
列
i
1
i
2
?i
n
的所有逆序的 总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，
则排列231的逆序数为2．记
f
n
(k)
为1，2，···，n的所有排列 中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求
f
3
(2),f
4
(2)
的值；
（2）求
f
n
(2)(n?5)
的表达式(用n表示)．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC． 因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．又因为PC=
23
，OC=2，

所以OP=
PC
2
?OC
2
=4．又因为OB=2，从而B为R t△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
?23
??
2?3
?
?1
A
det(A)?2?2?1? 3?1?0
解：（1）因为
A?
?
，，所以A可逆，从而
?
??
?12
?
．
12
????
?
23
? ?
x
??
3
??
x
??
3
?
?1
?
3
?
（2）设P(x，y)，则
?
，所以
??A ?
??
y
??
1
??
y
??
1
? ?
?1
?
，因此，点P的坐标为(3，–1)．
12
????????????
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为
?
=4cos
?
，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
ππ
因为直线l的极坐标方程为< br>?
sin(?
?
)?2
，则直线l过A（4，0），倾斜角为， 66
所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=
连结OB，因为 OA为直径，从而∠OBA=
π
．
6
ππ
，所以
AB?4 cos?23
．因此，直线l被曲线C截得的弦长为
23
．
26
D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得
(x
2
?y
2
?z
2
)(1
2
?2
2
?2
2
)?(x?2y?2z)
2
．
因为
x?2y?2z=6
，所以
x
2
?y2
?z
2
?4
，当且仅当
所以
x
2
? y
2
?z
2
的最小值为4．
xyz244
??
时，不等式取等号，此时
x?，y?，z?
， < br>122333
22．【
必做题
】
本小题主要考查空间向量
、< br>异面直线所成角和线面角等基础知识
，
考查运用空间向量解决问题的能力．满
分 10分．
解
：
如图
，
在正三棱柱ABC
?
A1
B
1
C
1
中
，
设AC
，
A
1
C
1
的中点分别为O
，
O
1
，
则OB⊥OC
，
OO
1
⊥OC
，
OO
1
⊥ OB
，
?????????????
以
{OB,OC,OO
1
}
为基底
，
建立空间直角坐标系O
?
xyz．因为AB
=
AA
1
=2，
所以
A(0,?1,0),B(3,0,0),C( 0,1,0),A
1
(0,?1,2),B
1
(3,0,2),C
1
(0,1,2)
．
（1）
因为P为A
1
B
1的中点
，
所以
P(
31
,?,2)
，
22< br>?????????
?????????
?????????
|BP?AC1
|
31
|?1?4|310
??????
?
,?,2 ),AC
1
?(0,2,2)
，故
|cosBP,AC
1
| ?
???
?
从而
BP?(?
．
22
20
|BP|?|AC
1
|
5?22
因此
，
异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值为
310
．
20
31
,,0)
，
22
????
?????? ????
33
因此
AQ?(,,0)
，
AC
1
?( 0,2,2),CC
1
?(0,0,2)
．设n
=（
x
，< br>y
，
z
）
为平面AQC
1
的一个法向量
，< br>
22
（2）
因为Q为BC的中点
，
所以
Q(

????
?
33
?
AQ?n?0,
x?y?0,< br>?
?
则
?
????
即
?
2
不妨取< br>n?(3,?1,1)
，
设直线CC
1
与平面AQC
1
所成角为
?
，
?
2
?
?
AC
1
?n?0,
?
?
2y?2z?0.
?????
?????
|CC
1
?n|
5
25
?
则
sin
??|cosCC
1
,n|?
????
，所以直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值为
．

??
5
5< br>|CC
1
|?|n|
5?2
23．【必做题】本小题主要考查计数原理 、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．
解：（1）记
?(abc)
为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
?
(123) =0，
?
(132)=1，
?
(213)=1，
?
(231 )=2，
?
(312)=2，
?
(321)=3
，所以
f< br>3
(0)?1，f
3
(1)?f
3
(2)?2
． < br>对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是 最后三个位
置．因此，
f
4
(2)?f
3
(2)?f
3
(1)?f
3
(0)?5
．
（2）对一般的n（n≥4）的情 形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以
f
n
(0)?1
．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以
f
n
(1)?n?1
．
为计算
f
n?1
(2)
，当 1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最
后 三个位置．因此，
f
n?1
(2)?f
n
(2)?f
n(1)?f
n
(0)?f
n
(2)?n
．当n≥5时，
f
n
(2)?[f
n
(2)?f
n?1
(2)]?[f< br>n?1
(2)?f
n?2
(2)]?…?[f
5
(2)?f< br>4
(2)]?f
4
(2)

n
2
?n?2
，
?(n?1)?(n?2)???4?f
4
(2)?
2
n
2
?n?2
因此，n≥5时，
f< br>n
(2)?
．
2