2017江苏数学试题及标准答案(word解析版)

（7）【2017年江苏，7，5分】记函数
f(x)?6?x?x
2
的定义域为D．在区间
[?4，
则
x?D

5]
上随机取一个数
x
，
的概率是________．
5
【答案】
9
【解析】由
6?x?x
2
?0得
x
2
?x?6?0
，得
?2?x?3
，则
D ?[?2，
则在区间
[?4，
则
x?D

3]
，< br>5]
上随机取一个数
x
，
的概率
P?
3?
?
?2
?
5?
?
?4
?
?
5
． < br>9
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概 型的概率公式是
解决本题的关键．
x
2
（8）【2017年江苏，8，5分 】在平面直角坐标系
xoy
中 ，双曲线
?y
2
?1
的右 准线与它的两条渐近线分别
3
交于点
P
，
Q
，其焦点是F
1
，
F
2
，则四边形
F
1
PF2
Q
的面积是_______．
【答案】
23

?< br>33
??
33
?
x
2
3
3
,Q,?
【解析】双曲线
?y
2
?1
的右准线：
x?
，双曲 线渐近线方程为：
y?
，
x
，所以
P
????
?< br>22
??
2
?
，
2
3
3
2
????
1
F
1
?
?2,0
?
．
F2
?
2,0
?
．则四边形
F
1
PF
2
Q
的面积是：
?4?3?23
．
2
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
7
63（9）【2017年江苏，9，5分】等比数列
?
a
n
?
的各项 均为实数，其前
n
项的和为
S
n
，已知
S
3
?
，
S
6
?
，则
a
8
?

4
4
________．
【答案】32
a
1
?
1?q
3
?
7
a
1
?
1?q
6< br>?
63
7
63
?
，
?
， 【解析】设等比数 列
?
a
n
?
的公比为
q?1
，∵
S
3
?
，
S
6
?
，∴
1?q41?q4
4
4
11
解得
a
1
?
，
q?2
．则
a
8
??2
7
?32
．
44
【点评】本 题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（10）【20 17年江苏，10，5分】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买
x
吨，运费为6万元次 ，一年的总
存储费用为
4x
万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则
x
的值是________．
【答案】30
600900
【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=．
?6?4x ?4?2??x?240
（万元）
xx
当且仅当
x?30
时取等号．
【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
1
3
（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数
f
?
x?
?x?2x?
x
e?
x
，其中
e
是自然数对 数的底数，若
e
2
f
?
a?1
?
?f
?< br>2a
?
?0
，则实数
a
的取值范围是________．
?
1
?
【答案】
?
?1,
?

?
2
?
1
11
2xx
?
的导数为：
fx?3 x?2?e???2?2e??0
，可得
f
?
x
?
在R上
??
e
x
e
x
e
x
1
3
递增；又
f
?
?x
?
?f
?
x
?
?
?
?x
?
?2x?e
?x
?e
x
?x< br>3
?2x?e
x
?
x
?0
，可得
f
?
x
?
为奇函数，
e
1
则
f
?
a?1
?
?f2a
2
?0
，即有
f2a
2
??f
?
a?1
?
?f
?
1?a
?
，即有
2a
2
?1?a
，解得
?1?a?
．
2
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不< br>等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
【解析】函数
f
?
x?
?x
3
?2x?e
x
?
????
2

（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA
，
OB
，
OC
，的模分别为1，1，
2
，
OA
与
，则
OC
的夹角为
?
，且
ta n
?
?7
，
OB
与
OC
的夹角为
45?< br>。若
OC?mOA?nOB
（
m,n?R
）
m?n?
________．
【答案】3
【解析】如图所示，建立直角坐标系．
A
?
1,0
?
．由
OA
与
OC
的夹角为
?< br>，且
tan
?
?7
．
∴
cos
?
?
1
52
，
sin
?
?
23
?
1 7
?
．∴
C
?
,
?
．
cos
?< br>?
?45?
?
?
?
cos
?
?sin
?
?
??
．
25
52
?
55
?
7
24
34
?
，
?
sin
?
?cos
?
?
?
．∴
B
?
?
?,
?
．∵
OC?mOA?nOB
（
m,n?R
）
55
25??
1374
7
5
∴
?m?n
，
?0?n，解得
n?
，
m?
．则
m?n?3
．
555 54
4
【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．
（13）【2017年江苏，13，5分】在平面直角坐标系
xOy
中，A
，
B
，点
P
在圆
O：x
2
?y2
?50
上，
（-12，0）（0，6）
sin
?
?< br>?45?
?
?
若
PA?PB?20
，则点
P
的横坐标的取值范围是________．
【答案】
?
?52,1
?

??
【解析】根据题意 ，设
P
?
x
0
,y
0
?
，则有
x
0
2
?y
0
2
?50
，
22
P A?PB?
?
?12?x
0
,y
0
??
?x
0
,6?y
0
?
?
?
12?x
0
?x
0
?y
0
?
6?y
0
?
?12x< br>0
?6y
0
?x
0
?y
0
?20
，
化为
12x
0
?6y
0
?30?0
，即
2 x
0
?y
0
?5?0
，表示直线
2x?y?5?0
以及直线下方的区域，
22
?
?
x
0
?y
0?50
联立
?
，解可得
x
0
??5
或
x
0
?1
，由图得：点
P
的横坐标
x
0
的 取值范围是
?
?52,1
?
．
??
2x?y?5?0?
0
?
0
【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是 利用数量积化简变形得到关于
x
0
、
y
0
的关系式． ?
x
2
,x?D
（14）【2017年江苏，14，5分】设
f
?
x
?
是定义在R且周期为1的函数，在区间
?
?
0,1
?
上，
f
?
x
?
?
?
x ,x?D
，
?
?n?1?
,n?N
*
?
，则方程< br>f
?
x
?
?lgx?0
的解的个数是_______． 其中集合
D?
?
xx?
n
??
【答案】8
?x
2
,x?D
【解析】∵在区间
?
?
0,1
?
上，
f
?
x
?
?
?
x,x?D
， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又
f
?
x
?
是定义在R
?
2
?
?
?
x?1
?
,x?D
上 且周期为1的函数，∴在区间
?
1,2
?
上，
f
?
x
?
?
?
，此时
f
?
x
?
的图象 与
y?lgx
有且只有
x?1,x?D
?
?
一个交点；同 理：区间
?
2,3
?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
有且只有一个交点；区间
?
3,4
?
上，
f
?
x
?
的图象
与
y?lgx
有且只 有一个交点；区间
?
4,5
?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
有且只有一个交点；区间
?
5,6
?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
有且只 有一个交点；区间
?
6,7
?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
有且只有一个交点；
区间
?
7,8< br>?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
有且只有一个交点；区间
?
8,9
?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
有且只
??
?
上，
f
?
x
?
的图象与
y?lgx
无交点；有一个交点；在区间
?
9，
故
f
?
x
?
的图象与
y? lgx
有8个交点；
即方程
f
?
x
?
?lgx?0
的解的个数是8．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明 、证明
．．．．．．．．
过程或演算步骤．
（15）【2017年江苏，15，14 分】如图，在三棱锥
A?BCD
中，
AB?AD
，
BC?BD
，
平面
ABD?
平面
BCD
，点E、F（E与A、D不重合）分 别在棱AD，BD上，且
EF?AD
．
（1）
EF平面ABC
；
（2）
AD?AC
．
解：（
1
）在平面
ABD
内，因为
AB?AD
，
EF?AD
，所以
EFAB
．又因为
EF?
平面

3

ABC
，
AB?
平面
ABC
，所以
EF平面ABC
．

（
2
）因为平 面
ABD?平面BCD
，平面
ABD
平面
BCD?BD
，< br>
所以
BC?
平面
ABD
．因为
AD?
平 面
ABD
，所以
BC?AD
．又
AB?AD
，
< br>BC?
平面
BCD
，
BC?BD
，
BCAB?B，
AB?
平面
ABC
，
BC?
平面
ABC，所以
AD?
平面
ABC
，

又因为
AC?< br>平面
ABC
，所以
AD?AC
．

【点评】本题考查 线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线
面垂直的性 质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．
sinx
?
，
b?3, ?3
，
x?
?
0,
?
?
． （16）【2017年 江苏，16，14分】已知向量
a?
?
cosx，
??
（1）若
ab
，求x的值；
（2）记
f
?
x< br>?
?a?b
，求
f
?
x
?
的最大值和最小值 以及对应的
x
的值．
?(cosx,sinx)
，
b?(3,?3 )
，
ab
，所以
?3cosx?3sinx
．若
cosx? 0
，则
sinx?0
，

解：（
1
）因为
a
5π
3
与
sin2
x?cos
2
x?1
矛盾，故
cosx?0
．于是< br>tanx??
．又
x?
?
0,
?
?
，所以< br>x?
．

6
3
π
（
2
）
f (x)?a?b?(cosx,sinx)?(3,?3)?3cosx?3sinx?23cos(x?)．

6
ππ7πππ
π3
因为
x?
?
0,
?
?
，所以
x??[,]
，从而
?1?cos(x?) ?
．于是，当
x??
，即
x?0
时，
f
?
x
?

66666
62
π
5π
取到最大值
3
；当
x???
，即
x?
时，
f
?
x?
取到最小值
?23
．

6
6
【点评】本题考 查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．
x
2< br>y
2
（17）【2017年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系
xO y
中，椭圆
E:
2
+
2
=1
?
a?b?0
?
的左、
ab
1
右焦点分别为
F
1
，F
2
，离心率为，两准线之间的距离为8．点
P
在椭圆E上，且位于2
第一象限，过点
F
1
作直线
PF
1
的垂线< br>l
1
，过点
F
2
作直线
PF
2
的垂 线
l
2
．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l
1
，l
2
的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标，
1
c1

因为椭圆
E
的离心率为，解：（
1
）设椭圆的半焦距为
c
．两准线之间的距离为
8
，所以
?
，

2
a2
22
2axy
2
22

解得
a?2,c?1
，于是
b?a?c?3
，因此椭圆
E
的标准方程是
??8
，
?1
．
c43
（
2
）解法一：

由（
1
）知，
F
1
(?1,0)，
F
2
(1,0)
．设
P(x
0
,y
0
)
，因为点
P
为第一象限的点，故
x
0
?0,y
0
?0
．

当
x
0
?1
时，l
2
与
l
1
相交于
F
1
，与题设不符 ．

y
0
y
0
当
x
0
?1
时，直线
PF
1
的斜率为，直线
PF
2
的斜率为．因为< br>l
1
⊥PF
1
，
l
2
⊥PF
2，所以直线
l
1
的
x
0
?1x
0
?1
?x
0
?1x
0
?1x
0
?1
?y??( x?1)
，
①
ll
斜率为，直线
2
的斜率为，从而直线
1
的方程：
y
0
y
0
y
0
22
x
0
?1
1?x
0
1?x
0
(x? 1)
．
②
由
①②
，解得
x??x
0
,y?)
．
< br>直线
l
2
的方程：
y??
，所以
Q(?x
0
,
y
0
y
0
y
0
2
1?x
0
2222
??y
0
，即
x
0
?y
0< br>?1
或
x
0
?y
0
?1
．

因为点
Q
在椭圆上，由对称性，得
y
0
22
?
x
0
?y
0
?1
?
2
4737
2

又
P
在椭圆
E
上，故，解得
x
0
?
；
,y
0
?
??1
．由
?
x
0
y
0
77
43
?1
?
?
3
?
4< br>2
x
0
2
y
0
4

22
?
x
0
?y
0
?1
?
2< br>4737
2
，无解．因此点
P
的坐标为
(,)
．
?
x
0
y
0
77
?1
?
?
3
?
4
解法二：
设
P
?
m,n
?
，由
P
在第一象限，则
m?0
，
n?0
， 当
m?1
时，
k
PF
2
不存在，解得：
Q与
F
1
重合，不满足题意，
nnm?1m?1
，
k< br>PF
1
?
，由
l
1
?PF
1
，l
2
?PF
2
，则
k
l
1
??
，
k
l
2
??
，
m?1m?1nn
m?1m? 1
直线
l
1
的方程
y??
?
x?1
?，①直线
l
2
的方程
y??
?
x?1
?
，②
nn
?
m
2
?1
?
m
2
?1
联立解得：
x??m
，则
Q
?
?m,
??n< br>2
，即
m
2
?n
2
?1
，
?，由
Q
在椭圆方程，由对称性可得：
n
?
n
?
当
m?1
时，
k
PF
2
?
?
2
1 6
?
m
2
?1?n
2
?
1?m
2
?n
2
m?
?
??
?
7
或
m
2< br>?n
2
?1
，由
P
，在椭圆方程，
?
m2
n
2
，解得：
?
，或
?
m
2
n
2
，无解，
（m,n）
9
2
??1??1
?
n?
??
343
?
4
?
?
7
?< br>?
4737
?
又
P
在第一象限，所以
P
的坐 标为：
P
?
?
7
,
7
?
?
． < br>??
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形 结合思想，考查计
算能力，属于中档题．
（18）【2017年江苏，18，16分】如如图 ，水平放置的正四棱柱形玻璃容器
Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线A C
的长为
107
cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，
E
1
G
1
的长分别为14cm
和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有
一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱
CC
1
上，
求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一 端置于侧棱GG
1
上，求l没入水中部分的长度．
解：（
1
）由正 棱柱的定义，
CC
1
⊥
平面
ABCD
，所以平面
A
1
ACC
1
⊥
平面
ABCD
，
CC
1
⊥AC
．

记玻璃棒的另一端落在
CC
1
上点
M
处．因为
AC?107,AM?40
，所以
MC?40
2
?(107)
2
?30
，

3
，记
AM< br>与水面的焦点为
P
11
?AC
，
Q
1
为垂足 ，

1
，过
P
1
作
PQ
4
PQ< br>11
?16
．

则
PQ
11
?
平面
ABCD
，故
PQ
11
?12
，从而
AP
1
?
sin∠MAC
∴玻璃棒
l
没入水中部分的长度为16cm．
OO
1
?
平面
EFGH
，
O
，
O
1
是正棱台的两底面中心．

所以平面
E
1
EGG
1
?

（
2
）如图，由正棱台的定义，
平面
EFGH
，
O
1
O ?EG
．同理，平面
E
1
EGG
1
?
平面
E
1
FG
11
H
1
，
O
1
O?E
1
G
1
．记玻璃棒的另一端落在

GG
1
上点
N
处．过
G
作
GK?E
1
G
，
K
为垂足，则
GK?OO
1
?32
．因为
EG? 14
，
E
1
G
1
? 62
，

6 2?14
?24
，从而
GG
1
?KG
1
2
?GK
2
?24
2
?32
2
?40
．

所以
KG
1
?
2
?4
设
∠EGG
1
?
?
,∠ENG?
?
，则
sin
?
?s in(?∠KGG
1
)?cos∠KGG
1
?
．

25
4014
?3
?
?
?
??cos
?
? ?
因为，所以．在
△ENG
中，由正弦定理可得，

sin
?
sin
?
25
7?24
解得
sin
?
?
．

因为
0?
?
?
，所以
cos
?
?
．

25225
从而
sin∠MAC?
5

< br>424373
于是
sin∠NEG?sin(??
?
?
?)?sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
???(?)??
．

5255255
记
EN
与水面的交点为
P
2
，过
P
2
作
P
2
Q
2
?EG
，
Q2
为垂足，则
P
2
Q
2
?
平面
EFGH
，故
P
2
Q
2
?12
，

P
2
Q
2
?20
．
∴
玻璃棒
l
没入水中部分的长度为
20cm
．

从而

EP
2
?
sin∠NEG
【点评】本题考查玻璃棒
l
没入水中部分的长度的 求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力、空间 想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
（19）【2017年江苏，19，16 分】对于给定的正整数
k
，若数列
?
a
n
?
满足< br>a
n﹣k
?a
n﹣k?1
???a
n﹣1
?a
n?1
???a
n?k﹣1

?a
n?k
?2ka
n
对任意正整数
n
?
n?k
?
总成立，则称数列
?
a
n
?
是“
P
?
k
?
数列”．
（1）证明：等差数列
?
a
n
?
是“
P
?
3
?
数列”；
（2）若数列
?
a< br>n
?
既是“
P
?
2
?
数列”，又是“
P
?
3
?
数列”，证明：
?
a
n
?是等差数列．
解：（
1
）因为
?
a
n
?是等差数列，设其公差为
d
，则
a
n
?a
1
? (n?1)d
，

从而，当
n?4
时，
a
n?k< br>?a
n?k
?a
1
?(n?k?1)d?a
1
?(n ?k?1)d?2a
1
?2(n?1)d?2a
n
，
k?1,2,3 ,

所以
a
n?3
?a
n?2
+a
n?1
+a
n?1
?a
n?2
+a
n?3
?6a
n
，因此等差数列
?
a
n
?
是
“
P
?
3
?
数列
”
．

（
2
）数列
?
a
n
?
既是
“
P
?
2
?
数列
”
，又是
“
P
?
3
?
数列
”
，因此，

当
n?3
时，
a
n?2?a
n?1
?a
n?1
?a
n?2
?4a
n< br>，
①
当
n?4
时，
a
n?3
?a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n?2
?an?3
?6a
n
．
②
由
①
知，
a< br>n?3
?a
n?2
?4a
n?1
?(a
n
? a
n?1
)
，
③
a
n?2
?a
n?3
?4a
n?1
?(a
n?1
?a
n
)
，< br>④
将
③④
代入
②
，得
a
n?1
? a
n?1
?2a
n
，其中
n?4
，所以
a
3
,a
4
,a
5
,
是等差数列，设其公差为
d'< br>．

在
①
中，取
n?4
，则
a
2< br>?a
3
?a
5
?a
6
?4a
4
，所 以
a
2
?a
3
?d'
，

在
①< br>中，取
n?3
，则
a
1
?a
2
?a
4
?a
5
?4a
3
，所以
a
1
?a
2
?2d'
，所以数列
{a
n
}
是等差数列．

【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中 档题．
（20）【2017年江苏，20，16分】已知函数
f
?
x
?
?x
3
?ax
2
?bx?1
?
a?0,b?R
?
有极值，且导函数
f
?
?
x
?
的极值
点是
f
?
x
?
的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自 变量的值）．
（1）求
b
关于
a
的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：
b
2
?3a
；
7
（3）若
f
?
x
?
，
f
?
?
x
?
这两个函数的所有极值之和不小于
?
，求a的取值范围．
2
a
2< br>a
2
a
2
a
32
2
解：（1）由
f (x)?x?ax?bx?1
，得
f
?
(x)?3x?2ax?b?3(x? )?b?
．当
x??
时，
f
?
(x)
有极小值b?
．
33
3
3
aa
3
a
3
ab2a
2
3
因为
f
?
(x)
的极值点是
f(x)
的零点．所以
f(?)?????1?0
，又
a?0
，故
b??
．
327939a
2
a1
因为
f(x)< br>有极值，故
f
?
?
x
?
=0
有实根，从而< br>b??(27?a
3
)?0
，即
a?3
．
39a< br>a?3
时，
f
?
(x)>0(x??1)
，故
f(x )
在R上是增函数，
f(x)
没有极值；
?a?a
2
?3 b?a?a
2
?3b
，
x
2
=
．
a?3
时，
f
?
(x)=0
有两个相异的实根
x
1
=
33
列表如下：
(??,x
1
)

x
1

(x
1
,x
2
)

x
2

x
f
?
(x)

+ 0 – 0
f(x)

极大值 极小值

(x
2
,??)

+

2a3
?
，定义域为
(3,??)
．
9a
b2a a3
232t
2
?27
2t3
=?
（2）由（1）知，．设
g(t)=?
，则
g
?
(t)=?
2
?
．
9
9t9t
2
9t
aaa
故
f(x)
的极 值点是
x
1
,x
2
．从而
a?3
，因此
b ?
当
t?(

2
3636
,??)
时，
g
?
(t)?0
，从而
g(t)
在
(,??)
上单调 递增．
22
6

因为
a?3
，所以
aa?33
，故
g(aa)>g(33)=3
，即
b
a
> 3
．因此
b
2
>3a
．
4a
2
?6b< br>2
22
（3）由（1）知，
f(x)
的极值点是
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
??a
，
x
1
?x
2
?
．
9
3
32
?ax
2
?bx
2
?1
从而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
3
? ax
1
2
?bx
1
?1?x
2
4a
3?6ab4ab
x
1
x
2
12
2222
??2 ?0

?(3x
1
?2ax
1
?b)?(3x
2< br>?2ax
2
?b)?a(x
1
?x
2
)?b(x1
?x
2
)?2
?
279
3333
2
a13
13
记
f(x)
，
f
?
(x)
所有 极值之和为
h(a)
，因为
f
?
(x)
的极值为
b ?
所以
h(a)=?a
2
?
，
a?3
．
??a
2
?
，
39a
9a
237
因为
h< br>?
(a)=?a?
2
?0
，于是
h(a)
在
(3,??)
上单调递减．因为
h(6)=?
，于是
h(a)?h(6)，故
a?6
．
9a2
因此a的取值范围为
(3，6]
．
【点评】本题考查利用导 数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，
属于难题．
数学Ⅱ
21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答的前两题评分．解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（21-A）【2017年江苏，21-A，10分】（选修4 -1：几何证明选讲）如图，
AB
为半圆
O
的直径，
直线PC切半圆O于点C，
AP?PC
，P为垂足．
求证：（1）
?PAC??CAB
；
（2）
AC
2
?AP·AB
。
解：（1）因为
P C
切半圆O于点C，所以
∠PCA?∠CBA
，因为
AB
为半圆O的 直径，
所以
∠ACB?90?
，因为
AP
⊥
PC
，所以
∠APC?90?
，所以
?PAC??CAB
．

A PAC
?
（
2
）由（
1
）知
△APC∽△ACB< br>，故，所以
AC
2
?AP·AB
．

ACAB
【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
?
01
??
10
?
B?
（21-B）【2017年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵
A?
?
，
??
02
?
．
10
????
（1）求
AB
；
22
xy
（2）若曲线C
1
；
?=1

在 矩阵
AB
对应的变换作用下得到另一曲线
C
2
，
求
C
2
的方程．
82
?
01
??
10
??
01
??
10
??
02
?
B?AB?
< br>解：（
1
）因为
A?
?
，，所以
??
02< br>??
10
??
02
?
?
?
10
?< br>．

10
??????????
（
2
）设
Q (x
0
,y
0
)
为曲线
C
1
上的任意一点 ，它在矩阵
AB
对应的变换作用下变为
P(x,y)
，

?
x
0
?y
22
?
2y
0
?x
?< br>02
?
?
x
0
?
?
x
?
?
xy
00
则
?
??1
，

x
．因 为
Q(x
0
,y
0
)
在曲线
C
1
上，所以
?
?
y
?
?
?
y
?
，即
?
x?y
，所以
?
10
y?
88
???
0
?
??
?
0
0
?
?2
x
2
y
2
x
2
?y
2
?8
．

?1
，即
x
2
?y
2
?8
．因此曲线
C
1
在矩阵
AB
对应的变换作用下得到曲线
C
2< br>：
从而
?
88
【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．
（21-C）【2017年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面坐标系 中
xOy
中，已知直线
l
的参
?
x??8?t
2< br>?
?
?
x?2s
考方程为
?
（
t
为 参数），曲线
C
的参数方程为
?
（
s
为参数）。设
p
为曲线
C
上的动点，
t
y?
y?22s
?
?
?
?2
求点
P
到直线
l
的距离的最小值． < br>解：直线
l
的普通方程为
x?2y?8?0
．因为点
P
在曲线
C
上，设
P(2s
2
,22s)
，

7

从而点
P
到直线
l
的的距离
d?
|2s
2
?42s?8|
(?1)
2
?(?2)
2
?
2(s?2)
2
?4
5
，当
s?2
时，
d
min
?
45
．
5
45
．

5
因此当点
P
的坐标为
?
4,4
?
时，曲线
C
上点
P
到直线
l
的距离取到最小值
【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
（21-D） 【2017年江苏，21-D】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知
a,b,c,d
为实数，且
a
2
?b
2
?4
，
c
2
?d
2
?16
，证明
ac?bd?8
．
解： 由柯西不等式可得：
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2)(c
2
?d
2
)
，因为
a
2
?b< br>2
?4,c
2
?d
2
?16,
所以
(ac? bd)
2
?64
，

因此
ac?bd?8
． 【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题．
【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内． < br>．．．．．．．．．．．
（22）【2017年江苏，22，10分】如图，在平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
?
平面
ABCD
，
且
AB?AD?2< br>，
AA
1
?3
，
?BAD?120?
．
（ 1）求异面直线
A
1
B
与
AC
1
所成角的余弦值；
（2）求二面角
B?A
1
D?A
的正弦值．
解：在平面< br>ABCD
内，过点A作
AE?AD
，交BC于点E．因为
AA
1
?
平面
ABCD
，
所以
AA
1
?AE
，
AA
1
?AD
．如图，以
AE,AD,AA
1< br>为正交基底，建立空间直角坐标系
A?xyz
．
则
A(0,0,0) ,B(3,?1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A
1
(0,0,3),C1
(3,1,3)
．
AB?AD?2
，
AA
1
?3
，
?BAD?120?
．
（1）
A
1
B?( 3,?1,?3),AC
1
?(3,1,3)
，
则
cosA
1
B,AC
1
?
A
1
B?AC
1
|A< br>1
B||AC
1
|
?
(3,?1,?3)?(3,1,3)1
??
．
77
??
1
．
7
（2）平面< br>A
1
DA
的一个法向量为
AE?(3,0,0)
．设
m?(x,y,z)
为平面
BA
1
D
的一个法向量，
因此 异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值为
?
?
m ?A
1
B?0,
?
?
3x?y?3z?0,
又
A< br>1
B?(3,?1,?3),BD?(?3,3,0)
，则
?
即
?

?
?
?
m?BD?0,
?
?3x?3y?0 .
不妨取
x?3
，则
y?3,z?2
，所以
m?(3,3, 2)
为平面
BA
1
D
的一个法向量，
从而
cos AE,m?
AE?m(3,0,0)?(3,3,2)3
3
设二面角
B?A< br>1
D?A
的大小为
?
，则
o
??
，
cs||
?
?
．
4
4
|AE||m|
3?477
．因此二面角
B?A
1
D?A
的正弦值为，
4< br>4
【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题． < br>（23）【2017年江苏，23，10分】已知一个口袋有
m
个白球，
n个黑球（
m,n?N
2
，
n?2
），这些球除颜色外全
部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为
12
其中第
k，， 3，??，m?n
的抽屉内，
次取球放入编号为
k
的抽屉（
k?12 ，，3，??，m?n
）．
m?n

1 2 3

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率
p
；
因为
?
?[0,?]
，所以
sin
?
?1?cos
2
?
?
（2）随机变量
x
表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，
E
?
x
?
是
x
的数学期望，证明
E
?
x< br>?
?
n
．
m?nn?1
????
?1
C< br>n
n
m?n?1
?
n
?
解：（1）编号为2的抽屉内 放的是黑球的概率
p
为:
p
．
C
m?n
m?n
（2）随机变量 X 的概率分布为:
8

X
P
1

n
?1
C
n
n?1

C
n
m?n
1

n?1
?1
C
n
n

C
n
m?n
m?n
1

n?2
?1
C
n
n?1

C
n
m?n
…
…
m?n
1

k
?1
C
n
k?1

C
n
m?n
…
…
1

m?n
?1
C
n
n?m?1
C
n
m?n

?1
1
C
n
1
k?1
随机变量 X 的期望为：< br>E(X)?
?
?
n
?
n
C
m?n
k ?n
kC
m?n
1(k?1)!
?
．
?
k(n? 1)!(k?n)!
k?n
所以
E(X)?
1
C
n
m?n
m?n
(k?2)!1
?
?
n
(n?1)C
m
k?n
(n?1)!(k?n)!
?n
?2
?C
n
m?n?2
)?
m?n
k?n
?
(n?2)!(k?n)!

?2
?C
n
m?n?2
)

(k?2)!?
1
?2n?2
(1?C
n
?
n?1
?Cn
n
(n?1)C
m?n
?C
1
?1n?2n?2(C
n
?
n?1
?C
n?1
?C
n
n
(n?1)C
m?n
1
?1?2
?(C
n
?Cn
?
nn
n
(n?1)C
m?n
n?2
m?n ?2
)?
?1
C
n
n
1
n?1n?2
m? n?1
??

?(C?C)
m?n?2m?n?2
n
n(n?1)C(m?n)(n?1)
(n?1)C
m?n
m?n
n
．
(m?n)(n?1)
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数 学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算
求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化 思想，是中档题．

E(X)?
9