全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
22
1. 如果实数m，n，x，y满 足
m?n?a
，
x?y?b
，其中a，b为常数，那么mx+ny
22
的最大值为 答：[B]
a?b
A. B.
2
ab
C.
a
2
?b
2
D.
2
a
2
?b
2

2
解 由柯西不 等式
(mx?ny)
2
?(m
2
?n
2
)(x2
?y
2
)?ab
；或三角换元即可得到
mx?ny?ab< br>，当
m?n?
a
，
x?y?
b
时，
mx?n y?ab
. 选B.
2
2
2. 设
y?f(x)
为指数函数
y?a
. 在P(1,1)，Q(1,2)，M( 2,3)，
N
?
,
?
四点中，函数

y ?f(x)
与其反函数
y?f
?1
x
?
11
??
24
?
(x)
的图像的公共点只可能是点 答：[D]
A. P B. Q C. M D. N
解 取
a?
1
1
1?
1
?
?
1
?
，把坐标代入检验，
?
??
?
，而
??
?
，∴公共点只可能是
2
16< br>4
?
16
?
?
16
?
1
2
1
4
点N. 选D.
3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比
数列，那么
x?y?z
的值为 答：
[A]
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4


1
0.5









2
1







x



y


z

解 第一、二行后两个 数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的
x?0.5
，
y?5
，
16
z?
3
，则
x?y?z?1
. 选A.
16
4. 如果
?A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值分别是
?A
2
B
2
C
2
的三个内角的正弦值，那么
答：[B]

A.
?A
1< br>B
1
C
1
与
?A
2
B
2
C
2
都是锐角三角形
B.
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2
是钝角三角形
C.
?A
1
B
1
C
1
是钝角三角形，
?A
2
B
2
C
2
是锐角三角形
D.
?A
1
B
1
C
1
与
?A< br>2
B
2
C
2
都是钝角三角形
?A
1
B
1
C
1
的内角余弦都大于零， 解 两个三角形的内角不能有直角；所以是锐角三角形；
若
?A
2
B
2< br>C
2
是锐角三角形，则不妨设
cos
A
1
=sin
A
2
=cos
?
?
?
??
?
?< br>?A
1
?
， cos
B
1
=sin
B2
=cos
?
?A
2
?
，
?
2??
2
?
cos
C
1
=sin
C
2< br>=cos
?
则
A
1
?
?
?
?< br>?C
1
?
.
?
2
?
?
2
?A
2
，
B
1
?
?
2
?B
2，
C
1
?
?
2
?C
2
，
即
A
1
?B
1
?C
1
?
3
?
?(A
2
?B
2
?C
2
)
，矛盾. 选B.
2
5. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“
a?
?
，
b?
?
，且
?
?
?
”的
平面
?
，
?

A. 不存在 B. 有且只有一对
C. 有且只有两对 D. 有无数对
解 任作a的平面
?
，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作
?
的垂线. b与
垂线确定的平面
?
垂直于
?
. 选D.
二、填空题（本题满分50分，每小题10分）
6. 设集合
A?xx?
?
x
?
?2和B?xx?2
，其中符号
?
x
?
表示不大于x的最大整数，则
2
答： [D]
??
??

A?B??1,3
.
解 ∵
x?2
，
?
x
?
的值可取
?2,?1,0,1
.
当[x]=
?2
，则
x?0
无解； 当[x]=
?1
，则
x?1
，∴x=
?1
；
22
当[x]=0，则
x?2
无解； 当[x]=1，则
x?3
，∴
x?
22
??
3
.
所以
x??1或3
.
7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是
P?
分数）.
91
(结果要求写成既约
216

91
?
5
?
解 考虑对立事件，
P?1?
??
?
.
216
?
6
?
8. 已知点O在
?ABC
内部，< br>OA?2OB?2OC?0
.
?ABC与?OCB
的面积之比为5：1.
解 由图，
?ABC
与
?OCB
的底边相同，
高是5：1. 故面积比是5：1.


9. 与圆
x?y?4x ?0
外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为
y
2
?8x(x?0)或
22
3
A
O
B
C

y?0(x?0)
.
解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、< br>x??2
为准线的抛物线上的点；
若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程 为
y?8x(x?0)
，或
y?0(x?0)
.
2
a
2
?b
2
10. 在
?ABC
中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 .
c
2
解 切割化弦，已知等式即
sinAsinBsinAsinCsinBsinC
，
??
cosAcosBcosAcosCcosBcosC
亦即
sin AsinBcosCabcosC
sinAsinBsin(A?B)
，即=1，即
? ?1
.
22
sinCcosC
sinCc
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?b
2
?1
， 故
?3
. 所以，
22
2cc
三、解答题（本题满分70分，各小题 分别为15分、15分、20分、20分）
11. 已知函数
f(x)??2x?bx?c< br>在
x?1
时有最大值1，
0?m?n
，并且
x?
?< br>m,n
?
时，
2
?
11
?
f(x)
的取值范围为
?
,
?
. 试求m，n的值.
?
nm
?
解 由题
f(x)??2(x?1)?1
， ……5分

?f(x)?1
，
?
2
1
?1
，即
m?1
，
?f(x)在
?
m,n
?
上 单调减，
m
2

?f(m)??2(m?1)?1?
11< br>2
且
f(n)??2(n?1)?1?
. ……10分
mn
2

?m
，n是方程
f(x)?? 2(x?1)?1?
1
的两个解，方程即
x
(x?1)(2x
2
?2x?1)
=0，

解方程，得解为1，
1?3
1?3
，.
2
2

?1?m?n
，
?m?1
，
n?
1?3
. ……15分
2
x
2
y
2
??1
上的两个动点，满 足
OA?OB?0
。 12. A、B为双曲线
49
（Ⅰ）求证：
1
OA
2
?
1
为定值；
2
OB
（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足
OP?AB?0
，求证：点P在定圆上.
证 （ Ⅰ）设点A的坐标为
(rcos
?
,rsin
?
)
，B的坐 标为
(r
?
cos
?
?
,r
?
sin?
?
)
，则
r?OA
，
?
cos
2
?
sin
2
?
?
r
?
?OB
，A 在双曲线上，则
r
?
?
4
?
9
?
?
?1
.
??
2
1cos
2
?
sin
2
?
?
所以
2
?
. ……5分
49
r
2222
由
OA?OB?0
得< br>OA?OB
，所以
cos
?
?
?sin
?
，
cos
?
?sin
?
?
.
1cos
2< br>?
?
sin
2
?
?
sin
2
?cos
2
?
???
同理，
2
?
， < br>?
4949
r
所以
1
|OA|
2
?
1
|OB|
2
?
11115
????
. ……10分
r
2
r'
2
4936
（Ⅱ）由三角形面积公式，得
OP?AB?OA?OB
，所以
?
< br>OP?AB?OA?OB
，即
OP?
?
?
OA?OB
?
?OA?OB
.
??
??
22
?
11
?
?
11
??
5
?
即
OP?
?
??OP???OP?
????
?1
.
?
22
?
49
??
36
?
?
OAOB< br>?
??
2
2222
22222
于是，
OP
2
?
36
.
5
即P在以O为圆心、
65
为半径的定圆上. ……15分
5
13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线
DC在平面N内. 已知
?BDC?
?
，
?BDA?
?
，
?CDA?
?
，且
?
，
?
，
?
都是

锐角. 求二面角
M?l?N
的平面角的余弦值（用
?
，
?
，
?
的 三角函数值表示）.
解 在平面M中，过A作DA的垂线，
交射线DB于B点；
A
D
N
C
在平面N中，过A作DA的垂线，
交射线DC于C点.
设DA=1，则
B
M
AB?tan
?
，
DB?
AC?tan
?
，
DC?
1
，
cos
?
1
， ……5分
cos
?
并且
?BAC?
?
就是二面角
M?l?N
平面角. ……10分
在
?DBC与?ABC
中，利用余弦定理，可得等式
BC2
?
112
??cos
?
?tan
2
?
?tan
2
?
?2tan
?
tan
?
cos?
，
22
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
22
所以，
2tan
?
tan
?
cos
?
?tan
?
?tan
?
?
11 2
??cos
?

cos
2
?
cos
2< br>?
cos
?
cos
?
=
2(cos
?
?cos
?
cos
?
)
， ……15分
cos
?
cos
?
……20分 故得到
cos
?
?
cos
?
?cos
?
cos
?
.
sin
?
sin
?
14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格 表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、
两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种 填法；若不能，请给予证明.
（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.


解（Ⅰ）不能. ……5分
因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是
2×4×6×8×12× 18×24×36×48=2
1+2+1+3+2+1+3+2+4
×3
1?1?2? 1?2?1
=2
19
·3
8
不是立方数，故不能.
（Ⅱ）可以. ……15分
如右表




36
8
6
2 24
18
4
12
72

表中每行、每列及对角线的积都是2
6
·2
3
. ……20分