2017年江苏省高考数学试卷

2017年江苏省高考数学试卷



一.填空题

1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a
2
+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ．

2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．

3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，
400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品
中抽取60件 进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．

4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是 ．


5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα= ．

6．（5 分）如图，在圆柱O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切，记圆柱O
1
O
2
的体积为V
1
，球O的体积 为V
2
，则的值是 ．


7．（5分）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数
第1页（共31页）

x，则x∈D的概率是 ．

8．（5分）在平面 直角坐标系xOy中，双曲线﹣y
2
=1的右准线与它的两条渐
近线分别交于点P，Q ，其焦点是F
1
，F
2
，则四边形F
1
PF
2Q的面积是 ．

9．（5分）等比数列{a
n
}的各项均为实 数，其前n项为S
n
，已知S
3
=，S
6
=
则a< br>8
= ．

10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购 买x吨，运费为6万元次，
一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x
的值是 ．

11．（5分）已知函数f（x）=x
3
﹣ 2x+e
x
﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a
，
﹣1）+f（2a2
）≤0．则实数a的取值范围是 ．

12．（5分）如图，在同一个 平面内，向量
与的夹角为α，且tanα=7，与
，，的模分别为1，1，
=m
，
的夹角为45°．若+n（m，n∈R），
则m+n= ．


13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：
x
2
+y
2
=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．

14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x ）
=，其中集合D={x|x=，n∈N
*
}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个
数是 ．



二.解答题

15．（1 4分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面
BCD，点E、F（ E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

第2页（共31页）

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．


16．（14分）已知向量=（cosx，sinx ），=（3，﹣
（1）若∥，求x的值；

（2）记f（x）=
），x∈[0，π]．

，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

=1（a＞b＞0）17．（1 4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
的左、右焦点分别为F
1
，F2
，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆
E上，且位于第一象限，过点F
1
作直线PF
1
的垂线l
1
，过点F
2
作直线P F
2
的垂线
l
2
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l
1
，l
2< br>的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．


18．（16分）如图，水平放置的 正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ
的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角
线EG，E
1
G
1
的长分别为14cm和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深
均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略
不计）

第3页（共31页）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC
1
上，求l没
入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置 于点E处，另一端置于侧棱GG
1
上，求l没
入水中部分的长度．


19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a
n
}满足：a
n
﹣
k
+a
n
﹣
k
+
1
+…+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+…+a
n
+< br>k
﹣
1
+a
n
+
k
=2ka
n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a
n
}是“P（k）数列”．

（1）证明：等差数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（2）若数 列{a
n
}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a
n
} 是等差数列．

20．（16分）已知函数f（x）=x
3
+ax
2
+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′
（x）的极值点是f（x）的零点．（极 值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：b
2
＞3a；

（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．



二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本 小题满分
0分）

21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC
2
=AP?AB．




第4页（共31页）

[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知矩阵A=
（1）求AB；

（2）若曲线C
1
：
C
2
的方程．



[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l的参数方程为（t为参数），
=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C
2< br>，求
，B=．

曲线C的参数方程为
直线l的距离的最小值．



［选修4-5：不等式选讲］

（s为参数）．设P为曲线C上 的动点，求点P到
24．已知a，b，c，d为实数，且a
2
+b
2
=4，c
2
+d
2
=16，证明ac+bd≤8．



【必做题】

25．如图，在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
⊥平面ABCD ，且AB=AD=2，
AA
1
=，∠BAD=120°．

（1）求异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值．


26．已知 一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N
*
，n≥2），这些球除颜色外
全部相同 ．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，
m+n的抽屉内，其中第 k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．

第5页（共31页）

1

2

3

…

m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量x表示最后一个 取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的
数学期望，证明E（X）＜



．

第6页（共31页）

2017年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析



一.填空题

1．（5分）（2017?江苏）已知集合A={1，2}，B={a， a
2
+3}．若A∩B={1}，则实
数a的值为 1 ．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a
2
+3}．A∩B={1}，

∴a=1或a
2
+3=1，

解得a=1．

故答案为：1．



2．（5分）（2017?江苏）已知复数z =（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的
模是 ．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，

∴|z|=
故答案为：


3．（5分）（2017?江苏）某工厂 生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量
分别为200，400，300，100件．为检验产品 的质量，现用分层抽样的方法从以
上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件．

【考点】B3：分层抽样方法．

=
．

．

【分析】由题意先求出抽样比例即为
品中抽取的数目．

，再由此比例计算出应从丙种型号的产
【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1 000件，而抽取60辆进行检验，
第7页（共31页）

抽样比例为=，

=18件，

则应从丙种型号的产品中抽取300×
故答案为：18



4．（5分）（2017?江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为
的值是 ﹣2 ．

，则输出y

【考点】EF：程序框图．

【分析】直接模拟程序即得结论．

【解答】解：初始值x=
所以y=2+l og
2
=2﹣
，不满足x≥1，

=﹣2，

故答案为：﹣2．



5．（5分）（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα= ．

【考点】GR：两角和与差的正切函数．

【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可

【解答】解：∵tan（α﹣）===

∴6tanα﹣6=tanα+1，

第8页（共31页）

解得tanα=，

故答案为：．



6．（5分）（2017?江苏）如图，在圆柱 O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、
下底面及母线均相切，记 圆柱O
1
O
2
的体积为V
1
，球O的体积为V
2< br>，则
是 ．

的值

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、 圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：
球的体积和表面积．

【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．

【解答】解： 设球的半径为R，则球的体积为：
圆柱的体积为：πR
2
?2R=2πR
3< br>．

则==．

R
3
，

故答案为：．



7．（5分）（2017?江苏）记函数f（x）=
上随机取一个数x，则x∈D的概率是
【考点】CF：几何概型．

定义域为D．在区间[﹣4，5]
．

【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解： 由6+x﹣x
2
≥0得x
2
﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，

第9页（共31页）

则D=[﹣2，3]，

则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P=
故答案为：



8．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y
2
=1的右准线
=，

与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F
1< br>，F
2
，则四边形F
1
PF
2
Q的面积
是 ．

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】求出双曲线的准线方程和 渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，
然后求解四边形的面积．

【解答】解 ：双曲线
所以P（，
﹣y
2
=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=
），F
1
（﹣2，0）．F
2
（2，0）．

=2．

x，

），Q（，﹣
则四边形F
1
PF
2
Q的面积是：
故答案为：2


．
9．（5分）（2017?江苏）等比数列{a
n
}的各项均为实数，其前n项为S
n
，已知S
3
=
，S
6
=，则a
8
= 32 ．

【考点】88：等比数列的通项公式．

【分析】设等比数列{a
n
}的公比为q≠1，S
3
=，S
6
=，可得=，
=，联立解出即可得出．

【解答】解：设等比数列{a
n
}的公比为q≠1，

∵S
3
=，S
6
=，∴=，=，

解得a
1
=，q=2．

第10页（共31页）

则a
8
==32．

故答案为：32．



10．（5分）（2017?江苏）某公司 一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运
费为6万元次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年 的总运费与总存储费用
之和最小，则x的值是 30 ．

【考点】7F：基本不等式．

【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=
不等式的性质即可得出．

【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=
×=240（万元）．

+4x，利用基本
+4x≥4×2
当且仅当x=30时取等号．

故答案为：30．



11．（5分）（2017?江苏）已知函 数f（x）=x
3
﹣2x+e
x
﹣，其中e是自然对数
的底数．若f （a﹣1）+f（2a
2
）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1，] ．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出f（x）的导数，由基本 不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R
上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不 等式即为2a
2
≤1﹣a，
运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）=x
3
﹣2x+e
x
﹣
f′（x）= 3x
2
﹣2+e
x
+≥﹣2+2
的导数为：

=0，

可得f（x）在R上递增；

又f（﹣x）+f（x）=（ ﹣x）
3
+2x+e
﹣
x
﹣e
x
+x
3< br>﹣2x+e
x
﹣
可得f（x）为奇函数，

则f（a﹣1）+f（2a
2
）≤0，

第11页（共31页）

=0，

即有f（2a
2
）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），

即有2a
2
≤1﹣a，

解得﹣1≤a≤，

故答案为：[﹣1，]．



12．（5分）（2017?江苏） 如图，在同一个平面内，向量
1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与
，，的模分别为< br>=m+n的夹角为45°．若
（m，n∈R），则m+n= 3 ．


【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（ 1，0）．由
得cosα=，sinα=
．利用=m
．C
+n
与的夹 角为α，且tanα=7．可
．sin（α+45
°
）=．B．可得cos（α+45
°
）=
（m，n∈R），即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．

由与的夹角为α，且tanα=7．

，sinα=
．

（cosα﹣sinα）=
（sinα+cosα）=．

．

=m+n（m，n∈R），

第12页（共31页）

∴cosα=
∴C
．

cos（α+45
°
）=< br>sin（α+45
°
）=
∴B
∵
．

∴=m﹣n，=0+n，

解得n=，m=．

则m+n=3．

故答案为：3．




13．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），
点P在圆O：x
2
+y
2
=50上．若
5，1] ．

≤20，则点P的横坐标的取值范围是 [﹣
【考点】9R：平面向量数量积的运算；7B：二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据题意，设P（x
0
，y
0
），由数量积的坐标计算公式化简 变形可得2x
0
+y
0
+5
≤0，分析可得其表示表示直线2x+y +5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆
的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．

【解答】解：根据题意，设P（x
0
，y
0
），则有x
0
2
+y
0
2
=50，

=（﹣12﹣x
0
，﹣y
0
）?（﹣x
0
，6﹣y
0
）=（12+ x
0
）x
0
﹣y（=12x
0
+6y+x
0
2
+y
0
2
0
6﹣y
0
）
≤20，
化为：12x
0
﹣6y
0
+30≤0，

即 2x
0
﹣y
0
+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，< br>
联立，解可得x
0
=﹣5或x
0
=1，

，1]，

结合图形分析可得：点P的横坐标x
0
的取值范围是[﹣ 5
故答案为：[﹣5，1]．

第13页（共31页）

14．（5分）（2017?江苏）设f（ x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，
1）上，f（x）=
的解的个数是 8 ．

【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

，其中集合D={x|x =，n∈N
*
}，则方程f（x）﹣lgx=0
【分析】由已知中f（x）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f
（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N
*
}，分析f（x）的图象与y=lgx
图象交点的个数，进而可得答案．

【 解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，

又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，

∴在区间[1，2）上，f（x）=
只有一个交点；

同理：

区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

第14页（共31页）

，

，此时f（x）的图象与y=lgx有且

区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；

故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；

即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，

故答案为：8



二.解答题

15．（14分）（2017?江苏）如图，在三棱锥A﹣B CD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平
面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱 AD，BD上，且EF⊥
AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．


【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（2）通过取线段C D上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面
垂直的性质定理可知FG⊥AD， 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从
而可得结论．

【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

所以AB∥EF，

又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，

所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，

第15页（共31页）

因为BC⊥BD，所以FG∥BC，

又因为平面ABD⊥平面BCD，

所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，

又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，

所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，

故AD⊥AC．




16．（14分）（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（ 3，﹣
π]．

（1）若∥，求x的值；

（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

），x∈[ 0，
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．

【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，

（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出

【解答】解： （1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣
∴﹣cosx=3sinx，

，

），∥，

∴tanx=﹣
∵x∈[0，π]，

∴x=，

=3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），

（2）f（x）=
∵x∈[0，π]，

∴x+

∈[，]，

第16页（共31页）

∴﹣1≤cos（x+）≤，

当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，

当x=


17．（14分）（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系x Oy中，椭圆E：=1
时，f（x）有最小值，最大值﹣2．

（a＞b＞0）的左、 右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为，两准线之间的距离为8．点
P 在椭圆E上，且位于第一象限，过点F
1
作直线PF
1
的垂线l
1< br>，过点F
2
作直线PF
2
的垂线l
2
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l
1
，l
2< br>的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．


【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a =2c，由椭圆的准线方程x=±
×=8，即可求得a和c的值，则b
2
=a
2
﹣c
2
=3，即可求得椭圆方程；

，则2
（2）设P点 坐标，分别求得直线PF
2
的斜率及直线PF
1
的斜率，则即可求得l
2
及l
1
的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y
0< br>2
=x
0
2
﹣1，联
立即可求得P点坐标；

方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l
1
及l
1
的方 程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得
求得P点坐标．

=±n
2
，联立椭圆方程，即可
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①

第17页（共31页）

椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②

由①②解得：a=2，c=1，

则b
2
=a
2
﹣c
2
=3，

∴椭圆的标准方程：；

（2）方法一：设P（x
0
，y
0
），则直线PF
2
的斜率=，

则直线l
2
的斜率 k
2
=﹣，直线l
2
的方程y=﹣（x﹣1），

直线PF
1
的斜率=，

则直线l
2
的斜率k1
=﹣，直线l
1
的方程y=﹣（x+1），

联立，解得：，则Q（﹣x
0
，），

由P，Q在椭圆上，P，Q的 横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y
0
=
∴y
0
2
=x
0
2
﹣1，

则，解得：，则，

，

又P在第一象限，所以P的坐标为：

P（，）．

第18页（共31页）

方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，

当m=1时，当m≠1时，
不存在，解得：Q与F
1
重合，不满足题意，

=，
=﹣
=，

，=﹣，

（x﹣1），②

由l
1
⊥PF
1
，l
2
⊥PF
2
，则
直线l
1
的方程y=﹣（x+1），①直线l
2
的方程y=﹣
），

=±n
2
，
联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，
由Q在椭圆方程，由对称性可得：
即m
2﹣n
2
=1，或m
2
+n
2
=1，

由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无
解，

又P在第一象限，所以P的坐标为：

P（


18．（1 6分）（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台
形玻璃容器Ⅱ的高均为3 2cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ
，）．

的两底面对角线E G，E
1
G
1
的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中第19页（共31页）

注入水，水深均为12cm．现有一 根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃
棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC
1
上，求l没
入水中部分的 长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG
1上，求l没
入水中部分的长度．


【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】（1）设玻璃棒在CC
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作
NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1
⊥平面ABCD，CC
1
⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，
推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．

（2）设玻璃棒在GG
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，
交EG于点P，过点 E作EQ⊥E
1
G
1
，交E
1
G
1
于点Q ，推导出EE
1
G
1
G为等腰梯形，
求出E
1
Q= 24cm，E
1
E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l
没入水中部分的长度．

【解答】解：（1）设玻璃棒在CC
1
上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N，

在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，

∵ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
为正四棱柱，∴CC
1
⊥平面ABCD，

又∵AC?平面ABCD，∴CC
1
⊥AC，∴NP⊥AC，

∴N P=12cm，且AM
2
=AC
2
+MC
2
，解得MC=3 0cm，

∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，

∴=，，得AN=16cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

（2）设玻璃棒在GG
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，

第20页（共31页）

在平面E
1
E GG
1
中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，

过点E作EQ⊥E
1
G
1
，交E
1
G
1
于点Q，

∵EFGH﹣E
1
F
1
G
1
H
1
为正四 棱台，∴EE
1
=GG
1
，EG∥E
1
G
1
，

EG≠E
1
G
1
，

∴EE
1
G
1
G为等腰梯形，画出平面E
1
EGG
1
的 平面图，

∵E
1
G
1
=62cm，EG=14cm，EQ =32cm，NP=12cm，

∴E
1
Q=24cm，

由勾股定理得：E
1
E=40cm，

∴sin∠EE
1< br>G
1
=，sin∠EGM=sin∠EE
1
G
1
=， cos
根据正弦定理得：=，∴sin
，

，cos，

∴ sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠E MG=，

∴EN===20cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．




< br>19．（16分）（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列{a
n
}满足：a< br>n
﹣
k
+a
n
﹣
k
+
1
+ …+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+…+a
n
+
k
﹣
1
+a
n
+
k
=2k a
n
对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a
n
}是“P（k）数列”．

第21页（共31页）

（1）证明：等差数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（2）若数 列{a
n
}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a
n
} 是等差数列．

【考点】8B：数列的应用．

【分析】（1）由题意可知根 据等差数列的性质，a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a
n< br>+
2
+a
n
+
3
=（a
n
﹣
3
+a
n
+
3
）+（a
n
﹣
2
+a
n
+
2
）+（a
n
﹣
1
+a
n
+
1
）═2×3a
n
，根据“P（k）数列”的定义，可得
数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（2）由“P（k）数列”的定义， 则a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n< br>+
1
+a
n
+
2
=4a
n
，an
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a
n
+
3
=6a
n
，变形整理即可求得2a
n
=a
n
﹣
1
+a
n
+
1
，即可证 明数列{a
n
}是等差
数列．

【解答】解：（1）证明：设等差数 列{a
n
}首项为a
1
，公差为d，则a
n
=a
1
+（n﹣1）
d，

则a
n
﹣
3
+an
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a
n
+
3
，

=（a
n
﹣
3
+a
n
+
3
）+（a
n
﹣
2
+a
n
+
2
）+ （a
n
﹣
1
+a
n
+
1
），

=2a
n
+2a
n
+2a
n
，

=2×3a
n
，

∴等差数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（2）证明：由数列{ a
n
}是“P（2）数列”则a
n
﹣
2
+a
n﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
=4a
n
，①

数列{a
n
}是“P（3）数列” a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a
n
+
3
=6a
n
，②

由① 可知：a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
+a
n
+
1
=4a
n
﹣
1
，③

a
n
﹣
1
+a
n
+a
n
+
2
+a
n
+
3
=4a
n
+
1
，④

由②﹣（③+④）：﹣2a
n
=6a
n
﹣4 a
n
﹣
1
﹣4a
n
+
1
，
整理得：2a
n
=a
n
﹣
1
+a
n
+
1
，

∴数列{a
n
}是等差数列．



20．（16分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x
3
+ax2
+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点 ．（极值点是指函数取极值时对应的自
变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：b
2
＞3a；

第22页（共31页）

（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）通过对f（x）=x3
+ax
2
+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x
2
+2ax+b，进
而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的 极小值点为
x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x
3+ax
2
+bx+1
（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的 实根，进而可知a＞3．

（2）通过（1）构造函数h（a）=b
2
﹣3a =﹣+=（4a
3
﹣27）（a
3
﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0， 从而可得结论；

（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣
全平 方关系可知y=f（x）的两个极值之和为
等式b﹣+﹣+2=﹣
﹣
，利用韦达定理及 完
+2，进而问题转化为解不
≥﹣，因式分解即得结论．

【解答】（1）解 ：因为f（x）=x
3
+ax
2
+bx+1，

所以g（x ）=f′（x）=3x
2
+2ax+b，g′（x）=6x+2a，

令g′（x）=0，解得x=﹣．

由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′ （x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜
0，g（x）=f′（x）单调递减；

所以f′（x）的极小值点为x=﹣，

由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，

所以f（﹣）=0，即﹣
所以b=+（a＞0）．

+﹣+1=0，

因为f（x）=x
3
+ax
2
+bx+1（a＞0，b∈R）有极值 ，

所以f′（x）=3x
2
+2ax+b=0有两个不等的实根，

所以4a
2
﹣12b＞0，即a
2
﹣
所以b=+（a＞3） ．

+＞0，解得a＞3，

第23页（共31页）

（2）证明：由（1）可知h（a）=b
2
﹣3a=
﹣27），

由于a＞3，所以h（a）＞0，即b
2
＞3a；

﹣+=（4a< br>3
﹣27）（a
3
（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）= b﹣
设x
1
，x
2
是y=f（x）的两个极值点，则x
1< br>+x
2
=
所以f（x
1
）+f（x
2
）=+ +a（+
，

，x
1
x
2
=，

）+b（x
1
+x
2
）+2

=（x
1< br>+x
2
）[（x
1
+x
2
）
2
﹣3 x
1
x
2
]+a[（x
1
+x
2
）
2
﹣2x
1
x
2
]+b（x
1
+x
2< br>）+2

=﹣+2，

又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，

所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，

因为a＞3，所以2a
3
﹣63a﹣54≤0，

所以2a（a
2
﹣36）+9（a﹣6）≤0，

所以（a﹣6）（2a
2
+12a+9）≤0，

由于a＞3时2a
2
+12a+9＞0，

所以a﹣6≤0，解得a≤6，

所以a的取值范围是（3，6]．



二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本 小题满分
0分）

21．（2017?江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切 半圆O于点C，AP⊥
PC，P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC
2
=AP?AB．


第24页（共31页）

【考点】NC：与圆有关的比例线段．

【分析】（1）利 用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠
ACB=90°．再利用三角形内角和定 理即可证明．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．

【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．

∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．

∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，

∴∠PAC=∠CAB．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，

∴=．

∴AC
2
=AP?AB．




[选修4-2：矩阵与变换]

22．（2017?江苏）已知矩阵A=
（1）求AB；

（2）若曲线C
1
：
C
2
的方程．

【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．

，B=．

=1在矩阵 AB对应的变换作用下得到另一曲线C
2
，求
【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；< br>
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C
1
的方程化简即可．

【解答】解：（1）AB==，

（2）设点P（x，y）为曲线C
1
的任意一点，

点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x
0
，y
0
），

第25页（共31页）

则
∴x=y
0
，y=
∴
=
，

，即x
0
=2y，y
0
=x，

，即x
0
2
+y
0
2
=8，

∴曲线C
2
的方程为x
2
+y
2
=8．



[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2017?江苏 ）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t
为参数），曲线C的参数方程为
求 点P到直线l的距离的最小值．

（s为参数）．设P为曲线C上的动点，
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
< br>【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s
的函数，从而得出 最短距离．

【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，

∴P到直线l的距离d=
∴当s=


［选修4-5：不等式选讲］

24．（2017?江苏）已知a，b，c，d为实数 ，且a
2
+b
2
=4，c
2
+d
2
=16 ，证明ac+bd
≤8．

【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．

=
=．

，

时，d取得最小值
【分析】a
2
+b
2
=4，c
2
+d
2
=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4c osβ，d=4sinβ．代入ac+bd
化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式 可得：（ac+bd）
2
≤（a
2
+b
2
）（c
2
+d
2
），即可得出．

【解答】证明：∵a
2
+ b
2
=4，c
2
+d
2
=16，

第26页（共31页）

令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．

∴ac+ bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1
时取等号．

因此ac+bd≤8．

另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd）
2
≤（a
2
+b
2
）（c
2
+d
2
）=4×16=64，当且仅当
时取等号．

∴﹣8≤ac+bd≤8．



【必做题】

2 5．（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
⊥平面ABCD，
且AB=AD=2，A A
1
=，∠BAD=120°．

（1）求异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值．


【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．

【分析】在 平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA
1
⊥平面ABCD，可得AA
1
⊥Ax，
AA
1
⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA
1
所在直线为x、y、z轴建立空
间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A
1
，C
1
的坐标，进一步求出
，，的坐标．

，
（1）直接 利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求出平面BA
1
D与平面A
1
AD的一个 法向量，再由两法向量所成角的余弦值
求得二面角B﹣A
1
D﹣A的余弦值，进一步得 到正弦值．

【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，

∵AA
1
⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，

第27页（共31页）

∴AA
1
⊥Ax，AA
1
⊥AD，

以A为坐标原 点，分别以Ax、AD、AA
1
所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标
系．

∵AB=AD=2，AA
1
=，∠BAD=120°，

），C（，1，0），

∴A（0，0，0），B（
D（0，2，0），

A
1
（0，0，
=（
．

（1）∵cos＜＞=
），C
1
（
），
）．

=（），，
=．

∴异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值为；

（2）设平面BA
1
D的一个法向量为
由，得，取x=，得
．

．

，

；

取平面A
1
AD的 一个法向量为
∴cos＜＞==
∴二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值为
．

，则二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值为



第28页（共31页）

26．（2017?江苏）已知 一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N
*
，n≥2），这
些球除颜色外全部相同 ．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编
号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第 k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，
2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量x表示最后一个 取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的
数学期望，证明E（X）＜．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）设事件A
i
表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A
2
）=P（A
2
| A
1
）
P（A
1
）+P（A
2
|）P（），由此能 求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．

，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2 ，…，（2）X的所有可能取值为
n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．

【解答】解：（1）设事件A
i
表示编号为i的抽屉里放的是黑球，

则p=p（A
2
）=P（A
2
|A
1
）P（A
1
）+P（A
2
|
=
==．

，…，，


）P（）

证明：（2）∵X的所有可能取值为
P（x=）=，k =n，n+1，n+2，…，n+m，

∴E（X）=（）=

=
=

＜
?（
=
）


第29页（共31页）

=
∴E（X）＜



=
．

，


第30页（共31页）

参与本试卷答题和审题的老师有 ：zlzhan；沂蒙松；whgcn；cst；qiss；maths；
双曲线；danbo7801 ；豫汝王世崇；铭灏2016；zhczcb；sxs123（排名不分先后）

菁优网

2017年6月11日

第31页（共31页）