2018年江苏省高考数学试卷

2018年江苏省高考数学试卷



一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题
卡相应位置上.

1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= ．

2．（5分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 ．

3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位
裁判打出的分数的平均数为 ．


4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ．


5．（5分）函数f（x）=的定义域为 ．

6．（5分）某兴 趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，
则恰好选中2名女生的概率为 ．

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣
则φ的值是 ．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
焦点F（c，0）到一条渐近 线的距离为
﹣=1（a＞0，b＞0）的右
φ＜）的图象关于直线x=对称，
c，则其 离心率的值是 ．

9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R ），且在区间（﹣2，2]上，f

（x）=，则f（f（15））的值为 ．

10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的
体积为 ．


11．（5分）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2< br>+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零
点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最 小值的和为 ．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x 上在第一象限内的点，
B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若
横坐标为 ．

13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=12 0°，∠
ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 ．
< br>14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2
n
， n∈N*}．将A∪B的
所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
}，记Sn
为数列{a
n
}的前n项和，则
使得S
n
＞12a< br>n
+
1
成立的n的最小值为 ．


二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.

15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，AB
1
⊥B
1
C
1
．

求证：（1）AB∥平面A
1
B
1
C；

（2）平 面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．

=0，则点A的

16．（14分） 已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣
（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

．

17．（14分）某农场有 一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P
为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半 径为40米，点P到MN的距
离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为 矩形
ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆
弧 上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的
单位面积年产值之比为4 ：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产
值最大．


18．（ 16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（
（﹣，0），F
2
（，0） ，圆O的直径为F
1
F
2
．

），焦点F
1
（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x） 的导函数．若存在x
0
∈R，满足f（x
0
）=g（x
0
） 且f′（x
0
）=g′（x
0
），则称x
0
为函数f（x） 与g（x）的
一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x
2
+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax
2
﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2
+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，
使函数f（x）与g（x）在 区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

20．（16分）设{a
n
}是首项为a
1
，公差为d的等差数列，{b
n
}是首项为b
1< br>，公比
为q的等比数列．

（1）设a
1
=0，b
1
=1，q=2，若|a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=1 ，2，3，4均成立，求d的取
值范围；

（2）若a
1
=b
1
＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a
n
﹣b
n
|≤
b
1
对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b
1
，m，q表示）．



数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，
并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题 评分.解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分 10分）

21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一 点，
过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10分）已知矩阵 A=
（1）求A的逆矩阵A
﹣
1
；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．



C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（
求直线l被曲线C截得的弦长．



D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24． 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x
2
+y
2
+z
2
的最小值．



【必做题】第25题、第26题，每题10分，共 计20分.请在答题卡指定区域内
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A B=AA
1
=2，点P，Q分别为A
1
B
1
，BC的
中点．

（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．

﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，
．

26．设n∈N
*
，对1，2，……，n的一个排列i1
i
2
……i
n
，如果当s＜t时，有i
s
＞ i
t
，
则称（i
s
，i
t
）是排列i
1< br>i
2
……i
n
的一个逆序，排列i
1
i
2< br>……i
n
的所有逆序的总个数称为
其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列2 31，只有两个逆序（2，1），（3，1），
则排列231的逆序数为2．记f
n
（ k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的
全部排列的个数．

（1）求f
3
（2），f
4
（2）的值；

（2）求f
n
（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．

2018年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析



一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题
卡相应位置上 .

1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= {1，8} ．

【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，

∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，

故答案为：{1，8}．



2．（5分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 2 ．

【解答】解：由i?z=1+2i，

得z=
∴z的实部为2．

故答案为：2．



3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的 分数的茎叶图如图所示，那么这5位
裁判打出的分数的平均数为 90 ．

，


【解答】解：根据茎叶图中的数据知，

这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，

它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．

故答案为：90．



4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 8 ．

【解答】解：模拟程序的运行过程如下；

I=1，S=1，

I=3，S=2，

I=5，S=4，

I=7，S=8，

此时不满足循环条件，则输出S=8．

故答案为：8．



5．（5分）函数f（x）=
【解答】解：由题意得：
解得：x≥2，

∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．



6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动 ，
则恰好选中2名女生的概率为 0.3 ．

【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服
务，

共有C
5
2
=10种，其中全是女生的有C
3
2
= 3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

的定义域为 [2，+∞） ．

≥1，

（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数 为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，

其中全是女生为AB，AC，BC共3种，

故选中的2人都是女同学的概率P=
故答案为：0.3



7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣
则φ的值是 ．

φ＜）的图象关于直线x=对称，

φ＜）的图象关于直线x=对称，
=0.3，

【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣
∴2×+φ=kπ+
，

φ＜，

，

，k∈Z，

即φ=kπ﹣
∵﹣
∴当k=0时，φ=﹣
故答案为：﹣


．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
焦点F（c，0）到 一条渐近线的距离为
【解答】解：双曲线
y=x的距离为c，

﹣=1（a＞0，b＞0）的右
c，则其离心率的值是 2 ．

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线
可得：=b=，

可得，即c=2a，

．

所以双曲线的离心率为：e=
故答案为：2．

9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2， 2]上，f
（x）=，则f（f（15））的值为 ．

【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，

则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，

f（）=cos（
即f（f（15））=
故答案为：


10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的
体积为 ．


）=cos
，

=，


【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：
八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，
多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×
故答案为：．

，

=．

11．（5分）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+ 1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零
点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和 为 ﹣3 ．

【解答】解：∵函数f（x）=2x
3
﹣ax
2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零
点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞） 上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零
点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x
3
﹣3x
2
+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣ 1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）
min=f（﹣1）=﹣4，f（x）
max
=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）
max
+f（x）
min
=﹣4+1=﹣3．



12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限 内的点，
B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若
横坐标为 3 ．

【解答】解：设A（a，2a），a＞0，

∵B（5，0），∴C（，a），

=0，则点A的
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．

联立，解得D（1，2）．

∴
解得：a=3或a=﹣1．

又a＞0，∴a=3．

即A的横坐标为3．

故答案为：3．



=．

13．（5分）在△ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠
ABC的平分线交AC于 点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 9 ．

【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，

即ac=a+c，

得+=1，

得4a+c=（4a+c）（+） =+
当且仅当=
+5≥2+5=4+5=9，

，即c=2a时，取等号，

故答案为：9．



14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2
n
，n∈ N*}．将A∪B的
所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
}，记S
n
为数列{a
n
}的前n项和，则
使得S
n
＞12a
n
+
1
成立的n的最小值为 27 ．

【解答】解：利用列举法可得：

S
26
=
S
27
=
故答案为：27．



二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）在平行六面体ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1< br>=AB，AB
1
⊥B
1
C
1
．

求证：（1）AB∥平面A
1
B
1
C；


，a
27
=43，?12a
27
=516，不符合题意．

=546，
28
=45?12
28
=540，符合题意，

（2）平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．


【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，AB∥A
1
B
1< br>，

?AB∥平面A
1
B
1
C；

（2）在平行六面体ABCD ﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，?四边形ABB
1
A
1
是菱形，⊥
AB
1
⊥A
1
B．

在平行六面体ABCD﹣A
1
B1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB，AB
1
⊥B
1
C
1
?AB
1
⊥BC．

∴

?AB
1
⊥面A
1
BC，且AB
1< br>?平面ABB
1
A
1
?平面ABB
1
A
1< br>⊥平面A
1
BC．



16．（14分）已知α， β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣
（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

．

【解答】解：（1）由，解得，

∴cos2α=
（2）由（1）得，sin 2
∵α，β∈（0，
∴sin（α+β）=
；

，则tan2α=．

），∴α+β∈（0，α），

=．

则tan（α+β）=．

=．

∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]=

< br>17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P
为此圆弧的中点 ）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距
离为50米．现规划在此农田上修建两个 温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形
ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段 MN上，C，D均在圆
弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的
单位面积年产值之比为4 ：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产
值最大．


【解答】 解：（1）S
矩形
ABCD
=（40sinθ+10）?80cosθ

=800（4sinθcosθ+cosθ），

S
△
CDP
=?80cosθ（40﹣40sinθ）

=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；

当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，

∴sinθ的取值范围是[，1）；

（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产 值为4t，乙种蔬菜单位面积年产
值为3t，

则y=3200t（4sinθcos θ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）

=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；

设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，

则f′（θ）=cos
2
θ﹣sin
2
θ﹣sinθ

=﹣2sin
2
θ﹣sinθ+1；

令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；

当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；

当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；

∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．

答：（1）S
矩形ABCD
=800（4sinθcosθ+cosθ），

S
△
CDP
=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

sinθ∈[，1）；

（2）θ=


18．（16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（
（﹣，0），F
2
（，0），圆O的 直径为F
1
F
2
．

），焦点F
1
时总产值y最大．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．


【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，

∵焦点F
1
（﹣
∵∴
，0），F
2
（，0），∴ ．

，又a
2
+b
2
=c
2
=3，

解得a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x
2
+y
2
=3．

（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，

∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．

由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．

由，可得（4k
2< br>+1）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0，

△=（ 8km）
2
﹣4（4k
2
+1）（4m
2
﹣4）=0，
可得m
2
=4k
2
+1，∴3k
2
+3=4 k
2
+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣
将k=﹣
解得x=
，m =3代入可得
．

，

，m=3．

，y=1，故 点P的坐标为（
②设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

由?k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k
2
+1）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0，

|x
2
﹣x
1
|==，

O到直线l的距离d=，

|AB|=
△
S=
|x
2
﹣x
1
|=
OAB的
=
，

面积
=，

为

解得k=﹣
∴y=﹣


，（正值舍去），m=3
为所求．

．

19．（16分） 记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x
0
∈R，满足f （x
0
）=g（x
0
）且f′（x
0
）=g′（x
0
），则称x
0
为函数f（x）与g（x）的
一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x
2
+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax
2
﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值 ；

（3）已知函数f（x）=﹣x
2
+a，g（x）=．对任意a＞0，判 断是否存在b＞0，
使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，

则由定义得
点”；

（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，

由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=
f（）=﹣=g（
，

，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x
2
+2x﹣2不存在“S
）=﹣ln a2，得a=；

，（x≠0），

（3）f′（x）=﹣2x，g′（x） =
由f′（x
0
）=g′（x
0
），得b=﹣＞0，得0＜x
0
＜1，

由f（x
0
）=g（x
0
），得﹣x
0
2
+a=
令h（x）=x
2
﹣﹣a=
=﹣，得a =x
0
2
﹣
，（a＞0，0＜x＜1），

，
< br>设m（x）=﹣x
3
+3x
2
+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），

则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，

又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，

则m（x）在（0，1）上有零点，

则h（x）在（0，1）上有零点，

则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．



20．（16分）设{a
n
}是首项为a
1
，公差为d的等差数列，{bn
}是首项为b
1
，公比
为q的等比数列．

（1）设 a
1
=0，b
1
=1，q=2，若|a
n
﹣b
n< br>|≤b
1
对n=1，2，3，4均成立，求d的取
值范围；

（2）若a
1
=b
1
＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使 得|a
n
﹣b
n
|≤
b
1
对n=2，3，…，m+ 1均成立，并求d的取值范围（用b
1
，m，q表示）．

【解答】解：（1 ）由题意可知|a
n
﹣b
n
|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，

∵a
1
=0，q=2，

∴，解得．即≤d≤．
（2）∵a
1
=b
1
＞0且|a
n
﹣b
n|≤b
1
对n=2，3，…，m+1均成立，

∴|b
1
+（n﹣1）d﹣b
1
?q
n
﹣
1
|≤b
1，（n=2，3，…，m+1），

即﹣2b
1
≤d≤
]，∴2
，（n=2，3，…，m+1），

≤2，2﹣2n≤﹣2，（n=2，3，…，m+1），

（q
n
﹣
1
﹣2n+2）

∵q∈（1，
∴﹣2b
1
=（q
n
﹣
1
﹣2n+2）=
=（2﹣ 2n+2）≤0，（n=2，3，…，m+1），

又∵＞0，（n=2，3，…，m+1），

∴存在d∈R，使得|a
n﹣b
n
|≤b
1
对n=2，3，…，m+1均成立

当 m=1时，（
设c
n
=
）b
1
≤d≤
，则c
n
+
1
﹣c
n
=
b
1
，

﹣=b
1
?q
n
﹣
1
?

，（n=2，3，…，m），

设f（n）=（q﹣1）n﹣q，

∵q﹣1＞0，

∴f（n）单调递增，

∵q∈（1，]，

﹣）=（m﹣1）（2﹣），

∴f（m）=（q﹣1）m﹣q≤（m﹣1）（
设=x，（x∈（0，]），

且设g（x）=2
x
+
∵2
x
ln2，
，则g′（x）= 2
x
ln2﹣
≥4，

，

∴g′（x）=2x
ln2﹣＜0，在x∈（0，]上恒成立，即g（x）单调递增，

＜0，∴f（m）＜0

∴g（x）的最大值为g（）=
∴f（n）＜0对（n=2，3，…，m）均成立，

∴数列{c
n
}，（n=2，3，…，m+1）单调递减，

∴c< br>n
的最大值为c
2
=b
1
q，c
n
的最小值 为c
m
+
1
=，

∴d的取值范围是d∈[b
1
q﹣2b
1
，


]．

数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小 题，
并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文
字说明、 证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

21．（1 0分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，
过P作圆O的切线，切点为 C．若PC=2，求BC的长．

【解答】



B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10分）已知矩阵 A=
（1）求A的逆矩阵A
﹣
1
；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．

．

【解答】


C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（
求直线l被曲线C截得的弦长．
< br>【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ
2
=4ρcosθ，?x
2
+y
2
=4x，



﹣ θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，

∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r =2得圆．

∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴
y=4．

，

．

﹣=2，

∴直线l的普通方程为：x﹣
圆心C到直线l的距离为d=
∴直线l被曲线C截得的弦长为2


D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．若x，y，z为实数， 且x+2y+2z=6，求x
2
+y
2
+z
2
的最小值．< br>
【解答】解：由柯西不等式得（x
2
+y
2
+z
2
）（1
2
+2
2
+2
2
）≥（x+2y+2z）< br>2
，

∵x+2y+2z=6，∴x
2
+y
2
+z
2
≥4

是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，

∴x
2
+y
2
+z
2
的最小值为4



【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25．如图，在正三棱柱A BC﹣A
1
B
1
C
1
中，AB=AA
1
= 2，点P，Q分别为A
1
B
1
，BC的
中点．

（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．


【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C1
中，

设AC，A
1
C
1
的中点分别为O， O
1
，

则，OB⊥OC， OO
1
⊥OC，OO
1
⊥OB，

故以{}为基底，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

∵AB=A A
1
=2，A（0，﹣1，0），B（
C（0，1，0），

A1
（0，﹣1，2），B
1
（，0，2），C
1
（0，1，2） ．

，

．

==
；

）

，

．

，0，0），

（ 1）点P为A
1
B
1
的中点．∴
∴
|cos|=
，
∴异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值为：
（2）∵Q为BC的中点．∴Q （
∴，
设平面AQC
1
的一个法向量为=（x，y，z），

由，可取=（，﹣1，1），

设直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值为θ，

sinθ=|cos|==
．

，

∴直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值为

26．设n∈N
*
，对1，2，…… ，n的一个排列i
1
i
2
……i
n
，如果当s＜t时，有i
s
＞i
t
，
则称（i
s
，i
t
） 是排列i
1
i
2
……i
n
的一个逆序，排列i
1< br>i
2
……i
n
的所有逆序的总个数称为
其逆序数．例如：对1 ，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），
则排列231的逆序数为2．记f
n
（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的
全部排列的个数．

（1）求f
3
（2），f
4
（2）的值；

（2）求f
n
（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．

【解答】 解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，
有

μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，

∴ f
3
（0）=1，f
3
（1）=f
3
（2）=2，

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在
新排列中的 位置只能是最后三个位置．

因此，f
4
（2）=f
3
（2 ）+f
3
（1）+f
3
（0）=5；

（2）对一般的n（ n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f
n
（0）
=1．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排
列，f< br>n
（1）=n﹣1．

为计算f
n
+
1
（2 ），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排

列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，f
n
+
1
（2）=f
n
（2）+f
n
（1）+f< br>n
（0）=f
n
（2）+n．

当n≥5时，f
n< br>（2）=[f
n
（2）﹣f
n
﹣
1
（2）]+[f< br>n
﹣
1
（2）﹣f
n
﹣
2
（2）]+…+[ f
5
（2）
﹣f
4
（2）]+f
4
（2）

=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f
4
（2）=
因此，当n≥5时，f< br>n
（2）=


．

．