江苏高考数学知识点总结

.
江苏高中数学160分
基础知识梳理


高中数学 第一章 集合
1.集合的概念
(1)集合是数学中的一个不加定义 的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对
象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即 确定性、无序性和互异性.
（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集； 根据集合所含元
素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用
?
表示.
（3）我们约定用
N
表示自然数集，用
N
?
表示 正整数集，用
Z
表示整数集，用
Q
表示有理
数集，用
R表示实数集.
（4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn图).
2.集合间的基本关系
（1）集合与元素的关系
表示元素和集合之间的关系，有属 于“
?
”和不属于“
?
”两种情形.
（2）集合与集合之间的关系
集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.
若有限集A中有
n个元素，集合A的子集个数为
2
，非空子集的个数为
2
?
1，真子
集的个数为
2
?
1
，非空真子集的个数为
2?2
.
3.集合的运算
集合与集合之间有交、并、补集三种运算.
4.集合运算中常用的结论
.①
A?B?AIB?A
；
②
A?B?AUB?B
.
n
n
n
n
高中数学 第二章 函数

一、函数的概念
（1）函数的定义
设
A
，
B
是 非空数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数< br>x
在
集合
B
中都有唯一确定的数
f
(
x)和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个
函数，记作
y?f(x),x?A
.其中
x
叫做自变量，x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x

1

.
的值相对应的
y
的值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)|x?A
?
叫做函数的值域.值域是集合
B
的子集.
③·映射：设
A
，
B
是两个集合，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合< br>A
中的任意一
个元素在集合
B
中都有唯一确定的元素和它对应，那么这 样的对应就称为从集合
A
到集合
B

的映射，记作
f:A? B
.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，
多对一.
（ 2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定
性作用的是定 义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.
（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.
2.函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函函数的性质
二、函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上 的任意两个自变量的值x
1
,x
2,

⑴若当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
),则说f(x)在 这个区间上是增函数；
⑵若当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f (x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格
的）单调性，这一 区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
f(?x)?f(x)

设（
a,b
）为偶函数上一点，则（
?a,b
）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于
y
轴对称，例如：< br>y?x
2
?1
在
[1,?1)
上不是偶函数.
②满 足
f(?x)?f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x )?0
时，
⑵奇函数：
f(?x)??f(x)

设（
a,b
）为奇函数上一点，则（
?a,?b
）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
y?x3
在
[1,?1)
上不是奇函数.
②满足
f(?x)??f( x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x)?0
时，
y轴对称
???y?f（?x）
8. 对称变换：①
y
=
f
（
x
）
??

f(x)
?1
.
f(?x)
f(x)
??1
.
f(?x)
x轴对称
???y??f（x）
②
y
=
f
（
x
）
??

????y??f（?x）
③
y
=
f
（
x
）
?
原点对称


2

.
9. ⑴熟悉常用函数图象：
?
1
?
例：
y?2→
|x|
关于
y
轴对称.
y?< br>??
?
2
?
|x|
▲
▲
|x?2|
?
1
?
?
1
?
→
y?
??
→y?
??
?
2
?
?
2
?
▲
| x||x?2|

y
y
y
(0,1)
x
(-2,1 )
x
x


y?|2x?2x?1|
→
|y|
关于
x
轴对称.
2

▲

y


⑵熟悉分式图象：
2x?17
?
定义域
{x|x?3,x?R}
， 例：
y? ?2?
x?3x?3
值域
{y|y?2,y?R}
→值域
?
x
前的系数之比.
x
▲
y
2
x
3
（三）指数函数与对数函数
指数函数


图

象
-4-3-2-1
y?a
x
(a?0且a?1)
的图象和性质
04.5
4.5
a>1
4
4
3.5< br>3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
1
y=1
0.5
0.5
1234
-4-3-2-11234
-0.5
-0.5
-1
-1


性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0（5）在 R上是增函数
(4)x>0时，01.
（5）在R上是减函数

对数函数
y
=
log
a
x
的图象和性质:
对数运算：
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：

3

.
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
1
log
a
M
n

lo g
a
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log
a
n
M?
a
log
a
N?N
log
b
N
log
b
a
换底公式：log
a
N?
推论：log
a
b?log
b
c?log< br>c
a?1
?log
a
1
a
2
?log
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?log
a
1
a
n

高中数学 第三章 导数
1、导数的概念。
2、导数的几何意义：导数f'(x
0
)的几何意义就是 曲线y=f(x)在点p(x
0
，f(x
0
))处的_斜率__。
3、. 几种常见的函数导数：
4、
C
'
?0
（
C
为常数）
(sinx)?cosx

(x)?nx
'
n'n?1
（
n?R
）
(cosx)
'
??sinx

II.
(lnx)
'
?
1
x

(log
a< br>x)
'
?
1
log
a
e
x

(e
x
)
'
?e
x

(a
x
)
'
?a
x
lna

5、 求导数的四则运算法则：
(u?v)
'
?u
'
?v
'
?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f
n
(x)?y
'
?f
1
'
(x)?f
2
'< br>(x)?...?f
n
'
(x)

(uv)
'
?vu
'
?v
'
u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
（
c
为常数）
vu
'
?v
'
u
?
u
?
(v?0)

??
?
2
v
?
v
?
'
6、 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区 间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内 单调递增 ；
如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内 单调递减
7. 判别
f
(
x
0
)是极大、极小值的方法

4

.
若
x
0
满足
f
?
(x
0
)?0< br>，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)
的极值点，
f(x
0
)
是极值，并 且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”， 则
x
0
是
f(x)
的 极大值点； ，
f(x
0
)
是极大值；如果
f
?
(x)
在
x
0< br>两侧满足“左负右正”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，f(x
0
)
是 极小值
.


8．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数
f
′(
x
)
.

(2)求方程
f
′(
x
)=0的根
.

( 3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格
.
检查 < br>f
′(
x
)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f
(
x
)在这个根处取得极大值；如果左负
右正，那么
f
(
x
)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么
f
(
x
)在这 个根处无极值
.

9．求函数最值的步骤：（1）求出
f(x)
在< br>(a,b)
上的极值.（2）求出端点函数值
f(a),f(b)
.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
高中数学 第四章 数列
1. ⑴等差、等比数列：

定义
递推公
式
通项公
式
中项
等差数列
a
n?1
?a
n
?d

a
n
?a
n?1
?d
；
a
n
?a
m?n
?md

a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n?k
?a
n?k
2
等比数列
a
n?1
?q(q?0)

a
n
a
n?a
n?1
q
；
a
n
?a
m
q
n?m

a
n
?a
1
q
n?1
（
a
1
,q?0
）
G??a
n?k
a
n?k(a
n?k
a
n?k
?0)
A?
（
n,k?N
*
,n?k?0
）
前
n
项
和
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)
d

2
（
n,k?N
*
,n?k?0
）
?
n a
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
1?q
n

a
1
?a
n
q
?(q ?2)
?
1?q
?
1?q
??
S
n
?na
1
?
重要性
质



*
am
?a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N ,

m?n?p?q)
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N< br>*
,m?n?p?q)
①
a
n
?a
n?1
? d(n?2,d为常数)

②2
a
n
?a
n?1
? a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：


5

.
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)
①
②
a
n


2
2. ①等差数列依次每
k
项的和仍成等差数列，其公差为原公差的
k
倍
S
k
,S2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
...
；
②若等差数列的项数为2
nn?N
?
?
?
，则
S
偶
?S
奇
?nd，
S
?
S
奇
偶
?
a
n
a
n?1
；
?
n
n?1
③若等差数列的项数为
2n?1n?N
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇

?代入n到2n?1得到所求项数
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+
n
=
②
1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?
n
?
n?1
?
2
?
S
偶
n
?
n?1
??
2n?1< br>?

6
2
?
n
?
n?1
?
?
③
1
3
?2
3
?3
3
?n3
?
??

?
2
?
[注]：熟悉常用通项：9 ，99，999，…
?a
n
?10
n
?1
； 5，55，555，…
?a
n
?
5
n
10?1
.
9
??
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，则每年的产
量成等比数列，公比为
1?r
. 其中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1
，且过
n
年后总产量为：
2 n?1
a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)
a[a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如： 一年中每月初到银行存
a
元，利息为
r
，每月利息按
复利计算，则每 月的
a
元过
n
个月后便成为
a(1?r)
n
元. 因此，第二年年初可存款：
121110
a(1?r)?a(1?r)?a(1?r)
a(1?r)[1?(1?r)
12
]
?...?a(1?r)
=. 1?(1?r)
⑶分期付款应用题：
a
为分期付款方式贷款为
a
元；
m
为
m
个月将款全部付清；
r
为年利
率. < br>a
?
1?r
?
?x
?
1?r
?
mm ?1
?x
?
1?r
?
m?2
?......x
?< br>1?r
?
?x?a
?
1?r
?
m
x
?
1?r
?
m
?1ar
?
1?r
?
m??x?

r
?
1?r
?
m
?1
5. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为
S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有
两种方法：
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?0
，成立的
n< br>值；二是由
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
n
22

6

.
的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依
111
照等比数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求 和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
n
,...

242
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项，公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意 自然数,
验证
a
n
?a
n?1
(
a
n)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
a
n?1
2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m
?
a
m?1
?0
使得
s
m
取最大 值. (2)当
a
1
<0,d>0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝
a?0
?
m?1
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{
a< br>n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分
?
a
n
an?1
?
无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{ < br>a
n
}是等差数列，
?
b
n
?
是各项不为0 的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5）
1111111
???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
6）






7

.








高中数学第五章-三角函数
三角函数 知识要点
1. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
2、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
x
cos
?
?
r
；
tan
?
?
y
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
x
y
x
yo
x
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
- +
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x


6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：
AT.


8
16. 几个重要结论
:
(1)
y
(2)
y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cosx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2

.
7. 三角函数的定义域：
三角函数
f(x)?
sin
x

f(x)?
cos
x

f(x)?
tan
x

定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??

8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?tan
?

cos
?
cos
?
?cot
?
sin
?< br>
tan
?
?cot
?
?1

sin
2
?
?cos
2
?
?1


9、诱导公式：
把
k
?

?
?
的三角函数化为
?
的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一
公式组二 公式组三
sinx
sin(2k
?
?x)?sinxsin(?x)??sinx
sin
x< br>·
csc
x
=1tan
x
=sin
2
x+cos
2
x
=1
cosx
cos(2k
?
? x)?cosx
cos(?x)?cosx

cos

x

2

2

tan(2k
?
?x)?t anx
tan(?x)??tanx
x
=cos
x
·
sec
x
=1
1+tan
x
=sec
x
sinx
cot(2k
?
?x)?cotx
cot(?x)??cotx
22
tan
x
·
cot
x
=1 1+cot
x
=csc
x
公式组四 公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinxsin(2< br>?
?x)??sinxsin(
?
?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosxcos(2
?
?x)?cosxcos(
?
? x)??cosx

tan(
?
?x)?tanxtan(2
?
?x)??tanxtan(
?
? x)??tanx
cot(
?
?x)?cotxcot(2
?
?x) ??cotxcot(
?
?x)??cotx
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan2
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
2tan
?
1?tan
?
2

?
2
??
1?cos
?

2
tan(?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?< br>1?cos
?

cos??

1 ?tan
?
tan
?
22
tan
?
?tan
?

tan

?
??
1?cos< br>?
?
sin
?
?
1?cos
?
1?tan< br>?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
s in
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三

9

.
1

sin(
?
?
?
)?cos
?
2

1
cos(

?
?
?
)?sin
?
2

1

sin(
?
?
?
)?cos
?
2

1

cos(
?
?
?
)??sin
?2
6?2
,
tan15
?
?cot75
?
?2 ?3
,
tan75
?
?cot15
?
?2?3
.
6?2
,
sin75
?
?cos15
?
?
sin15
?
?cos75
?
?
4
4


10.三角函数的图象与性质





10

.










高中数学第六章-平面向量
2.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法
AB
；字母表示：
a
；
坐标表示法
a
＝
ｘｉ
＋
ｙj
＝（
ｘ
，
ｙ
）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜
a
｜.
(4)特殊的向量：零向量
a
＝O
?
｜
a
｜＝O.
单位向量
a
O
为单位向量
?
｜
a
O
｜＝1.
?
x
1
?x
2
(5)相等的向量：大小相等， 方向相同(
ｘ
1
，
ｙ
1
)＝（
ｘ
2
，
ｙ
2
）
?
?

y?y
2
?
1
(6) 相反向量：
a
=-
b
?
b
=-
a
?
a
+
b
=
0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作
a
∥
b
.平行向量也称为
共线向量.
3.向量的运算

运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
rrrr
a?b?b?a

向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
rr
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

rrrrrr
(a?b)?c?a?(b?c)

AB?BC?AC

向量的
减法
三角形法则
rra?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

rrrr
a?b?a?(?b)

uuuruuur
AB??BA
,
OB?OA?AB

数
乘
向
量
r
1.
?
a
是一个向量,满 足:
rr
|
?
a|?|
?
||a|

r
?
a?(
?
x,
?
y)

?
(
?
a)?(
??
)a

rrr
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a

rrrr
?
(a?b)?
?
a?
?
b

rr
rr
2.
?
>0时,
?
a与a
同向;

11

.
rr
?
<0时,
?
a与a
异向;
rrrr
ab?a?
?
b

rr
?
=0时,
?
a?0
.
rr
a?b
是一个数
向
量
的
数
量
积
rrrr
a?b?b?a

rrrrrr
(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)

rrrr
1.
a?0或b?0
时，
rr
a?b?0
.
rrrr
a?0且b?0时，
2.
rrrr

a
g
b?|a||b|cos(a,b)
rr
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

rrrrrrr
(a?b)?c?a?c?b?c

r
2
r
2
ur
a?|a|即|a|=x
2
?y
2

rrrr
|a?b|?|a||b|

4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e
1
，
e
2
是同一平面 内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一
对实数λ
1
，λ< br>2
，使
a
＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
.

(2)两个向量平行的充要条件
a
∥
b
?
a
＝λ
b
(
b
≠
0
)?
x
1
y
2
－
x
2
y
1＝O.

(3)两个向量垂直的充要条件
a
∥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝O.
（4）求两向量的数量积常有三种途径:
(1)利用数量积的原始定义; (2)坐标化 (3)转化为基向量

(5)正、余弦定理
正弦定理：
abc
???2R.

sinAsinBsinC
222
余弦定理：
a
＝
b
＋
c
－2
bc
cos
A
，
b
2
＝
c
2
＋a
2
－2
ca
cos
B
，
c
2＝
a
2
＋
b
2
－2
ab
cos
C
.

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
⑻△ABC的判定：
c
2
?a
2
?b
2
?
△
ABC
为直角△
?∠A + ∠B =
?

2

12

.
c
2
＜
a
2
?b
2
?
△ABC
为钝角△
c
2
＞
a
2
?b
2< br>?
△
ABC
为锐角△
?
∠A + ∠B＜
?
∠A + ∠B＞
ABC
中，
cosC?0?a
2?b
2
?c
2
?0,?a
2
?b
2
? c
2

?
2
?
2
a
2
?b
2
?c
2
附：证明：
cosC?
，得在钝角△
2ab

高中数学第七章-立体几何
点、直线、平面之间的关系
（一）、立体几何网络图：
⑹
公理4
⑴
线线平行
⑵
⑶
⑾
三垂线定理
⑺
线线垂直
三垂线逆定理
⑻
⑿
⑼
⑽
线面垂直
线面平行
⑷
⑸
⒀
⒂
⒃
面面平行
⒁
面面垂直

1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直
线和交线平行。
（3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：
（1）、在平面 内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
（2）、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影
垂直。
（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：

13

.
（1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。


判定定理：


性质定理：


★判断或证
⑴ 利用定义(反证法)：
lI
明线面平行的方法
?
??
，则
l
∥α (用于判断)；
线面平行 (用于证明)；
线面平行 (用于证明)；
⑵ 利用判定定理：线线平行
⑶ 利用平面的平行：面面平行
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：
l
∩ α = A
2.1 直线与平面所成的角(简称线面角) ：若直线与平面斜交，则平面
的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
4、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。


判定定理：



性质定理：


14
图2-3 线面角

.

（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：

★判断或证明线面垂直的方法
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
5、面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：

性质定理：
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
（2）



（3）




（4）


（二）、其他定理：
图2-11 面面垂直性质3
图2-10 面面垂直性质2
（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；

15

.
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的
锐角(或直角)相等；
四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（ 1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成
的角。异面直 线所成角的范围：
0?
?
?90
；
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为
0
； ②线面垂直：线面
所成的角为
90
；
③斜线与平面所成的角：范围
0?
?
?90
；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围
0
?
?
?
90

五、距离的求法：
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、 点与线、面间的
距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；
②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；
③体积法：利用三棱锥体积公式。
（2）线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：
①定义法，关键是确定出
a,b
的公垂线段；
②转化为线面距离，即转化为
a
与过
b
而平行于
a
的平面之间的距离，关键是找出或构造 出
这个平面；③转化为面面距离；
（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；
（4 ）异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的角为
?
，它们公垂
线段
A A'
的长为
d
，在
a,b
上分别取一点
E,F
，设
A'E?m
，
A’
E’

F


E

oo
oo
o
o
oo
AF?n
；
A

16

.
则
EF?


d
2
?m
2
? n
2
?
2
mn
cos
?

（如果
?E'AF
为锐角，公式中取负号，如果
?E'AF
为钝，公式中取正号）

高中数学第八章-直线与圆
1。直线的倾斜角和斜率：
（1）直线的倾斜角： 直线向上的方向和x轴正方向所成的最小正角。其范围是
[0,
?
)

（2）直线的斜率：不是90的倾斜角的正切值，即k=tan
?
,
若直线经过两点（x
1
,y
1
）,(x
2
,y< br>2
),则该直线的斜率为k=
y
2
?
y
2
y
2
?
y
2
0

(
x
1
?
x
2
)
.
注：直线都有倾斜角，但不一定有斜率（当直线与x轴垂直时，斜率不存在）。
?
?
它们的关系是k=tan
?
,
?
?< br>[0,
?
)
,即k是
?
在
[0,
)
和
(
,
?
)
上的增函数。已知倾斜角可
22
求斜率 ，已知斜率也可求倾斜角，有时会用到反三角的知识。
2、直线方程的五种形式：
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
? y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)< br>、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
xy
??
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3、两条直线位置关系的判定：
（1）两条直线的位置关系：平行；重合；相交。
（2）若两直线的方程都是斜截式（斜率都存在），即：若
l
1
:y?k
1< br>x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

可以利用以下结论判断：
①
l
1
||l
2< br>?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
; < br>②
l
1
与
l
2
重合
?
k
1 ?
k
2
且
b
1?
b
2


17

.
③
l
1
与
l
2
相交
?
k1
?
k
2
.
注：相交中特殊情况：
l
1?l
2
?k
1
k
2
??1
.
（3） 、若两直线的方程是一般式：
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
则采用以下结论判断：
①
l
2

l
2
?
?
?
A
1
B
2
?
A
2
B
1
?0
.
??0或 ??0
A
1
C
2
A
2
C
1
?B
1
C
2
B
2
C
1
②
l1
与
l
2
重合
?
?
?
A
1< br>B
2
?
A
2
B
1
?0
.
??0
CC
BB
12
21
?
③
l
1
与
l
2
相交
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?
0

注：相交中特殊情况：
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
4、点到直线的距离：
1、已知点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?B y?C?0
).
点到直线的距离公式为：
d?
|Ax
0
? By
0
?C|
A?B
22

2、若两平行线间距离公式：若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0
与
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
平行，
A
x
0
?B
2
则两平行线间距离为：
d?
y
0
?C
2
。
A
?
B
5、 圆与方程
1、圆的方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
引申：圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径 的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2< br>,y
2
)
).
（3）.圆的性质：
（1） 圆具有十分完美的对称性（中心对称，轴对称）。
（2） 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上。
（3） 半径，弦心距，半弦长构成了直角三角形。
（4）点与圆的位置关系

18

.
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a) ?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.




6、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与 圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
7、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2< br>?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.











19

.




高中数学第九章-圆锥曲线

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

定义
椭圆
1．到两定点F
1
,F
2
的距离
之和为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)
的点的轨迹
2．与定点和直线的距离
之比为定值e的点的轨
迹.（0图形

方


程
标准
方程
参数
方程
范围
中心
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线

双曲线
1．到两定点F
1
,F
2
的距
离之差的绝对值为定值
2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的点的
轨迹
2．与定点和直线的距离
之比为定值e的点的轨
迹.（e>1）

2
抛物线

与定点和直线的距离相等
的点的轨迹.

y=2px
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
(
a?b
>0)
??1
(a>0,b>0) a
2
b
2
a
2
b
2
?
x?a cos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) ,
(0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
x?0

(0,0)
x轴
p
F(,0)

2

e=1
2c （c=
a?b
）
22
2c （c=
a?b
）
22
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
a
2
x=
?

c

a
2
x=
?

c
y=±x
x??

p

2
渐近线
b
a

20

.
焦半径
通径
r?a?ex

2b
2

a
a
2

c
r??(ex?a)

2b
2

a
a
2

c
r?x?

2p

P
p

2
焦参数
高中数学第十章-不等式
一、一元二次不等式的解法
一元二次不等式
ax?bx?c?0(a?0)
与相应的函数
y?ax?bx?c(a ?0)
、相
应的方程
ax?bx?c?0(a?0)
之间的关系：
2
22
判别式
??b
2
?4ac
??0

??0

??0


二次函数
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象


一元二次方程
ax
2
?bx?c?0


无实根

?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

有两相异实
有两相等实根
b
x
1
,x
2
(x
1
?x
2)

x
1
?x
2
??

2a



?
xx?x或x?x
?
?
xx??
b
?

12
?
?
?
2a
?
R
?

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
二、线性规划
?
xx
1
?x?x
2
?

?

1、直线
y?kx?b
把平面分成两个区域

y?kx?b
表示直线 的区域
y?kx?b
表示直线 的区域
2、选点法
3、利用图解法解线性规划问题的一般步骤

21

.
（1） 写出可行解的不等式组，画出可行区域
（2） 建立目标函数，作出目标函数的等值线
（3） 在可行区域内平移目标函数等值线，确定最优
三、基本不等式
1．基本不等式
ab
≤
a
＋
b
2

(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．

2．几个重要的不等式
(1)
a
＋
b
≥________ (
a
，
b
∥R)． (2)
＋
≥______(
a
，
b
同号)．
(3 )
ab
≤
?
22
?
a
＋
b
?2
(
a
，
b
∥R)． (4)
≥
???
(
a
，
b
∥R)．
2
?
2
??
2
?
ba
ab
a
2＋
b
2
?
a
＋
b
?
2
3．算 术平均数与几何平均数
设
a
>0，
b
>0，则
a
，
b
的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可
叙述为：_____________________________________________ ___.
4．利用基本不等式求最值问题
已知
x
>0，
y
>0，则
(1)如果积
xy是定值
p
，那么当且仅当________时，
x
＋
y
有最小值是________．(简记：积定
和最小)
(2)如果和
x
＋< br>y
是定值
p
，那么当且仅当
x
＝
y
时，xy
有最______值是.(简记：和定积最
4
大)




p
2











22

.



23