2015江苏高考数学试卷及答案(完整版)

2015年江苏高考数学试卷
一、填空题
1.已知集合
A?
?
1，，23
?
，
B?
?
2，，45
?
，则集合
AB
中元素的个数为___5 ____.
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____6 ____. 3.设复数z满足
z
2
?3?4i
（i是虚数单位），则z的模为___ _
5
___.
4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____7____.

5.袋中 有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机
摸出2只球，则这2 只球颜色不同的概率为____
5
____.
6
6.已知向量
a?
?
2，1
?
，
a?
?
1，?2
?
，若
ma?nb?
?
9，?8
??
mn?R
?
，则 m-n的值为_-3
_____.
7.不等式
2
x
2
?x
?4
的解集为___
?
?1
，
2
?
_____.
1
，则
tan
?
的值为____ 3 ___. < br>7
8.已知
tan
?
??2
，
tan
??
?
?
?
?
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥 和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的 新的圆锥与圆柱各一个，则
新的底面半径为
7
。
10 .在平面直角坐标系
xOy
中，以点
(1,0)
为圆心且与直线
mx ?y?2m?1?0(m?R)
相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
?
x?1
?
?y
2
?2
。
2
*
11.数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，且
a
n?1
?a
n
?n?1
（
n ?N
），则数列
{
1
}
的前10项和为
a
n
20
。
11
12.在平面直角坐标系
xOy
中，
P
为双曲线
x?y?1
右支上的一个动点。若点
P
到直线
22

x?y?1?0
的距离对c恒成立，则是实数 c的最大值为
2
。
2
13.已知函数
f(x )?|lnx|
，
g(x)?
?
数为 4 。
?
0,0?x?1
，则方程
|f(x)?g(x)|?1
实根的个
2< br>|x?4|?2,x?1
?
12
k
?
k
?
k
?
,sin?cos)(k?0,1,2,?,12)
，则14.设向量
a< br>k
?(cos
666
为 .
93
。

15.在
VABC
中，已知
AB?2,AC?3,A?60.

(1)求BC的长；
（2）求
sin2C
的值。

o< br>?
(a
k?0
k
?a
k?1
)
的值
16.如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中 ，已知
AC?BC,BC?CC
1
.设
AB
1
的中点为D，
B
1
C?BC
1
?E.

求证：（1）
DE平面AACC
11

(2)
BC
1
?AB
1


17.（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的 交通现状，计划修建一条连
l
2
，山区边界曲线为C，接两条公路的山区边界的直线型 公路，记两条相互垂直的公路为
l
1
，
l
2
的距离分别为计 划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到
l
1
，
5 千米和40千米，点N到
l
1
，l
2
的距离分别为20千米和2.5 千米，以
l
1
，l
2
所在的直线分别

为x， y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数
y?
模型.
（I）求a，b的值；
（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
a
（其中a，b为常数）
x
2
?b
①请写出公路l长度的函数解析式
f
?
t
?
，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
1)
a=1000,b=0
2)
1,

y?
,
?5001500500
y??
3
x
, 公路1所在的直线为：
x
3
t
2
t
1500
22

?f(t)?
（5=?9t
4
t
2,
2
150
2
0
2
150
2
09
2
9
2
?
9< br>?
32
3
150
2
0?9t
＝
?t?t?3 ??3?5?4
3

??

44
tt22
?
2
?
1
150
2
09
2
?t,t?5?2
6
时最小， 当
4
t2

?
5
?
5
?
2
?
20
，所以可取。
最小值为：
5
6
5
3?5?4
3
2
1
6< br> 千米


18.（本小题满分16分）
x
2
y
2
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?
的离心率为，且右
ab
2
焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（ 2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，
C，若PC =2AB，求直线AB的方程.
x
2
c2a
2
1,
? ,c??3
,
a?2,b?1,c?1
,
?y
2
?1

2
a2c
2,
当直线AB平行与Y轴时，不符合题意要求。
所以， 设直线AB方程为：
y?kx?k

直线与椭圆的交点方程：

（k
2
1
?
）x
2
?2k
2
x?k
2
?1?0

2
k< br>2
?1
,x
A
x
B
?

?x
A
?x
B
?

11
k
2?k
2
?
22
2k
2
1
?k
2
?
k
2
?1
?
k
2
2
，
AB?1?kx
A
?x
B
?

?x
C< br>?,y
C
?
1
11
k
2
?
k
2
?k
2
?
2
22
2
11?k
2
3k
2
?1

PC?1?
2
x
C
?x< br>P
?
1
kk
k
2
?
2
?
P C
AB
?
3k
2
?1
22kk?1
2
?2

解得：
k??1
所以直线AB方程为：
y?x?1
或
y??x?1



19.
已知函数
f(x)?x?ax?b(a,b?R)
。
（1）试讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
b?c?a
（ 实数c是a与无关的常数），当函数
f(x)
有三个不同的零点时，a的取
值范围恰好 是
(??,?3)?(1,)?(,??)
，求c的值。



解： 1,
f'(x)?3x?2ax

2
32
3
2
3
2

a<0 时，
?
??
，
0
?
?
?
?
2??
2
??
a,??
?
?,
?
0,?a
?
?

3
??
3
??
a=0时，整个实数域上增
a>0时,
?
??
，
?
?
?
2
? ?
2
?
a
?
?
?
0,??
?
?,
?
?a
，
0
?
?

3
??
3
?


2,
若
b?c?a
，有三个不同的零点转换成代数式为：

a
?0,
?
?
4
3
??
4
?
a
?< br>a
?
c
?
(
c?a
)
?
0
，即：
?
a
3
?
a
?
c
?
(、a
?c
)
?
0

?
27
??
27
?
?
?
3
??
3
?
?
?< br>?
，
??
?

2
??
2
?
依题意，上不等式关于a的解为：
?
??
，
?3
?
?
?
1
，
分类讨论分析：
A)关于方程
4
3< br>a?a?c
＝
0
只有一个根，不论是否为重根，
27
43
a?a?c
＝
0
有两个不同根，必有一根属于重根。
27
不等式解集形式都不符，舍去。
B)关于方程
原不等式可写成：
4
（a
?t
））（a
?h
）
2
(
a?c
)
?
0

27
3
如果
t?1,h?,c??3
，展开后形式不符，排除。
2
3
如果
t??3,h?,c?1
，展开后形式对应相符，所以c=1是一个可能值。
2
4
3
C) 关于方程
a?a?c
＝
0
有三个不同根，那么方程可写成：
27< br>43
（a
?
1
）（a
?
3
）
(a?
)
?
0
，且c=32,展开后不符合。

272

综上所述，C=1

20.设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是各项为正数且 公差为d
(d?0)
的等差数列
（1）证明：
2
1
,2< br>2
,2
3
,2
4
依次成等比数列
（2）是否存在< br>a
1
,d
，使得
a
1
,a
2
2,a
3
3
,a
4
4
依次成等比数列，并说明理由 （3）是否存在
a
1
,d
及正整数
n,k
，使得
a
1
n
,a
2
n?k
,a
3
n?3k< br>,a
4
n?5k
依次成等比数列，并说明理
aa
a
a

由
解： 1，易
2,假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：

a
1
?bq,a
2
?bq
2
,a
3
?bq
3
,a
4
?bq
4
，q
,b?0,b?1

所以：

a
n
?qb(n?1,2,3,4)
，关于n的函数是一致凹或凸的，所以：

(1
，a
1
)
与
(4
，a
4
)
的连线 必不与
(2
，a
2
)
(3
，a
3
)
的连线 重合。

这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在
a
1
,d
满足要求。


3，依据题意构造等式关系如下：

a
1
?bq
n
,a
2
所以：

a
1
?qb,a
2
?qb`
1
n
1
n?k
1
n
234
nn?k
?b`q
n?k
,a
3
n?3k
?b'q
n?3k
,a
4
n?5k?b'q
n?5k
,b`?bq
k

,a
3
? qb`
1
n?3k
,a
4
?qb`
1
n?5k
假设存在，那么坐标上点：

?
n?k,a< br>2
?
,
?
n?3k,a
3
?
,
?< br>n?5k,a
4
?
三点一线，依据函数图像凹凸，不可能。
所以不存在。
注：此题也可根据 等比数列对数化成等差数列，但等差数列直线点进行不同倍数 的纵向
伸缩不可能依然在同一直线上，故不存在。

附加题
21、（选择题）本题包括A、B、 C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作
答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、
?
选修4-1：几何证明选讲
?
（本小题满分10分）
如图，在
?ABC
中，
AB?AC
，
?ABC
的外接圆圆 O的弦
AE
交
BC
于点D
求证：
?ABD
?
?AEB





B、
?
选修4-2：矩阵与变换
已知
x,y?R
，向量
?
?
?

?
（本小题满分10分）
?x1
?
?
1
?
是矩阵的属性特征值
?2
的一个 特征向量，矩阵
A?
?
?
?
?
?1
?
?< br>y0
?
A
以及它的另一个特征值。
X=-1,y=2,另一特征值为：-1

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]
?
已知圆C的极坐标方程为
?
2
?22
?
sin(
?
?)?4?0
，求圆C的半径.
4

r?2

D．[选修4-5：不等式选讲]
解不等式
x?|2x?3|?3


x?0orx??6




22.如图，在 四棱锥
P?ABCD
中，已知
PA?
平面
ABCD
，且四边 形
ABCD
为直角梯形，
?ABC??BAD?
?
2
,PA?AD?2,AB?BC?1

(1)求平面
PAB
与平面
PCD
所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

1,
s
?PAB
?1,s< br>?PCD
?3
,
?COS
?
?
3

3
2,AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴.

DP?(0,?2,2),CQ?(t?1,?1,2?2t)

夹角满足 ：
cos
?
1
?
3?2t
10t?20t?12
2
2
(t?
?
0,1
?
)

21
? 4t
3?2t9?12t?4t14t?12t?914
5
???
2
??(?
2
)
2
2
10t?20t?1225t?10t?6255 t?10t?6
10t?20t?12
8181
2
5t?10t?61191 1181
??t??
80
?
?
21?20t
?
??
80
??2
21?20t48021?20t804021?20t4080
2

(t?
3
)

5
2
2

?BQ?
225
?5?

55
23.已知集合
X? {1,2,3},Y
n
?{1,2,3,,n}(n?N
*
)
，设< br>S
n
?{(a,b)|a整除b或除a,a?X,b?Y
n
}
，令
f(n)
表示集合
S
n
所含元素个数.
（1）写出
f(6)
的值；
（2）当
n?6
时，写出
f(n)
的表达式，并用数学归纳法证明。


（1）
f(6)
＝11

（2）
如果
nmod6?1


n?1n?1
?

23

如果
nmod6?2


f(n)?n?

nn?2
?

23
如果
nmod6?3


f(n)?n?


f(n)?n?

n?1n
?

23
如果
nmod6?4


nn?1
?

23
如果
nmod6?5


f(n)?n?

n?1n?2
?

23
如果
nmod6?0


f(n)?n?


f(n)?n?





nn
?

23