2018年江苏高考数学试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1．已知集合
A?
?
0,1,2,8
?
，
B?
?
?1,1,6,8
?
，那么
A?B?
．

2．若复数
z
满足
i?z?1?2i
，其中i是虚数 单位，则
z
的实部为 ．

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
S
的值为 ．

5．函数
f
?
x
?
?log
2x?1
的定义域为 ．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
．

7．已知函数
y?sin
?
2 x?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?x?
?
的图象关于直线
x?
对称，则
?
的值是 ．
2
?
3
?
2
x
2
y
2
8．在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
2
?
2
?1< br>?
a?0,b?0
?
的右焦点
F
?
c,0
?
到一条渐近线的距离为
ab

3
c
，则其离心率的值是 ．
2
?
?
x
cos,0?x?2
?
2
?
9．函数
f
?
x
?
满足
f
?
x? 4
?
?f
?
x
??
x?R
?
，且在区间< br>(?2,2]
上，
f
?
x
?
?
?
， 则
f
?
f
?
15
??
?
x?
1< br>,?2?x?0
?
2
?
的值为 ．

10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

11．若函数
f
?
x
?
?2x?ax?1
?
a?R
?
在
?
0,??
?
内有且只有一个零点 ，则
f
?
x
?
在
?
?1,1
?
上 的最大值与最小
32
值的和为 ．

12．在 平面直角坐标系
xOy
中，
A
为直线
l:y?2x
上在第一 象限内的点，
B
?
5,0
?
，以
AB
为直径的圆< br>C
与
直线
l
交于另一点
D
．若
AB?CD? 0
，则点
A
的横坐标为 ．

?ABC?1 20
，13．在
?ABC
中，角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，
?ABC
的平分线交
AC
于点
D
，< br>且
BD?1
，则
4a?c
的最小值为 ．

14．已知集合
A?x|x?2n?1,n?N
?
?
?< br>?
，
B?
?
x|x?2,n?N
?
．将
A? B
的所有元素从小到大依次排
n?
列构成一个数列
?
a
n< br>?
，记
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，则使得
S
n
?12a
n?1
成立的
n
的最小值
为 ．

二、解答 题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
．． ．．．．．
或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A A
1
?AB,AB
1
?B
1
C
1
． 求证：（1）
AB∥
平面
A
1
B
1
C
；
（2）
平面
ABB
1
A
1
?
平面A
1
BC
．






16．（本小题满分14分）
已知
?
,
?
为锐角，
tan
?
?
（1）求
cos2
?
的值；
（2）求
tan(
?
?
?
)
的值．









17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧5
4
，
cos(
?
?
?
)??
． < br>5
3

和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为5 0米．现
MPN
（P为此圆弧的中点）
规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的 地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
△CDP
，要求
A,B
均在 线段
MN
上，
C,D
均在圆弧上．设OC与MN所成的角为
?
．
（1）用
?
分别表示矩形
ABCD
和
△CDP
的面积，并确定
sin
?
的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜， 大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4:3
．求当
?< br>为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．






18．（本小题满分16分）
1
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆C过点
(3,)
，焦点
2
F
1
(?3,0 ),F
2
(3,0)
，圆O的直径为
F
1
F
2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于
A ,B
两点．若
△OAB
的面积为
求直线l的方程．





19．（本小题满分16分）
记
f
?(x),g
?
(x)
分别为函数
f(x),g(x)
的导函数． 若存在
x
0
?R
，满足
f(x
0
)?g(x
0
)
且
f
?
(x
0
)?g
?
( x
0
)
，则
称
x
0
为函数
f(x)
与
g(x)
的一个“S点”．
26
，
7

（1）证明：函数
f(x)?x
与
g(x)?x
2
?2x?2
不存在“S点”；
（2）若函数
f(x)?ax
2
?1
与
g(x)?lnx
存在“S点”，求实数a的值；
be
x
（3）已知函数
f(x)??x?a
，
g(x)?
．对任意
a?0
，判断是 否存在
b?0
，使函数
f(x)
与
g(x)
在
x< br>2
区间
(0,??)
内存在“S点”，并说明理由．










20．（本小题满分16分）
设
{a
n
}
是首项为
a
1
，公差为d的等差数列，
{b
n
}
是首项为
b
1
，公比为q的等比数列．
（1）设
a
1
?0,b1
?1,q?2
，若
|a
n
?b
n
|?b1
对
n?1,2,3,4
均成立，求d的取值范围；
（2）若
a
1
?b
1
?0,m?N
*
,q?(1,
m
2]
，证明：存在
d?R
，使得
|a
n
?b
n< br>|?b
1
对
n?2,3,L,m?1
均成立，
并求
d
的取值范围（用
b
1
,m,q
表示）．

数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请 选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆 O的直径，P为AB延长线上一点，
过P作圆O的切线，切点为C．若
PC?23
，求 BC 的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
?
23
?
已知矩阵
A?
??
．
12
??
（1）求
A
的逆矩阵
A
?1
；
（2）若点P在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
P
?
(3, 1)
，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) π
在极坐标系中，直线l的方程为
?
sin(?
?
)?2
，曲线C的方程为
?
?4cos
?
，求直线l被曲线C截得
6的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数 ，且x+2y+2z=6，求
x
2
?y
2
?z
2
的 最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计2 0分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
．．．．．．．
说明、证明过程或演算步 骤．学科#网
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，AB=AA
1
=2，点P，Q分别为A1
B
1
，
BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC
1
所成角的余弦值；
（2）求直线CC
1
与平面AQC
1
所成角的正弦值．

23．(本小题满分10分)
设
n?N
*
，对1，2，···，n的一个排列
i
1
i
2
Lin
，如果当si
s
?i
t
，则称
( i
s
,i
t
)
是排列
i
1
i
2< br>Li
n
的一
个逆序，排列
i
1
i
2
Li
n
的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个< br>逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记
f
n
(k)为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全
部排列的个数．
（1）求
f
3
(2),f
4
(2)
的值；
（2）求
f
n
(2)(n?5)
的表达式(用n表示)．

数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}







2．2
6．









3．90








4．8
8．2
12．3
5．[2，+∞）
9．
2

2
3

10
4

3
π
7．
?

6
11．–3

10．
13．9 14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与 直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证
能力．满分14分． 证明：（1）在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB∥A
1
B
1
．
因为AB
?< br>平面A
1
B
1
C，A
1
B
1
?平面A
1
B
1
C，
所以AB∥平面A
1
B
1
C．
（2）在平行六面体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形ABB
1
A
1
为平行四边形．
又因为AA
1
=AB，所 以四边形ABB
1
A
1
为菱形，
因此AB
1
⊥A
1
B．
又因为AB
1
⊥ B
1
C
1
，BC∥B
1
C
1
，
所以AB
1
⊥BC．
又因为A
1
B∩BC=B，A
1
B
?
平面A
1
BC，BC
?
平面A
1
BC，
所以AB
1
⊥平面A
1
BC．
因为AB
1
?
平面ABB
1
A
1
，
所以平面ABB
1
A
1
⊥平面A
1
BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14< br>分．
解：（1）因为
tan
?
?
4sin
?
4
，
tan
?
?
，所以
sin
?
?co s
?
．
3cos
?
3
9
，
25
因为
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，所 以
cos
2
?
?
因此，
cos2
?
?2c os
2
?
?1??
7
．
25
（2）因为
?
,
?
为锐角，所以
?
?
?
?(0,π)
．

又因为
cos(
?
?
?
)??
525
，所以
sin(
?
?
?
)?1?cos
2< br>(
?
?
?
)?
，
55
因此
tan(
?
?
?
)??2
．
42tan
?
24
，所以
tan2
?
?
，
??
31?tan
2
?
7
tan2
?
?t an(
?
?
?
)2
因此，
tan(
?
?< br>?
)?tan[2
?
?(
?
?
?
)]???
．
1+tan2
?
tan(
?
?
?
)1 1
因为
tan
?
?
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求 最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知
识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（ 40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为
1< br>×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
2
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ
0
，则sinθ
0
=
当θ∈[θ
0
，
1
π
，θ
0
∈（0，）．
46
π
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
2
1
，1）．
4
所以sinθ的取值范围是[
答：矩形A BCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[
1
，1）．
4
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4 k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
= 8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ
0
，
π
）．
2
π
），
2
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[ θ
0
，
(
?
)?cos
2
?
?sin2
?
?sin
?
??(2sin
2
?
?sin
?
?1)??(2sin
?
?1)(sin
?
?1)
． 则
f′
(
?
)=0
，得θ=令
f′
π
，
6
当θ∈（θ
0
，
π
(
?
)>0
，所以f（θ）为增函数； ）时，
f′
6

当θ∈（
ππ，）时，
f′(
?
)<0
，所以f（θ）为减函数，
62
π
时，f（θ）取到最大值．
6
因此，当θ=
答：当 θ=
π
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6
18．本小题主要考查 直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆
的位置关系等知识， 考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为
F
1
(? 3,0),F
2
(3,0)
，
x
2
y
2
1
可设椭圆C的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
．又点< br>(3,)
在椭圆C上，
ab
2
1
?
3
?< br>a
2
?4,
??1,
?
?
22
所以
?
a
，解得
?
2

4b
b?1,
?
?
?
a
2
?b
2
?3,
?
x
2
因此，椭圆C的方程为
?y
2
?1
．
4
因为圆O 的直径为
F
1
F
2
，所以其方程为
x
2
? y
2
?3
．
（2）①设直线l与圆O相切于
P(x
0,y
0
)(x
0
?0,y
0
?0)
，则
x
0
2
?y
0
2
?3
，
所以直线l的 方程为
y??
x
0
x
3
(x?x
0
)?y
0
，即
y??
0
x?
．
y
0
y
0
y
0
?
x
2
2
?
?y?1,< br>?
4
由
?
，消去y，得
x
3
?
y ??
0
x?,
?
y
0
y
0
?
(4 x
0
2
?y
0
2
)x
2
?24x
0
x?36?4y
0
2
?0
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
(?24x
0
)
2?4(4x
0
2
?y
0
2
)(36?4y
0< br>2
)?48y
0
2
(x
0
2
?2)?0． 所以
??
因为
x
0
,y
0
?0
，所以
x
0
?2,y
0
?1
．
因此，点P的坐标为
(2,1)
．
②因为三角形OAB的面积为
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2)
，
2612642
，所以

，从而
AB?
．
AB?OP?
7277

由 （*）得
x
1,2
?
24x
0
?48y
0
2
(x
0
2
?2)
2(4x
0
?y
0)
22
，
所以
AB
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
x
0
2
48y
0
2
(x
0
2
?2)
?(1?
2
)?
．
y
0
(4x
0
2
?y
0
2
)
2
因为
x
0
2
?y
0
2
?3
，
16(x
02
?2)
32
?
所以
AB?
，即
2x
0
4
?45x
0
2
?100?0
，
22
(x
0
?1)49
2
102
51
解得
x
0
2
?(x
0
2
?20
舍去），则
y
02
?
，因此P的坐标为
(,)
．
22
22
综上，直线l的方程为
y??5x?32
．
< br>19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑
推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x
2
+ 2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
?
x?x
2
?2x?2
，此方程组无解，
?
1?2x?2
?
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
fx）?ax
2
?1
，
g(x)?lnx
， （2）函数
（
则
f（?x）?2ax，g（?x）?
1
．
x
设x
0
为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x
0
）与g（x
0
）且f′（x
0
）与g′（x
0
），得

2
?
ax
0
?1?lnx
0
2
?
?
?
ax
0
?1?lnx
0
，即
?
，（* ）
1
?
2
2ax?
?
?
0
x
?
2ax
0
?1
0
?
1
?
1
得lnx
0
??
，即
x
0
?e
2
，则< br>a?
2
1
2(e)
1
?
2
2
?e
．
2
1
?
e
当
a?
时，
x
0
?e
2
满足方程组（*），即
x
0
为f（x） 与g（x）的“S”点．
2
e
因此，a的值为．
2
（3）对任意 a>0，设
h(x)?x
3
?3x
2
?ax?a
．
因为
h(0)?a?0，h(1)?1?3?a?a??2?0
，且h（x）的图象是不间断 的，
3
2x
0
所以存在
x
0
∈（0，1），使得
h(x
0
)?0
，令
b?
x
0
，则b>0 ．
e(1?x
0
)
be
x
函数
f(x)??x? a，g(x)?
，
x
2
be
x
(x?1)
则
f′
．
(x)??2x，g′(x)?
2
x
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x ），得
3
?
2
2x
0
e
x
?
2
be
x
?
?
?x?a?
x
0
?x?a?< br>?
x
e(1?x)
?
?
x
0
，即（**）
?
?
x
3
x
2x
0
e(x?1)
?
?2x?
be(x?1)
?
?2x??
?
?
x< br>2
?
x
2
e
x
0
(1?x
0
)
?
此时，
x
0
满足方程组（**），即
x
0< br>是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归 及
综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：
a
n
?(n?1)d,b
n
?2
n?1
．
因为|a
n
?b
n
|?b
1
对n=1，2，3，4均成立，
即
|(n? 1)d?2
n?1
|?1
对n=1，2，3，4均成立，
即1
?< br>1，1
?
d
?
3，3
?
2d
?
5， 7
?
3d
?
9，得
75
?d?
．
32
75
因此，d的取值范围为
[,]
．
32