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2018年江苏省高二下学期期末考试数学理科试卷

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 17:31
tags:江苏高中数学

高中数学课程教学总结-高中数学排列组合教学反思

2020年9月20日发(作者:唐子安)



2018年江苏省第二学期期末试卷
高二数学(理)
2018.6
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本卷共4页,包含填空题(第1题 ? 第14题)、解答题(第15题 ? 第20题).本卷满分160分,
考试时间为120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.
2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫 米
黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
4. 如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案
填写在答 题卡相应的位置上.)
.........
1.已知复数z=(
m
+1)+ (
m
﹣2)i是纯虚数(i为虚数单位),则实数
m
的值为 .
2.已知点A(1,4,1),B(﹣2,0,1),则
AB
= . < br>xx?8
3.若
C
28

C
3
28
,则
x
的值为 .
1
),那么方差V(X)的值为 .
3
1
5.三个同学猜同一个谜语,如果每人猜对的概率都是,并且各人猜对与否相 互独立,那
4
4.已知随机变量X服从二项分布X~B(6,
么他们同时猜对的概率为 .
?
21
?
6.已知矩阵A=
?

?
,则矩阵A的逆矩阵为 .
?
0
3
?7.若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛,则至少选出1名女生的概率为
(结果用分数表示).
8.在极坐标系中,已知A(
2
,0)到直线
l
?
sin(
?
?
则实数
m
的值为 .
?
4
)?m
,(
m?0
)的距离为2,
b=(4,
b
的值为 . 9.设向量
a
=(2,2
m
﹣3,
n
+2),2
m
+1,3
n
﹣2),且< br>a

b
,则
a
·

1



10.圆C
1

x
2
?y
2
?1
在矩阵M=
?

?
对应的变换作用下得到了曲线 C
2
,曲线C
2
在矩阵
?
2
?
0
0
?
1
?
N=
?

?
0
?1
?1
?
对应的变换作用下得到了曲线C
3
,则曲线C
3
的方程为 .
?
0
?
11.若
(1?2x )
n
的二项展开式中的第3项的二项式系数为15,则
(1?2x)
n
的展开式中含
x
3
项的系数为 .
12.将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰有2个空盒的方法共有
种(用数字作答).
13.对于自然数方幂和
S
k
(n )?1
k
?2
k
?

S
1
(n)?
?n
k

n?N
?

k?N
?

n(n?)1

2
S
2
(n)?1
2
?2
2
?
2﹣1=3+3+1,
33
?n
2
,求和方法如下:
3﹣2=3×2+3×2+1,
……
(
n
+1)﹣
n
=3
n
+3
n
+1,
将上面各式左右两边分别,就会有(
n
+1)﹣1=
3S
2
(n)

3S
1
(n)

n
,解得
S
2
(n)

33
3 32
332
1
6
n
(
n
+1)(2
n
+1),类比以上过程可以求得
S
4
(n)?An
5
?Bn
4
?Cn
3
?Dn
2
?En?F
,A,
B,C,D,E,F
?
R且与< br>n
无关,则A+F的值为 .
14.化简
1
2
2018
22436
(C
0
2018
?3C
2018
?3C
2018
?3C
2018
?
10092018
?3
1008
C
2016
C
2018
)
= .
2018
?3
二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内 作答,解答应写出文字
.......
说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分)
已知复数
z
1
?i(1?i)

i
为虚数单位.
(1)求
z
1

3

2



(2)若复数z满足
z?2
,求
z?z
1
的最大值.



16.(本题满分14分)
已知极坐标系的极点与直角坐标 系的原点O重合,极轴与
x
轴的正半轴重合,若直线
l
1
?
x?t
?
2
?
的参数方程:
?
(t为参数),曲线C的极坐 标方程为:
?
2
?2
?
sin
?
?3?0

?
y?
3
t?1
?
?2
(1)求直线
l
的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线
l
被曲线C截得线段的长.



17.(本题满分14分)
已知矩阵A=
?

?
,向量
?
?
??

(1)求A的特征值
?
1

?
2
和特征向量
?
1

?
2

(2)求A




5
?
1
?
2
2
?
1
?
?
9
?
?
3
?
?
的值.

3








18.(本题满分16分)
如图,在正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=1,AA
1
=t,建立如图所 示的空间直角坐标系
O

xyz

(1)若t=1,求异面直线AC
1
与A
1
B所成角的大小;
(2)若t=5,求直线AC
1
与平面A
1
BD所成角的正弦值;
(3)若二面角A
1
—BD—C的大小为120°,求实数t的值.







4








19.(本题满分16分)
假设某士 兵远程射击一个易爆目标,射击一次击中目标的概率为
2
,三次射中目标或
3
连续两次射中目标,该目标爆炸,停止射击,否则就一直独立地射击至子弹用完.现有5
发子弹,设耗用 子弹数为随机变量X.
(1)若该士兵射击两次,求至少射中一次目标的概率;
(2)求随机变量X的概率分布与数学期望E(X).












5



20.(本题满分16分)

(p?x)
n?a
0
(n,p)?a
1
(n,p)(x?1)??a
r
(n,p)(x?1)
r
??a
n
(n,p)(x?
1
)
n
,其中
p
?
R,
n
?N
?
,< br>a
r
(n,p)
(r=0,1,2,…,
n
)与
x< br>无关.
(1)若
a
2
(5,p)
=10,求
p
的值;
(2)试用关于
n
的代数式表示:
0)

?
(i ?1)a(n,
i
i?0
n
(3)设
T
n
?
?
a
i
(n,n?1)

c
n
?
nT
n
?1
,试比较
?
ln
i?0
n
n
i?1
2c
i
ln(2c
n
?1)
与的大
2
2c
i
?1
小.













答案

6



1.﹣1
2.5
3.4或9
4.
4
3

5.
1
64

?1
?
1
?
6.
A
?1
?
?
?
26
?
?
1
?
?
?

?
0
3
?
?
7.
5
7

8.1
9.168
10.
x
2
?
y
2
4
?1

11.160
12.84
13.
1
6

14.
?
1
2

15.
解: (1)
z
1
?i
?
1?i
?
2
?
1?i
?
?i
?
?2i
??
1?i
?
?2?2.i
……………………6分

(2)设
z?x?yi
,因为< br>z?2
,所以
x
2
?y
2
?4,

……………………8分
在复平面中,复数
z
1
对应点
A< br>?
2,?2
?

复数
z
对应点的轨迹是以为
O
?
0,0
?
圆心,2为半径的圆;
……………………10分< br>因为AO=
22
,所以
z?z
1
的最大值为
22?2
. ……………………14分

7




16.
解:(1)直线
l
的普通方程为
y?3x?1
, ……………………4分
曲线
C
的普通方程为
x
2
?(y? 1)
2
?4
. ……………………8分
(2)曲线
C
表示以
(0,1)
为圆心,2为半径的圆,
圆心到直线
l
的距离
d?1
, ……………………10分
故直线
l
被曲线
C
截得的线段长为
22
2
?1
2
?23.
. …………………14分

17.
解: (1)矩阵
A
的特征多项式为
f(
?
)?
?
?1?2
?2
?
?1
?
?
2?2
?
?3


f(
?
)?0
,解 得
?
1
?3

?
2
??1
, ………4分

?
?
1
?
1
?3
时,解得
?
1
?
?
1
?
; ………6分
??

?
?
1
?
2
??1< br>时,解得
?
2
?
?
?1
?
. ………8分
??
(2)令
?
?m
?
n
?
?
m?n?9
1
?
2
,得
?
?
m?n?3
,求得
m?6,n?3.
. …………………10分
A
5?
?A
5
(6
?
5
1
?3
?
2
)?6(A
5
?
1
)?3(A
?
2
)? 6(
?
5
1
?
1
)?3(
?
5
2
?
2
)
所以
?6?3
5
?
1?
?
?
?3?(?
?
1
?

?
1
?
1)
5
?
?
?1
?
?
?< br>?
1455
?
?
?
1461
?
?
… ……………14分


18.解:(1)当
t?1
时,
A(0,, 0 0)
,,
B10) (,,

A
1
(0,, 0 1)

C
1
(1, 1, 1)


8




AC
1
?(1, 1, 1)

A
1
B?(1,, 0 ?1)
, ………………2分

cos?AC
AC
1
?A< br>1
B
1
,A
1
B>?
AC
?0

1
?A
1
B
所以异面直线
AC
1

A
1
B
所成角为
???
.……………………4分
(2)当
t?5
时,
A(0,, 0 0)

B(1,, 0 0)

D(0,, 1 0)

A
1
(0,, 0 5)

C
1
(1, 1, 5)


A
1
B?(1,, 0 ?5)

A
1
D?(0, 1, ?5)

设平面
A
1
BD
的法向量
n?(a,, b c)

则由
?
?
?
A
1
B?n?0,
得,
?
?
?
a?5c?0,
?
A
1
D?n?0
?
b?5c?0,

不妨取
c?1
,则
a?b?5
, 此时
n?(5,, 5 1)
, ……………………7分

AC
1
与平面
A
1
BD
所成角为
?
,因为
AC
1
?(1 , 1, 5)


sin
?
?cos?AC
1
?n
1
,n>?
AC
AC
?
15
51?27
?
517
1
?n
51

所以
AC
1
与平面
A
1
BD
所成角的正弦值为
5??< br>??
. ……………………10分
(3)由
A
1
(0,, 0 t)
得,
A
1
B?(1,, 0 ?t)

A
1
D?(0, 1, ?t)

设平面
A
1
BD
的法向量
m?(x,, y z)

则由
?
?
?
A
1
B?m?0,
得,
?
x?zt?0,
?
?
?
A
1
D?m?0
?
y?zt?0,

不妨取
z?1
,则
x?y?t
, 此时
m?(t, t, 1)
, ……………13分
又平面
CBD
的法向量
AA
1
?(0,, 0 t)


cos?AA m>?
AA
1
?m
1

AA
1
?m
?
t
1?2t
2
? t
?
1
2
,解得
t?
6
2

由图形得二面角
A
1
?BD?C
大于
?
2
,所以符 合题意.

9



所以二面角
A
1
?BD?C
的大小为
120?

t
的 值为
6
. ……………16分
2

19.
解:(1)该士兵射击两次,至少射中一次目标的概率为
18
P?1?()
2
?
………4分
39
(2)耗用子弹数
X
的所有可能取值为2,3,4,5.
224

X?2
时,表示射击两次,且连续击中目标,
P(X?2) ???
; ………6分
339

X?3
时,表示射击 三次,第一次未击中目标,且第二次和第三次连续击中目标,
2224
; ………8分
P(X?3)?(1?)???
33327

X?4
时 ,表示射击四次,第二次未击中目标,且第三次和第四次连续击中目标,
2224
; ………10分
P(X?4)?(1?)???
33327

X?5
时,表示射击五次,均未击中目标,或只击中一次目标,或击中两次目标前四次击
中不连续两次或前四次 击中一次且第五次击中,或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。
222222227
1

P(X?5)?(1?)
5
?C
5
??(1?)
4
?7?()
2
?(1?)
3?3?()
2
?(1?)
2
??
3333333327
………12分
随机变量
X
的数学期望
444729
………16分
E(X)?2??3??4??5??
92727279

20.
2
(p?1)
3
?10
,所以
p?0
. ………2分 解:(1)由题意知
a
2
(5,p)?C
5
(2)当< br>p?0
时,
x
n
?a
0
(n,0)?a
1< br>(n,0)(x?1)?
两边同乘以
x?1
得:
?a
r(n,0)(x?1)
r
??a
n
(n,0)(x?1)
n

10



x
n
(x?1)?a< br>0
(n,0)(x?1)?a
1
(n,0)(x?1)
2
?? a
r
(n,0)(x?1)
r?1
??a
n
(n,0)(x ?1)
n?1

………………………4分
等式两边对
x
求导,得:
nx
n?1
(x?1)?xn
?a
0
(n,0)?2a
1
(n,0)(x?1)??(r? 1)a
r
(n,0)(x?1)
r
??(n?1)a
n
(n ,0)(x?1)
n
………………………6分

x?2
得: n2
n?1
?2
n
?a
0
(n,0)?2a
1
(n,0)?
n
?(r?1)a
r
(n,0)??(n?1)an
(n,0)


?
(i?1)a
i
(n, 0)?(n?2)2
n?1
…………………………………………8分
i?0
(3)
T
n
?(n ?1)
n

c
n
?
n
T
n
?1? n

猜测:
?
ln
i?1
n
2c
i
ln(2c
n
?1)
?
………………………………………………10分
2c
i
?12
n
① 当
n?1
时,
?
ln
i?1
2c
i
ln( 2c
n
?1)
ln3
?ln2
,此时不等式成立;
??l n3

ln2?ln3

2c
i
?1
22
………………………………………………11分
②假设
n?k
时,不等式成立,即:
?
ln
i?1
k
2iln(2k?1)
?
,则n?k?1
时,
2i?12
k
2c
i
2c
i
2c
k?1
ln(2k?1)2(k?1)1(2k?2)
2
ln?
?
ln?ln??ln?ln[(2k?1)?]

?
2
2 c?12c?12c?122(k?1)?12(2k?1)
i?1i?1
iik?1
k?1
14k
2
?8k?414k
2
?8k?31(2k?1)?( 2k?3)1
?ln()?ln()?ln?ln(2k?3)

22k?122k?122k?12
ln(2c
k?1
?1)

?
2
所以当
n?k?1
时,不等式也成立; ………………………………………………15分
根据①②可知,
?n?N
,均有?
ln
i?1
n
2c
i
ln(2c
n
?1)
?
. …………………………16分
2c
i
?1 2
1
【实际上问题即比较
(1?1)(1?)
3
(1?
1< br>】
)

2n?1
的大小关系;
2n?1


11





12

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